2019届广东省深圳市红岭中学高三第四次模拟考试数学(理)试题(PDF版)
A．[ 2, 2 6]
B．[2, 3 1] C．[2, 2 6] D ． [ 2, 3 1]
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知函数 f(x)＝2－x－x21－，2xx＞，0x，≤0，
若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是
程，相关数据如下表(表中 Yi
ln
yi
，Y
1 10
10 i 1
Yi
)：
10
x
y
Y
xi yi
i 1
10
xiYi
i 1
10
xi2
i 1
-3-
5.5 8.7 1.9
301.4
79.75
385
试选用表中数据，求出 y 关于 x 的回归方程；
②该汽车交易市场 拟定两个收取佣金的方案供选择．
二、填空题： 13．（0,1）
14. -5
15. 8 3 π
16. 12
三、解答题：解答 应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。
17.解：（1）由已知 Sn an n2 n ，①
当n 2时，Sn1 an1 (n 1)2 (n 1) ②
………………………1 分
① ② an =Sn Sn1 an n2 n [an1 (n 1)2 (n 1)
AB
19. (本小题满分 12 分）已知抛物线 x2 py( p 0) 上点 P 处的切线方程为 x y 1 0 ．
（1）求抛物线的 方程；
（2）设 A(x1, y1) 和 B(x2, y2 ) 为抛物线上的两个动点，其中 y1 y2 且 y1 y2 2 ，线段 AB 的垂直平分
形，取 DM 的中点 O ，则 AO DM ，∵面 ADM 面 MBCD ，
∴ AO 平面 MBCD ， MC 平面 MBCD ，∴ AO MC ，………………2 分
连接 ON ， DMN 为正三角形， O 是 MD 中点，
ON DM ， ON 为 DMC 的 中 位 线 ， ∴
（1）当 a 1时，解关于 x 的不等式 f x≤4 ；
-4-
（2）若对任意 x1 R ，都存在 x2 R ，使得不等式 f (x1) g(x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
-5-
红岭中学 2018－2019 学年度第二学期
高三第四次统一 考试
数学（理科）试卷 答案
一、选择题：BACCB ADADB CD
线 l 与 y 轴交于点 T ，求 ABT 面积的最大值．
20．(本小题满分 12 分) 近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场 对 2018 年成交的二手车的交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到如图 1 所示的频 率分布直方图．在图 1 对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率．
红岭中学 2018－2019 学年度第二学期 高三第四次统一 考试 数学（理科）试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．若 z1 1 2 i , z2 1 i，则 z1z2
A． 6
B． 10
C． 6
D． 2
2
2
22 2
MC (0, 3, 0) ，
………………7 分
设 m (x, y, z) 为 平 面 MCP 的 一 个 法 向 量 ， 则 有 MP m = 0 ， MC m 0 ， 即
(
1)x 2
3 y 2
3 2
(1
)
z
0
，令
x
1
，可得，
z
3y 0
甲：对每辆二手车统一收取成交价格的 5% 的佣金； 乙：对使用 8 年以内(含 8 年)的二手车收取成交价格的4% 的佣金，对使用时间 8 年以上(不含 8 年) 的二手车收取成交价格的10% 的佣金．
假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表 1，并用各时间组的
区间中点值代表该 组的各个值．判断该汽车交易市场应 选择哪个方案能获得更多佣金．
1 x1
1 x2
2.
请考生在第 22～23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22． [ 选修 4－4：坐标系与参数方程 ] （10 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，直 线
l
的参数方程为
x
1
3t, (t 为参数 ) ．在以原点 O 为极点， x 轴正
y 1 t
B． [1,5]
C.15，5
D.－∞，15 ∪[5， ＋∞)
12．已知点 F
为双
曲线
E
:
x2 a2
y2 b2
1(a,b
0) 的右焦点，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知直线
y
kx(k
0) 与 E 交于 M
，N
两
点，若 MF NF ，设 MNF ，且 [ , ] ，则该双曲线的离心率的取值范围是 12 6
| m || n | 2
1 ( 2 1 )2 2
3( 1)
解得 2 ，……………11 分 3
当 AP 2 时，二面角 P MC B 的大小为 60 . AB 3
………………………2 分
解得 an-1 =（2 n-1），
………………………4 分
所以 an 2n ， n N * .
（2）由（Ⅰ）得， bn
1 an
=
1 2n
， n N*
.
………………………6 分 ………………………7 分
所以
cn
bn
bn1
1 4
1
nn 1
1 4
ON //MC ，故 MC DM ， AO DM O
∴ CM 平面 ADM
………………4 分
（2）由（1）可知， AO DM ， ON DM ，
以 O 为坐标原点，以 OM ,ON ,OA 方向为 x, y, z 轴
的
正方向，建立空间直角坐标系 O xyz 如图所示， 不妨设 AB 2AD 2 ,
1 n
1 n 1
，
………………………9 分
所以 Tn
1 4
1
1 2
1 2
1 3
…
1 n
1 n 1
1 4
1
1 n 1
n. （4 n 1）
……………………12 分
18. 解：（1）连接 OA,ON ，因为 AB 2AD, DAB 60 ， M 是 AB 的中点，所以 ADM 是正三角
________ ．
14．(1＋x＋
x2
)x－1x
6
的展开式中的常数项为
________．
15.已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30 ，若△SAB 的面积为 8 ，
则该圆锥的侧面积 为__________．
16. 在△ABC 中，若 BC=6，AB=2AC, 则△ABC 的面积的最大值为__________．
1 ln x
C．k>6?
D ．k<7?
A．
B．
C．
D．
7．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被击中，则它是被甲
击中的概率为
A．0.45
B．0.6
C． 0.65
D． 0.75
8．如图是三棱锥 DABC 的三视图，点 O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线 DO 和 AB 所成角的
半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2cos ．
（1）求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 P , Q 两点，求 POQ ． 23. [ 选修 4－5：不等式选讲 ] （10 分）
已知函数 f (x) x a2 x 2a 3 ， g(x) x2 ax 4 ， aR ．
2 1 3( 1)
所以 m (1, 0, 2 1 ) ， 3( 1)
………………9 分
易知 n (0, 0,1) 为平面 BMC 的一个法向量，因为二面角 P MC B 的大小为 60 ，
| 2 1 |
所以有 | m n | 1 ,即
3( 1) 1 ，
21.(本小题满分 12 分）已知函数 f (x) ex ax a (a R) .
(1)求函数 f ( x) 的极值；
(2)令函数 g(x) f (x) a(x 1) ,若直线 y m (m 0) 与 y g(x) 的图象相交于不同的两点 x
A(x1,m), B(x2,m) ,证明：
图1
图2
（1）若在该交易市场随机选取 3 辆 2018 年成交的二手车，求恰有 2 辆使用年限在(8 ,16] 的概率；
（2）根据该汽车交易市场往年的数据，得到图 2 所示的散点图，其中 x (单位：年)表示二手车的使用 时间， y (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．
①由散点图判断，可采用 y eabx 作为该交易市场二手车平均交易价格 y 关于其使用年限 x 的回归方
18. (本小题满分 12 分） 如图1，平行四边形 ABCD 中， AB 2AD ， DAB 60 ， M 是 A B 的中
2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷—理科数学(四)附参考答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学（四）本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若集合{012}A =，， ，2{1}B x =， ，则满足A B B =I 的实数x 的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．42． 若复数12i z =+，则1z= A ．12i 55-B ．12i 55+ C ．21i 55- D ．21i 55+ 3．函数()sin f x x x =-的一条对称轴为A ．0x =B ．6x π=C ．3x π=D ．56x π=4． 函数()1(0)31xmf x x =+≠-是奇函数，则实数m 的值是 A ．1 B ．2 C ．1-D ．2-5． 在ABC ∆中，“π2C =”是“sin cos A B =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． 在ABC ∆中，D 为AB 的中点，E 在CD 上，||2BE CD BE ⊥=u u u r，，则AC BE ⋅=u u u r u u u r A ．4B ．4-C．-D ．8-7． 若执行如图所示的程序框图，则输出的x y ，A ．2y x =B ．12x y +=C ．2(1)y x =+D ．22xy =+1正视图侧视图俯视图8．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，若2112nn na a++=，则63SS=A．7-B．9C．7-或9D．29．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为AB．2πC．4πD．5π10．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，当0x>时，3()()0f x xf x'+>恒成立，若3()()g x x f x=，令12251(log)(log2)(e)ea gb gc g-===，，，则有A．a b c<<B．b a c<<C．b c a<<D．c b a<<11．甲、乙、丙、丁、戊五人要在周一至周五晚上值班，每天晚上安排一人值班，且每人只值班一个晚上．已知乙不值周一、周二、周四；丙不值周二、周三、周四；丁不值周三、周四、周五；戊不值周五，则不同的值班方案种数为A．6B．7C．8D．912．已知ABC∆与111A B C∆的最长边都为3，且ABC∆的三内角的正弦值与111A B C∆的三内角的余弦值相等，那么这样的ABC∆与111A B C∆A．不存在B．只有一对C．只有两对D．无数对二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某公司A，B两个车间共有员工1050名，从该公司的所有员工中随机抽取1名，抽到B车间员工的概率为521．现用分层抽样的方法在该公司抽取84名员工，应在A车间中抽取的员工人数是．14．曲线上某点的法线是指经过这点并且与该点处切线垂直的直线，则曲线e cosxy x=⋅在0x=处的法线方程为．15．若x，y满足约束条件24010x yx yy--⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则464xyz=的最大值为．16．若双曲线2222:1()x yC a ba b-=>>0，0与直线1:1l x y-=和直线2:22l x=都只有一个公共点，则双曲线C的方程是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
广东省深圳市红岭中学2019届高三第四次模拟考试理综合试题+Word版含答案
红岭中学2019届高三年级第四次统一考试理科综合试卷( 说明:本试卷考试时间为150分钟，满分为300分 )第I卷 ( 选择题共126分 )相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Al-27 S-32 Cl-35.5 Fe-56 Bi-209一、选择题：（本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列关于细胞结构和功能的叙述，正确的是A．人体细胞的线粒体内膜蛋白质与脂质的比值小于外膜B．由纤维素组成的细胞骨架与细胞形态的维持有关C．质壁分离复原后的细胞，其细胞液浓度等于外界溶液浓度D．生物与无机环境之间物质和能量的交换是以细胞代谢为基础的2．在狐群中，有一伴性的复等位基因系列，包括B A：灰红色，B：野生型呈蓝色，b：巧克力色，它们之间的显性是完全的，次序是B A>B>b。
基因型B A b的狐的皮毛呈灰红色，有时在它们的皮毛上也会出现巧克力色的斑点，下列有关分析不正确的是A．某些细胞中染色体区段缺失可能是导致灰红色皮毛中出现巧克力斑点的原因B．某些细胞中基因隐性突变可能是导致灰红色皮毛中出现巧克力斑点的原因C．选择巧克力色的雌狐和蓝色的雄狐交配，可验证控制皮毛颜色的基因位于X染色体上D．狐群中，控制体色的基因型有12种，表现型有3种，雌狐中的纯合子有3种基因型3．2017年，三个美国科学家揭秘生命的“生物钟”获得诺贝尔生理学奖。
人体除了人脑主生物钟外, 还存在肝脏、胰腺等局部生物钟,如肝脏生物钟能影响肝糖原的分解。
下列叙述正确的是A．与生物节律控制有关的中枢存在于脑干中，该结构还具有分泌功能B．糖尿病的发生可能与维持血糖平衡的肝脏生物钟失调有关C．活跃在人脑中的主生物钟基因不存在于肝脏、胰腺等组织细胞中D．若小鼠肝脏生物钟基因被敲除，小鼠一定会出现高血糖4．下列关于种群数量的变化、群落的结构和演替的叙述，正确的是A．稳定型种群的数量不可能低于K值B．种群数量呈“S”型增长的过程中，在达到K值之前就是呈“J”型增长C．近岸区和湖心区生物分布的差异，构成群落的水平结构D．演替过程中，生产者固定的太阳能总量一直逐渐增加5．金链花由于受到能分泌细胞分裂素类似物的病原体的侵袭，侧芽生长失控，形成大量分支，称为“扫帚病”。
2019-2020学年广东省深圳四校联考高三(下)月考数学(理科)试题Word版含解析
2019-2020学年广东省深圳四校联考高三（下）月考数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2．已知复数z满足（z﹣1）i=i+1，则z在复平面内所对应的点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四3．已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x；命题q：∀x∈（0，），sinx＜x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）4．执行如图所示的程序框图，如果输入n=7，m=4，则输出的p等于（）A．120 B．360 C．840 D．10085．已知{an }为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S4=（）A．29 B．30 C．31 D．336．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称7．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为（）A．20πB．24πC．16πD．18π8．一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＜b且c＜b 时称为“凸数”．若a，b，c∈{5，6，7，8，9}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数abc，则它为“凸数”的概率是（）A．B．C．D．9．二项式（n∈N）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，边长为2的正方形 A BCD的顶点 A，B分别在两条互相垂直的射线 OP，OQ上滑动，则的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．811．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x12．已知数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj +ai与aj﹣ai两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则a1=0；④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2，其中真命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．由曲线y=x2与y=x3所围成的封闭图形的面积是．14．已知x，y满足约束条件，若2x+y+k≥0恒成立，则实数k的取值范围为．15．已知点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，9）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是．16．已知函数f（x）=，则关于x的方程f[f（x）]+k=0给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有1个实根；②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是（把所有满足要求的命题序号都填上）．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若|﹣|=2，求△ABC面积的最大值．18．正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E、F分别为BB1，AB的中点，设=λ．（Ⅰ）求证：平面A1CF⊥平面A1EF；（Ⅱ）若二面角F﹣EA1﹣C的平面角为，求实数λ的值，并判断此时二面角E﹣CF﹣A1是否为直二面角，请说明理由．19．《中国好声音》每期节目有四位导师A，B，C，D参与．其规则是导师坐在特定的座椅上且背对歌手认真倾听其演唱，若每位参赛选手在演唱完之前有导师欣赏而为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练；若出现多位导师为同一位学员转身，则选择权反转，交由学员自行选择导师，已知某期《中国好声音》中，8位选手唱完后，四位导师为其转身的情况统计如下：（记转身为T）现从这8位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况．（1）求选出的两人获得导师为其转身的人次和为4的概率；（2）记选出的2人获得导师为其转身的人次之和为X，求X的分布列及数学期望E（X）导A B C D师选手1T T2T T T T3T4T T5T T T6T T7T T T T8T T T20．已知椭圆： +=1，离心率为，点A，B分别是椭圆与x轴，y轴的交点，且原点O到AB的距离为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）F是椭圆的右焦点，过F的直线l交椭圆于M，N两点，当直线l绕着点F转动过程中，试问在直线l′：x=3上是否存在点P，使得△PMN是以P为顶点的等腰直角三角形，若存在求出直线l的方程，不存在说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣aln（x+2），g（x）=xe x，且f（x）存在两个极值点x1、x2，其中x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）求g（x1﹣x2）的最小值；（3）证明不等式：f（x1）+x2＞0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标标系xoy中，已知曲线（α为参数，α∈R），在以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线=，曲线C3：ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；（Ⅱ）设A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2019-2020学年广东省深圳四校联考高三（下）月考数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3] C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=[﹣1，2）．故选：C．2．已知复数z满足（z﹣1）i=i+1，则z在复平面内所对应的点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z对应的点的坐标可得答案．【解答】解：由（z﹣1）i=i+1，得．则z在复平面内所对应的点的坐标为：（2，﹣1），位于第四象限．故选：D．3．已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x；命题q：∀x∈（0，），sinx＜x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】结合函数的单调性及图象分别判断p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可，【解答】解：因为当x＜0时，，所以命题p为假，从而￢p为真．因为当x∈（0，）时，即x＞sinx，所以命题q为真，所以（￢p）∧q为真，故选C．4．执行如图所示的程序框图，如果输入n=7，m=4，则输出的p等于（）A．120 B．360 C．840 D．1008【考点】EF：程序框图．【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【解答】解：模拟执行程序，可得n=7，m=4，k=1，p=1，p=4，满足条件k＜m，执行循环体，k=2，p=20，满足条件k＜m，执行循环体，k=3，p=120，满足条件k＜m，执行循环体，k=4，p=840，不满足条件k＜m，退出循环，输出p的值为840．故选：C．5．已知{an }为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S4=（）A．29 B．30 C．31 D．33【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{an }的公比为q，由a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，可得=2a1，，联立解出，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an }的公比为q，∵a2a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，∴=2a1， =a4+2a7，即，解得：a1=16，q=．则S4==30．故选：B．6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用正弦函数的周期性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得f （x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx=sin（2x++φ）的图象，∴+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）．由于当x=时，函数f（x）=0，故A不满足条件，而C满足条件；令x=，求得函数f（x）=sin=，故B、D不满足条件，故选：C．7．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为（）A．20πB．24πC．16πD．18π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，由此能求出以A （B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积．【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，如图，取CD中点E，连结AE，作OF⊥平面ABC，交AE于F，则F是△ACD的重心，由题意知AE==2，AF=，OF==，设G为四面体的外接球的球心、球半径为R，则G在直线OF上，且OG=AG=R，∴由AG2=AF2+GF2，得：R2=（）2+（﹣R）2，解得R=，∴以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为S=4πR2=24π．故选：B．8．一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＜b且c＜b 时称为“凸数”．若a，b，c∈{5，6，7，8，9}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数abc，则它为“凸数”的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意，分析“凸数”的定义，在{5，6，7，8，9}的5个整数中任取3个不同的数，将最大的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上就构成一个“凸数”，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．【解答】解：a，b，c∈{5，6，7，8，9}，且a，b，c互不相同，基本事件总数n==60，在{5，6，7，8，9}的5个整数中任取3个不同的数，将最大的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上就构成一个“凸数”，3×2=20种情况，故“凸数”有C5任取一个三位数abc，它为“凸数”的概率p=．故选：D．9．二项式（n∈N）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，利用等差数列得到关于n的等式，求出n的值，将n的值代入通项，令x的指数为整数，得到r的值，得到展开式中有理项的项数．【解答】解；展开式的通项，前三项的系数分别为2n，∵前3项的系数成等差数列∴解得n=8，∴展开式的通项为，要项为有理项，需x的指数为整数∴r=0，4，8为有理项故选C．10．如图，边长为2的正方形 A BCD的顶点 A，B分别在两条互相垂直的射线 OP，OQ上滑动，则的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】令∠OAB=θ，由边长为2的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，可得出D，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的数量积，通过三角函数的最值求解即可．【解答】解：如图：令OP为x轴，OQ为y轴，∠OAB=θ，由于AB=2故0A=2cosθ，OB=2sin θ，如图∠DAX=﹣θ，AB=2，故xD =2cosθ+2cos（﹣θ）=2cosθ+2sinθ，yD=2sin（﹣θ）=2cosθ故=2（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（2sinθ，2cosθ+2sinθ），即=2（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=4（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=4+4sin2θ，•的最大值是8．故选：D．11．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，故选：C．12．已知数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj +ai与aj﹣ai两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P；③若数列A具有性质P，则a1=0；④若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2，其中真命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】8B：数列的应用．【分析】根据数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj +ai与aj﹣ai两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确．【解答】解：∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj +ai与aj﹣ai两数中至少有一个是该数列中的项，①数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3﹣a2=3﹣1=2都不是该数列中的数，故①不正确；②数列0，2，4，6，aj +ai与aj﹣ai（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a4﹣a3=2是该数列中的项，故②正确；③若数列A具有性质P，则an +an=2an与an﹣an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3，而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④∵数列a1，a2，a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3∴a1+a3与a3﹣a1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0，1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3，∴a1=0，易知a2+a3不是该数列的项∴a3﹣a2=a2，∴a1+a3=2a22°若a3﹣a1是该数列中的一项，则a3﹣a1=a1或a2或a3①若a3﹣a1=a3同1°，②若a3﹣a1=a2，则a3=a2，与a2＜a3矛盾，③a3﹣a1=a1，则a3=2a1综上a1+a3=2a2，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．由曲线y=x2与y=x3所围成的封闭图形的面积是．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫1（x2﹣x3）dx即可．【解答】解：由题意得：所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═（﹣）|1=，故答案为：．14．已知x，y满足约束条件，若2x+y+k≥0恒成立，则实数k的取值范围为k≥6 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】2x+y+k≥0恒成立，即k≥﹣2x﹣y的最大值，所以只要利用线性规划问题，结合z=﹣2x﹣y的几何意义求其最大值即可．【解答】解：由题意，不等式组对应的平面区，设z=﹣2x﹣y，即y=﹣2x﹣z，将图中虚线平移，当过A时，z最大，由得到A（﹣2，﹣2），所以z的最大值为﹣2×（﹣2）﹣（﹣2）=6，所以k≥6；故答案为：k≥6．15．已知点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，9）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】由题意，|MA|=|OA|，可得A的纵坐标，利用△ABO为等边三角形，求出A的横坐标，根据点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，即可求出p的值．【解答】解：由题意，|MA|=|OA|，∴A的纵坐标为4.5，∵△ABO为等边三角形，∴A的横坐标为，∵点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，∴=2p×∴p=．故答案为．16．已知函数f（x）=，则关于x的方程f[f（x）]+k=0给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有1个实根；②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实根；③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根；④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是①②③（把所有满足要求的命题序号都填上）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由解析式判断出f（x）的正负，再求出f[f（x）]的解析式，根据指数函数的图象画出此函数的图象，根据方程根的几何意义和图象，判断出方程根的个数以及对应的k的范围，便可以判断出命题的真假．【解答】解：当∈[0，1）时，f（x）＜0，当∈（﹣∞，0）∪[1，+∞）时，f（x）＞0，∴f[f（x）]=，画出此函数的图象如下图：∵f[f（x）]+k=0，∴f[f（x）]=﹣k，由图得，当﹣1＜﹣k＜0时，方程恰有1个实根；当﹣k＞2或﹣k=0时，方程恰有2个实根，当0＜﹣k≤2时，方程恰有3个实根，故①②③正确．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若|﹣|=2，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（I）=，由正弦定理可得： ===，化简利用余弦定理即可得出．（Ⅱ）取 BC中点D，则，在△ADC中，AD2=AC2+CD2﹣2 AC•CDcosC，化简利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵=，由正弦定理可得： ===，化为：a2﹣c2=ab﹣b2，∴cosC==，C∈（0，π）．∴．（Ⅱ）取 BC中点D，则，在△ADC中，AD2=AC2+CD2﹣2 AC•CDcosC，即，∴ab≤8，当且仅当a=4，b=2时取等号．此时，其最大值为．18．正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E、F分别为BB1，AB的中点，设=λ．（Ⅰ）求证：平面A1CF⊥平面A1EF；（Ⅱ）若二面角F﹣EA1﹣C的平面角为，求实数λ的值，并判断此时二面角E﹣CF﹣A1是否为直二面角，请说明理由．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；MT：二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）证明CF⊥平面A1EF，即可证明：平面A1CF⊥平面A1EF；（Ⅱ）如图，以F为坐标原点，，方向为x轴，y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，求出λ=，由定义则∠EFA1为二面角E﹣CF﹣A1的平面角，即可得出结论．【解答】（I）证明：因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥平面ABC．所以AA1⊥CF，又△ABC是正三角形，F为AB中点，所以CF⊥AB，故CF⊥平面A1EF，又CF⊂平面A1CF，所以平面A1CF⊥平面A1EF．…（II）解：如图，以F为坐标原点，，方向为x轴，y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，由题意AA1=2λ．则F（0，0，0），A1（﹣1，0，2λ），E（1，0，λ），C（0，，0），=（﹣1，，﹣λ），=（0，，0），=（2，0，﹣λ）…设平面EA1C的法向量=（x，y，z），则，令z=2，则=（）…由（1）可知=（0，，0）为平面A1EF的一个法向量，故cos=，计算可得：λ=…由（1）可知EF⊥CF，A1F⊥CF，由定义则∠EFA1为二面角E﹣CF﹣A1的平面角，…此时由勾股定理：EF=，A1F=，AE=，…满足EF2+A1F2=AE2，则∠EFA1=，此时二面角E﹣CF﹣A1为直二面角…19．《中国好声音》每期节目有四位导师A ，B ，C ，D 参与．其规则是导师坐在特定的座椅上且背对歌手认真倾听其演唱，若每位参赛选手在演唱完之前有导师欣赏而为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练；若出现多位导师为同一位学员转身，则选择权反转，交由学员自行选择导师，已知某期《中国好声音》中，8位选手唱完后，四位导师为其转身的情况统计如下：（记转身为T ）现从这8位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况． （1）求选出的两人获得导师为其转身的人次和为4的概率；（2）记选出的2人获得导师为其转身的人次之和为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ） 导师 选手 A B C D1T T 2 TT TT3T4 TT 5 T TT6 TT 7 TT T T 8TTT【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；CG ：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设8位选手中，2，7有4位导师为其转身；5，8有3位导师为其转身；1，4，6有2位导师为其转身；3只有1位导师为其转身．从8人中随机抽取两人有种情况，由此能求出其中选出的2人获得导师为其转身人次和为4的概率．（2）X的所有可能取值为3，4，5，6，7，8，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设8位选手中，2，7有4位导师为其转身；5，8有3位导师为其转身；1，4，6有2位导师为其转身；3只有1位导师为其转身．从8人中随机抽取两人有种情况，…其中选出的2人获得导师为其转身人次和为4的有种，…设事件A：“选出的2人获得导师为其转身人次和为4”，故所求概率为P（A）=，…答：选出的2人获得导师为其转身人次和为4的概率为．…（2）X的所有可能取值为3，4，5，6，7，8 …P（X=3）==，P（X=4）=，P（X=5）==，P（X=6）==，P（X=7）==，P（X=8）==，…所以X的分布列为：X345678PE（X）=+=．…20．已知椭圆： +=1，离心率为，点A，B分别是椭圆与x轴，y轴的交点，且原点O到AB的距离为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）F是椭圆的右焦点，过F的直线l交椭圆于M，N两点，当直线l绕着点F转动过程中，试问在直线l′：x=3上是否存在点P，使得△PMN是以P为顶点的等腰直角三角形，若存在求出直线l的方程，不存在说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（I）根据题意列方程解出a，b即可得出椭圆方程；（II）当l无斜率时，验证（3，0）是否满足条件，当直线有斜率时，设出l的点斜式方程y=k（x﹣2），联立方程组消元，求出MN及MN的中点坐标D，若存在符合条件的点P（3，y），则PD⊥MN，且PD=，列出方程组得出关于k和y的方程，求出方程的解即可．【解答】解：（I）∵点A，B分别是椭圆与x轴，y轴的交点，∴AB=，∵椭圆离心率为，原点O到AB的距离为，∴，解得a2=6，b2=2，∴椭圆方程为．（II）由椭圆方程可知椭圆右焦点F（2，0）．设MN的中点为D，①若直线l无斜率，则直线l的方程为x=2，把x=2代入椭圆方程得y=±，∴MN=，若直线l′：x=3上存在点P使得△PMN是以P为顶点的等腰直角三角形，则PM=PN，故P（3，0）．PM=1，显然PM≠MN，即PM，PN不垂直．②若直线l有斜率，设l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x﹣2）．联立方程组，消元得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．∴D（，），MN===．假设直线l′：x=3上存在点P（3，y）使得△PMN是以P为顶点的等腰直角三角形，则．若PD⊥MN，则，∴y+=﹣（3﹣）．若PD=MN，则=，∴|3﹣|=．∴3=，∴=﹣．无解．综上，直线l′：x=3上不存在点P，使得△PMN是以P为顶点的等腰直角三角形．21．设函数f（x）=x2﹣aln（x+2），g（x）=xe x，且f（x）存在两个极值点x1、x2，其中x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）求g（x1﹣x2）的最小值；（3）证明不等式：f（x1）+x2＞0．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）f（x）存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点；（2）先找出（x1﹣x2）的取值范围，再利用g（x）的导函数可找出最小值；（3）适当构造函数，并注意x1与x2的关系，转化为函数求最大值问题，证明相关不等式．【解答】（1）解：由题：f′（x）=2x﹣（x＞﹣2）．∵f（x）存在两个极值点x1、x2，其中x1＜x2∴关于x的方程2x﹣=0，即2x2+4x﹣a=0在（﹣2，+∞）内有不等实根令S（x）=2x2+4x（x＞﹣2），T（x）=a，则﹣2＜a＜0，∴实数a的取值范围是（﹣2，0）；（2）解：由（1）可知∴g（x）=xe x得g（x）=（x+1）e x∴当x∈（﹣2，﹣1）时，g′（x）＜0，即g（x）在（﹣2，﹣1）单调递减；当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，即g（x）在（﹣1，0）单调递增∴g（x1﹣x2）min=g（﹣1）=﹣（3）证明：由（1）知，∴=令﹣x2=x，则0＜x＜1且F（x）=﹣x﹣F′（x）=﹣1+（0＜x＜1）∴G（x）=（0＜x＜1）G′（x）=﹣=∵0＜x＜1，∴G′（x）=﹣∵0＜x＜1，∴G′（x）＜0，即F′（x）在（0，1）上是减函数．∴F′（x）＞F′（1）＞0，∴F（x）在（0，1）上是增函数∴F（x）＜F（1）=﹣1，即，即f（x1）+x2＞0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标标系xoy中，已知曲线（α为参数，α∈R），在以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线=，曲线C3：ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；（Ⅱ）设A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程，联立方程组能求出曲线C1与C2的交点M的直角坐标．（Ⅱ）曲线C3是以C（1，0）为圆心，半径r=1的圆，求出圆心C3到直线x+y+1=0的距离d，由此能求出|AB|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）曲线（α为参数，α∈R），消去参数α，得：y=﹣﹣（x﹣1）2，x∈[0，2]，①∵曲线=，∴ρcosθ+ρsinθ+1=0，∴曲线C2：x+y+1=0，②，联立①②，消去y可得：4x2﹣12x+5=0，解得x=或x=（舍去），∴M（）．…（Ⅱ）曲线C 3：ρ=2cos θ，即ρ2=2ρcos θ，∴曲线C 3：（x ﹣1）2+y 2=1，是以C 3（1，0）为圆心，半径r=1的圆 圆心C 3到直线x+y+1=0的距离为d=，∴|AB|的最小值为．…[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣a|，a ∈R ．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f （x ）≥6﹣|2x ﹣5|；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s 和t 满足2s+t=a ，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f （x ）≥6﹣|2x ﹣5|，可化为|x ﹣2|+|2x ﹣5|≥6． ①x ≥2.5时，不等式可化为x ﹣2+2x ﹣5≥6，∴x ≥；②2≤x ＜2.5，不等式可化为x ﹣2+5﹣2x ≥6，∴x ∈∅； ③x ＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x ≥6，∴x ≤， 综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f （x ）≤4的解集为[a ﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3， ∴=（）（2s+t ）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．。
2019年高考数学四模试题 理(含解析)新人教 版新版
2019高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．162．已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C． D．3．对于实数x，y，若p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣15．据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.99876．已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A．B．C．D．7．已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．8．执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出K 的值为10，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．x ＞50？B ．x ＞90？C ．x ＞100？D ．x ＞200？9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（ ） A ．96里 B ．48里 C ．12里 D ．6里10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数在[0，2）上的最大值为a ，在（2，4]上的最小值为b ，则a+b=（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．212．P 是双曲线C ：x 2﹣y 2=2左支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 2是双曲线C 的右焦点，则|PF 2|+|PQ|的最小值为（ ）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），则圆M直径的长为．14．已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则= ．15．下列命题中，正确的命题有．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．16．已知数列{a n}满足，则数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，则数列{a n•b n}的前n项和T n= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？18．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f （n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．21．已知f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的单调区间；（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）若曲线为参数）与曲线C1相交于两点A，B，求|AB|；（2）若M是曲线C1上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求（x+1）（y+1）的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|ax﹣1|，若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]．（1）求实数a的值；（2）若x+y+z=a（x，y，z∈（0，+∞）），求的最小值．2017年辽宁省实验中学高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【考点】16：子集与真子集．【分析】由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得x，根据x∈Z，可得x，A．即可得出．【解答】解：由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得﹣1≤x＜2，又x∈Z，可得x=﹣1，0，1，∴A={﹣1，0，1}．∴集合A的子集的个数为23=8．故选：B．2．已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C． D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数Z得答案．【解答】解：Z==，则复数Z的共轭复数是：．故选：D．3．对于实数x，y，若p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由已知可得p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．【解答】解：p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣1【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】T r+1==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．可得|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5，对，令x=1，即可得出．【解答】解：T r+1==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．对，令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5=（1﹣1）2=0．故选：A．5．据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.9987【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性得出P（X＞2300），从而可得P（X≤2300）．【解答】解：P=0.9974，∴P（X＞2300）=（1﹣0.9974）=0.0013，∴P（X≤2300）=1﹣0.0013=0.9987．故选D．6．已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A．B．C．D．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】根据几何概型的概率计算公式得出阴影部分的面积，再根据定积分的几何意义得出答案．【解答】解：矩形部分的面积为S矩形=2×3=6，由题意可知： ==，∴S阴影==．∴=S阴影=．故选B．7．已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用数量积公式求向量夹角，得到所求．【解答】解：建立空间直角坐标系如图，设PA=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），P（2，2，2）．所以E（3，1，），F（3，3，），所以=（3，1，），=（﹣1，3，），所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为： =；故选：C．8．执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出K的值为10，则判断框内可填入的条件是（）A．x＞50？B．x＞90？C．x＞100？ D．x＞200？【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，K=0执行循环体，x=3，K=2不满足条件，执行循环体，x=9，K=4不满足条件，执行循环体，x=21，K=6不满足条件，执行循环体，x=45，K=8，不满足条件，执行循环体，x=93，K=10由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出K的值为10．可得判断框内可填入的条件是：x＞90？故选：B．9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（）A．96里B．48里C．12里D．6里【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1=192，∴=6．故选：D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，根据图中数据计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，所以几何体的体积为： =；故选C．11．已知函数在[0，2）上的最大值为a，在（2，4]上的最小值为b，则a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由函数g（x）=在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减，函数h（x）=cos在[0，4]单调递减，可得函数在[0，2），（2，4]上单调性，即可求得a，b即可．【解答】解：函数g（x）=，函数g（x）是函数y=向右平移2个单位，向上平移1个单位，故函数g（x）在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减；对于函数h（x）=cos，由2k（k∈Z），得8k≤x≤8k+4，故函数h（x）在[0，4]单调递减．∴函数在[0，2）上单调递减，故其最大值为f（0）=a，∴a=1，函数在（2，4]上单调递减，其最小值为f（4）=b，∴b=1．所以a+b=2，故选D．12．P是双曲线C：x2﹣y2=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F2是双曲线C的右焦点，则|PF2|+|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的ab，c，以及一条渐近线方程，运用双曲线的定义，可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，依题意，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，从而可求得|PF2|+|PQ|的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的a=b=，c=2，一条渐近线l方程为x﹣y=0，设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，∴|PF2|=|PF1|+2，∴|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，可得F1（﹣2，0）到l的距离d==，∴|PQ|+|PF2|的最小值为2+=3．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），则圆M直径的长为10 ．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2﹣4f＞0），代入三点的坐标，解方程可得d，e，f，再化为标准式，可得圆的半径，进而得到直径．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2﹣4f＞0）圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），可得，解方程可得d=﹣2，e=4，f=﹣20，即圆的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，即为（x﹣1）2+（y+2）2=25，即有圆的半径为5，直径为10．故答案为：10．14．已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设出向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，以及三角函数的平方关系得到cosα，再由数量积公式求得．【解答】解：设向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，得到，整理得到sin，代入sin2α+cos2α=1得到cosα=，所以||===；故答案为：15．下列命题中，正确的命题有②④．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点判断①错误；根据方差是表示数据波动大小的量，判断②正确；用相关指数R2刻画回归效果时，R2越接近1说明模型的拟合效果越好判断③错误；根据系统抽样原理求出第1组中抽取的号码值，判断④正确．【解答】解：对于①，回归直线恒过样本点的中心，不一定过任一样本点，∴①错误；对于②，因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，∴②正确；对于③，用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，∴③错误；对于④，根据系统抽样原理，样本间隔为=8，第16组抽出的号码为15×8+a0=126，解得a0=6，即第1组中抽取的号码为6号，④正确．综上，正确的命题序号是②④．故答案为：②④．16．已知数列{a n}满足，则数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，则数列{a n•b n}的前n项和T n= ．【考点】8E：数列的求和．【分析】对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，求得n=1的情况，当n≥2时，将n换为n﹣1，相减求得b n=n，可得a n•b n=n•2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：∵数列{a n}满足，由b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，①令n=1，则b1a1=2﹣﹣1，解得b1=．∵b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，当n≥2时，b1a n﹣1+b2a n﹣2+…+b n﹣2a2+b n﹣1a1=2n﹣1﹣（n﹣1）﹣1，将上式两边同乘公比2得，b1a n+b2a n﹣1+…b n﹣1a2=2n﹣n﹣1．②①﹣②可得：b n a1=n，（n≥2），由a1=2，可得b n=n，对n=1也成立，则a n•b n=n•2n，T n=（1•2+2•22+3•23+…+n•2n），可得2T n=（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1），两式相减可得﹣T n=（2+22+23+24+…+2n﹣n•2n+1）=（﹣n•2n+1），化简可得T n=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）解△BCP，利用BCP中，，在△ABC中，由正弦定理求得；（2）利用正弦定理和余弦定理，分别解△BCD，求得∠CDB．【解答】解：（1）在△BCP中，在△ABC中，由正弦定理得：，所以，船的航行速度是每小时千米．（2）在△BCD中，由余弦定理得：，在△BCD中，由正弦定理得：，所以，山顶位于D处南偏东1350．18．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f （n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元，由此能求出甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式f（n），g（n）．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为45，从而乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为115元，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．由此推荐小赵去乙快递公式应聘．【解答】解：（1）甲快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y=70+n，n∈N+，∴f（n）=y=70+n，n∈N+．乙快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：．∴g（n）=．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，，，所以X的分布列为：②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45，所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为70+45×1=115（元），由①知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．故推荐小赵去乙快递公式应聘．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出A1B⊥AC，AB⊥AC，从而AC⊥平面A1ABB1，由此能证明AC⊥BB1．（2）过点A作AY∥A1B，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AB⊥AC，A1B∩AB=B，∴AC⊥平面A1ABB1，∵BB1⊂平面A1ABB1，∴AC⊥BB1．解：（2）过点A作AY∥A1B，∵A1B⊥平面ABC，∴AY⊥平面ABC，又AB⊥AC，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），由，得B1（4，0，2），C1（2，2，2），M为B1C1的中点，M（3，1，2），，设平在ABM的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得平面ABM的法向量，，平面ABA1的法向量，∴，设二面角M﹣AB﹣A1的平面角为θ，由图知θ锐角，∴二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值为．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，点Q在FO的垂直平分线上，运用点到直线的距离，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；（2）设A，B的坐标，运用向量的坐标运算，设直线l：x=my﹣1，并代入到y2=4x中，运用韦达定理，可得m和λ，运用对勾函数的单调性，可得4m2的范围，求出AB的垂直平分线方程，令y=0，结合不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（1）F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点（，0），根据题意，点Q在FO的垂直平分线上，所以点Q到准线x=﹣的距离为，所以C：y2=4x．（2）设，①设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，所以y1+y2=4m，y1y2=4，②由①②可得4m2==λ++2，由2≤λ≤3可得y=λ++2递增，即有4m2∈[，]，又AB中点（2m2﹣1，2m），所以直线AB的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），令y=0，可得．21．已知f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的单调区间；（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，利用函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，求a，b的值，利用导数的正负讨论f（x）在[0，π]上的增减性；（2）由（Ⅰ）的单调性，设，推导F（x）的单调性，由x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，结合单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，f（x）的导数为f′（x）=2﹣2ax﹣bsinx，可得⇔⇔，所以，①当时，1﹣x ≥0，1﹣sinx ≥0，可得f′（x ）＞0，所以f （x ）在为增函数；②当时，，所以f （x ）在为减函数；（2）由（1）得f （x ）在为增函数，在上为减函数，所以，由f'（x ）在恒为负，，设，则，所以F'（x ）＞0，所以F （x ）在递增，，当时，f （x ）＜f （π﹣x ），所以f （x 1）＜f （π﹣x 1），又f （x 2）=f （x 1），所以，又f （x ）在上为减函数，所以x 2＞π﹣x 1，所以x 1+x 2＞π，所以，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ．（1）若曲线为参数）与曲线C 1相交于两点A ，B ，求|AB|；（2）若M 是曲线C 1上的动点，且点M 的直角坐标为（x ，y ），求（x+1）（y+1）的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数）可化为为参数），代入，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．（2）M（x，y）在曲线C1上，设为参数），可得（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令，则，代入化简即可得出．【解答】解：（1）C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数）可化为为参数），代入，得，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，则，∴．（2）M（x，y）在曲线C1上，设为参数）则（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令，则，那么，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|ax﹣1|，若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]．（1）求实数a的值；（2）若x+y+z=a（x，y，z∈（0，+∞）），求的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出x的范围，结合不等式的解集，求出对应a的值即可；（2）求出x+y=1﹣z，根据z的范围，求出u的最小值即可．【解答】解：（1）|ax﹣1|≤2⇒﹣2≤ax﹣1≤2⇔﹣1≤ax≤3，当a＞0时，，当a＜0时，，此时无解，当a=0时，也无解．（2）由x+y+z=1⇒x+y=1﹣z，z∈（0，1），则，所以，此时．。
广东省深圳市2019届高三第四次模拟考试数学(理)试题
广东省深圳市2019届高三第四次模拟考试数学（理科）试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若112z =+i , 21z =-i ，则12z z = A ．6BCD2．已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．43.向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，(a ＋b)⊥(2a －b)，则向量a 与b 的夹角为 A ．45° B．60° C ．90° D ．120°4．设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是 A ．[0,2]B ．[0,3]C ．[–3,2]D ． [–3,0]5．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入A ．k <6?B ． k >7?C ．k >6?D ．k <7? 6.函数1ln sin 1ln xy x x-=⋅+的图象大致为A ．B ．C ．D ． 7．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.758．如图是三棱锥D ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于A.33B.12C. 3D.229.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A (1,1)，B (0，－1)，则|PA |＋|PB |的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．510．将函数f (x )＝2cos2x 的图象向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是 A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π811．已知函数f (x )＝(e x－e －x)x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞)12．已知点F 为双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>的右焦点，已知直线(0)y kx k =>与E 交于M ，N 两点，若MF NF ⊥，设MNF β∠=，且[,]126ππβ∈，则该双曲线的离心率的取值范围是A ．B ．1]C ．D ． 1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届深圳市红岭中学高三第四次模拟考试数学(理)试卷及答案
A．9
B．8
C． 5
D．4
3.向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝ 2，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量 a 与 b 的夹角为 A．45° B．60° C．90° D． 120°
3 x 2 y 6 0 x0 4．设 x，y 满足约束条件 ，则 z x y 的取值范围是 y0
AP 为何值时，二面角 P MC B 的大小为 60 . AB
- 3 - / 15
19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 抛 物 线 x2 py( p 0) 上 点 P 处 的 切 线 方 程 为
x y 1 0．
（1）求抛物线的方程； （2）设 A( x1, y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 为抛物线上的两个动点，其中 y1 y2 且 y1 y2 2 ，线 段 AB 的垂直平分线 l 与 y 轴交于点 T ，求 ABT 面积的最大值． 20．(本小题满分 12 分) 近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅 猛发展．某汽车交易市场对 2018 年成交的二手车的交易前的使用时间（以下简称 “使用时间”）进行统计，得到如图 1 所示的频率分布直方图．在图 1 对使用时 间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率．
图1
图2
（1） 若在该交易市场随机选取 3 辆 2018 年成交的二手车， 求恰有 2 辆使用年 限在 (8 ,16] 的概率； （2） 根据该汽车交易市场往年的数据， 得到图 2 所示的散点图，其中 x (单位： 年)表示二手车的使用时间， y (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价 格． ①由散点图判断，可采用 y eabx 作为该交易市场二手车平均交易价格 y 关于 其使用年限 x 的回归方程，相关数据如下表(表中 Yi ln yi ， Y
《精品》广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第四次联考数学(理)试题
2019届高三六校第四次联考试题理科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知全集U R=，集合{}ln(1)A x y x==-，集合{}220B x x x=->，则UA CB = A．()0,1 B．()1,2C．(]1,2D．()2,+∞2．已知等差数列{}n a前5项的和为15，57a=，则1a=A．3-B．1- C．1D．33．函数()()2sin03f x xπωω⎛⎫=->⎪⎝⎭的部分图象如右图所示，则5(0)()12f fπ+=A． B． C．D．4．若aR∈，则“1a=”是“复数a iz ia i-=-+为纯虚数”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下方茎叶图为高三某班50名学生的数学考试成绩，算法框图中输入的i a为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是A．38,12m n==B．26,12m n==C．12,12m n==D．24,10m n==6. 直线()2y k x=+与圆224x y+=相交于A，B两点，若OA OB AB+>，则实数k的范围为A．()(),11,-∞-+∞B．()1,1-C．((),2,-∞+∞D．(7．函数)3lny x x=+的图象大致为2211+A ．B ．C ．D ．8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱），已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如下所示（三视图用粗实线表示，网格纸上小正方形的边长为1），则剩下部分的体积是 A ． 25.5 B ．37.5 C ．50 D ．75 9．已知()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为2-，则该展开式 中x 的系数为A ．48B ．-32C ．-80D ．-11210. 如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内 随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为 A ．B ．C ．D ．11. 已知双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a 的右焦点为(,0)F c ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B 、C 两点，过B 作AC 的垂线交x 轴于 点D ，若D 到直线BC 的距离小于a c +，则双曲线的离心率的取值范围是 A ．(]1,2 B ．()1,2 C．(D ．(12．若函数12()(0)()2ln (0)x x f x xx x a x ⎧+<⎪=⎨⎪->⎩恰有三个零点，则a 的取值范围为 A ．1[,0]e - B ．（10e ,） C ．1[0,]eD ．（10e ,-）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量a ＝(,2)x ，b ＝()1,1-，且a 在b，则x =_________.14．若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≥≤，则2z x y =+的取值范围是______.15．在长方体1111ABCD A B C D -中，124AA AB BC ===，E 是线段AB 上的点，若34BE BA =，则点1D 到面1ECC 的距离d =_________.16．如图，在△ABC 中，已知点D 在边BC 上，且∠DAC＝90°，sin ∠BAC ，AB ＝AD＝3．则sin ADC ∠=_________.)0,1(A B 132+=x y OABC 21314152三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）在数列{}n a 中，132a =，()()()*138412n n n a a n N n n n ++=-∈++． （1）设()11n n b a n n =-+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．18. （本小题满分12分）在正四棱锥P ABCD -中，M 是PA 的中点，O 为BD 与AC 的交点，且OM PA ⊥. （1）证明:平面PAB ⊥平面BMD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.19. （本小题满分12分）已知抛物线1C 和椭圆2C 都经过点，它们的焦点都在轴上，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的方程（2）已知动直线过点，交抛物线1C 于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.20. （本小题满分12分）已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲、乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．()1,2M x l ()3,0P ,A B x l 'AP l '（1）将甲每天生产的次品数记为x （单位：件），日利润记为y （单位：元），写出y 与x 的函数关系式； （2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，①记X 表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X 的分布列和数学期望；②有人说：“甲、乙两名工人生产的产品中平均每天至少有1件次品”，请问：这个人说的是真的吗？并简单说明你的理由.21. （本小题满分12分）已知函数()()()021ln >+++=a ax ax x f （1）讨论函数()x f 在()∞+，0上的单调性；（2）若0a >且()x f 存在两个极值点，记作21,x x ，若()()421>+x f x f ，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程直线l 的参数方程为：2123x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线()1:2cos 0C a a ρθ=>关于直线l 对称． (1)求a 的值；(2)将曲线1C 向左平移4个单位长度，按照x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩变换得到曲线2C ，曲线2C 与两坐标轴交于两点，为曲线2C 上任一点，求的面积的最大值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知． （1）解关于的不等式； （2）对任意正数，求使得不等式恒成立的的取值集合.2019届高三六校第四次联考理科数学参考答案一、 选择题：CBAC BACB DADD二、 填空题： 4； [4,)+∞； 13；3三、 解答题：17. 解：（1）()()()*138412n n n a a n N n n n ++=-∈++ ()()()()()()142414412112n n n n n a a a n n n n n n n ++-∴=-=-++++++…………………2分 ()()()1114121n n a a n n n n +⎡⎤∴-=-⎢⎥+++⎣⎦即14n n b b += …………………4分 111112b a =-=⨯ ……………………………………………5分 所以，数列 是以1为首项，以4为公比的等比数列 ……………………………6分（2）由（1）知：14n n b -=，()1141n n a n n -∴=++…………………………………………7分()21111114441223341n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………8分 ()()21111114441223341n n n -⎛⎫=+++++++++⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯+⎝⎭…………………9分 141111111114223341n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦………………………11分 41142113131n n n n -+=+-=-++ ……………………………………………12分18.（1）证明：在正四棱锥P ABCD -中,有ＢＤ⊥ＡＣ，PO ⊥平面ABCD则ＢＤ⊥ＰＯ 直线ＡＣ，ＰＯ是面PAC 内相交直线所以，ＢＤ⊥平面ＰＡＣ， …………………………2分 又ＰＡ⊂平面ＰＡＣ，则ＢＤ⊥ＰＡ，因为ＰＡ⊥ＭＯ，ＭＯI ＢＤ＝Ｏ，ＭＯ、ＢＤ⊂平面ＢＭＤ，∴ＰＡ⊥平面ＢＤＭ， …………………………………4分 ＰＡ⊂平面ＰＡＢ，所以平面PAB ⊥平面BMD ………5分 (2)过Ｐ作平面PAB 与平面PCD 的交线l ，Q ＣＤ//ＡＢ，ＡＢ⊂平面ＰＡＢ，ＣＤ⊄平面ＰＡＢ ∴ＣＤ//平面ＰＡＢ，由ＣＤ⊂平面ＰＣＤ，平面ＰＣＤI 平面ＰＡＢ＝l ，∴ＣＤ//l ，ＡＢ//l , …………………………………7分取ＡＢ，ＣＤ的中点Ｅ、Ｆ，连接ＰＥ，ＰＦ，则ＰＥ⊥ＡＢ，ＰＦ⊥ＣＤ，即ＰＥ⊥l ，ＰＦ⊥l ∴∠ＥＰＦ为所求的二面角， ……………………………………………………9分 设ＡＢ＝1，由Ｍ为ＰＡ中点，且ＢＭ⊥ＰＡ，得ＰＡ＝ＰＢ＝ＡＢ＝1即正四棱锥的所有棱长都相等，且都等于1，…………………………………………10分∴1, 331144cos 3324EPF +-∠==⨯∴平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为13.…………………………12分法二: 如图以Ｏ为原点，ＯＢ，ＯＣ，ＯＰ分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，，由Ｍ为ＰＡ中点，且ＢＭ⊥,ＰＯ＝ＯＡ＝1， 则Ａ（0，-1，0），Ｂ（1，0，0），Ｃ（0，1，0），Ｄ（-1，0，0），Ｐ（0，0，1）………7分(0,1,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,0,PA PB PC PD =--=-=-=-u u r uu u r u u u r u u u r设平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ的法向量分别为(,,),(n x y z m a ==r u r则00n PA n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩r uur g r uu u rg 即0000y z x z --=⎧⎨+-=⎩取x=1则(1,1,1),n =-r 00m PC m PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r uuu r g u r uu ur g 即0000b c a c +-=⎧⎨-+-=⎩取a=1则(1,1,1),m =--u r …10∴1cos ,3||,||n m n m n m <>===-r u rr u r g r u r……11分由于平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成的二面角的平面角为锐角，∴平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为13. ………………………………12分 19. 解：（1）设抛物线1C 方程为，将代入方程得由题意知椭圆2C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F 1c ∴= ………………………………3分 对于椭圆，∴1a =22(13a ==+2222b a c =-=+ 221=………………………………………5分 （2）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为令………………6分 12DC AP ∴== 1131(3)222x CH a x a +=-=+-…………8分22222211111[(3)][(3)2]44DH DC CH x y x a ∴=-=-+-+-222111111(3)(3)(3)44x x x a x a =-+-+++- 21(2)3a x a a =--+ …………10分要使2DE DH =为定值,即上式与1x 无关,所以2a =……11分此时，2DE DH ==, 直线l '的方程2x =()220y px p =>()1,2M 2p =24y x ∴= 抛物线方程为: 1222a MF MF =+=+AP C l x a =AP l ',D E DE H ()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C y20. 解（1）∵甲每天生产的次品数为x ，∴损失30x 元，………………………………………1分 则其生产的正品数为100x -，获得的利润为()20100x -元，……………………………………2分 因而y 与x 的函数关系式为()2010030200050y x x x =--=-，其中02x ≤≤，x ∈N ． ……4分 （2）①同理，对于乙来说，200050y x =-，02x ≤≤，x ∈N ．由2000501950x -≥，得1x ≤， ∴X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，∴X 的可能值为0，1，2， ……6分又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为503041005+=，乙1天中生产的次品数不超过1的概率为4030710010+=，∴()133051050P X ==⨯=，()431719151051050P X ==⨯+⨯=，()4725102508P X ==⨯=，∴随机变量X∴()30125050502E X =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………………10分 ②这个人说的是真的， ………………………………………………………11分理由如下：从题中表格可知：甲、乙两人在100天中共有的次品3020230302160+⨯++⨯=件，平均每天1.6件，所以这个人说的是对的.（或记甲、乙两人在1天中的次品数为Y ，用频率作为概率，求得期望() 1.61E Y =>，所以这个人说的是对的） …………………………………………………12分 在第2①中，若没有逐个计算每个X 的概率，直接得出的分布列，扣2分21. 解：（1）()()()()()222,121211a x x a a x a x a x x f ++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯++= (※)…………………………1分 当2≥a 时，()()()()2,2210,01x a a x fx x x a +-+>∴=>++，函数()x f 在()∞+，0上是增函数………2分当20<<a 时，由()0,=x f 得()022=-+a a x ，解得()a a x --=21（舍）()a a x -=22所以当()2,0x x ∈时，()022<-+a a x ，从而()0,<x f ，函数()x f 在()2,0x 上是减函数；当()+∞∈,2x x 时，()022>-+a a x ，从而()0,>x f ，函数()x f 在()+∞,2x 上是增函数 综上，当2≥a 时，函数()x f 在()∞+，0上是增函数；当20<<a 时，函数()x f 在()()a a -20，上是减函数，在()()+∞-,2a a 上是增函数 …………4分（2）由（1）知，当2≥a 时，()0,>x f ，函数()x f 无极值点………………………………5分 若()x f 存在两个极值点，又由a 为正数必有20<<a ， 由（1）知: 极值点为()a a x --=21，20x =>依题意10a ⎧>-⎪⎨+≠⎪⎩，得1≠a , 所以a 的取值范围是()()2,11,0 ………………7分由()()()()2,2201x a a f x x x a +-==++即()220x a a +-=，得()⎩⎨⎧-=⋅=+202121a a x x x x ()()()()a x a x a x a x x f x f +++++++=+22112121ln 21ln ()()()22121212121221ln a x x a x x a x x a x x x x +++++++++=()[]()222241ln a a a a a +-+-=()[]2121ln 2--+-=a a 不等式()()421>+x f x f 化为()[]02121ln 2>--+-a a …………………………………………9分 令()()()2,11,01 ∈=-a t a 所以()()1,00,1 -∈t当()0,1-∈t 时，()()()02,0ln ,22ln 2<<--+-=tt t t t g ，所以()0<t g ，不合题意…………10分当()1,0∈t 时，()22ln 2-+=t t t g ，()()012121222,<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯=t t t t t g 所以()t g 在()1,0上是减函数，所以()()02121ln 21=-+=>g t g ，适合题意，综上， a 的取值范围是()2,1 ………………………………………………………12分22.解：（1）直线l ：消去，得普通方程：. …………………………………1分曲线()1:2cos 0C a a ρθ=>化直角坐标方程为：，…………………3分由题知：曲线1C 的圆心()1,0C a 在直线l 上， ∴ ， ……………………………4分（2）曲线1C ：向左平移4个单位长度得：，按变换后得：. …………………………………5分 ∴曲线2C ：与两轴交点，， ∴. ………………………6分易得：：，设到的距离为.则.当时，有最大值. ……………………………9分∴. …………………………………10分23. 解：（1），由 解得 或. ……………………………………………………………4分（2）∵.当时等号成立， ……………………………………………………………6分由题知：. 解得2433x -<< ∴的取值集合为. ………………………………………………10分。
2019-2020年高三第四次模拟考试 数学(理) 含答案
绝密★启用前2019-2020年高三第四次模拟考试数学（理）含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，则A． B. C. D.2．已知，则在复平面内，复数所对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量，，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知成等差数列，成等比数列，则等于A. B. C. C. 或5．已知，，则函数为增函数的概率是A. B. C. D.6．已知一个几何体的正视图和俯视图如右图所示,正视图是边长为2a的正三角形,俯视图是边长为a 的正六边形,则该几何体的侧视图的面积为A．B．C．D．7．执行如下图的程序框图，则输出的值P=A．12B．10C．8D．68．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点. 若|AF|=3，则 AOB的面积为A．B．C．D．9．设，满足约束条件，若目标函数（，）的最小值为，则的最大值是A．B．C．D．10．若函数在是增函数，则的取值范围是A． B. C. D.11．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形。
2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析
2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.函数的最小正周期为 .【知识点】三角函数的周期性及其求法. 【答案解析】解析 ：解：函数的最小正周期为. 【思路点拨】根据的周期等于，求得结果．2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为 . 【知识点】复数相等的充要条件．【答案解析】解析 ：解：∵复数满足（为虚数单位），∴()()211223i i i z i i i -++=+=+=--，∴，故答案为：．【思路点拨】先解出复数的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，进行运算．【典型总结】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数． 3.抛物线的准线方程是 ． 【知识点】抛物线的简单性质．【答案解析】解析 ：解：由题得，所以：所以，故准线方程为：．故答案为. 【思路点拨】先把其转化为标准形式，求出即可得到其准线方程． 4．集合{3,2},{,},{2},aA B a b AB A B ====若则 ．【知识点】集合的交集与并集.【答案解析】解析 ：解：因为,所以，，则. 所以,故答案为.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素，所以由可确定，然后就可以确定的值.5.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析 ：解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环． 此时S=3+6+12=21，故输出的S 值为21．故答案为：21．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环，得到S 的值即可．6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .()()()()()()222222141817181818181820182118⎡⎤-+-+-+-+-+-+⎣⎦ 7．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 【知识点】古典概型及其计算公式的应用.【答案解析】解析 ：解：某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，∵这4名应聘者被录用的机会均等，∴A ，B 两人都不被录用的概率为， ∴A ，B 两人中至少有1人被录用的概率． 故答案为：．【思路点拨】先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率，再用间接法求出甲、乙两人中至少有1人被录用的概率．8．已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则 . 【知识点】简单线性规划．【答案解析】-6解析 ：解：画出可行域第5题将变形为，画出直线平移至点时，纵截距最大，最大，联立方程得33k xk y， 代入− +3×(−)＝8，∴． 故答案为.【思路点拨】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点时，纵截距最大，最大．9.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点.若, 则AB 的长为 . 【知识点】向量的运算法则;数量积运算法;一元二次方程的解法. 【答案解析】解析 ：解：∵1,,2AC AB AD BEBC CE ADAB ∴221111222AC BEAB AD ADAB ADAD AB AB ， ∴，＞0，解得＝．故答案为：．【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出． 10.已知正四面体的棱长为，则它的外接球的表面积的值为 ．【知识点】球内接多面体．【答案解析】解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球， 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：， ∴棱长为的正四面体的外接球半径为． 所以外接球的表面积为，故答案为.【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积． 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是__________． 【知识点】函数奇偶性的性质．【答案解析】解析 ：解：当x ＞0时，与题意不符， 当时，又∵是定义在上的奇函数，∴1221x x f x f x f x f x ，，，1121<222x x ，＜，不等式的解集是．故答案【思路点拨】是指定义在R 上的函12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ． 33b 解得为：．33，求13．已知实数满足，则的最大值为 ． 【知识点】基本不等式的应用. 【答案解析】4解析 ：解：∵， ∴41322x y xy x y ,则 解得：∴的最大值为4,故答案为：4【思路点拨】先对等式进行变形化简，然后利用进行求出的范围，即可求出所求． 14．数列满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中为常数．若实数使得数列为等差数列或等比数列，数列的前项和为，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ． 【知识点】数列的判定；等比数列的前n 项和.【答案解析】10解析 ：解：21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1 则,由累加法得：2n1nn1a a 22222解得,显然，当n=1时也适合，故．故存在实数=1，使得数列为等比数列，其通项公式为, 故121222201412n n nS ，解得，则满足的值为的最小正整数n s n 2014 10，故答案为10. 【思路点拨】21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，进行分类考虑：①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1则其通项公式为,再由故，解得，可得结论.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本题满分14分)如图所示⑵若,,弦函数．【答案解析】⑴ ⑵解析 ：解：⑴由三角函数的定义知 ∴.又由三角函数线知,为第一象限角，，24116177tan 224173177. (2) ，∵，ABCFE D∴． ∵sinsin cos cos sin ＝＝．又∵，∴＝．【思路点拨】（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出，然后再求； （Ⅱ）由，求出的正弦值，根据，求出．16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】（1）见解析（2）a 3 解析 ：解：（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分 同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分 又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分 因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分 （2）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ∥CF ．又DC ⊥CF ，所以S △CEF ＝DC •CF ＝×4a ×2a ＝4a 2． 在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则 PQ ∥BC ，PQ=BC=2a ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ，所以BC ⊥平面CEF ，即PQ ⊥平面CEF ， 亦即P 到平面CEF 的距离为PQ=2a V PCEF ＝V P −CEF ＝PQ •S △CEF ＝•4a 2•2a ＝a 3．（注：本题亦可利用V P −CEF ＝V B −CEF ＝V E −BCF ＝V D −BCF ＝DC •BC •CF ＝a 3求得） 【思路点拨】（1）证明平面PCF 内的直线PC ，垂直平面PDE 内的两条相交直线DE ，PD ，就证明了平面PCF ⊥平面PDE ；（2）说明P 到平面PCEF 的距离为PQ=2a ，求出S △CEF ＝DC •CF 的面积，然后求四面体PCEF 的体积．17．(本题满分14分)已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点恰B好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8. （1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程． 【答案解析】（1）（2）解析 ：解：解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈, 得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由, 解得F （3,0）…………… 2分设椭圆的方程为, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为.…………… 6分（2）因为点在椭圆上运动,所以,…………… 8分 从而圆心到直线的距离.所以直线与圆恒相交, …………… 10分 又直线被圆截得的弦长为L ===分由于,所以,则,即直线被圆截得的弦长的取值范围是…………… 14分【思路点拨】（1）可将直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈改写为(23)(4312)0x y k x y --++-=由于k ∈R 故即F （3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C 的标准方程．（2）要证明当点在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交只需证明圆心到直线的距离.而要求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围,可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式,再结合参数的取值范围即可得解． 18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝，AB ＝1，BC ＝．点M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△MN ，使顶点落 在边BC 上(点和B 点不重合).设∠AMN ＝．(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2) 求线段长度的最小值．【知识点】解三角形的实际应用． 【答案解析】(1) , (2) 解析 ：解：解：（1）设，则．…………2分 在Rt △MB 中，，…………4分∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，点和B 点不重合，∴…7分 (2) 在△AMN 中，由∠AMN=θ，可得∠ANM= ,∴根据正弦定理得：2sinsin3ANMA ，∴122sin sin3AN令2132sin sin2sinsin cos 322t ，459060230150＜＜，＜＜，当且仅当时，有最大值,则θ=60°时，AN 有最小值为，即线段长度的最小值为．【思路点拨】（1）设，则，在Rt △MBA'中，利用三角函数可求；（2）求线段A'N 长度的最小值，即求线段AN 长度的最小值，再利用三角恒等变换化简，从而求最值．19．设函数（），．(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围； (3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断． 【答案解析】（1）（2）（3） 解析 ：解：（1）因为，所以，令 得：，此时，…………2分 则点到直线的距离为，即=4分(2)解法一 不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个， 等价于（1-a 2）x 2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a 2＜0，令h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1，由h （0）=1＞0且h （1）=-a 2＜0（a ＞0）， 所以函数h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解，故h （-2）＞0，h （-3）≤0，解之得． 解法二不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a 2） x 2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a 2＜0，即 a ＞1， ∴（1-a 2） x 2-2x+1=[（（1-a ）x-1][（1+a ）x-1]＞0， 所以 ，又因为 0＜＜1， 所以 −3≤＜−2，解之得．（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x -+=-==．所以当时，；当时，．因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点． …………12分 设与存在 “分界线”，方程为， 由，对x ∈R 恒成立， 则在x ∈R 恒成立．所以成立，因此 k=．…（10分） 下面证明恒成立． 设，则．所以当 时，G ′（x ）＞0；当 x ＞ 时，G ′（x ）＜0． 因此 x= 时，G （x ）取得最大值0，则成立． 故所求“分界线”方程为：．【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式解决即可（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；（3）设F (x )＝f (x )−g (x )＝x 2−elnx ，利用导数知识判断单调性，求出时，F （x ） 取得最小值0．设f （x ）与g （x ）存在“分界线”，方程为，由，对x ∈R 恒成立，求得k=．再利用导数证明成立，从而得到所求“分界线”方程． 20．（本小题满分16分）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）试确定的值，使得数列为等差数列；（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用． 【答案解析】（1）（2） (3) 满足题意的正整数仅有.解析 ：解：（1）………………………………………………………4分 （2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tnn b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-=则由，得……………………………………………………7分 当时，，由，所以数列为等差数列………9分（3）因为，可得不合题意，合题意…………11分当时，若后添入的数，则一定不符合题意，从而必是数列 中的一项，则（2+2+…………+2）+(…………)=即………………………………………………………………13分 记则k k f k212)2(ln 2)('--=，1+2+2+…………+2=，所以当时，=1+2+2+…………+2+1>1+2,又.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有.…………………………………………16分25130 622A 截37186 9142 酂31381 7A95 窕F 21112 5278 剸433444 82A4 芤21558 5436 吶25939 6553 敓27809 6CA1 没x}30765 782D 砭q。
广东省深圳市红岭中学-度高三第四次考试理科数学试卷
红岭中学2007－2008学年度第一学期数学试卷(理科)(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)一、选择题（本大题共８小题４０分）1.函数1lg -=x xy 的定义域是 A..),0(+∞ B.),1(+∞ C.),1()1,0(+∞⋃ D. ),0[+∞２. 已知sin α=，则22sin cos αα-的值为 A ．15-B ．35-C ．15D ．35３. 在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若12AD DB CD CA CB λ==+，，则λ= A ．23B ．12C ．12-D ．23-４. 数列{a n }中，若1,1211=+=+a a a a n nn ，则a 6 =A ．13B ．131 C ．11 D ．111 ５某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为A ．0.9，34B ．0.9，35C ．0.1，34D ．0.1，35６．如图，该程序运行后输出的结果为 ( )A ．1B ．10C ．19D ．28７. 已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，若过右焦点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是0 13 14 15 16 17 18 19 秒A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛332,1 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,332 C ．[)+∞,2 D ．（1,2）８. 如图，在∠AOB 的两边上分别为A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段A i B j （1≤i≤4,1≤j≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有“和睦线”的对数是A ．60B ．62C ．72D ．124 二、填空题（本大题共6小题30分）９． “2>x ”是“x x 22>”的 条件.(填:充分而不必要条件或必要而不充分条件或充分不必要条件或既不充分也不必要条件中的一个) １０.7)1(xx -展开式中第４项的系数等于 . １１.函数y=cosx )22(ππ≤≤-x 的图像与x 轴围成的封闭图形的面积是 .１２. 已知62322=+y x ,则y x +2的最大值是 . １３. 正三棱锥P-ABC 的高为4，侧棱与底面ABC 成4π角，则点A 到侧面PBC 的距离为_____． １４. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n 个格点，则称函数()x f 为n 阶格点函数，已知函数：①2x y =；②x y ln =；③12-=xy ；④x y cos =；⑤⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin πx y ；⑥. x x y 1+=其中为一阶格点函数的序号为三、解答题（本大题共6小题，满分80分）15.（本题满分12分） 在ABC ∆中,a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边．若4,2π==C a ，53cos =B ，求ABC ∆的面积S ．１６. （本题满分12分）甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2…、n(n≥2)的n 个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为1和n 的概率为.121 （1）求n 的值；（2）现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，则得分为1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的2个小球得分之和为ξ，求ξ的数学期望E ξ.１７. （本小题满分14分）直三棱柱ABC —A1B1C1中，侧棱CC 1 = 2，∠BAC = 90°，2==AC AB ，M 是棱BC 的中点，N 是CC 1中点，求（1）二面角B 1—AN —M 的余弦函数值； （2）C 1到平面AMN 的距离.18. （本小题满分14分）设21F F 、分别为椭圆C ：12222=+by a x 的左、右两个焦点。