第六章 时变电磁场
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热损耗+闭合面内电磁能的增加=穿入闭合面的能量。
EH
单位时间内通过与它垂直的单位面积的功率
S EH
坡印廷矢量
例：用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量 的过程。设同轴电缆内外导体的半径分别为a和b，内外导体 之间的电压为U，流过的电流为I。
电场强度
U er E r ln(b / a) E0
r r r ,t v 1 (r , t ) 4 V r r
dV
r r J r , t v A(r , t ) 4 V r r
dV
推论：位于 r 处的源产生的场传到 r 处需要一段时间这段 时差就是
H rI H e 2 2a I H e 2r I c2 r 2 e 2 2 2 r c b H 0
y
0r
式中
v
1
函数 r 的齐次波动方程，其通解为
r r r f1 t f 2 t v v
位于原点的时变点电荷产生的标量电位为
r f1 t v (r , t ) r
已知位于原点的静止点电荷 q dV 产生的电位为
推广的安培环路定律物理意义：随时间变化的电场会激发磁 场.
位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法引入，但 在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹 通过实验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电 流理论的正确性.
麦克斯韦方程
静态场中的高斯定律及磁通连续性原理对于时变
电磁场仍然成立。
积分形式 微分形式
l
l
D H dl ( J )dS S t B E dl dS S t
D H J t
全电流定律
电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律
B E t
S
BdS 0
DdS q
B 0
D
S S S
即
D H J t
上两式称为全电流定律。它表明时变磁场是由传导 电流、运流电流和位移电流共同产生的。 位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变 电场可以产生时变磁场。
讨 论
对全电流定律和位移电流的讨论
时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导电流 外，还有位移电流. 位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变化时，会 形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激发起磁场.
滞后位：由于φ 和A 随时间的变化总是比源落后，因 此，位函数 φ 及 A 通常称为滞后位。
r f t 前式第二项 2 中的因子 v
r t v
意味着场比源
导前，这就不符合先有源后有场的因果关系。
因子 t 又可写为 t t
r v
位于 V 中的体电荷 在
r 处产生的电位为
r r r , t v 1 (r , t ) 4 V r r dV
r' - r r
r'
O x
V'
(r, t)
y
将矢量位方程在直角坐标系中展开，则矢量位 A 各 个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式， 即
整理得
1 2 1 2 J E ( E H ) ( E H ) t 2 2
积分并应用散度定理
1 2 1 2 VJ Ed t V ( 2 E 2 H )d S ( E H ) dS
S
DdS q
D J dS 0 S t
D J 0 t
上式中的
D t
具有电流密度量纲。麦克斯韦将其称为位
移电流密度，以 JD 表示
D J dS 0 S t
D J 0 t
理想导电体的边界条件
J E
已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁通 密度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上 不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，即时
变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁
场必须与其表面相切。
en
et , H E
② ①
en
E H
et ,
H2t JS H1t
S
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散 的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割
的，因此，时变电磁场是有旋有散场。
在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在
空间形成电磁波。
时变电场与时变磁场处处相互垂直。
物性方程
为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还
应包括电荷守恒方程以及说明场与介质关系的方程，即
J t
D E
B H
J E J
式中 J 代表电流源或非电的外源。
时变电磁场的边界条件
电场的边界条件
l
B E dl dS S t
S
DdS q
D2n D1n S
2 Ax Ax J x 2 t 2 Ay 2 Ay J y 2 t 2 Az 2 Az J z 2 t
2
每个分量的解结构同前。三个分量合成后，矢量位 A 的解为
r r J r ,t v A(r , t ) 4 V r r dV
E H J t
p J E
E J E ( H ) E t E ( H ) E E t
H E t
( H ) 0 ( E) 0
E E J E ( H ) E ( H ) E E t t 利用矢量恒等式 ( E H ) ( E) H ( H ) E
r v
(r ) v
那么，它又可理解为向负 r 方向传播的波，也就是 来自无限远处的反射波。
面分布及线分布的电荷及电流产生的标量位和矢量
位分别如下：
r r S r , t v 1 (r , t ) 4 S r r dS r r J S r , t v A(r , t ) 4 S r r dS
J E ( E ) H ( E H ) E E t H E H (E H ) E t t
2
E y Ex Ez E 1 E 2 x 1 E y 1 E 2 z ( Ex Ey Ez ) ( ) 其中 E t t t t 2 t 2 t 2 t 1 ( E2) t 2 H 1 2 H ( H ) 同理 t t 2
② ①
因D1n 0 ，得
或
D2n S
en D S
因 H1t 0，求得
H 2t J S
或
en H J S
位函数表示的电磁场方程
静态位
动态位
达朗贝尔方程
方程的解
z
φ (r, t)
O x
rHale Waihona Puke Baidu
2 ( r ) 1 2 ( r ) 2 0 2 2 r v t
dV (r ) 4 π r
r t r v dV f t 可见函数 f1 为 1 4π v
位于原点的时变点电荷的标量位为
d (r , t )
t v
r dV 4π r
z
dV'
r r r , t v
第六章
时变电磁场
主 要 内 容
1，位移电流 2，麦克斯韦方程 3，边界条件
4，位函数方程
5，能量密度与能量密度矢量
6，正弦电磁场
7，麦克斯韦方程的复矢量形式
静电场
E 0
D
时变电场
E B t
D
恒定磁场
H J
时变磁场
H ？
B 0
能流密度矢量的方向表示能量流动方向，其
大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能
量，或者说垂直穿过单位面积的功率，所以
该矢量又称为功率流密度矢量。
能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印廷
矢量。
在无外源 ( J s 0, 0 ) 的区域 V 中，若介质是 线性且各向同性的，则此区域中麦克斯韦方程为
r r l r , t v 1 dl (r , t ) 4 l r r
r r I r , t v dl A(r , t ) 4 l r r
能量密度与能流密度矢量
电场能量密度 磁场能量密度 损耗功率密度
r r
r r v
。
为源点至场点的距离，因此 v 代表电磁波的传播速度。
在真空中 v
1
0 0
299 792 458m/s 3 108 m/s
这就是光速，通常以 c 表示。 电磁辐射：若某一时刻源已消失，只要前一时刻源还 存在，它们原来产生的空间场仍然存在，这就表明源 已将电磁能量释放到空间，这种现象称为电磁辐射。 结论：为了向空间辐射电磁能量，必须使用高频电 推论2 4：时变源的附近，时差很小，场强的变化基本上 ：源变化越快，空间滞后越大，即使在源附近 推论 1 3 ：静止电荷或恒定电流一旦消失，它们产生的场 ：离开时变源的远处，由于时差很大，辐射效 流激励发射天线，而通常 也有显著的电磁辐射。所以似稳场和辐射场的区域划 50Hz的交流电不可能有效 与源同步，所以近处的时变场称为似稳场。 也随之失去，因而静态场称为束缚场，没有辐射作用。 应显著，所以远处的时变场称为辐射场。 地辐射电磁能量。 分不仅取决于空间距离，也和源的变化快慢有关。
B 0
电荷守恒定律与安培环路定理的矛盾
时变场中，电荷守恒定律：
J 0 t
安培环路定理：
H J
H 0
二 者 矛 盾
J 0
电荷守恒定律是更基础的定律，因此时变场中安培环路
定理需要修正！
位移电流
由电荷守恒定律和高斯定理得：
q S J d S t
1 we (r , t ) E 2 (r , t ) 2 1 wm (r , t ) H 2 (r , t ) 2
pl (r , t ) E 2 (r , t )
因此，时变电磁场的能量密度为
w (r , t ) 1 E 2 (r , t ) H 2 (r , t ) 2
en ( D 2 D1 ) S
E1t E2t
en ( E 2 E1 ) 0
磁场的边界条件
l
D H dl ( J )dS S t
S
BdS 0
B1n B2n
en ( B 2 B1 ) 0
H 2t H1t J S
en ( H 2 H1 ) J S
J J dS 0
S D
J JD 0
上式称为全电流连续性原理。
D 0 ，自然不存在位移电流。 对于静电场，由于 t
麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此安培环路 定律变为
C
H dl J C dS JV dS + J D dS
EH
单位时间内通过与它垂直的单位面积的功率
S EH
坡印廷矢量
例：用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量 的过程。设同轴电缆内外导体的半径分别为a和b，内外导体 之间的电压为U，流过的电流为I。
电场强度
U er E r ln(b / a) E0
r r r ,t v 1 (r , t ) 4 V r r
dV
r r J r , t v A(r , t ) 4 V r r
dV
推论：位于 r 处的源产生的场传到 r 处需要一段时间这段 时差就是
H rI H e 2 2a I H e 2r I c2 r 2 e 2 2 2 r c b H 0
y
0r
式中
v
1
函数 r 的齐次波动方程，其通解为
r r r f1 t f 2 t v v
位于原点的时变点电荷产生的标量电位为
r f1 t v (r , t ) r
已知位于原点的静止点电荷 q dV 产生的电位为
推广的安培环路定律物理意义：随时间变化的电场会激发磁 场.
位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法引入，但 在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波的存在，而赫兹 通过实验证明了电磁波确实存在，从而反过来证明了位移电 流理论的正确性.
麦克斯韦方程
静态场中的高斯定律及磁通连续性原理对于时变
电磁场仍然成立。
积分形式 微分形式
l
l
D H dl ( J )dS S t B E dl dS S t
D H J t
全电流定律
电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律
B E t
S
BdS 0
DdS q
B 0
D
S S S
即
D H J t
上两式称为全电流定律。它表明时变磁场是由传导 电流、运流电流和位移电流共同产生的。 位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变 电场可以产生时变磁场。
讨 论
对全电流定律和位移电流的讨论
时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导电流 外，还有位移电流. 位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变化时，会 形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激发起磁场.
滞后位：由于φ 和A 随时间的变化总是比源落后，因 此，位函数 φ 及 A 通常称为滞后位。
r f t 前式第二项 2 中的因子 v
r t v
意味着场比源
导前，这就不符合先有源后有场的因果关系。
因子 t 又可写为 t t
r v
位于 V 中的体电荷 在
r 处产生的电位为
r r r , t v 1 (r , t ) 4 V r r dV
r' - r r
r'
O x
V'
(r, t)
y
将矢量位方程在直角坐标系中展开，则矢量位 A 各 个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式， 即
整理得
1 2 1 2 J E ( E H ) ( E H ) t 2 2
积分并应用散度定理
1 2 1 2 VJ Ed t V ( 2 E 2 H )d S ( E H ) dS
S
DdS q
D J dS 0 S t
D J 0 t
上式中的
D t
具有电流密度量纲。麦克斯韦将其称为位
移电流密度，以 JD 表示
D J dS 0 S t
D J 0 t
理想导电体的边界条件
J E
已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁通 密度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上 不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，即时
变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁
场必须与其表面相切。
en
et , H E
② ①
en
E H
et ,
H2t JS H1t
S
时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散 的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割
的，因此，时变电磁场是有旋有散场。
在无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在
空间形成电磁波。
时变电场与时变磁场处处相互垂直。
物性方程
为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还
应包括电荷守恒方程以及说明场与介质关系的方程，即
J t
D E
B H
J E J
式中 J 代表电流源或非电的外源。
时变电磁场的边界条件
电场的边界条件
l
B E dl dS S t
S
DdS q
D2n D1n S
2 Ax Ax J x 2 t 2 Ay 2 Ay J y 2 t 2 Az 2 Az J z 2 t
2
每个分量的解结构同前。三个分量合成后，矢量位 A 的解为
r r J r ,t v A(r , t ) 4 V r r dV
E H J t
p J E
E J E ( H ) E t E ( H ) E E t
H E t
( H ) 0 ( E) 0
E E J E ( H ) E ( H ) E E t t 利用矢量恒等式 ( E H ) ( E) H ( H ) E
r v
(r ) v
那么，它又可理解为向负 r 方向传播的波，也就是 来自无限远处的反射波。
面分布及线分布的电荷及电流产生的标量位和矢量
位分别如下：
r r S r , t v 1 (r , t ) 4 S r r dS r r J S r , t v A(r , t ) 4 S r r dS
J E ( E ) H ( E H ) E E t H E H (E H ) E t t
2
E y Ex Ez E 1 E 2 x 1 E y 1 E 2 z ( Ex Ey Ez ) ( ) 其中 E t t t t 2 t 2 t 2 t 1 ( E2) t 2 H 1 2 H ( H ) 同理 t t 2
② ①
因D1n 0 ，得
或
D2n S
en D S
因 H1t 0，求得
H 2t J S
或
en H J S
位函数表示的电磁场方程
静态位
动态位
达朗贝尔方程
方程的解
z
φ (r, t)
O x
rHale Waihona Puke Baidu
2 ( r ) 1 2 ( r ) 2 0 2 2 r v t
dV (r ) 4 π r
r t r v dV f t 可见函数 f1 为 1 4π v
位于原点的时变点电荷的标量位为
d (r , t )
t v
r dV 4π r
z
dV'
r r r , t v
第六章
时变电磁场
主 要 内 容
1，位移电流 2，麦克斯韦方程 3，边界条件
4，位函数方程
5，能量密度与能量密度矢量
6，正弦电磁场
7，麦克斯韦方程的复矢量形式
静电场
E 0
D
时变电场
E B t
D
恒定磁场
H J
时变磁场
H ？
B 0
能流密度矢量的方向表示能量流动方向，其
大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能
量，或者说垂直穿过单位面积的功率，所以
该矢量又称为功率流密度矢量。
能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印廷
矢量。
在无外源 ( J s 0, 0 ) 的区域 V 中，若介质是 线性且各向同性的，则此区域中麦克斯韦方程为
r r l r , t v 1 dl (r , t ) 4 l r r
r r I r , t v dl A(r , t ) 4 l r r
能量密度与能流密度矢量
电场能量密度 磁场能量密度 损耗功率密度
r r
r r v
。
为源点至场点的距离，因此 v 代表电磁波的传播速度。
在真空中 v
1
0 0
299 792 458m/s 3 108 m/s
这就是光速，通常以 c 表示。 电磁辐射：若某一时刻源已消失，只要前一时刻源还 存在，它们原来产生的空间场仍然存在，这就表明源 已将电磁能量释放到空间，这种现象称为电磁辐射。 结论：为了向空间辐射电磁能量，必须使用高频电 推论2 4：时变源的附近，时差很小，场强的变化基本上 ：源变化越快，空间滞后越大，即使在源附近 推论 1 3 ：静止电荷或恒定电流一旦消失，它们产生的场 ：离开时变源的远处，由于时差很大，辐射效 流激励发射天线，而通常 也有显著的电磁辐射。所以似稳场和辐射场的区域划 50Hz的交流电不可能有效 与源同步，所以近处的时变场称为似稳场。 也随之失去，因而静态场称为束缚场，没有辐射作用。 应显著，所以远处的时变场称为辐射场。 地辐射电磁能量。 分不仅取决于空间距离，也和源的变化快慢有关。
B 0
电荷守恒定律与安培环路定理的矛盾
时变场中，电荷守恒定律：
J 0 t
安培环路定理：
H J
H 0
二 者 矛 盾
J 0
电荷守恒定律是更基础的定律，因此时变场中安培环路
定理需要修正！
位移电流
由电荷守恒定律和高斯定理得：
q S J d S t
1 we (r , t ) E 2 (r , t ) 2 1 wm (r , t ) H 2 (r , t ) 2
pl (r , t ) E 2 (r , t )
因此，时变电磁场的能量密度为
w (r , t ) 1 E 2 (r , t ) H 2 (r , t ) 2
en ( D 2 D1 ) S
E1t E2t
en ( E 2 E1 ) 0
磁场的边界条件
l
D H dl ( J )dS S t
S
BdS 0
B1n B2n
en ( B 2 B1 ) 0
H 2t H1t J S
en ( H 2 H1 ) J S
J J dS 0
S D
J JD 0
上式称为全电流连续性原理。
D 0 ，自然不存在位移电流。 对于静电场，由于 t
麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此安培环路 定律变为
C
H dl J C dS JV dS + J D dS