二元一次方程组及其解法沪科版
沪科版七年级数学上册课件二元一次方程组及其解法
其解法
2023/5/10
旧知温习
含有一个未知数，并且未知数的次 数是1 系数不等于0的整式方程叫做一 元一次方程。
方程ax+b=0(a≠0）叫做一元一 次方程的标准形式。
使方程左、右两边相等的未知 数的值，叫做方程的解。
自学指导：
认真看课本P98~101内容完成：
4、方程组
的解是（ ）
课堂练习
s=1 2、若 t=-2
是方程
S 2
-
t -k=0 3
的解，则k值为 ( B )
A、
-1 6
C
、
1 6
B
、
7 6
D、 -7 6
3、关于x、y的方程ax2+bx+2y=3 是一个二元一次方程，
则a、b的值为（ C ）
A 、a=0且 b=0 B、 a=0或 b=0 C、 a=0且 b≠0 D、a≠0且 b≠0
m=__-_1___，n=___83___；
思考：.求二元一次方程2X+Y=10的 所有正整数解.
一、方程中含有两个未知数(x和y), 并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫
你有哪些收 做二元一次方程。
二、把两个一次方程合在一起后共有两个
未知数，就组成获了给一个大二元家一分次方程组。 享一下 三、使二元一次方程两边的值相等的两
4、已知方程 ⑴5x+3y=7 ⑵ 5x-7=2
⑶ 2xy=1 ⑷ x2-y=1
⑸ 5(x-y)+2(2x-3y)=4
⑹ 1 =2 x+y
其中二元一次方程的个数是 （ B ）
A 、1 B、 2 C、 3 D、 4
2024年秋新沪科版七年级上册数学教学课件 3.4 二元一次方程组及其解法 第1课时 二元一次方程组
探索新知
问题1：“鸡兔同笼”是我国古代数学 著作《孙子算经》上的一道题. 今有鸡 兔同笼，上有三十五头，下有九十四 足，问鸡兔各几何. 思考1：如何列一元一次方程？ 解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只.
2x+4(35-x)=94
思考2：问题中有两个未知数，能不能根据题意直接设两 个未知数，使列方程变得容易呢？ 分析：鸡的只数+兔的只数=总头数
x+y=50，
①
10x+3y=290.
②
随堂练习
1.已知2xa-5-(b-2)y|b|-1=4是关于x，y的二元一次方程，则 a-2b=___1_0____.
2.若
y a 1 x 5,
y
a
b 5
xy
3
是关于x，y的二元一次方程组，则
a=__﹣___1___，b=____5____.
3.根据题意，列出二元一次方程组：【教材P109 练习 第1题】 （1）小华买了60分与80分的邮票共10枚，花了7元2角，那 么60分和80分的邮票各买了多少枚?
鸡的脚数+兔的脚数=总脚数 解：设鸡有x只，兔有y只.
x+y=35 2x+4y=94
观察下面的方程： x+y=35 2x+4y=94
1.它们有什么共同特征？ 2.它与你学过的一元一次方程比较有什么区别？ 3.你能给它起个名字吗？
二元一次方程
x+y=35 2x+4y=94
定义：含有两个未知数的一次方程 叫作二元一次方程.
D.
xy
7
看两个方程是否为整式方程
看方程组是否一共含有两个未知数
看含未知数的项的次数是否都是1
问题2：某班同学在植树节时植樟树和白 杨树共50棵. 已知樟树苗每棵10元，白杨 树苗每棵3元，购买这些树苗用了290元. 樟树苗、白杨树苗各买了多少棵?
二元一次方程组及其解法第3课时PPT课件(沪科版)
(4) x y 9， 23
x-y=12．
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤：变形
同一个未知数的系 数相同或互为相反数
加减
消去一个元
求解 求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有 代入法、加减法.
再见碑
2x + y - x - y＝15
x+0y ＝15 x=15
参考小丽的思路，怎样解 下面的二元一次方程组呢？
①
②
分析：
视察方程组中的两个方程，未知数x的系数
相等，都是2．把这两个方程两边分别相减， 就可以消去未知数x，同样得到一个一元一
次方程．
①
②
解：把 ②－①得8y＝－8 y＝－1
把y ＝－1代入①，得 2x－5╳（－1）＝7 解得x＝1
解得
｛ 因此原方程组的解是
想一想，在本题中，你怎样去消去y呢？
解一解：用加减消元法解方程组
｛4x +2y =-5 ① 5x -3y =-9 ②
我们可
以用① ×3 +② ×2 来消
去y.
具体的解题过程你来动手试一试吧！
想一想，在本题中，你又怎样去消去x呢？
上面这些方程组的特点是什么? 解这类方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
沪科版七年级上册
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什一么元？
主要步骤：
变形
用一个未知数的代数式
表示另一个未知数
沪科版七年级上册数学二元一次方程组及其解法例题与解析
3.3 二元一次方程组及其解法1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy ＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】 下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m 3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点 理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B 3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧 用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解． 谈重点 运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】 已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x－3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③ 把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6， 解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法 (1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律 解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21， 解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8，y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1y ＋5，5y －13x ＋5.分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200， 化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112， 106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧 用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】 已知2ay ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2xm －1y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2xm －1y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1. 答案：－1【例6－3】 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律 注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解． 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)． 用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11； 当y ＝4时，x ＝6； 当y ＝7时，x ＝1. 原方程所有的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1.答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本． 8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。
沪科版七年级数学上册二元一次方程组及其解法课件(共18张)
解：
①×2，得：
4x＋6y=38
③
②×3，得：
9x－6y＝27 ④
加减法消元时,先 要把相同未知数的系数 化 把x＝5代入①，得：
y＝3 ∴原方程组的解是 x=5
y=3
课堂小结
用加减法解二元一次方程组的步骤：
(1).利用等式性质把一个或两个方程的两边都 乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数 的系数，使其绝对值相等；
9u=18
解得 u ＝ 2
把u＝ 2 代入①得 3×2+2t=7
解得 t ＝ 0.5 所以这个方程组的解是
t 0.5 u
(2)
a 2b 3 a 3b 4
① ②
解：②-①， 得 b=1
把b＝ 1 代入①得 a+2×1=3
解得
a＝ 1
a 1 所以这个方程组的解是 b 1
例1、用加减法解二元一次方程组
利用相反数相加消去一个未知数
① 左边 +左边 ② = ①右边 + ② 右边
5x+6y +（5x-6y）=81 + 9
10x=90 把x=9代入① y=6
X=9，
｛5x ＋6y =81 ① 5x －6y =9 ②
再视察上面方程组中方程(1)与方程(2)，又可以发 现什么？
利用相同数相减消去一个未知数
(2).把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相 减，消去一个未知数，得一元一次方程；
(3).解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ；
(4).把所求的这个未知的值代入方程组中较为简 便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方 程的解 .
1、 用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知
沪科版七年级数学上册二元一次方程组及其解法教材配套教学课件
3.3 二元一次方程组及其解法
1
啥叫方程组？
答：方程中的未知数同时满足多个方程，我们把方程们联立起来叫做方
程组。方程组一般用大 括号“{ }”括起来，写成如下情势
2
啥叫二元一次方程组？
答：一共有两个未知数，且最高次数为1次，均同时满足多个方程，叫做二元一次方程组
注意：二元一次方程组未知数一定有两个，次数也一定是一次，但方程的个数可以超过2个
【利用二元一次方程组的定义】
1.若(a-3)x+y| a |-2=9是关于x，y的二元一次方程，则a是多少？
解：由题意有| a |-2=1，则a=±3
当a=3时，a-3=0，此时是一元一次方程，不合题意
当a= -3时，原方程变为-6x+y=9，符合题意
综上，a= -3
【利用二元一次方程组的定义】
【整体消元法】
1.解方程组ቐ
+ =
①
− ( + ) = ②
解：由①，x+2y=14 ③
把③代入②中，得3x-14=10，x=8
代入③中，得y=3，所以ቊ
=
=
4
二元一次方程组有哪四种解法？
（3）加减消元法：利用两个方程中相同的部分相加减，消去一个未知数(消元)，
举例如下：
【加减消元法】
− + = −
1.解方程组൝
+ =
①
②
解：② - ①，得10y=30，y=3
代入①中，得-12+2x= - 6，x=3
所以ቊ
=
= −
4
二元一次方程组有哪四种解法？
（4）乘除加减消元法：两式没有相同部分，不能直接加减时，
3.4 二元一次方程组及其解法(一)(课件)沪科版(2024)数学七年级上册
知1－讲
知1－练
例1 下列方程：① 4x－y=8；② xy=2；③ x+ 3y=3；
④ 3－2y=z；⑤ x2+y=6.
其中二元一次方程有( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
解题秘方：紧扣二元一次方程的定义去识别．
知1－练
解：②中含未知数的项 xy 的次数是 2；③不是整 式方程；⑤含未知数的项 x2， y 中， x2 的次数不 是 1. ① 4x－y=8，④ 3－2y=z 符合二元一次方程 的定义 . 所以二元一次方程共有 2 个． 答案：B
A. ቊ5x2+x2+y5=y1=08，
B. ቊ2x5+x5+y2=y1=08，
C. ቊ5x2+x5+y5=y1=08，
D. ቊ5x2+x2+y2=y1=08，
ቐ1 x
+y=1；
③
2x+z=0，
ቐ3x－y=
1 5
；
④
൝x 2
x=5，
+
y 3
=7；
⑤
ቊxx有
()
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
知3－练
解题秘方：紧扣二元一次方程组的定义进行识别 . 解：方程组①中第一个方程含有未知数的项 xy 的 次数不是1；方程组②中第二个方程不是整式方程； 方程组③中共有 3 个未知数 . 只有方程组④⑤满 足，其中方程组⑤中的 π 是常数 .
③
x+2y=4，
ቐ1 x
+y=2；
④
ቊ2xx2+－y=y=3，5.
知3－练
例4 [母题 教材 P109 练习 T1(3) ]某中学组织七年级学生春 游，原计划租用 45 座客车若干辆，但有 15 人没有座 位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆，且 其余客车恰好坐满 . 试问七年级学生人数是多少？原 计划租用 45 座客车多少辆？ (只列方程组)
2024七年级数学上册第3章3.4二元一次方程组及其解法第1课时二元一次方程(组)课件新版沪科版
= + ，
理由：把ቊ
代入方程3 x －5 y ＋4＝0的左
= +
边，得15 m ＋6－15 m －10＋4＝0，而方程右边＝0，
所以左边＝右边，即小明发现的结论正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
返回
15. [新考法 创设情境法]某城市出租车的收费标准：行程不
【解】由题意，得 m2－4＝0， m ＋2≠0且 m ＋1≠0，
解得 m ＝2，故当 m ＝2时，方程为二元一次方程.
返回
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 某学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数
的比是3∶2，求两种球各多少个.(只需列出二元一次方程
组，不必求解)
【解】设排球有 x 个，篮球有 y 个，由题意，得
超过3 km收起步价，超过部分每千米收费若干元(不足
1 km的按1 km计算).某天，林老师第一次乘出租车的行程
为8 km，花了12元；第二次乘出租车的行程为11 km，
花了15.6元.请你编写适当的问题，并列出相应的二元一
次方程组.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解】答案不唯一，如：起步价是多少？超过3 km后每
返回
1
2
3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(4)?? ?
xy + y = 5 x? y=4
其中（3）也是二元一次方程组 ——只要两个
一次方程合起来共有两个未知数，那么他们就组
成一个二元一次方程组。
你猜（2）我们该称什么？ 三元一次方程组
二元一次方程（组）的解
综上所述：
使二元一次方程两边相等的两个未知数的 值，叫做二元一次方程的解.它的解有无数 个。
?3x ? 2y ??5x + 4 y
= =
D
?? ?
y
=
1 2
x
?
5
?? xy = 1
的解是（
1
2
）
A
? ? ?
x y
= =
1 1
B
? ? ?
x y
= =
1 ?
1
?x = 2
C
? ? ??
y
=
1 2
D
? ? ?
x
=
1 3
?? y = ? 2
课堂练习
2、若
s=1 t=-是2 方程
-
S-k=0 t 23
x+y=45 ① 2x+y=60 ②
有两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次 方程组
鸡兔同笼
两个方程！
问题2： 著名的“鸡兔同笼”问题：“今有 鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问 鸡兔各几何？”
设鸡有 x 只，兔 y只，根据题意，得
头 足
则有：
鸡 兔 合计 x y 35 2x 4y 94
x+y=35 ① 2x+4y=94 ②
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫 做二元一次方程组的解。显然二元一次方 程组只有一对解，记作 X=
Y=
练一练
3、下列属于二元一次方程组的是 （ ）
A
?? ?
x 3
+
y 5
=
4
?? x ? y = 0
?
B
? ?
3 x
+
5 y
=
4
?? x ? y = 0
?x+ y =5
C
? ?
x
2
+
y2
=1
4、方程组
旧知温习
含有一个未知数，并且未知数的次 数是1 系数不等于0的整式方程叫做一 元一次方程。
方程ax+b=0(a≠0 ）叫做一元一次方程
的标准形式。 使方程左、右两边相等的未知
数的值，叫做方程的解。
新课探究
问题1:某班同学在植树节时植 樟树和白杨树共45课，已知 樟树苗每棵2元，白杨树苗 每棵1元，购买这些树苗共 用了60元。问樟树苗、白杨 树苗各买了多少棵？
用线段连起来：
y=3-x
X=1
3x+2y=8
y=2
X=3
y=2x
y=-2 X=2
X+y=3 y=1-x
1、已知2x+3y=4，当x=y 时，x、y 的值为__4___，当 x+y=0 ,
5
x=__-_4__，y=___4___；
2、已知
x=-3 y=-2
是方程2x-4y+2a=3 一
1
个解，则a=___2____ ；
未知数，就组成获了给一个大二元家一分次方程组。 享一下 三、使二元一次方程两边的值相等的两
个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
四、一般地，二元一次方程组的两个方 程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
五、二元一次方程有无穷多个解；二元 一次方程组有且只有一组解。
?ax + 5y = 15
4甲.看甲错、了乙方两程人中共的同解a,方得程到组方程??4组x ?的by解=为?2:?? ?
的解，则k值为 ( B )
A、
-1 6
B、
ห้องสมุดไป่ตู้
7 6
C
、
1 6
D、
-7 6
3、关于x、y的方程ax 2+bx+2y=3 是一个二元一次方程， 则a、b的值为（ ）
A 、a=0且 b=0 C
B、 a=0 或 b=0 C、 a=0 且 b≠0 D、a≠0且 b≠0
比一比:
?y =1? x 1. 方程组 ??3x+2y=5
x y
= =
?3 ?1
乙看错了方程中的b,得到方程组的解为: 试求a、b的值.
? ? ?
x y
= =
5 4
退出
小结
x + y = 45 x + y = 35
2x + y = 60 2x +4 y = 94
观察上面四个方程，有何共同特征？ （1）2 个未知数 （2）未知数的项的次数是 1
含有两个未知数,并且所含未知数的 项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程.
（1）“一次”是指含未知数的项的次数
是1，而不是未知数的次数
3、若方程2x 2m+3 +3 y 3n-7=0是关于x、y 的二元一次方程，则
m=__-_1___
8
，n=___3___
；
思考：.求二元一次方程2X+Y=10的 所有正整数解.
一、方程中含有两个未知数(x和y), 并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫
你有哪些收 做二元一次方程。
二、把两个一次方程合在一起后共有两个
1 、设一个未知数你能列出一元一次方 程吗？ 1、设买樟树苗x棵，则买白杨树苗(45-x)棵，
方程：2x+ (45-x)=60
2、如果设樟树苗是 x棵，白杨树苗是 y棵。你能列出几个独立的方程 ?
两个方程： x+y=45 ① 2x+y=60 ②
比较一下：这两个方程与一元一次方程有什 么不同？
含有两个未知数并且每个未知数的最 高次数是1的整式方程叫做二元一次方程
（2）方程的左右两边都是整式
1、 请判断下列各方程中，哪些是二 元一次方程，哪些不是？并说明理由。
(1)2x+5y=10
(2) 2x+y+z=1
(3)x2+y=20
(4)x 2 +2x+1=0
(5)2a+3b=5
(6)2x+10xy =0
观察思考
若把上面两个二元一次方程写在一起：
?x + y = 45 ??2x + y = 60
?x + y = 35 ??2x + 4y = 94
像这样把两个二元一次方程合在一起， 就组成了一个二元一次方程组
那又如何求出其中的解呢？
哪些是二元一次方程组？为什么？
(1)???3yx+?52xy==09
?x ? 3y + 9z = 8
(2)? ?
y
+
3z
=
5
(3)?? ?
x x
= +
2 y
=
1
的解是（
D
）
A.
? ? ?
x y
= =
? ?
3 2
?x = 2
B.
? ? ?
x y
= =
?3
2 C. ?x+ y
?x = ??=ym=
3 2
D.???xy==3?2
2. 若
? ?
y
=1
是方程组 ??2x? y = 6n
的解，
则m=____3_ , n=__0_._5__
连一连
把下列方程组的解和相应的方程组