粗谈有限和无限

粗谈有限和无限牛华颖（数学科学学院 1410055）【摘要】：数学中有限和无限在哲学中有重要体现，哲学中也经常涉及到有限和无限的问题，本文主要是粗谈数学中有限和无限的联系和区别，并且浅薄地将其从哲学的观点来体现，着重讲述无限时不同的性质。

【关键词】：有限；无限；联系；区别虽然课堂上老师讲过有限和无限的问题，但我对有限和无限颇感兴趣，课下读了部分相关书籍，现在，我来谈谈我对于有限和无限浅薄的认识。

在马克思出现之前，著名的哲学家都是唯心论者，唯物主义者在遭遇唯心主义者时，有一个简单的问题，他们就解释不了，唯心主义者问：有无限这个概念，但这世上有无限的例子吗。

显然，自然界中，一切都是有限的，并没有什么是无限的。

你头发的数目是有限的，大概几十万根；世上的人口数是有限的，目前几十亿；宇宙中的星体是有限的，只是暂时限制于科学水平还不能估算出数量······也许你会说，一个桌面有无限个点组成，然而，点也是人们抽象出的概念，你不可能在自然界中找到一个孤立的点。

所以说，这个世上，没有无限的例子，唯物主义者就这样败在唯心主义者的手上。

一，有限和无限间的联系虽然说，世上并没有无限的例子，然而，无限却是有限的基础。

这个话听起来可能有点绕口，我举个例子说明。

比如说，我假设自然数个数是有限个的，9999999是最大的自然数，那比9999999大的数，我们得忽略它；那么，相加结果大于9999999的式子比如说9999998+2就得不到结果，则我们平时使用的计算规则即数学的基础就是错误的，数学这座大厦就会轰然倒塌。

然而，事实并不是如此。

因为每当我们使用加减乘除这些技巧时，我们会将自然数的无限性作为一个公理，无需去怀疑的事实。

用数学的语言表达就是：每个自然数n都有比它大的数n+1。

由此可见，有限的运算是建立在无限的基础上。

相似的例子还有很多，反复论证着无限是有限的基础。

无限充斥在这片宇宙的每个角落，在每一个地方，都在帮助着人们解决着问题。

无限是有限的基础，同时，无限又是由有限构成的。

还是以自然数为例。

自然数无限多，然而每一个自然数都是有限的，由一切有限的自然数构成一个无限的自然数集合，这听起来似乎是矛盾的，然而这却是事实，自然数是有无限多，然而没有人能够举出一个无限的数出来。

自然数的个数是无限多的，与之对应的任一个自然数却是有限的，它的每个部分都是由有限个自然数组成的。

无限由有限组成，所以人们可以通过对有限的分析来得到无限的部分性质，比如一些收敛性，我们就是通过判断有限的和来判断其是有限还是无限的。

无限由有限组成，在哲学上如此，在数学上也如此。

无限是由有限构成，有限却也是由无限组成。

举个例子，庄子说过：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”就是说，一根一尺长的木棍，你每天折断它的一半长度，一直持续下去，永远不能将这根木棍完全弄没，即有限的“一尺之棰”由无限个的长度不一的小木棰组成，虽然这些小木棰有些长度可能极小，但依然是木棰。

又比如在数轴上，从零到一，有限的距离，中间却有无限个数。

所以，有限是由无限组成。

除了上述三点，有限和无限之间的联系，还有一点，那就是无限是有限的延伸。

这点很容易解释，自然数就是个很好的例子。

二，有限和无限的区别虽然有限和无限联系颇为紧密或者说密不可分，然而，有限和无限是对立的，是有区别的，有限和无限它们有着本质的差别。

有些性质适用于有限，却不一定适用于无限。

例如，大家都知道，a+(b+c)=(a+b)+c，这在有限的世界是没有什么问题的，然而，将其扩展到无限的世界，我们却可以得到荒谬的结论。

例如我令z=1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)=···使用结合率，则有z=1+(1-1)+(1-1)+(1-1)+···=1+0+0+0+0+0+0···+1或者这样使用结合律z=（1-1）+（1-1）+(1-1)+(1-1)+···=0+0+0+0+0+0+0···=0所以我们可以得到0=z=1即0=1。

显然，这是错误的，那为什么会出现这种情况呢，原因很简单，有限中的结合律在无限中并不适用。

又比如lim n→∞1+1n n,按照有限的计算法则，lim n→∞1+1nn=（lim n→∞(1+1n)）（lim n→∞(1+1n )）（lim n→∞(1+1n)）（lim n→∞(1+1n)）···=1*1*1*1*1···=1，然而，我们知道，lim n→∞1+1n n=e,所以上述结论也是错误的，原因也很简单，数学极限公式中蕴含了无限的思维，所以不能用有限个的运算法则来替代无限的运算，否则就会出现错误。

无限虽然是有限的延伸，但是从有限到无限，却是有着质的不同。

有限和无限有着质的差别，有限集和无限集同样如此。

一个有限集和它的一个真子集不可能构建起双射的关系，例如，集合A={1,2,3,4}它的一个真子集B={1,2,3}，不妨设A 中的元素1与B中的元素1对应，A中的元素2与B中的元素2对应，A中的元素3与B中的元素3对应，则A中的元素4在B中找不到与之对应的元素来满足A到B的双射。

若B 中的元素更少，则A中有更多元素在B中找不到对应的元素。

然而无限集不同，无限集可以与它的一个无限的真子集建立起双射关系。

例如，自然数集和它的真子集正偶数集，令自然数集中的每个元素n与正偶数集中的元素2n对应，就可以构建出双射关系。

通过上述例子，我们可以发现，无限有着许多与有限不同的性质，所以透过无限，我们也许可以做一些有趣的事情。

例如老师上课讲的一个住满了人的旅馆还能继续住人。

这是一个有趣的问题，故事是这样的：一天夜里已经很晚了,一个人走进一家有着无限个房间的旅馆想要一个房间.店主回答说:“对不起,我们现在没有任何空房间,但是让我看一看,或许我最终能为您找到一个房间.”然后店主离开了他的桌子,叫醒了他的房客,并且请他们换一换房间: 1号房间房客搬到了2号房间,2号房间房客搬到了3号房间, ……以此类推,直到每一位房客都从一个房间搬到了下一个房间为止. 令这位迟来者感到十分吃惊的是,1 号房间竟然被空了出来. 他搬了进去,然后安顿下来过夜.这听上去十分令人惊讶，一个住满了人的旅馆竟然又住进了一个人。

然而，在无限的世界里，一切皆有可能。

这个道理并不难理解，其实是由一个无限集对一个无限集的双射。

然后老师将这个问题拓展开来，不是一个人进入旅馆，而是一个有限人数的旅游团进入旅馆，这个旅馆依然能安置这些人，原理很简单，比如这个旅游团有n个人，则在上述的故事背景下，一号房客搬到n+1号房间，2号房客搬到n+2房间······这样就空出来n个房间；然后再次扩展，一个无限人数的旅游团进入旅馆，旅馆依然能安置，原理类似但不同，在上述的故事背景下，一号房客搬到2号房间，2号房客搬到4号房间···n号房客搬到2n号房间，这样就空出来了无限个房间；继续扩展，有限个无限的旅游团进入旅馆，旅馆依然能够安排，这个道理与上一个相差无几，我就不详细说明了；然而问题依然可以扩展，无限个有无限人数的旅游团进入旅馆，这时就需要一些技巧了。

上课时有同学提出来两种做法，都十分精妙，我就不在此赘述了，至于我的想法，我个人觉得比较奇葩，但还是说出我的想法，博得大家一笑。

我是这样想的，在上述故事背景下，先将所有的旅馆内的人叫出来，然后第一个旅游团的第一个人住在2号房间，第二个人住在4号房间，第三个人住在8号房间···第n个人住在2n号房间，这样就安排好了第一个旅游团；然后第二个旅游团的第一个人住在三号房间，第二个人住在9号房间，第三个人住在27号房间···第n个人住在3n号房间，这样，第二个旅游团也安排好了住处；以此类推，第m个旅游团的第n个人住在从小到大排列的第m个素数的n次方号房间，显然，素数是无限个的，所以这无限个旅游团都可以住进宾馆，原有的旅馆的人，再依次住进空着的房间，（易证有无限个房间空出来了）这样，每个人都有房间住了。

这就是我的想法。

透过上述故事，我们可以清晰的看到无限和有限的差别，这种区别是本质的，对于数学是至关重要的。

美籍德国数学家魏尔说:“数学是关于无限的科学”.贝尔指出,19世纪的数学家已经认识到,“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论;没有无理数理论,就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析;最后,没有分析,像现在存在的大部分数学——包括几何和大部分应用数学——就不再存在了.”可见,无限在数学中占有十分重要的地位,甚至可以说它是整个数学的基础. “自古以来,没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪,没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神. 同时,没有别的概念像它这样迫切需要澄清……”于此可见，有限和无限，是数学的基础，数学大厦要坚不可破，关于有限和无限，我们就不能存在问题。

参考文献【1】数学分析.上册/华东师范大学数学系编.北京：高等教育出版社.2001（2009重印）：23-28【2】数学分析.上册/华东师范大学数学系编.北京：高等教育出版社.2001（2009重印）：204-207【3】陈省身.数学中的有限和无限[J].高等数学研究.2007（11）：87-91.【4】[以色列]马奥尔著,王前译. 无穷之旅——关于无穷大的文化史[M].上海:上海教育出版社, 2000.。