《2.10第十节 函数模型及其应用》 学案
函数模型及应用教案
函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。
函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。
一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。
2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。
3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。
4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。
2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。
3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。
4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。
5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。
三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。
2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。
3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。
4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。
四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。
《函数模型及其应用》教案
芯衣州星海市涌泉学校函数模型及其应用教学目的：1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步理解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，理解函数模型在社会生活中的广泛应用2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探究问题、解决问题的才能，培养学生的应用意识，进步学习数学的兴趣. 教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解. 教学难点： 对图、表的理解. 教学方法： 讲授法，尝试法. 教学过程： 一、情境创设矩形的长为4，宽为3，假设长增加x ，宽减少0.5x ，所得新矩形的面积为S ． 〔1〕将S 表示成x 的函数；〔2〕求面积S 的最大值，并求此时x 的值． 二、学生活动 考虑并完成上述问题． 三、例题解析例1有一块半径为R 的半圆形钢板，方案剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．A BO C DE例2一家旅社有100间一样的客房，经过一段时间是是的经营理论，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：要使每天收入最高，每间客房定价为多少元？例3今年5月，荔枝上．由历年的场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的场售价与上时间是是的关系大致可用如下列图的折线ABCD表示(场售价的单位为元／500g)．请写出场售价S(t)(元)与上时间是是t(天)的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝场售价．练习：1．直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形的f(t)的大致图象为()状可能是()元一个销售，每天可卖200个．假设这种商品每涨价1元，〔2〕假设销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？5．根据场调查,某商品在最近40天内的价格f(t)与时间是是t满足：l AC DBhH A B C DO 10 40 60f(t)＝111(020)241(2040)t t t Nt t t N⎧+<∈⎪⎨⎪-+∈⎩≤,≤≤,，销售量g(t)与时间是是t满足：g(t)＝14333t-+(0≤t≤40，t N)，求这种商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业。
函数模型及其应用教案
函数模型及其应用教案一、教学目标1. 理解函数的概念，了解函数模型的产生和应用；2. 学习两种常见函数模型的基本形式和参数，并能解决实际问题应用；3. 认识函数模型在现实生活和工程实践中的重要作用；4. 提高学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 函数的概念与应用；2. 两种常见函数模型的基本形式与参数；3. 实际问题中函数模型的应用。
三、教学难点1. 函数模型在数学联系与实际应用展示之间的联系；2. 如何将实际问题转化为基本形式的函数模型。
四、教学方法1. 讲授教学法；2. 课堂互动式教学法；3. 问题式教学法。
五、教学准备1. 多媒体教学设备；2. 函数模型案例资料。
六、教学过程1. 引入函数是一种重要的数学概念，也是自然科学、经济学、工程技术等领域的基础。
而函数模型则是在实际问题中应用函数的过程中，通过对数据和经验的分析产生的数学模型，可用于预测、控制、优化等目的。
今天我们将学习两种常见函数模型及其应用。
2. 基础知识讲解（1）函数的概念函数是一个输入输出关系的特殊情况。
数学上定义一个函数是指一组数对，其中第一个数（称为自变量）从一个特定集合中取任意一个值，；第二个数（称为因变量或函数值）则从另一集合中取一个值，这个取值完全由第一个数决定。
（2）线性函数模型线性函数模型可以写为 y=a*x+b 的形式，其中 a 称为斜率，b称为截距。
它的应用非常广泛，比如经济学中的供给函数、消费函数，工程学中的动力学方程等等，都可以通过线性函数模型来描述。
（3）指数函数模型指数函数模型可以用 y=a^x+b 的形式表示，其中 a 称为底数，b 称为位移。
指数函数具有非常广泛的应用，在物理学、天文学、化学、生物学、经济学等领域中都有其用途，比如放射性衰变过程、细胞增殖过程、经济增长过程等等都可以使用指数函数模型来描述。
3. 练习将下列实际问题转化为线性函数模型或指数函数模型，并求出相应的参数或曲线。
高一数学《函数模型及其应用》教案
高一数学《函数模型及其应用》教课设计函数模型及其应用(1)【学习导航】知识网络学习要求1.认识解实质应用题的一般步骤;2.初步学会依据已知条件成立函数关系式的方法;3.浸透建模思想，初步拥有建模的能力.自学评论1.数学模型就是把实质问题用数学语言抽象归纳，再从数学角度来反应或近似地反应实质问题，得出对于实质问题的数学描绘 .2. 数学建模就是把实质问题加以抽象归纳成立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的重点.3. 实质应用问题成立函数关系式后一般都要观察定义域.【精模典范】例 1.写出等腰三角形顶角 (单位：度 )与底角的函数关系 . 例 2.某计算机企业企业生产某种型号计算机的固定成本为万元 ,生产每台计算机的可变为本为元,每台计算机的售价为元 .分别写出总成本(万元 )、单位成本(万元 )、销售收入(万元 )以及收益(万元 )对于总产量(台 )的函数关系式.剖析：销售收益销售收入成本,此中成本(固定成本可变成本 ).【解】总成本与总产量的关系为课本、报刊杂志中的成语、名言警语等俯首皆是 ,但学生写作文运用到文章中的甚少 ,即便运用也很难做到恰到好处。
为什么?仍是没有完全“记死”的缘由。
要解决这个问题 ,方法很简单,每天花3-5 分钟左右的时间记一条成语、一则名言警语即可。
能够写在后黑板的“累积专栏”上每天一换 ,能够在每天课前的3 分钟让学生轮番解说 ,也可让学生个人收集 ,每天往笔录本上抄录 ,教师按期检查等等。
这样 ,一年便可记 300 多条成语、300 多则名言警语 ,与日俱增 ,终归会成为一笔不小的财产。
这些成语典故“储藏”在学生脑中 ,自然会下笔成章 ,写作时便会为所欲为地“提取”出来 ,使文章添色添辉。
单位成本与总产量的关系为销售收入与总产量的关系为要练说，得练看。
看与说是一致的，看禁止就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的察看能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在察看事物、察看生活、察看自然的活动中，累积词汇、理解词义、发展语言。
10函数模型及其应用(教案教学设计导学案)
个性化教学辅导教案1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x (1≤x ≤4，x ∈N *)之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100x解析：选C 当x ＝4时，A 中，y ＝400；B 中，y ＝700；C 中，y ＝800；D 中，y ＝1004.故选C.2．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x 关于时间t (时)的函数解析式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝150－50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－50t ，t >3.5 D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.5解析：选D 显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．3．三个变量y 1，y 2，y 3，随着自变量x 的变化情况如下表：x 1 3 5 7 9 11 y 1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 356.106.616.9857.27.4则关于x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．[解] (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20＜x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b (a ≠0)，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 6．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a . (1)求p %的值．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)该森林今后最多还能砍伐多少年？ [解] (1)由题意得a (1－p %)10＝a2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫12. (2)设经过m 年森林面积为22a ，(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？ (2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x 的取值范围．[解] 设商品原价格为m ，每天的原销售量为n ，则每天的原营业额为m ·n ，涨价后每天的营业额为y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n . (1)y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n ＝⎣⎡⎦⎤－1125⎝⎛⎭⎫x －542＋8180·m ·n . 当x ＝54，即涨价125%时，每天的营业额最大．(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加， 则需m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n ＞m ·n ， 即2x 2－5x ＜0，变形得x (2x －5)<0. 又x >0，故0＜x ＜52.∈x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，52. [例2]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．[解] (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20＜x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b (a ≠0)，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． [例3]一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a . (1)求p %的值．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)该森林今后最多还能砍伐多少年？ [解] (1)由题意得a (1－p %)10＝a2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫12. (2)设经过m 年森林面积为22a ， 则a (1－p %)m ＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12， m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，n 年后森林面积为 22a ·(1－p %)n . 令22a (1－p %)n ≥14a ， 即(1－p %)n ≥24， ⎝⎛⎭⎫12≥⎝⎛⎭⎫12，得n 10≤32，解得n ≤15，甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只； 乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减到第六年10个． 请你根据提供的信息说明：(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数．(2)到第六年，这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由． (3)哪一年的规模最大？说明理由． [解题流程][变式]某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系：销售单价x /元 30 40 45 50 日销售量y /件603015(1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，y )对应的点，并确定x 与y 的一个函数关系式y ＝f (x )；(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少时，才能获得最大日销售利润．解：实数对(x ，y )对应的点如图所示，由图可知y 是x 的一次函数．(1)设f (x )＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧60＝30k ＋b ，30＝40k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.∈f (x )＝－3x ＋150,30≤x ≤50，检验成立． (2)P ＝(x －30)·(－3x ＋150) ＝－3x 2＋240x －4 500,30≤x ≤50， ∈对称轴x ＝－2402×－3＝40∈[30,50]．答：当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s 与时间t 的函数关系如下图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲比乙先出发。
《2.10第十节 函数模型及其应用》 教案
教学过程一、课堂导入有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气二、复习预习1.方程的根与函数零点有什么关系，函数零点的如何判断？2.用二分法求函数零点时需要注意些什么？3.涵数与方程的关系三、知识讲解考点1 几种常见的函数模型考点2 三种函数模型性质比较[探究] 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．四、例题精析【例题1】【题干】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A．①B．①②C．①③D．①②③【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.【例题2】【题干】某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系式是p ＝⎩⎨⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系式是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )．求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？【解析】设日销售金额为y (元)，则y ＝p ·Q ，即y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N ，＝⎩⎨⎧－(t －10)2＋900，0<t <25，t ∈N ， ①(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N . ②由①知，当t ＝10时，y max ＝900； 由②知，当t ＝25时，y max ＝1 125. 由1 125>900，知y max ＝1 125， 即在第25天日销售额最大，为1 125元.【例题3】【题干】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨，付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．【例题4】【题干】(2011·山东高考)(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.【解析】(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝4πr 33＋πr 2l ，又V ＝80π3，⇨(1分) 所以4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r 3，⇨(2分)由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.⇨(3分)，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫803r 2－4r 3＝160π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以建造费用y ＝160πr －8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．⇨(4分)(2)由(1)，得y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝c －r 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2，⇨(5分) 由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令 320c －2＝m ，则m >0. 所以y ′＝8π(c －2)r2 (r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．⇨(7分) ①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．⇨(9分)②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．⇨(11分)综上，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费最小时r＝320c－2.⇨(12分)五、课堂运用【基础】1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()解析：选C由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变，故应选C.2．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)()A．90万m2B．87万m2C．85万m2D．80万m2500×(1＋1%)10×7－500×610≈86.6(万m 2)≈87(万m2)．解析：选B由题意3．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，将三角形APM的面积y看作路程x的函数，则其函数图象大致是()解析：选A 当0≤x ≤1时，y ＝12·x ·1＝12x ； 当1<x ≤2时，y ＝1－12(x －1)－14(2－x )－14＝－14x ＋34； 当2<x ≤2.5时，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x ×1＝54－12x . 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，0≤x ≤1，－14x ＋34，1<x ≤2，－12x ＋54，2<x ≤2.5.根据函数可以画出其大致图象，故选A.【巩固】4.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．解析：当h＝0时，v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在H2附近时，体积变化较快；h小于H2时，增加越来越快；h大于H2时，增加越来越慢．答案：②5．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意知付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.6【拔高】6．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解：(1)x的取值范围为[10,90]．(2)y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(3)由y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25 000＝152⎝⎛⎭⎪⎫x－10032＋50 0003，得x＝1003时，y min＝50 0003，即核电站建在距A城1003km处，能使供电总费用y最少．7．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．解：(1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)．(2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x 年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x ＝120，解得x ＝log 1.012120100≈15.3故大约16年后该县的人口总数将达到120万．8．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．课程小结常见函数模型的理解(1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x的系数k>0)，通过图像可以很直观地认识它．(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(a>1)，常形象地称为“指数爆炸”．注意：指数函数y＝a x(a>1)，从图像上看，在开始过程中增长缓慢，但随着x的逐渐增大，当x增加一个非常小的增量Δx，其函数值变化Δy会大得惊人，因此常称之为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长的较快(a>1)，但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(4)幂函数型函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随x n中n的取值变化而定，常用的有二次函数模型．(5)“对勾”函数模型，形如f(x)＝x＋ax(a>0，x>0)的函数模型，在现实生活中也有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时利用函数的单调性求解最值．31 / 31。
高三数学高考考前复习：函数模型及其应用教案
第十节函数模型及其应用一、复习目标：1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
二、重难点：重点：掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数模型；培养阅读理解、建立数学模型和分析问题、解决问题的能力掌握解函数应用问题的基本步骤。
难点：建立数学模型和分析问题、解决问题的能力的培养。
三、教学方法：讲练结合，探析归纳。
四、教学过程（一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。
新课标要求及考纲要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
高考命题考查情况及预测：函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考查即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。
高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考查。
出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
预测2010年的高考，将再现其独特的考查作用，而函数类应用题，是考查的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
清泉州阳光实验学校数学《函数模型及其应用》教案
清泉州阳光实验学校第10课时函数模型及其应用1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 分别表示问题中的变量； 2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式； 3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目的及函数式的构造特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并复原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：例1.如下列图，在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b 〔b ＜a 〕,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.解：设四边形EFGH 的面积为S ，那么S△AEH=S△CFG=21x2, S△BEF=S△DGH=21〔a-x 〕〔b-x 〕， ∴S=ab -2［x 212+21〔a-x 〕〔b-x 〕］=-2x2+〔a+b 〕x=-2〔x-)4b a +2+,8)(2b a +由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}. 又0＜b ＜a,∴0＜b ＜2b a +,假设4ba +≤b,即a≤3b 时， 那么当x=4b a +时，S 有最大值8)(2b a +;假设4ba +＞b,即a ＞3b 时， S 〔x 〕在〔0,b ］上是增函数， 此时当x=b 时，S 有最大值为-2(b-4b a +)2+8)(2b a +=ab-b2,典型例题 根底过关实际问题函数模型 抽象概括 实际问题的函数模型的复原说运用函数的性质综上可知，当a≤3b 时，x=4ba +时， 四边形面积Smax=8)(2b a +,当a ＞3b 时，x=b 时，四边形面积Smax=ab-b2.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，如今他采用进步售价，减少进货量的方法增加利润，这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.解：设每个提价为x 元〔x≥0〕，利润为y 元，每天销售总额为〔10+x 〕〔100-10x 〕元， 进货总额为8〔100-10x 〕元， 显然100-10x ＞0,即x ＜10,那么y=〔10+x 〕〔100-10x 〕-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x＜10). 当x=4时，y 获得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元. 例2.据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向挪动，其挪动速度 v 〔km/h 〕与时间是是t 〔h 〕的函数图象如下列图，过线段OC 上一点T 〔t ，0〕作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t 〔h 〕内沙尘暴所经过的路程s 〔km 〕.〔1〕当t=4时，求s 的值；〔2〕将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；〔3〕假设N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到N 城，假设会，在沙尘爆发生后多长时间是是它将 侵袭到N 城？假设不会，请说明理由.解：〔1〕由图象可知： 当t=4时，v=3×4=12, ∴s=21×4×12=24.22当10＜t≤20时，s=21×10×30+30〔t-10〕=30t-150； 当20＜t≤35时，s=21×10×30+10×30+(t -20)×30-21×(t -20)×2(t -20)=-t2+70t-550. 综上可知s=[](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-+-∈-∈.35,20,55070,20,10,15030,10,0,2322t t t t t t t(3)∵t∈［0，10］时，smax=23×102=150＜650. t∈〔10，20］时，smax=30×20-150=450＜650. ∴当t∈〔20，35］时，令-t2+70t-550=650. 解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,∴t=30，所以沙尘爆发生30h 后将侵袭到N 城.变式训练2：某工厂消费一种机器的固定本钱〔即固定投入〕为0.5万元，但每消费100台，需要加可变本钱〔即另增加投入〕0.25万元.场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R 〔x 〕=5x-22x 〔万元〕(0≤x≤5)，其中x 是产品售出的数量〔单位：百台〕. 〔1〕把利润表示为年产量的函数；〔2〕年产量是多少时，工厂所得利润最大？〔3〕年产量是多少时，工厂才不赔本？解：〔1〕当x≤5时，产品能售出x 百台； 当x ＞5时，只能售出5百台， 故利润函数为L 〔x 〕=R 〔x 〕-C 〔x 〕 =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--).5(25.012),50(5.0275.4)5()25.05.0()2555()50()25.05.0()25(222x x x x x x x x x x x2当x=5时，L(x)max=10.78125万元.当x ＞5时，L 〔x 〕=12-0.25x 为减函数，此时L 〔x 〕＜10.75(万元〕.∴消费475台时利润最大. 〔3〕由⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤.025.0125,05.0275.4,502x ，x x x x 或 得x≥5-5562.21=0.1(百台〕或者者x ＜48(百台). ∴产品年产量在10台至4800台时，工厂不赔本.例3.某居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为0元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户一一共交水费y 元，甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨.〔1〕求y 关于x 的函数；〔2〕假设甲、乙两户该月一一共交水费2元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解：〔1〕当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨， y=〔5x+3x 〕×=1x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时， 即3x≤4且5x ＞4, y=4×+3x×+3×(5x -4)=20.4x-.当乙的用水量超过4吨时， 即3x ＞4,y=8×+3(8x -8)=24x-，所以y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14x x x x x x (2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x∈［0，54］时,y≤f〔54〕＜2;当x∈〔54，34］时，y≤f〔34〕＜2;当x∈〔34,+∞〕时，令24x-=2,解得x=, 所以甲户用水量为5x=吨， 付费S1=4×+×3=10〔元); 乙户用水量为3x=吨， 付费S2=4×+0.5×3=0〔元).变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日〞，提出了“人类对生育的选择将决定世界将来〞的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.〔1〕世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？〔2〕我国人口在1998年底到达18亿，假设将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2021年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N 1.010 1.015 1.017 10 2.000 对数lgN 0.0043 0.0065 0.0073 0.1173 0.3010 数N 3.000 5.000 18 11 18 对数lgN0.47710.69901.0962176392解：〔1〕设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y ， 那么y·(1+x)n=60，那么当n=40时，y=30， 即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 两边取对数，那么40lg(1+x)=lg2， 那么lg 〔1+x 〕=402lg =0.007525， ∴1+x≈1.017，得x=%.〔2〕依题意，y≤18〔1+1%〕10，得lgy≤lg18+10×lg1.01=392,∴y≤18，故人口至多有18亿.答每年人口平均增长率为%，2021年人口至多有18亿.小结归纳解决函数应用问题应着重注意以下几点：1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目的表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4．复原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进展检验、评判最后作出结论，作出答复.。
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r3－ 20 · ，0<r≤2，⇨(5 分) c－2
由于 c>3，所以 c－2>0. 当 r3－ 3 20 3 20 20 ＝0 时，r＝ .令 ＝m，则 m>0. c －2 c －2 c－2 8πc－2 (r－ m)(r2＋rm＋ m2)．⇨(7 分) r2
所以 y′＝
9 ①当 0<m<2，即 c> 时，当 r＝ m 时，y′＝0； 2 当 r∈(0，m) 时，y′<0；当 r ∈(m,2)时，y′>0， 所以 r＝ m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点．⇨(9 分 )
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【解析】 (1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x≤4，乙的用水量也不超过 4 吨，y＝1.8(5x＋ 3x)＝ 14.4x； 当甲的用水量超过 4 吨， 乙的用水量不超过 4 吨， 即 3 x ≤4 ， 且 5x>4 时， y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－ 4)＝ 20.4x－4.8. 当乙的用水量超过 4 吨，即 3x>4 时， y＝ 2×4×1.8＋ 3×[(3x－ 4)＋ (5x－ 4)]＝ 24x－9.6.
对数函数模型 幂函数模型
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考点 2 三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) 在(0，＋∞) 上的单调性 增长速度 图象的变化 单调递增函数 越来越快 随 x 值增大，图 象与 y 轴接近平 行 y＝logax(a>1) 单调递增函数 越来越慢 随 x 值增大，图 象与 x 轴接近平 行 y＝xn(n>0) 单调递增函数 相对平稳 随 n 值变化而不 同
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5．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过 200 元，不予以折扣； ②如一次购物超过 200 元，但不超过 500 元，按标价予以九折优惠； ③如一次购物超过 500 元的，其中 500 元给予九折优惠，超过 500 元的给予八五折优惠； 某人两次去购物，分别付款 176 元和 432 元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．
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学习过程
一、复习预习 1. 方程的根与函数零点有什么关系，函数零点的如何判断？ 2. 用二分法求函数零点时需要注意些什么？ 3. 涵数与方程的关系
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二、知识讲解 考点 1 几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a ≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a ≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1 ， b≠0) f(x)＝blogax＋c(a， b， c 为常数， a>0 且 a ≠1 ， b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0，n ≠0)
给出以下 3 个论断：①0 点到 3 点只进水不出水；②3 点到 4 点不进水只出水；③4 点到 6 点不进水不出水，则一定 正确的是( A．① C．①③ ) B．①② D．①②③
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【答案】 A 1 【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的 ，所以 0 点到 3 点不出水， 3 点到 4 点也可能一个进水口进水， 2 一个出水口出水，但总蓄水量降低， 4 点到 6 点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是① .
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【例题 4】 【题干】 (2011· 山东高考)(本小题满分 12 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米) ，其中容器的 80π 中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且 l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表 3 面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元．设该容器的建造 费用为 y 千元． (1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r .
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【解析】设日销售金额为 y(元 )，则 y＝ p· Q， － t2＋ 20t＋ 800， 0<t<25， t∈ N， 即 y ＝ 2 t － 140t＋ 4 000，25≤t≤30， t∈ N， － t－ 102＋ 900， 0<t<25， t∈ N， ＝ t－ 702－900， 25≤t≤30， t∈ N. ② 由①知，当 t＝10 时， ymax＝ 900； 由②知，当 t＝25 时， ymax＝ 1 125. 由 1 125>900，知 ymax＝ 1 125， 即在第 25 天日销售额最大，为 1 125 元 . ①
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9 ②当 m≥2，即 3<c≤ 时，当 r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减， 2 所以 r＝2 是函数 y 的最小值点．⇨(11 分) 9 9 综上，当 3<c≤ 时，建造费用最小时 r ＝2；当 c> 时，建造费最小时 2 2 r＝ 3 20 .⇨(12 分) c －2
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3．如图所示，点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动，设 M 是 CD 边的中点，则当点 P 沿着 A－B－C－ M 运动时， 以点 P 经过的路程 x 为自变量，将三角形 APM 的面积 y 看作路程 x 的函数，则其函数图象大致是( )
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【巩固】 4.一高为 H ，满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为 h 时的 水的体积为 v，则函数 v ＝f(h)的大致图象可能是图中的________．
4 4 所以 y＝20.4x－ 4.8， 5<x≤ 3， 4 24x－9.6， x>3.
14.4x，
4 0 ≤x ≤ ， 5
(2)由于 y＝ f(x)在各段区间上均单调递增， 4 4 4 4 4 4 当 x∈0，5 时，y≤f5<26.4；当 x∈5，3 时，y≤f3<26.4；当 x∈3，＋ ∞时，令 24x－ 9.6＝ 26.4，解得 x＝ 1.5. 所以甲户用水量为 5x＝5×1.5＝7.5 吨，付费 S1＝ 4×1.8＋ 3.5×3＝ 17.70(元 )； 乙户用水量为 3x＝ 4.5 吨，付费 S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元 )．
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【例题 2】 t＋20，0<t<25，t∈N， 【题干】 某商品在近 30 天内每件的销售价格 p(元)与时间 t( 天)的函数关系式是 p＝ －t＋100，25≤t≤30，t∈N*， 且该商品的日销售量 Q( 件)与时间 t(天)的函数关系式是 Q＝－ t＋40(0<t≤30， t∈N)． 求这种商品的日销售金额的最大值， 并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几天？
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8．据气象中心观察和预测：发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象 如图所示，过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路 程 s(km) ． (1)当 t＝4 时，求 s 的值； (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城．如果会，在沙尘暴发生后 多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由．
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课程小结
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四、课堂运用 【基础】 1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x) 之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大 爷散步行走的路线可能是( )
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2．某地 2011 年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为 1%.问为使 2021 年底该 城市人均住房面积增加到 7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)( ) 2 2 A．90 万 m B．87 万 m 2 C．85 万 m D．80 万 m2
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【例题 3】 【题干】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部 分每吨 3.00 元．某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为 5x,3x(吨)． (1)求 y 关于 x 的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
第十节
适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 几类不同增长的函数模型的特点 知 识 点 2. 用已知函数模型解决实际问题 3. 建立函数模型解决实际问题
函数模型及其应用
适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类 学习目标 型增长的含义． 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 )的广泛 应用. 学习重点 学习难点 了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用 建立函数模型刻画现实问题中数据的处理
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7．目前某县有 100 万人，经过 x 年后为 y 万人．如果年平均增长率是 1.2%，请回答下列问题： (1)写出 y 关于 x 的函数解析式； (2)计算 10 年后该县的人口总数 (精确到 0.1 万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到 120 万(精确到 1 年 )．
[探究] 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？ 提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用 “指数爆炸” 来形容； 对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．