上海市2020年九年级上学期数学期末考试试卷(I)卷
上海市2020年九年级上学期数学期末考试试卷（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）若关于x的一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）
A . 1
B . 0，1
C . 1，2
D . 1，2，3
2. （2分） (2018·商河模拟) 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2019九上·江阴期中) 给出下列4个命题：①相似三角形的周长之比等于其相似比；②方程x2-3x+5=0的两根之积为5；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补.其中，真命题为（）
A . ①②④
B . ①③④
C . ①④
D . ①②③④
4. （2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA= ，则AB的长为（）
A .
B . 6
C . 12
D . 8
5. （2分）(2017·连云港模拟) 如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是﹣1，则顶点A坐标是（）
A . （2，1）
B . （1，﹣2）
C . （1，2）
D . （2，﹣1）
6. （2分）某河堤横断面如图所示，河堤高BC=8m，迎水坡坡角∠BAC=30°，则AB的长为（）
A . 16 m
B . m
C . m
D . m
7. （2分） (2019九上·沭阳月考) 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）
A . x2+2＝0
B . （x﹣1）2＝0
C . x2+2x﹣1＝0
D . x2+x+5＝0
8. （2分） (2019九上·港南期中) 反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n等于（）
A . ﹣8
B . ﹣4
C . ﹣
D . ﹣2
9. （2分）下列说法正确的是（）
A . “作线段CD＝AB”是一个命题
B . 三角形的三条内角平分线的交点为三角形的内心
C . 命题“若，则”的逆命题是真命题
D . “具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义
10. （2分） (2017八下·辉县期末) 反比例函数y= 与一次函数y=﹣kx﹣k在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共6题；共7分)
11. （1分）(2017·启东模拟) 已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为________．
12. （1分） (2020九上·醴陵期末) 某中学共有学生人，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目的情况，学校随机抽查了200名学生，其中有名学生表示最喜欢的项目是跳绳，则可估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有________人．
13. （1分）已知一点C把AB分成两段AC和BC，且AC＞BC，当________就说C把AB黄金分割．
14. （1分）(2016·义乌) 如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y= ，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y 轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为________．
15. （2分） (2016九上·抚宁期中) 若两数和为﹣7，积为12，则这两个数是________和________．
16. （1分）如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长________ ．
三、解答题 (共9题；共100分)
17. （10分） (2019九上·孝南月考) 选用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2） .
18. （5分）(2017·新化模拟) 计算：|﹣2|+2﹣1﹣cos60°﹣（1﹣）0 ．
19. （5分）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
20. （5分） (2017九上·三明期末) 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=3.2米，观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度．
21. （15分）某中学八年级（8）班同学积极参加体育锻炼，该班班长在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表示他的测试成绩及相关数据：
第一回投球第二回投球第三回投球第四回投球第五回投球第六回投球
每回的投球次数n51015202530
每回的进球次数m37141718
0.60.70.40.680.6
每次投进频率
（1）请将表格补充完整；
（2）根据表格画出班长每回投球时进球频率的折线统计图；
（3）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试成绩的频率将稳定在他每回投球时进球的概率附近摆动，请你估计这个概率，并说明理由．（结果用分数表示）
22. （15分） (2019九上·福田期中) 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，OB=OC=2，AB= .
（1）求点D的坐标，直线CD的函数表达式；
（2）已知点P是直线CD上一点，当点P满足S△PAO= S△ABO时，求点P的坐标；
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F（不与A、B重合），使以A、 C、 F、M为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.
23. （15分） (2019九上·天台月考) 对实数a,b定义运算
（1）求函数的解析式;
（2）若点 ,（）在函数的图像上，且A,B两点关于坐标原点成中心对称，求点A的坐标；
（3）关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则m的取值范围是
24. （15分）(2017·衢州) 在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连结OB，D 为OB的中点。
点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF。
已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒。
（1）
如图1，当t=3时，求DF的长；
（2）
如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值；
（3）
连结AD，当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1:2时，求相应t的值。
25. （15分）(2016·孝义模拟) 综合与探究：如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A，B（A 在B的右侧），与y轴交于点C，对称轴与抛物线交于点D，与x轴交于点E．
（1）
求点A，B，C，D的坐标；
（2）
求出△AC D的外心坐标；
（3）
将△BCE沿x轴的正方向每秒向右平移1个单位，当点E移动到点A时停止运动，若△BCE与△ADE重合部分的面积为S，运动时间为t（s），请直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共7分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共9题；共100分)
17-1、17-2、18-1、19-1、
20-1、21-1、
21-2、21-3、
22-1、
22-2、
23-1、
23-2、23-3、
24-1、
24-2、
25-1、25-2、。
沪教版2020初三数学九年级上册期末试题和答案
沪教版2020初三数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．若将半径为24cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm2．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知二次函数y=-x2+2mx+2,当x<-2时，y的值随x的增大而增大，则实数m（）A．m=-2 B．m>-2 C．m≥-2 D．m≤-24．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：15．一元二次方程x2－x＝0的根是（）A．x＝1B．x＝0C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝－1 6．△ABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点．A．三条边垂直平分线B．三条中线C．三条角平分线D．三条高7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sin B的值是（）A．45B．35C．43D．348．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（）A．摸出黑球的可能性最小B．不可能摸出白球C．一定能摸出红球D．摸出红球的可能性最大9．如图，已知一组平行线////a b c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D 、E 、F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）A ．4.4B ．4C ．3.4D ．2.410．若关于x 的一元二次方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．16k ≤ B ．116k ≤ C ．1,16k ≤且0k ≠ D ．16,k ≤ 且0k ≠ 11．如图，AC 是⊙O 的内接正四边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正六边形的一边．若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 12．二次函数y =()21x ++2的顶点是( )A ．(1，2)B ．(1，−2)C ．(−1，2)D ．(−1，−2)13．cos60︒的值等于（ ）A ．12B ．22C ．32D ．33 14．如图,在O 中，AB 是O 的直径,点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，弦CE AB ⊥于点F ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ,分别交CF BC 、于点P Q 、，连接AC ．给出下列结论:①BAD ABC ∠=∠；②GP GD =；③点P 是ACQ 的外心；④AP AD ⋅CQ CB =⋅．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④15．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ） A ．252- B ．25- C ．251- D ．52-二、填空题16．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =30°，BC =4，则⊙O 的直径为___．17．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的点，且∠ACB ＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为______．18．已知二次函数222y x x -=-，当-1≤x≤4时，函数的最小值是__________． 19．数据2，3，5，5，4的众数是____．20．抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与y 轴交于点A ．过点B(0,3)作y 轴的垂线l ，若抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与直线l 有两个交点，设其中靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且│m│<1，则a 的取值范围是______．21．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．22．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm ．则扇形的弧长为__________cm ．23．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.24．有一块三角板ABC ，C ∠为直角，30ABC ∠=︒，将它放置在O 中，如图，点A 、B 在圆上，边BC 经过圆心O ，劣弧AB 的度数等于_______︒25．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x，则可列方程为______．26．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为_____cm2．（结果保留π）27．已知点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，其中k≠0，若y1＞y2，则x1的取值范围为_____．28．某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m n个数据的平均数等于______.29．如图，正方形ABCD的边长为5，E、F分别是BC、CD上的两个动点，AE⊥EF．则AF 的最小值是_____．30．如图，圆形纸片⊙O半径为 52，先在其内剪出一个最大正方形，再在剩余部分剪出4个最大的小正方形，则 4 个小正方形的面积和为_______．三、解答题31．在一个不透明的口袋中装有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色不同外，其它都相同，从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．然后放回口袋并摇匀，再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，请利用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球都是红球的概率．32．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在点A处用高1.5米∠为45︒，此时教学楼顶端点G恰好在视线DH 的测角仪测得古树顶端点H的仰角HDE∠为60︒，点A、上，再向前走7米到达点B处，又测得教学楼顶端点G的仰角GEFB、C点在同一水平线上．（1）计算古树BH的高度；（2）计算教学楼CG 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈）．33．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y 2x 80=-+. 设这种产品每天的销售利润为w 元.（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？34．如图，直线y ＝x ﹣1与抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5相交于A 、D 两点．抛物线的顶点为C ，连结AC ．（1）求A ，D 两点的坐标；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点A 、D 不重合），连接PA 、PD ．①当点P 的横坐标为2时，求△PAD 的面积；②当∠PDA ＝∠CAD 时，直接写出点P 的坐标．35．如图，点P 是二次函数21(1)14y x =--+图像上的任意一点，点()10B ,在x 轴上.（1）以点P 为圆心，BP 长为半径作P .①直线l 经过点()0,2C 且与x 轴平行，判断P 与直线l 的位置关系，并说明理由. ②若P 与y 轴相切，求出点P 坐标；（2）1P 、2P 、3P 是这条抛物线上的三点，若线段1BP 、2BP 、3BP的长满足12323BP BP BP BP ++=，则称2P 是1P 、3P 的和谐点，记做()13,T P P .已知1P 、3P 的横坐标分别是2，6，直接写出()13,T P P 的坐标_______.四、压轴题36．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．（1）求证：AB CD =；（2）若O 的半径为8，弧BD 的度数为120︒，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论．37．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，tan B ＝34，OB ＝8． （1）求OA 、AB 的长；（2）点Q 从点O 出发，沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点A 出发，沿着AB 方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ≤5）以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连结CD ，QC ．①当t 为何值时，点Q 与点D 重合？②若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．38．如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分BAF ∠，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.39．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，∠ABC ＝60°．点P 是边BC 上一动点，作△PAB 的外接圆⊙O 交BD 于E ．（1）如图1，当PB ＝3时，求PA 的长以及⊙O 的半径；（2）如图2，当∠APB ＝2∠PBE 时，求证：AE 平分∠PAD ；（3）当AE 与△ABD 的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O 的半径．40．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．（1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）．①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】易得圆锥的母线长为24cm ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径.【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：2π24224π⨯÷=，∴圆锥的底面半径为：()24π2π12cm ÷=.故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点是圆锥的有关计算，熟记各计算公式是解题的关键.2．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x ＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x ＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可．【详解】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝﹣1，过（1，0）点，把（1，0）代入y ＝ax 2+bx +c 得，a +b +c ＝0，因此①正确；对称轴为直线x ＝﹣1，即：﹣2b a＝﹣1，整理得，b ＝2a ，因此②不正确； 由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；由图可得，抛物线有两个交点，所以b 2﹣4ac ＞0，故④正确；故选C ．【点睛】考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴，y 轴的交点，以及增减性上寻找其性质．3．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m 值的范围.【详解】解：抛物线的对称轴为直线221mx m∵10a=-<,抛物线开口向下，∴当x m<时，y的值随x值的增大而增大，∵当2x<-时，y的值随x值的增大而增大，∴2m≥-，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.4．B解析：B【解析】【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选B．5．C解析：C【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可解答.【详解】x2－x＝0x(x-1)=0,x=0或x-1=0,∴x1＝0，x2＝1.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，熟知用因式分解法解一元二次方程的方法是解决问题的关键.6．A解析：A【解析】【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．【详解】解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.7．A解析：A【解析】【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．【详解】如图，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB222268BC AC+=+10，∴sin B=84105 ACAB==．故选：A．【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．8．D解析：D【解析】【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案．解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球，∴摸出黑球的概率是2 23，摸出白球的概率是1 23，摸出红球的概率是20 23，∵123＜223＜2023，∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大；故选：D．【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．9．D解析：D【解析】【分析】根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．【详解】解：∵////a b c∴AB DEBC EF=即1.5 1.82EF=解得：EF=2.4故答案为D．【点睛】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．10．C解析：C【解析】【分析】一元二次方程有实数根，则根的判别式∆≥0，且k≠0，据此列不等式求解．【详解】根据题意，得：∆=1-16k≥0且k≠0，解得：116k≤且k≠0．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根的情况，注意k≠0．11．D解析：D【解析】【分析】连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．【详解】连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故选：D．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．12．C解析：C【解析】【分析】x++2的顶点坐标．因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），即可求出y=()21【详解】x++2是顶点式，解：∵二次函数y=()21∴顶点坐标为：(−1，2)；故选：C.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．13．A解析：A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．【详解】解：cos60°=12. 故选A.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值. 14．B解析：B【解析】【分析】①由于AC 与BD 不一定相等，根据圆周角定理可判断①；②连接OD ，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP ，利用等角对等边可得出GP=GD ，可判断②；③先由垂径定理得到A 为CE 的中点，再由C 为AD 的中点，得到CD AE =，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP ，利用等角对等边可得出AP=CP ，又AB 为直径得到∠ACQ 为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC ，得出CP=PQ ，即P 为直角三角形ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形ACQ 的外心，可判断③；④正确．证明△APF ∽△ABD ，可得AP×AD=AF×AB ，证明△ACF ∽△ABC ，可得AC 2=AF×AB ，证明△CAQ ∽△CBA ，可得AC 2=CQ×CB ，由此即可判断④；【详解】解：①错误，假设BAD ABC ∠=∠，则BD AC =，AC CD =，∴AC CD BD ==，显然不可能，故①错误．②正确．连接OD ． GD 是切线，DG OD ∴⊥，90GDP ADO ∴∠+∠=︒，OA OD =，ADO OAD ∴∠=∠，90APF OAD ∠+∠=︒，GPD APF ∠=∠，GPD GDP ∴∠=∠，GD GP ∴=，故②正确．③正确．AB CE ⊥，∴AE AC=，=，AC CD∴CD AE=，∴∠=∠，CAD ACE∴=，PC PAAB是直径，∴∠=︒，90ACQCAP CQP∠+∠=︒，∴∠+∠=︒，9090ACP QCP∴∠=∠，PCQ PQC∴==，PC PQ PAACQ∠=︒，90∆的外心．故③正确．∴点P是ACQ④正确．连接BD．∠=∠=︒，PAF BAD90AFP ADB∠=∠，∽，∴∆∆APF ABD∴AP AF=，AB AD∴⋅=⋅，AP AD AF AB∠=∠=︒，AFC ACBCAF BAC∠=∠，90∴∆∆∽，ACF ABC可得2=，AC AF AB∠=∠，ACQ ACB∠=∠，CAQ ABC∽，可得2∴∆∆CAQ CBA=⋅，AC CQ CB∴⋅=⋅．故④正确，AP AD CQ CB故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确现在在相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．15．A解析：A【解析】根据黄金比的定义得：512APAB-=，得5142522AP-=⨯=- .故选A.二、填空题16．8【解析】【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等边三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，进而得出⊙O的直径为8．【详解】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=解析：8【解析】【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等边三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，进而得出⊙O的直径为8．【详解】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，∴△BOC是等边三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC=BC=4，∴⊙O的直径为8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．17．3【分析】根据圆周角定理可求出∠AOB 的度数，设扇形半径为x ，从而列出关于x 的方程，求出答案.【详解】由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，设扇形半径为x ，故阴解析：3【解析】【分析】根据圆周角定理可求出∠AOB 的度数，设扇形半径为x ，从而列出关于x 的方程，求出答案.【详解】由题意可知：∠AOB ＝2∠ACB ＝2×40°＝80°，设扇形半径为x ，故阴影部分的面积为πx 2×80360＝29×πx 2＝2π， 故解得：x 1＝3，x 2＝－3（不合题意，舍去），故答案为3.【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x 的方程，从而得到答案.18．-3【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值．【详解】解：∵二次函数，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随 解析：-3【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x ≤4时，函数的最小值．【详解】解：∵二次函数222y x x -=-，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增∵−1≤x≤4，∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝-3，故答案为：-3．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．5【解析】【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为5．故答案解析：5【解析】【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为5．故答案为：5．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．20．a>或a<.【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围. 【详解】解：如解析：a>13或a<15.【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围.【详解】解：如图，观察图形抛物线y=ax2-4ax+4的对称轴为直线422axa-=-= ,设抛物线与直线l交点（靠近y轴）为(m,3)，∵│m│<1，∴-1<m<1.当a>0时，若抛物线经过点（1，3）时，开口最大，此时a值最小，将点（1，3）代入y=ax2-4ax+4，得，3=a-4a+4解得a=1 3 ,∴a>1 3 ;当a<0时，若抛物线经过点（-1，3）时，开口最大，此时a值最大，将点（-1，3）代入y=ax2-4ax+4，得，3=a+4a+4解得a=1 5 - ,∴a<1 5 -.a的取值范围是a>13或a<15-.故答案为：a>13或a<15.【点睛】本题考查抛物线的性质，首先明确a值与开口的大小关系，观察图形，即数形结合的思想是解答此题的关键.21．4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第解析：4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则第n行n个数，故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝(1)2n n+，∵当n＝63时，前63行共有63642⨯＝2016个数字，2020﹣2016＝4，∴2020在第64行左起第4个数，故答案为：64，4．【点睛】本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键. 22．2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．解析：2π【解析】分析：根据弧长公式可得结论．详解：根据题意，扇形的弧长为1203180π⨯=2π，故答案为：2π点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．23．【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红解析：5 8【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是55538=+ 故答案为:58． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n． 24．120°【解析】【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得，继而求得答案．【详解】如图，连接OA ，∵OA，OB 为半径，∴，∴，∴劣弧的度数等于，故答案为：1解析：120°【解析】【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得AOB ∠，继而求得答案．【详解】如图，连接OA ，∵OA ，OB 为半径，∴30OAB ABO ∠=∠=︒，∴180120AOB OAB ABO ∠=︒-∠-∠=︒，∴劣弧AB 的度数等于120︒，故答案为：120．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握．25．3000(1+ x)2=4320【解析】【分析】设增长率为x，则2010年绿化面积为3000（1+x）m2，则2021年的绿化面积为3000（1+x）（1+x）m2，然后可得方程．【详解】解析：3000(1+ x)2=4320【解析】【分析】设增长率为x，则2010年绿化面积为3000（1+x）m2，则2021年的绿化面积为3000（1+x）（1+x）m2，然后可得方程．【详解】解：设增长率为x，由题意得：3000（1+x）2=4320，故答案为：3000（1+x）2=4320．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．26．15π【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【详解】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm2．故答案为：15π．【点睛】本题考解析：15π【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【详解】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝12×6π×5＝15πcm2．故答案为：15π．【点睛】本题考查的知识点圆锥的侧面积公式，牢记公式是解此题的关键．27．x1＞2或x1＜0．【解析】【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P、Q的坐标代入解析式中，然后y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论．【详解】解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2解析：x1＞2或x1＜0．【解析】【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，然后将点P、Q的坐标代入解析式中，然后y1＞y2，列出关于x1的不等式即可求出结论．【详解】解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2）＝（x﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，∵点P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函数y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的图象上，∴y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，y2＝﹣2k﹣k2，∵y1＞y2，∴（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2＞﹣2k﹣k2，∴（x1﹣1）2＞1，∴x1＞2或x1＜0．故答案为：x1＞2或x1＜0．【点睛】此题考查的是比较二次函数上两点之间的坐标大小关系，掌握二次函数的顶点式和根据函数值的取值范围求自变量的取值范围是解决此题的关键．28．.【解析】【分析】根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案. 【详解】平均数等于总和除以个数，所以平均数.【点睛】本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的解析：mx ny m n++.【解析】【分析】根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.【详解】平均数等于总和除以个数，所以平均数mx nym n+=+.【点睛】本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的基本求法.29．【解析】【分析】设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF 的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．【详解】解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，解析：25 4【解析】【分析】设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．【详解】解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，而∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴ABEC＝BECF，∴55x-＝xy，∴y＝﹣15x2+x＝﹣15（x﹣52）2+54，∵﹣15＜0，∴x＝52时，y有最大值54，∴CF的最大值为54，∴DF的最小值为5﹣54＝154，∴AF的最小值＝22AD DF+＝221554⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝254，故答案为254．【点睛】本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF的最小值．30．16【解析】【分析】根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB，设小正方形的面积为x，根据勾股定理求出x值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.【详解】解：如解析：16【解析】【分析】根据题意可知四个小正方形的面积相等，构造出直角△OAB，设小正方形的面积为x，根据勾股定理求出x值即可得到小正方形的边长，从而算出4 个小正方形的面积和.【详解】 解：如图，点A 为上面小正方形边的中点，点B 为小正方形与圆的交点，D 为小正方形和大正方形重合边的中点，由题意可知：四个小正方形全等，且△OCD 为等腰直角三角形，∵⊙O 半径为 52，根据垂径定理得：∴OD=CD=522=5， 设小正方形的边长为x ，则AB=12x ， 则在直角△OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2，即()()22215=522x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 解得x=2，∴四个小正方形的面积和=242=16⨯.故答案为：16.【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、正方形的性质，熟练掌握利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．三、解答题31．两次摸到的球都是红球的概率为19. 【解析】【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解.【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有1种情况， ∴两次摸到的球都是红球的概率=19． 【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意画出所有情况，再用公式进行求解.32．(1)8.5米；(2)18.0米【解析】【分析】（1）先根据题意得出DE=AB=7米，AD=BE=1.5米，在Rt △DEH 中，可求出HE 的长度，进而可计算古树BH 的高度；（2）作HJ ⊥CG 于G ，设HJ=GJ=BC=x ，在Rt △EFG 中，利用特殊角的三角函数值求出x 的值，进而求出GF ，最后利用 CG=CF+FG 即可得出答案．【详解】解：（1）由题意：四边形ABED 是矩形，可得DE=AB=7米，AD=BE=1.5米，在Rt △DEH 中，∵∠EDH=45°，∴HE=DE=7米．∴BH=EH+BE=8.5米．答：古树BH 的高度为8.5米．（2）作HJ ⊥CG 于G ．则△HJG 是等腰直角三角形，四边形BCJH 是矩形，设HJ=GJ=BC=x ．在Rt △EFG 中，tan60°=73GF x EF x +== ∴7(31)2x =， ∴3x ≈16.45∴CG=CF+FG=1.5+16.45≈17.95≈18.0米．答：教学楼CG 的高度为18.0米．【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够数形结合，构造出直角三角形是解题的关键．33．（1）2w 2x 120x 1600=-+-；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.【解析】试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.试题解析：（1）由题意得：()()()2w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-⋅=--+=-+-， ∴w 与x 的函数关系式为：2w 2x 120x 1600=-+-.（2）()22w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+，∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为200.答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.34．（1）A （1，0），D （4，3）；（2）①当点P 的横坐标为2时，求△PAD 的面积；②当∠PDA ＝∠CAD 时，直接写出点P 的坐标．【解析】【分析】（1）由于A 、D 是直线直线y ＝x ﹣1与抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5的交点，要求两个交点的坐标，需可联立方程组求解；（2）①要求△PAD 的面积，可以过P 作PE ⊥x 轴，与AD 相交于点E ，求得PE ，再用△PAE 和△PDE 的面积和求得结果；②分两种情况解答：过D 点作DP ∥AC ，与抛物线交于点P ，求出AC 的解析式，进而得PD 的解析式，再解PD 的解析式与抛物线的解析式联立方程组，便可求得P 点坐标；当P 点在AD 上方时，延长DP 与y 轴交于F 点，过F 点作FG ∥AC 与AD 交于点G ，则∠CAD ＝∠FGD ＝∠PDA ，则FG ＝FD ，设F 点坐标为（0，m ），求出G 点的坐标（用m 表示），再由FG ＝FD ，列出m 的方程，便可求得F 点坐标，从而求出DF 的解析式，最后解DF 的解析式与抛物线的解析式联立的方程组，便可求得P 点坐标．【详解】（1）联立方程组2165y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩， 解得，1110x y =⎧⎨=⎩，2243x y =⎧⎨=⎩， ∴A （1，0），D （4，3），（2）①过P 作PE ⊥x 轴，与AD 相交于点E ，。
上海市长宁区2020-2021学年九年级(上)期末数学试卷(中考一模) 含详解
2020-2021学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（）A．10cos50°B．10sin50°C．10tan50°D．10cot50°2．下列命题中，说法正确的是（）A．四条边对应成比例的两个四边形相似B．四个内角对应相等的两个四边形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似3．已知、是两个单位向量，向量＝3，＝﹣3，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝﹣C．||＝||D．||＝﹣||4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么a、c满足（）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜05．已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）6．如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（）A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•ACC．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．已知＝，那么的值为．8．计算：（2﹣）+＝．9．计算：cos45°+sin260°＝．10．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为．11．将抛物线y＝2x2﹣1向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是．12．一辆汽车沿着坡度i＝1：的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下降了米．13．已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1 y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．14．如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于．15．已知，二次函数f（x）＝ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（﹣3）＝．x﹣2﹣1012345y50﹣3﹣4﹣3051216．如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于．17．如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．18．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F 分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）已知二次函数y＝﹣x2﹣x+．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y随自变量x 的变化而变化的情况．20．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）21．（10分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，＝．（1）求证：DF∥BE；（2）如果AF＝2，EF＝4，AB＝6，求的值．22．（10分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，≈1.73．）23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B （6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．25．（14分）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G 为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）2020-2021学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的长为（）A．10cos50°B．10sin50°C．10tan50°D．10cot50°【分析】根据直角三角形的边角关系可得结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∵cos B＝，∠B＝50°，AB＝10，∴BC＝AB•cos B＝10•cos50°，故选：A．2．下列命题中，说法正确的是（）A．四条边对应成比例的两个四边形相似B．四个内角对应相等的两个四边形相似C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．【解答】解：A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选：D．3．已知、是两个单位向量，向量＝3，＝﹣3，那么下列结论正确的是（）A．＝B．＝﹣C．||＝||D．||＝﹣||【分析】根据题意可以得到：与方向相同，与方向相同．【解答】解：根据题意知，与方向相同，与方向相同．A、当向量与方向相反时，＝，故本选项不符合题意．B、当、是两个单位向量方向相同时，＝﹣，故本选项不符合题意．C、由向量＝3，＝﹣3知，||＝||，故本选项符合题意．D、由向量＝3，＝﹣3知，||＝||，故本选项不符合题意．故选：C．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么a、c满足（）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0【分析】根据抛物线开口方向以及与y轴的交点情况即可进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，故选项A、B、D错误，选项C正确．故选：C．5．已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣）B．10（﹣2）C．5（﹣1）D．5（+1）【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可．【解答】解：如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝10，∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1），∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2），故选：B．6．如图，已知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（）A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•ACC．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD【分析】根据相似三角形的性质，由△ABE∽△CBA得到AB：BC＝BE：AB，则可对A 选项进行判断；由△ABE∽△CBA得到∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，则证明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性质得CD：AC＝AD：AB，则可对B选项进行判断；证明△CAD∽△ABE得到AD：BE＝CD：AE，加上AD＝AE，则可对C选项进行判断；利用△CBA∽△ABE得到AB•AC＝AE•CB，由于AE2＝CD•BE，AE≠CB，则可对D选项进行判断．【解答】解：∵△ABE∽△CBA，∴AB：BC＝BE：AB，∴AB2＝BE•BC，所以A选项的结论正确；∵△ABE∽△CBA，∴∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠BAC，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∠ACD＝∠BCA，∴∠ADE＝∠BAC，∵∠ADC＝∠BAC，∴△CAD∽△CBA，∴CD：AC＝AD：AB，即CD•AB＝AD•AC，所以B选项的结论正确；∵△ABE∽△CBA，△CAD∽△CBA，∴△CAD∽△ABE，∴AD：BE＝CD：AE，即AD•AE＝CD•BE，∵AD＝AE，∴AE2＝CD•BE，所以C选项的结论正确；∵△CBA∽△ABE，∴AC：AE＝CB：AB，∴AB•AC＝AE•CB，∵AE2＝CD•BE，AE≠CB，∴AB•AC≠BE•CD，所以D选项的结论不正确．故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．已知＝，那么的值为﹣3．【分析】利用比例性质得到y＝2x，把y＝2x代入，然后进行分式的化简．【解答】解：∵＝，∴y＝2x，∴原式＝＝﹣＝﹣3．故答案为﹣3．8．计算：（2﹣）+＝+．【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．【解答】解：原式＝﹣+＝+．故答案是：+．9．计算：cos45°+sin260°＝．【分析】将cos45°＝，sin60°＝代入求解．【解答】解：原式＝×+（）2＝1+＝．故答案为：．10．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为5：4．【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，∴其相似比为5：4，∴这两个相似三角形的周长的比为5：4，故答案为：5：4．11．将抛物线y＝2x2﹣1向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是y＝2x2﹣4．【分析】先确定抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，﹣4），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的表达式．【解答】解：抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）向下平移3个单位后所得对应点的坐标为（0，﹣4），所以平移后的抛物线的表达式是y＝2x2﹣4．故答案为y＝2x2﹣4．12．一辆汽车沿着坡度i＝1：的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下降了25米．【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【解答】解：∵坡度i＝1：，∴设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2+（x）2＝502．解得x＝25（负值舍去），即它距离地面的垂直高度下降了25米．故答案为：25．13．已知抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），比较y1与y2的大小：y1＞y2（选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．【分析】把点A、B的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得y1与y2的值，然后比较它们的大小．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点A（﹣1，y1）和B（2，y2），∴y1＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）+c＝3+c，y2＝22﹣2×2+c＝c，∵y1﹣y2＝3＞0，∴y1＞y2，故答案是：＞．14．如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于15．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，这样可求出FD的长，然后计算CF+FD即可．【解答】解：∵AC∥EF∥BD，∴＝＝，∴FD＝CF＝×6＝9，∴CD＝CF+FD＝6+9＝15．故答案为15．15．已知，二次函数f（x）＝ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f（﹣3）＝12．x﹣2﹣1012345y50﹣3﹣4﹣30512【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x＝﹣3时的函数值与x＝5时的函数值相同．【解答】解：由图可知，f（﹣3）＝f（5）＝12．故答案为：12．16．如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于．【分析】根据题意画出图形，延长BG交AC于点H，由等腰三角形的性质可得出BH⊥AC，由重心的性质可得GH的长，最后由勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：如图所示：延长BG交AC于点H，∵G是△ABC的重心，AC＝4，∴AH＝CH＝2，∵AG＝CG，∴BH⊥AH，∴∠AHB＝90°，∵BG＝2，∴GH＝1，由勾股定理得：AB＝＝＝．故答案为：．17．如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的长等于．【分析】首先根据题意得到EG＝CG，CE⊥BD，证明△CDF∽△BCD和△CDG∽△BDC，可计算CD和CG的长，再证明△EFD∽△AED，可得AE的长．【解答】解：由折叠得：CE⊥BD，CG＝EG，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠FDG＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠DFG，∵∠CDF＝∠BCD＝90°，∴△CDF∽△BCD，∴，∵AB＝4，DF＝1，∴，∴CD＝2，由勾股定理得：CF＝＝，BD＝＝2，同理得：△CDG∽△BDC，∴＝，∴＝，∴CG＝，∴CE＝2CG＝，∴EF＝CE﹣CF＝﹣＝，∵＝，＝＝，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴，即，∴AE＝．故答案为：．18．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F 分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC＝，AD＝，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠F AE＝∠AFC＝90°，∵AC＝，∴AF＝，∵AD＝，E为AD中点，∴AE＝，∴EF＝＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）已知二次函数y＝﹣x2﹣x+．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y随自变量x 的变化而变化的情况．【分析】（1）直接利用配方法进而将二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；（2）根据二次函数的二次项系数判断该函数图象的开口方向，由二次函数的顶点式关系式找出其顶点坐标、对称轴，由二次函数的单调性来判断y随自变量x的变化而变化的情况．【解答】解：（1）y＝﹣x2﹣x+．＝﹣（x2+2x+1）++，＝﹣（x+1）2+4；（2）∵a＝﹣＜0，∴二次函数图象的开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为直线x＝﹣1，图象在直线x＝﹣1左侧，y随x的增大而增大，在直线x＝﹣1右侧，y随x的增大而减小．20．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【分析】（1）首先证明BO＝BE，求出即可解决问题．（2）证明OC＝AC，求出即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝EC，∴＝＝，∴BP＝BE，∴＝＝（+）＝（﹣）＝﹣．（2）∵AE∥BC，∴＝＝，∴＝＝（+）＝（+）＝+．如图，在、上的分向量分别为和．21．（10分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，＝．（1）求证：DF∥BE；（2）如果AF＝2，EF＝4，AB＝6，求的值．【分析】（1）先由平行线分线段成比例定理得＝，再证＝，即可得出结论；（2）先证＝，再证△ADE∽△AEB，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴＝，∵＝，∴＝，∴DF∥BE；（2）解：∵AF＝2，EF＝4，∴AE＝AF+EF＝6，＝＝，∴＝，∴AD＝AB＝2，BD＝2AD＝4，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEB，∴＝＝．22．（10分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，≈1.73．）【分析】延长BC交AD于点E，构造直角△ABE和矩形EDNB，设AE＝x米．通过解直角三角形分别表示出BE、CE的长度，根据BC＝BE﹣CE得到1.73x﹣0.75x＝0.98，解得即可求得AE进而即可求得．【解答】解：延长BC交AD于点E，设AE＝x米．∵，∴CE＝≈0.75x，BE＝≈1.73x，∴BC＝BE﹣CE＝1.73x﹣0.75x＝0.98．解得x＝1，∴AE＝1，∴AD＝AE+ED＝1+1.6＝2.6（米）．答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米．23．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH＝∠CBH，根据等腰三角形的性质得到∠CED＝∠CDE，进而得到∠AEC＝∠ADB，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，根据相似三角形的性质得到＝，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，CH⊥AB，∴∠ACB＝∠AHC＝90°，∴∠ACH＝∠CBH，∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ACE∽△ABD；（2）过点B作BG∥AC交AD的延长线于点G，∴∠CAD＝∠G，∵△ACE∽△ABD，∴＝，∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠G，∴AB＝BG，∵BG∥AC，∴△ADC∽△GDB，∴＝，∴＝，∴＝，∴△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B （6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组，即可得出结论；（2）①先求出点D坐标，进而求出BC，CD，DB，判断出△BDC是直角三角形，即可得出结论；②构造出等腰三角形，利用对称性求出点F的坐标，进而求出直线CF的解析式，进而联立抛物线解析式，解方程组，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣3，﹣6）、B（6，0），∴，∴，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）①如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），当x＝2时，y＝﹣×4+×2+2＝4，∴D（2，4），∵B（6，0），∴CD2＝（2﹣0）2+（4﹣2）2＝8，BC2＝（6﹣0）2+（0﹣2）2＝40，DB2＝（6﹣2）2+（0﹣4）2＝32，∴CD2+BC2＝DB2，∴△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，CD＝2，BD＝4，∴cot∠DCB＝＝＝；②如图2，过点C作CE∥x轴，则∠BCE＝∠CBO，∵∠DCB＝2∠CBO，∴∠DCE＝∠BCE，过点B作BE⊥CE，并延长交CD的延长线于F，∵C（0，2），B（6，0），∴F（6，4），设直线CF的解析式为y＝kx+2，∴6k+2＝4，∴k＝，∴直线CF的解析式为y＝x+2①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2②，联立①②，解得或，∴D（4，）．25．（14分）已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G 为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）【分析】（1）由“AAS”可证△AGM≌△DGF，可得AM＝DF＝4，AG＝GD＝AD＝2，由勾股定理可求GF的长，由锐角三角函数可求MC的长，即可求解；（2）过点M作MH⊥CD于H，过点G作GP⊥CD于P，通过证明△FHM∽△MHC，可得，可求FH＝，PH＝，DP＝2﹣，GP＝x，由勾股定理可求解；（3）分两种情况讨论，通过全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵点G为线段MF的中点，∴GF＝MG，又∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AGM＝∠FGD，∴△AGM≌△DGF（AAS），∴AM＝DF＝4，AG＝GD＝AD＝2，∴GF＝＝＝2，∴FM＝2GF＝4，∵tan F＝，∴，∴MC＝2，∴S△MFC＝×FM×MC＝×4×2＝20；（2）过点M作MH⊥CD于H，过点G作GP⊥CD于P，∴GP∥MH，MH＝AD＝x，∴＝，∴GP＝MH＝x，FP＝FH＝FH，∵∠CMF＝90°＝∠FHM＝∠CHM，∴∠F+∠FCM＝90°＝∠F+∠FMH＝∠FCM+∠CMH，∴∠F＝∠CMH，∠FCM＝∠CMH，∴△FHM∽△MHC，∴，∴MH2＝FH•HC，∴FH＝，∴PH＝，∴DP＝2﹣，GP＝x，∵DG2＝DP2+GP2，∴y＝+4（2＜x＜4）；（3）如图3，当点G在矩形的外部时，延长DG交AB于J，连接AG，AF，∵∠FMC＝90°，∴∠AME+∠CMB＝90°＝∠CMB+∠BCM，∴∠AME＝∠MCB，∵∠EDG＝∠EFD＝∠AME＝∠MCB，AD＝BC，∠DAJ＝∠B＝90°，∴△ADJ≌△BCM（ASA），∴AJ＝BM＝2，∴JM＝4，∵AB∥CD，∴，∴MJ＝FD＝4，GJ＝DG，∴AG＝DG＝GJ，∴∠GAD＝∠GDA＝∠GFD，又∵∠AEG＝∠FED，∴∠AGE＝∠FDE＝90°，又∵FG＝GM，∴AF＝AM＝6，∴AD＝＝＝2，当点G在矩形的外部时，延长DG交BA的延长线于L，连接DM，同理可求AD＝2，综上所述：AD＝2或2．。
沪教版2020初三数学九年级上册期末试题和答案
沪教版2020初三数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．12．抛物线223y x x =++与y 轴的交点为（ ） A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,3)D ．(3,0)3．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．80° 4．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－1 5．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜16．下列函数中属于二次函数的是( ) A ．y ＝12x B ．y ＝2x 2-1C ．y ＝23x +D ．y ＝x 2＋1x＋1 7．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ） A ．5π B ．10π C ．20π D ．40π 8．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．1809．如图，已知等边△ABC 的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，CF 为半径作圆，D 是⊙C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（ ）A ．3B ．5C ．4D ．610．已知反比例函数ky x=的图象经过点（m ，3m ），则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 11．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，则sin B 的值是（ ）A ．45B ．35C ．43D ．3412．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3π-C ．23π-D ．223π-13．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，那么sin A 的值是（ ） A ．12B ．13C ．10 D ．31014．抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（ ） A ．(2，3) B ．(﹣2，3) C ．(2，﹣3) D ．(﹣2，﹣3) 15．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．2(1)6x -=B ．2(1)6x +=C ．2(1)9x +=D ．2(1)9x -=二、填空题16．在比例尺为1∶500 000的地图上，量得A 、B 两地的距离为3 cm ，则A 、B 两地的实际距离为_____km ．17．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，PA ＞PB ，AB ＝4 cm ，则PA ＝____cm ． 18．抛物线y ＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．19．某一时刻身高160cm 的小王在太阳光下的影长为80cm ，此时他身旁的旗杆影长10m ，则旗杆高为______． 20．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，45BAC ∠=︒，BC 的长是54π，则O 的半径是__________．21．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AEAC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．22．若m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则15m ﹣3m+2010的值为_____． 23．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是__________________________．24．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.25．方程290x 的解为________.26．已知关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________． 27．如图，抛物线214311515y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．28．在Rt △ABC 中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____． 29．若⊙O 的直径是4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是_________．30．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，8，5，9；乙：9，6，8，10，7，8． （1）请补充完整下面的成绩统计分析表：平均分 方差 众数 中位数甲组89乙组538 8（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________．三、解答题31．（1）解方程：234x x -=；（2）计算：2tan 60sin 452cos30︒+︒-︒ 32．(1)问题提出：苏科版《数学》九年级(上册)习题2.1有这样一道练习题：如图①，BD 、CE 是△ABC 的高，M 是BC 的中点，点B 、C 、D 、E 是否在以点M 为圆心的同一个圆上？为什么？在解决此题时，若想要说明“点B 、C 、D 、E 在以点M 为圆心的同一个圆上”，在连接MD 、ME 的基础上，只需证明 ．(2)初步思考：如图②，BD 、CE 是锐角△ABC 的高，连接DE ．求证：∠ADE ＝∠ABC ，小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)(3)推广运用：如图③，BD 、CE 、AF 是锐角△ABC 的高，三条高的交点G 叫做△ABC 的垂心，连接DE 、EF 、FD ，求证：点G 是△DEF 的内心．33．为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x （元）和游客居住房间数y （间）的信息，乐乐绘制出y 与x 的函数图象如图所示： （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？34．如图，在矩形 ABCD 中，CE⊥BD，AB=4，BC=3，P 为 BD 上一个动点，以 P 为圆心，PB 长半径作⊙P，⊙P 交 CE、BD、BC 交于 F、G、H（任意两点不重合），（1）半径 BP 的长度范围为；（2）连接 BF 并延长交 CD 于 K，若 tan ∠KFC = 3 ，求 BP；（3）连接 GH，将劣弧 HG 沿着 HG 翻折交 BD 于点 M，试探究PMBP是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由.35．如图，BD、CE是ABC的高．（1）求证：ACE ABD∽；（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．四、压轴题36．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.37．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形.（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？ 38．问题发现：（1）如图①，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AB 上点（点E 不与A 、B 重合），将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°，所得射线与BC 交于点F ，则四边形OEBF 的面积为 ． 问题探究：（2）如图②，线段BQ ＝10，C 为BQ 上点，在BQ 上方作四边形ABCD ，使∠ABC ＝∠ADC ＝90°，且AD ＝CD ，连接DQ ，求DQ 的最小值； 问题解决：（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，AC ＝600米．其中AB 、BD 、BC 为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB +BD +BC 的最大值．39．平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2y x bx c =-++的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．40．如图，抛物线2()20y ax x c a =++＜与x 轴交于点A 和点B (点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧)，与y 轴交于点C ，3OB OC ==．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当32COFCDFSS=：:时，求点D 的坐标．(3)如图2，点E 的坐标为(03)2-，，点P 是抛物线上的点，连接EB PB PE ，，形成的PBE △中，是否存在点P ，使PBE ∠或PEB ∠等于2OBE ∠？若存在，请直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解． 【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4． 故选A ． 【点睛】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．2．C解析：C 【解析】 【分析】令x=0，则y=3，抛物线与y 轴的交点为（0，3）． 【详解】解：令x=0，则y=3，∴抛物线与y轴的交点为（0，3），故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键．3．D解析：D【解析】【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可；【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，∵∠BIC＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝80°．故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.4．C解析：C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.由题意得，解得故选C.考点：一元二次方程的根的判别式点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．5．D解析：D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．详解：∵方程2x2x m0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->， 解得：m ＜1． 故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. y ＝12x 是正比例函数，不符合题意； B. y ＝2x 2-1是二次函数，符合题意；C. yD. y ＝x 2＋1x＋1不是二次函数，不符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用圆锥面积=Rr 计算. 【详解】Rr =2510，故选：B. 【点睛】此题考查圆锥的侧面积公式，共有三个公式计算圆锥的面积，做题时依据所给的条件恰当选择即可解答.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数． 【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为2π，∴4 2180nππ⨯=解得：90n=，即其圆心角度数是90︒故选C．【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．9．B解析：B【解析】【分析】点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得CD⊥BC，根据勾股定理即可求得结论．【详解】解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，连接CD，∵△ABC是等边三角形，AB是直径，∴EF⊥BC，∴F是BC的中点，∵E为BD的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴CD∥EF，∴CD⊥BC，BC=4，CD=2，故2216425BC CD+=+=故选：B．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练并正确的作出辅助圆是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：将点（m，3m）代入反比例函数kyx=得，k=m•3m=3m2＞0；故函数在第一、三象限，故选B．11．A解析：A【解析】【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．【详解】如图，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB222268BC AC+=+10，∴sin B=84105 ACAB==．故选：A．【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．12．D解析：D【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，33∴△ABC的面积为12BC•AD=1232⨯3S扇形BAC=2602360π⨯=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣3﹣3，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．13．C解析：C【解析】【分析】根据正切函数的定义，可得BC，AC的关系，根据勾股定理，可得AB的长，根据正弦函数的定义，可得答案．【详解】tan A＝BCAC＝13，BC＝x，AC＝3x，由勾股定理，得AB10x，sin A＝BCAB10故选：C．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，利用正切函数的定义得出BC=x，AC=3x是解题关键．14．A解析：A【解析】【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.【详解】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，难度不大.15．A解析：A【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【详解】方程移项得：x2−2x＝5，配方得：x2−2x＋1＝6，即（x−1）2＝6．故选：A．【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二、填空题16．15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离解析：15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，∴A、B两地的实际距离3×500000=1500000cm=15km，故答案为15．此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．17．2－2【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入运算即可．【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=4×=cm，故答案为解析：2【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AB，代入运算即可．【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；21cm，则=)故答案为：（2）cm.【点睛】此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=，难度一般．18．（﹣2，5）【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．故答案为：（﹣2，5）．【点解析：（﹣2，5）【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．故答案为：（﹣2，5）．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．19．20m【解析】【分析】根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式，计算即可．【详解】解：设旗杆的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：：10，解得．故答案是：20m．解析：20m【解析】【分析】根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式，计算即可．【详解】解：设旗杆的高度为xm，=：10，根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：80x=．解得x20故答案是：20m．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．20．【解析】【分析】连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.【详解】解：连接OB、OC，如图，∵，∴∠BOC=90°，∵的长是， ∴， 解得：解析：52【解析】【分析】连接OB 、OC ，如图，由圆周角定理可得∠BOC 的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.【详解】解：连接OB 、OC ，如图，∵45BAC ∠=︒，∴∠BOC =90°，∵BC 的长是54π， ∴9051804OB ππ⋅=， 解得：52OB =. 故答案为：52.【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键. 21．3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，∴＝，解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】本题解析：3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】 解：∵AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226， 解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】 本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.22．2019【解析】【分析】根据m 是方程5x2﹣3x ﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m ﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣＝3，然后整体代入即可求得答案．【详解】解解析：2019【解析】【分析】根据m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根代入得到5m 2﹣3m ﹣1＝0，进一步得到5m 2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣1m ＝3，然后整体代入即可求得答案． 【详解】解：∵m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，∴5m 2﹣3m ﹣1＝0，∴5m 2﹣1＝3m ，两边同时除以m 得：5m ﹣1m ＝3， ∴15m ﹣3m +2010＝3（5m ﹣1m）+2010＝9+2010＝2019， 故答案为：2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.23．50（1﹣x ）2=32．【解析】由题意可得，50(1−x)²=32，故答案为50(1−x)²=32.解析：50（1﹣x）2=32．【解析】由题意可得，50(1−x)²=32，故答案为50(1−x)²=32.24．16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，∴∠CED=∠OAB=90°，∵CD∥OE，∴∠C解析：16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，∴∠CED=∠OAB=90°，∵CD∥OE，∴∠CDA=∠OBA，∴△AOB∽△ECD，∴CE OA16OA==，,DE AB220解得OA=16．故答案为16．25．【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．故答案为．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这x=±解析：3【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．x=±．故答案为3【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．26．【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【详解】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围. ，，方程有两个不相等的实数k<解析：3【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【详解】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围.=方程有两个不相等的实数根，1a，b=-，c k241240b ac k ∴∆=-=->，3k ∴<.故答案为：3k <．【点睛】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．27．【解析】【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.【详解】令中y=0，得x1=【解析】【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.【详解】令21115y x =-中y=0，得x 1x 2∴直线AC 的解析式为1y =-， 设P （x ，313x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1∴PQ 2=PB 2-BQ 2，2+（313x ）2-1， =242837533x x ， ∵43a =0<，∴PQ 2有最小值24283475()3326443，∴PQ【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.28．5【解析】【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．【详解】由勾股定理得：AB ＝＝10，∵∠ACB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10；∴这解析：5【解析】【分析】根据直角三角形外接圆的直径是斜边的长进行求解即可．【详解】由勾股定理得：AB ＝10，∵∠ACB ＝90°，∴AB 是⊙O 的直径，∴这个三角形的外接圆直径是10；∴这个三角形的外接圆半径长为5，故答案为5．【点睛】本题考查了90度的圆周角所对的弦是直径，熟练掌握是解题的关键.29．相离【解析】r=2,d=3, 则直线l 与⊙O 的位置关系是相离解析：相离【解析】r=2,d=3, 则直线l 与⊙O 的位置关系是相离30．（1），8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中解析：（1）83，8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由．【详解】（1）甲组方差： ()()()()()()22222218789810888589863⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲组数据由小到大排列为：5，7，8，9，9，10故甲组中位数：（8+9）÷2=8.5乙组平均分：(9+6+8+10+7+8)÷6=8填表如下：故答案为：83，8.5，8；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【点睛】本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键．三、解答题31．（1）x 1=-1，x 2=4；（2）原式=12 【解析】【分析】（1）按十字相乘的一般步骤，求方程的解即可；（2）把函数值直接代入，求出结果【详解】解：（1）234x x -=(x+1)(x-4)=0∴x 1=-1，x 2=4；（2）原式2=12【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次过程、特殊角的三角函数值及实数的运算，解决（1）的关键是掌握十字相乘的一般步骤；解决（2）的关键是记住特殊角的三角函数值．32．(1)ME ＝MD ＝MB ＝MC ；(2)证明见解析；(3)证明见解析．【解析】【分析】(1)要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等．(2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证ME ＝MD ＝MB ＝MC ，得到四边形BCDE 为圆内接四边形，故有对角互补．(3)根据内心定义，需证明DG 、EG 、FG 分别平分∠EDF 、∠DEF 、∠DFE ．由点B 、C 、D 、E四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝90°，根据(2)易证点B、F、G、E也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG，等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线．【详解】解：(1)根据圆的定义可知，当点B、C、D、E到点M距离相等时，即他们在圆M上故答案为：ME＝MD＝MB＝MC(2)证明：连接MD、ME∵BD、CE是△ABC的高∴BD⊥AC，CE⊥AB∴∠BDC＝∠CEB＝90°∵M为BC的中点∴ME＝MD＝12BC＝MB＝MC∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上∴∠ABC+CDE＝180°∵∠ADE+∠CDE＝180°∴∠ADE＝∠ABC(3)证明：取BG中点N，连接EN、FN∵CE、AF是△ABC的高∴∠BEG＝∠BFG＝90°∴EN＝FN＝12BG＝BN＝NG∴点B、F、G、E在以点N为圆心的同一个圆上∴∠FBG＝∠FEG∵由(2)证得点B、C、D、E在同一个圆上∴∠FBG＝∠CED∴∠FEG＝∠CED同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG∴点G是△DEF的内心【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理、中点的性质、三角形内心的判定、圆周角定理、角平分线的定义，综合性较强，解决本题的关键是熟练掌握三角形斜边中线定理、圆周角定理，能够根据题意熟练掌握各个角之间的内在联系.33．（1）y=﹣0.5x+110；（2）房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．【解析】【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；（2）根据题意可以得到利润与x 之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．【详解】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，70758070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：0.5110k b =-⎧⎨=⎩， 即y 与x 之间的函数关系式是y=﹣0.5x+110；（2）设合作社每天获得的利润为w 元，w=x （﹣0.5x+110）﹣20（﹣0.5x+110）=﹣0.5x 2+120x ﹣2200=﹣0.5（x ﹣120）2+5000， ∵60≤x≤150，∴当x=120时，w 取得最大值，此时w=5000，答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．34．（1）95102BP <<；（2）BP=1；（3）1125PM BP = 【解析】【分析】（1）当点G 和点E 重合，当点G 和点D 重合两种临界状态，分别求出BP 的值，因为任意点都不重合，所以BP 在两者之间即可得出答案； （2）∠KFC 和∠BFE 是对顶角，得到tan =3BE BFE EF∠=，得出EF 的值，再根据△BEF ∽△FEG ，求出EG 的值，进而可求出BP 的值； （3）设圆的半径，利用三角函数表示出PO ，GO 的值，看PP G '∆用面积法求出P Q '，在P GQ '∆中由勾股定理得出MQ 的值，进而可求出PM 的值即可得出答案．【详解】（1）当G 点与E 点重合时，BG=BE ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，AB=4，BC=3，∴BD=5，∵CE ⊥BD ，∴1122BC CD BD CE ⋅=⋅, ∴125CE =, 在△BEC 中，由勾股定理得：221293()55BE =-=, ∴910BP =, 当点G 和点D 重合时，如图所示：∵△BCD 是直角三角形，∴BP=DP=CP ,∴52BP =， ∵任意两点都不重合，∴95102BP <<， （2）连接FG ，如图所示：∵∠KFC=∠BFE ，tan ∠KFC = 3，∴tan 3BFE ∠=，∴3BE EF=， ∴335BE EF ==, ∵BG 是圆的直径，∴∠BFG=90°， ∴∠GFE+∠BFE=90°，∵CE ⊥BD ，∴∠FEG=∠FEB=90°，∴∠GFE+∠FGE=90°，∴∠BFE=∠FGE∴△BEF ∽△FEG ，∴2EF BE EG =⋅, ∴99255EG =, ∴15EG =, ∴BG=EG+BE=2，∴BP=1，（3）PM BP为定值， 过P '作P Q BD '⊥,连接P G '，P M '，P P '交GH 于点O ，如下图所示：设5BP x PG P G P M ''====，则3PO P O x '==，4GO x =， ∴1122P Q PG GO PP ''⋅=⋅， ∴245P Q x '=， ∴2275MQ GQ P G P Q x ''==-=， ∴145MG x =， ∴115PM PG MG x =-=， ∴1111:5525PM x x BP == 【点睛】本题考查了动圆问题，矩形的性质，面积法的运用，三角函数，相似三角形的判定和性质等知识点，属于圆和矩形的综合题，难度中等偏上，利用数形结合思想和扎实的基础是解决本题的关键．35．（1）见解析；（2）BC ＝253． 【解析】【分析】（1）BD 、CE 是ABC 的高，可得90ADB AEC ∠=∠=︒，进而可以证明ACE ABD ∽； （2）在Rt ABD 中，8BD =，6AD =，根据勾股定理可得10AB =，结合（1）ACE ABD ∽，对应边成比例，进而证明AED ACB ∽，对应边成比例即可求出BC 的长．【详解】解：（1）证明：BD 、CE 是ABC ∆的高，90ADB AEC ∴∠=∠=︒，A A ∠=∠，ACE ABD ∴∽；（2）在Rt ABD 中，8BD =，6AD =，根据勾股定理，得2210AB AD BD =+=，ACE ABD ∽，∴AC AE AB AD=， A A ∠=∠，AED ACB ∴∽，∴DE AD BC AB=， 5DE =，5102563BC ⨯∴==． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．四、压轴题36．(1) ☉O 的半径是32；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】【分析】(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可．(2) 连接OA , OB , OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出OC AB ⊥,延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证.【详解】解：(1)连接AB ，。
_上海市徐汇区2020——2021学年九年级上学期期末数学试卷(一模) 解析版
2020-2021学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．将抛物线y＝2（x+1）2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后．所得抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2﹣2B．y＝2（x﹣2）2+2C．y＝2（x+4）2﹣2D．y＝2（x+4）2+22．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（）A．tan C＝B．cot C＝C．sin C＝D．cos C＝3．已知抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）4．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里5．下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含30°角的直角三角形必相似6．定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．例如：[1.7]＝1，[]＝0，[﹣2]＝﹣3．根据你学习函数的经验，下列关于函数y＝[x]的判断中，正确的是（）A．函数y＝[x]的定义域是一切整数B．函数y＝[x]的图象是经过原点的一条直线C．点（2，2）在函数y＝[x]图象上D．函数y＝[x]的函数值y随x的增大而增大二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．8．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是．9．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是．10．已知二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，那么a的取值范围是．11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△AED和四边形DECB的面积相等，BC＝2，那么DE的长是．12．在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是米．13．已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是米．14．如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tan C ＝，那么DP的长是．15．如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是．16．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD 的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么∠ABE的余切值是．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，＝，那么MN的长是．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin ∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78分）19．（10分）计算：sin45°cot45°﹣tan60°+|2cos45°﹣cot30°|．20．（10分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F，AB＝1.2，BC＝1.8．（1）求BF：DF的值；（2）设＝，＝．求向量（用向量、表示）．21．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的表达式及点M的坐标；（2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由．22．（10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）23．（12分）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD 与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x 轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t ＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G （1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；（3）当AG＝AE时，求CD的长．2020-2021学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．将抛物线y＝2（x+1）2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后．所得抛物线的表达式是（）A．y＝2（x﹣2）2﹣2B．y＝2（x﹣2）2+2C．y＝2（x+4）2﹣2D．y＝2（x+4）2+2【分析】先确定抛物线y＝2（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），再根据点平移的规律得到把点（﹣1，0）平移后得到对应点的坐标为（2，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为（2，﹣2），所以平移后的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2．故选：A．2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，那么下列结论正确的是（）A．tan C＝B．cot C＝C．sin C＝D．cos C＝【分析】画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．【解答】解：如图，由勾股定理得，AC＝＝＝8，∴tan C＝＝＝，cot C＝＝＝，sin C＝＝＝，cos C＝＝＝，因此选项D符合题意，故选：D．3．已知抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后计算出自变量为0所对应的函数值，再根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），∴﹣16+16+c＝3，∴c＝3，∴抛物线为y＝﹣x2+4x+3，当x＝0时，y＝﹣x2+4x+3＝3；所以点（0，3）在抛物线y＝﹣x2+4x+3上．故选：B．4．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．5．下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含30°角的直角三角形必相似【分析】直接利用相似图形的判定方法得出答案．【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误；D、两个含30°角的直角三角形必相似，故此选项正确．故选：D．6．定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．例如：[1.7]＝1，[]＝0，[﹣2]＝﹣3．根据你学习函数的经验，下列关于函数y＝[x]的判断中，正确的是（）A．函数y＝[x]的定义域是一切整数B．函数y＝[x]的图象是经过原点的一条直线C．点（2，2）在函数y＝[x]图象上D．函数y＝[x]的函数值y随x的增大而增大【分析】根据题意，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，函数y＝[x]的定义域是一切实数，故选项A错误；函数y＝[x]的图象是分段函数，故选项B错误；点（2，2）在函数y＝[x]图象上，故选项C正确；函数y＝[x]的函数值y随x的增大不一定增大，如x＝1.2时，y＝[1.2]＝1，x＝1.5时，y ＝[1.5]＝1，即x＝1.2和x＝1.5时的函数值相等，故选项D错误；故选：C．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果a：b＝2：3，那么代数式的值是．【分析】根据已知条件得出＝，再把要求的式子化成＝﹣1，然后代值计算即可．【解答】解：∵a：b＝2：3，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝．故答案为：．8．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是．【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，∴，即，解得：BF＝，故答案为：．9．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是2﹣2．【分析】先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP＝AB，把AB＝4代入计算即可．【解答】解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．10．已知二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，那么a的取值范围是a＞0．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝a（x+）2﹣1，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣，∵二次函数y＝a（x+）2﹣1的图象在直线x＝﹣的左侧部分是下降的，∴a＞0，故答案为：a＞011．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△AED和四边形DECB的面积相等，BC＝2，那么DE的长是2．【分析】先根据题意得到＝，再证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质得＝（）2＝，然后利用比例的性质可求出DE的长．【解答】解：∵△AED和四边形DECB的面积相等，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，即＝，∴DE＝2．故答案为2．12．在坡度为i＝1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，那么斜坡上相邻两棵树间的坡面距离是2米．【分析】根据坡度的定义，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，过B作BC⊥AD于C，∵山坡AB的坡度为i＝1：3，株距（相邻两棵树间的水平距离）是6米，∴水平距离AC＝6米，铅垂高度BC＝2米，∴斜坡上相邻两树间的坡面距离AB＝＝2（米），故答案为：2．13．已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是（30﹣10）米．【分析】过C作CE⊥AB于E，先由矩形和含30°角的直角三角形的性质求出AE的长，再由等腰直角三角形的性质求出AB的长，即可得出结果．【解答】解：如图，甲楼为CD、乙楼为AB，BD＝30米，∠ADB＝45°，∠CAF＝30°，过C作CE⊥AB于E，则四边形BDCE为矩形，CE∥AF，∴CE＝BD＝30米，CD＝BE，∠ACE＝∠CAF＝30°，∴AE＝CE＝10（米），在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB＝30米，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝（30﹣10）米，即甲楼的高为（30﹣10）米，故答案为：（30﹣10）．14．如图，点P在线段BC上，AB⊥BC，DP⊥AP，CD⊥DP，如果BC＝10，AB＝2，tan C＝，那么DP的长是．【分析】由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP∥CD，则∠C＝∠APB，由tan∠APB＝，求得BP＝4，PC＝6，在Rt△CDP中，tan C＝，CD＝，得出＝，即可得出结果．【解答】解：∵DP⊥AP，CD⊥DP，∴AP∥CD，∴∠C＝∠APB，∵AB⊥BC，∴tan∠APB＝，∵tan C＝，∴＝，∴BP＝4，∴PC＝BC﹣BP＝10﹣4＝6，在Rt△CDP中，tan C＝，CD＝＝，∴＝，解得：DP＝或DP＝﹣（不合题意舍去），故答案为：．15．如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、AB上，点F、G在边BC上，那么AD的长是4﹣6．【分析】过A点作AM⊥BC于M，交DE于N，如图，根据等边三角形的性质得到∠C ＝∠CAB＝60°，CM＝BM＝BC＝1，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AM ＝，设正方形DEFG的边长为x，则DG＝DE＝x，MN＝DG＝x，AN＝﹣x，接着证明△ADE∽△ACB，利用相似三角形的性质得＝，解得x＝4﹣6，然后证明△ADE为等边三角形，从而得到AD＝DE．【解答】解：过A点作AM⊥BC于M，交DE于N，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠CAB＝60°，CM＝BM＝BC＝1，∴AM＝CM＝，设正方形DEFG的边长为x，则DG＝DE＝x，易得四边形DGMN为矩形，∴MN＝DG＝x，∴AN＝AM﹣MN＝﹣x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得x＝4﹣6，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE＝4﹣6．故答案为4﹣6．16．《周髀算经》中的“赵爽弦图”（如图），图中的四个直角三角形都全等，如果正方形ABCD 的面积是正方形EFGH面积的13倍，那么∠ABE的余切值是．【分析】小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，则小正方形EFGH 边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，设AE＝BF＝x，利用勾股定理求出x，最后利用熟记函数即可解答．【解答】解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE＝BF，设AE＝BF＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，即13a2＝x2+（x+a）2解得：x1＝2a，x2＝﹣3a（舍去），∴AE＝2a，BE＝3a，∴∠ABE的余切值＝，故答案为：．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，＝，那么MN的长是4．【分析】先根据折叠的性质得DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，再根据平行线的性质和等量代换得到∠B＝∠BMD，则DB＝DM，接着利用比例的性质得到FM＝DM，然后证明△FMN∽△FDE，从而利用相似比可计算出MN的长．【解答】解：∵△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，∴DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠FDE＝∠BMD，∴∠B＝∠BMD，∴DB＝DM，∵＝，∴＝2，∴＝2，∴FM＝DM，∵MN∥DE，∴△FMN∽△FDE，∴＝＝，∴MN＝DE＝×8＝4．故答案为4．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin ∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是9﹣6．【分析】如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题．【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝120°，∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，∵AB＝12，∠H＝90°，∴BH＝AB•cos60°＝6，AH＝AB•sin60°＝6，∵EF⊥DF，DE＝5，∴sin∠ADE＝＝，∴EF＝4，∴DF＝＝＝3，∵S△CDE＝6，∴•CD•EF＝6，∴CD＝3，∴CF＝CD+DF＝6，∵tan C＝＝，∴＝，∴CH＝9，∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．故答案为：9﹣6．三、（本大题共7感，第19--22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分：满分78分）19．（10分）计算：sin45°cot45°﹣tan60°+|2cos45°﹣cot30°|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝×1﹣+|2×﹣|＝﹣+﹣＝﹣．20．（10分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F，AB＝1.2，BC＝1.8．（1）求BF：DF的值；（2）设＝，＝．求向量（用向量、表示）．【分析】（1）由平行四边形的性质得DC∥AB，从而△ABF∽△EDF，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得BF：DF；（2）先求出BF＝BD，再利用向量的加法可得答案．【解答】解：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝1.2，∵BC∥AD，∴△BEF∽△DAF，∴，∴；（2）∵BF：DF＝2：3，∴DF＝BD，∵＝﹣，∴＝，∴＝﹣．21．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），它的顶点为M，对称轴是直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的表达式及点M的坐标；（2）将上述抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，设新抛物线的顶点为N，请判断△MON的形状，并说明理由．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后化成顶点式求得顶点M的坐标；（2）设新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1﹣m，把（0，0）代入求得m的值，即可根据平移的原则得到顶点N的坐标，根据勾股定理求得OM2＝ON2＝2，MN2＝4，即可得到结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1．∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2+2x+2，∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴顶点M（﹣1，1）；（2）∵抛物线向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过原点O，∴设新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1﹣m，把（0，0）代入得，0＝1+1﹣m，∴m＝2，∴顶点N为（﹣1，﹣1），∵M（﹣1，1），∴OM2＝（﹣1）2+12＝2，ON2＝（﹣1）2+（﹣1）2＝2，MN2＝22＝4，∴OM＝ON，OM2＝（﹣1）2+ON2＝MN2，∴△MON是等腰直角三角形．22．（10分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】（1）由三角函数定义求出AE、AB，即可得出答案；（2）求出该汽车的速度，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意，得∠CAB＝37°，CD＝220米，∠DAB＝30°，∠DBA＝45°，如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，∵CD∥AB，∴四边形CDFE是矩形，∴CE＝DF，CD＝EF，∵∠DBA＝45°，∴DF＝BF，设DF＝BF＝CE＝x米，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，DF＝x米，∴AF＝DF＝x（米），∴AE＝AF﹣EF＝（x﹣220）米，在Rt△AEC中，∠CAE＝37°，∵CE＝AE•tan37°，∴x＝（x﹣220）×0.75，解得x＝60（3+4）＝（180+240）米，∴AE＝x﹣220＝（320+240）米，FB＝x＝（180+240）（米），∴AB＝AE+EF+FB＝320+240+220+180+240＝780+420≈1507（米），答：限速道路AB的长约为1507米；（2）∵1分20秒＝小时，∴该汽车的速度约为：1507÷≈67.8km/h＞60km/h，∴该车超速．23．（12分）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD 与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF ＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到＝，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴＝，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴＝，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．24．（12分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x 轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t ＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．【分析】（1）用配方法配成顶点式，即可得出结论；（2）先判断出△CDH∽△BCO，得出，求出OC＝3，即可得出结论；（3）连接OM，利用三角形的面积的和差，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+4＝a（x2﹣2x+1）+4＝a（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点D（1，4），∵a＜0，∴抛物线的开口向下；（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，∴A（1，0），对于y＝ax2﹣2ax+a+4，令x＝0，则y＝a+4，∴C（0，a+4），如图1，过点D作DH⊥y轴于H，∴∠CDH+∠DCH＝90°，∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠DCH+∠OCB＝90°，∴∠CDH＝∠BCO，∵∠BOC＝∠CHD＝90°，∴△CDH∽△BCO，∴，在Rt△BDC中，tan∠DBC＝，∵D（1，4），∴DH＝1，∴，∴CO＝3，∴a+4＝3，∴a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（3）如图2，由（2）知，a＝﹣1，∴C（0，3），∴OC＝3，连接OM，设点M的横坐标为t（t＞1），∴点M的纵坐标为﹣t2+2t+3，∵△ACM的面积是，∴S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△AOC＝×3t+×1×（﹣t2+2t+3）﹣×1×3＝，∴t＝，∴M（，）．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G （1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；（3）当AG＝AE时，求CD的长．【分析】（1）证明△ADE≌△BFE（ASA），推出AD＝BF，构建方程求出CD即可．（2）过点A作AM⊥BE于M，想办法求出AB，AM即可解决问题．（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出x即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠DEF＝90°，∴∠AED＝∠BEF，∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，∴△ADE≌△BFE（ASA），∴AD＝BF，∴AD＝5+CF＝5+CD，∵AC＝CD+AD＝12，∴CD+5+CD＝12，∴CD＝，∴正方形CDEF的面积为．（2）如图2中，∵∠ABG＝∠EBH，∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，∴△CBG∽△CAB，∴CB2＝CG•CA，∴CG＝，∴BG＝＝＝，∴AG＝AC﹣CG＝，过点A作AM⊥BE于M，∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，∴∠GAM＝∠CBG，∴cos∠GAM＝cos∠CBG＝＝＝，∴AM＝，∵AB＝＝＝13，∴sin∠ABM＝＝．（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．∵AE＝AG＝AN，∴∠GEN＝90°，由（1）可知，△NDE≌△BFR，∴ND＝BF，设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，在Rt△ADE中，∵AE2＝AD2+DE2，∴x2+（12﹣x）2＝（2x﹣7）2，∴x＝1+或1﹣（舍弃），∴CD＝1+．。
2020-2021上海市九年级数学上期末试卷(及答案)
2020-2021上海市九年级数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( )A ．()1119802x x +=B ．()1119802x x -= C ．()11980x x +=D ．()11980x x -= 2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A ．正三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形 3．把抛物线y ＝2(x ﹣3)2+k 向下平移1个单位长度后经过点(2，3)，则k 的值是( )A ．2B ．1C ．0D ．﹣1 4．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是（ ）A ．27B ．36C ．27或36D ．185．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x ，则可列方程是（ ）A ．400(1)640x +=B ．2400(1)640x +=C ．2400(1)400(1)640x x +++=D ．2400400(1)400(1)640x x ++++= 6．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．233π-B ．233π-C ．3π-D ．3π-7．下列说法正确的是（ ）A ．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B ．某种彩票的中奖率为11000，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖 C ．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为13D ．“概率为1的事件”是必然事件 8．如图，AC 是⊙O 的内接正四边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正六边形的一边．若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A．6B．8C．10D．129．关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（）A．将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象B．将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象C．将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象D．将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2﹣1的图象10．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于()A．68°B．58°C．72°D．56°11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc>0；②a+b+c>0；③a+c>b；④2a+b=0；⑤ =b2-4ac<0中，成立的式子有( )A．②④⑤B．②③⑤C．①②④D．①③④12．关于y=2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（）A．顶点坐标为（﹣3，2）B．对称轴为直线y=3C．当x≥3时，y随x增大而增大D．当x≥3时，y随x增大而减小二、填空题13．如图，有6张扑克牌，从中任意抽取两张，点数和是偶数的概率是_____．14．如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC=2,将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°,得到△MNC ,连接BM ,则BM 的长是__.15．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.16．四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝125°，则∠C 的度数为_____°．17．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x 2﹣9x +4＝0的一个根，则三角形的周长是_____．18．如图，Rt △OAB 的顶点A （﹣2，4）在抛物线y=ax 2上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为_____．19．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x 2﹣6x ﹣16，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被y 轴截得的线段CD 的长为_____．20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．三、解答题21．已知x ＝n 是关于x 的一元二次方程mx 2﹣4x ﹣5＝0的一个根，若mn 2﹣4n+m ＝6，求m 的值．22．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．23．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m ，200m ，400m(分别用1A 、2A 、3A 表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用1B 、2B 表示)． ()1该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；()2该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．24．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ．（Ⅰ）求证：∠A ＝∠EBC ；（Ⅱ）若已知旋转角为50°，∠ACE ＝130°，求∠CED 和∠BDE 的度数．25．将图中的A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1980．【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，∴全班共送：（x-1）x=1980，故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x个人是解决问题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是中心对称图形，轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形，轴对称图形.3．A解析：A【解析】【分析】把点坐标代入y=2（x-3）2+k-1解方程即可得到结论．【详解】解：设抛物线y=2（x-3）2+k向下平移1个单位长度后的解析式为y=2（x-3）2+k-1，把点（2，3）代入y=2（x-3）2+k-1得，3=2（2-3）2+k-1，∴k=2，故选A．【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．4．B解析：B【解析】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．试题解析：分两种情况：（1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，得：32-12×3+k=0解得:k=27将k=27代入原方程，得：x2-12x+27=0解得x=3或93，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去；（2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0，此时：144-4k=0解得：k=36将k=36代入原方程，得：x2-12x+36=0解得：x=63，6，6能够组成三角形，符合题意．故k的值为36．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解．5．B解析：B【解析】【分析】根据平均年增长率即可解题.【详解】解：设这两年的年净利润平均增长率为x ，依题意得：()24001640x +=故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉平均年增长率概念是解题关键. 6．B解析：B【解析】【分析】根据菱形的性质得出△DAB 是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG ≌△DBH ，得出四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，进而求出即可．【详解】连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD 3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，2{34A AB BD ∠=∠=∠=∠，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF -S △ABD =26021233602π⨯-⨯=23 3π-．故选B．7．D解析：D【解析】试题解析：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；B. 某种彩票的中奖概率为11000，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为12.故C错误；D. “概率为1的事件”是必然事件,正确.故选D.8．D解析：D【解析】【分析】连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．【详解】连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故选：D．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．9．D解析：D【解析】【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A选项,将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象,故A选项不符合题意;B选项,将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象,故B选项不符合题意;C选项,将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象,故C选项不符合题意;D选项,将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2+1的图象,故D选项符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的关键.10．D解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA12（180°﹣68°）=56°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可.【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故②错误，∵x=-1时，y＞0，∴a-b+c＞0，∴a+c＞b，故③正确，∵对称轴x=1，∴-b2a=1，∴2a+b=0，故④正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，故⑤错误，故选D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12．C解析：C【解析】∵ y=2（x﹣3）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（3，2），对称轴为直线x=3，∴当3x 时，y随x的增大而增大.∴选项A、B、D中的说法都是错误的，只有选项C中的说法是正确的.故选C.二、填空题13．【解析】【分析】列举出所有情况再找出点数和是偶数的情况根据概率公式求解即可【详解】解：从6张牌中任意抽两张可能的情况有：(410) (510) (610 ) (810) (910) (109) (4解析：7 15．【解析】【分析】列举出所有情况，再找出点数和是偶数的情况，根据概率公式求解即可.【详解】解：从6张牌中任意抽两张可能的情况有：(4，10)(5，10)(6，10)(8，10)(9，10)(10，9) (4，9)(5，9)(6，9)(8，9)(9，8)(10，8) (4，8)(5，8)(6，8)(8，6)(9，6)(10，6) (4，6)(5，6)(6，5)(8，5)(9，5)(10，5) (4，5)(5，4)(6，4)(8，4)(9，4)(10，4)∴一共有30种情况，点数和为偶数的有14个，∴点数和是偶数的概率是147 3015=；故答案为7 15.【点睛】本题考查概率的概念和求法.解题的关键是找到所求情况数与总情况数，根据：概率=所求情况数与总情况数之比.14．1+【解析】【分析】试题分析：首先考虑到BM所在的三角形并不是特殊三角形所以猜想到要求BM可能需要构造直角三角形由旋转的性质可知AC=AM∠CA M=60°故△ACM是等边三角形可证明△ABM与△CB解析：【解析】【分析】试题分析：首先考虑到BM所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BM，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AM，∠CAM=60°，故△ACM是等边三角形，可证明△ABM与△CBM全等，可得到∠ABM=45°，∠AMB=30°，再证△AFB和△AFM是直角三角形，然后在根据勾股定理求解【详解】解：连结CM，设BM与AC相交于点F，如下图所示，∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°∴∠BCA=∠BAC=45°∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ANM重合，∴∠BAC=∠NAM=45°，AC=AM又∵旋转角为60°∴∠BAN=∠CAM=60°，∴△ACM是等边三角形∴AC=CM=AM=4在△ABM与△CBM中，BA BC AM CM BM BM=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABM≌△CBM （SSS）∴∠ABM=∠CBM=45°，∠CMB=∠AMB=30°∴在△ABF中，∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°∴∠AFB=∠AFM=90°在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=AF=2212AB BC+=又在Rt△AFM中，∠AMF=30°，∠AFM=90°FM=3AF=3∴BM=BF+FM=1+3故本题的答案是：1+3点评：此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用15．5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点EME与抛物线交于点P′由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值即可得出当点P运动到点P′时△PMF周长取最小值【详解】解解析：5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，MF=22(30)(32)-+-=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键. 16．【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质进行计算即可【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠A+∠C＝180°∵∠A＝125°∴∠C＝55°故答案为：55【点睛】本题考查了圆内接四边形的性解析：【解析】【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质进行计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝125°，∴∠C＝55°，故答案为：55．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，理解圆内接四边形的对角互补的性质是解答本题的关键. 17．【解析】【分析】先利用因式分解法求出方程的解再由三角形的三边关系确定出第三边最后求周长即可【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0解得：x＝或x＝4当x＝时+2＜4解析：【解析】【分析】先利用因式分解法求出方程的解，再由三角形的三边关系确定出第三边，最后求周长即可．【详解】解：方程2x2﹣9x+4＝0，分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x＝12或x＝4，当x ＝12时，12+2＜4，不能构成三角形，舍去； 则三角形周长为4+4+2＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键.18．（2）【解析】由题意得：即点P 的坐标解析：（2 ，2）． 【解析】由题意得：441a a =⇒= 2y x ⇒=2222OD x x =⇒=⇒= ，即点P 的坐标()2,2.19．20【解析】【分析】抛物线的解析式为y=x2-6x-16可以求出AB=10；在Rt△COM 中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20【详解】抛物线的解析式为y=x2-6x-16则D （0解析：20 【解析】 【分析】抛物线的解析式为y=x 2-6x-16，可以求出AB=10；在Rt △COM 中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20． 【详解】抛物线的解析式为y=x 2-6x-16， 则D （0，-16）令y=0，解得：x=-2或8，函数的对称轴x=-2ba=3，即M （3，0）， 则A （-2，0）、B （8，0），则AB=10，圆的半径为12AB=5， 在Rt △COM 中，OM=5，OM=3，则：CO=4， 则：CD=CO+OD=4+16=20． 故答案是：20. 【点睛】考查的是抛物线与x 轴的交点，涉及到圆的垂径定理．20．－2【解析】【分析】设正方形的对角线OA 长为2m 根据正方形的性质则可得出BC 坐标代入二次函数y=ax2+c 中即可求出a 和c 从而求积【详解】设正方形的对角线OA 长为2m 则B （﹣mm ）C （mm ）A （02解析：－2． 【解析】 【分析】设正方形的对角线OA 长为2m ，根据正方形的性质则可得出B 、C 坐标，代入二次函数y=ax 2+c 中，即可求出a 和c ，从而求积． 【详解】设正方形的对角线OA 长为2m ，则B （﹣m ，m ），C （m ，m ），A （0，2m ）； 把A ，C 的坐标代入解析式可得：c=2m ①，am 2+c=m ②， ①代入②得：am 2+2m=m ， 解得：a=-1m， 则ac=-1m⨯2m=-2． 考点：二次函数综合题．三、解答题21．1 【解析】 【分析】把x=n 代入方程求出mn 2-4n 的值，代入已知等式求出m 的值即可． 【详解】依题意，得2450mn n --=． ∴245mn n -=． ∵246mn n m -+=， ∴56m +=．∴1m =． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．(1) △ABC 是等腰三角形；(2)△ABC 是直角三角形；(3) x 1=0，x 2=﹣1． 【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．23．(1)25;(2)35.【解析】【分析】（1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：25．故答案为25；（2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的有12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：123 205=．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）∠BDE=50°, ∠CED =35°【解析】【分析】（Ⅰ）由旋转的性质可得AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，由等腰三角形的性质可求解．（Ⅱ）由旋转的性质可得AC＝CD，∠ABC＝∠DEC，∠ACD＝∠BCE＝50°，∠EDC＝∠A，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求解．【详解】证明：（Ⅰ）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，∴∠A＝180ACD2︒-∠，∠CBE＝180BCE2︒-∠，∴∠A＝∠EBC；（Ⅱ）∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴AC＝CD，∠ABC＝∠DEC，∠ACD＝∠BCE＝50°，∠EDC＝∠A，∠ACB=∠DCE∴∠A＝∠ADC＝65°，∵∠ACE＝130°，∠ACD＝∠BCE＝50°，∴∠ACB＝∠DCE =80°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝35°，∵∠EDC＝∠A＝65°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADC﹣∠CDE＝50°．∠CED=180°﹣∠DCE﹣∠CDE=35°【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．25．（1）13；（2）23.【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为13；（2）画树状图如下：由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为42 63 =．【点睛】考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。
沪教版2020年数学九年级上册期末试题及答案
沪教版2020年数学九年级上册期末试题及答案一、选择题1．有一组数据5，3，5，6，7，这组数据的众数为（ ） A ．3B ．6C ．5D ．72．sin 30°的值为（ ） A ．3B ．32C ．12D ．223．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ） A ．213y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<4．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是（ ） A ．13B ．512C ．12D ．15．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表所示．现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中不正确的是（ ）A ．团队平均日工资不变B ．团队日工资的方差不变C ．团队日工资的中位数不变D ．团队日工资的极差不变7．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．2S 甲＞2S 乙B ．2S 甲＝2S 乙C ．2S 甲＜2S 乙D ．无法确定8．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．一元二次方程x 2＝9的根是（ ）A ．3B ．±3C ．9D ．±910．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，43=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）A ．3或4B ．83或4C ．83或6D ．4或611．方程x 2﹣3x ＝0的根是（ ） A ．x ＝0B ．x ＝3C ．10x =，23x =-D ．10x =，23x =12．已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是（ ） A ．23B ．1.15C ．11.5D ．12.513．二次函数22y x x =-+在下列（ ）范围内，y 随着x 的增大而增大． A ．2x <B ．2x >C ．0x <D ．0x >14．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠ABC ＝60°，则∠AOC 的度数是（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°15．将抛物线23y x =先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）A ．23(1)2y x =++B ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =-+D ．23(1)2=--y x二、填空题16．二次函数23(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________． 17．若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．18．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．19．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.20．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，9BC =，圆P 在ABC ∆内自由移动.若P 的半径为1，则圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为______.21．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边CD 上，且BC CE =，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ，若CF AB =，则tan DAE ∠=______.22．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AEAC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．23．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm ，高为8cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2．（结果保留π）24．点P 在线段AB 上，且BP APAP AB=.设4AB cm =，则BP =__________cm . 25．二次函数2y x bx c =-++的部分图像如图所示，要使函数值3y >，则自变量x 的取值范围是_______.26．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ．27．甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差S 甲2＝6.5分2，乙同学成绩的方差S 乙2＝3.1分2，则他们的数学测试成绩较稳定的是____（填“甲”或“乙”）．28．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则14PA PB +的最小值为__________．29．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 …y… 6 1 -2 -3 -2 m …下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________．30．已知二次函数y ＝3x 2+2x ，当﹣1≤x ≤0时，函数值y 的取值范围是_____．三、解答题31．某市2017年对市区绿化工程投入的资金是5000万元，为争创全国文明卫生城，加大对绿化工程的投入，2019年投入的资金是7200万元，且从2017年到2019年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2020年预计需投入多少万元？ 32．解下列一元二次方程． （1）x 2＋x －6＝0； （2）2(x －1)2－8＝0．33．在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋2 的图象与 x 轴交于 A （﹣3，0），B （1，0）两点，与 y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y ﹤0 ?（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P ，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q ，使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．34．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AC 于点D 、E ，BE 交AD 于点F ，AB ＝AD ．（1）判断△FDB 与△ABC 是否相似，并说明理由； （2）BC ＝6，DE ＝2，求△BFD 的面积．35．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点及点O 都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）．（1）以点O 为位似中心，在网格区域内画出△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 位似（A ′、B ′、C ′分别为A 、B 、C 的对应点），且位似比为2：1； （2）△A ′B ′C ′的面积为 个平方单位；（3）若网格中有一格点D ′（异于点C ′），且△A ′B ′D ′的面积等于△A ′B ′C ′的面积，请在图中标出所有符合条件的点D ′．（如果这样的点D ′不止一个，请用D 1′、D 2′、…、D n ′标出）四、压轴题36．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．37．问题发现：（1）如图①，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AB 上点（点E 不与A 、B 重合），将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°，所得射线与BC 交于点F ，则四边形OEBF 的面积为 ． 问题探究：（2）如图②，线段BQ ＝10，C 为BQ 上点，在BQ 上方作四边形ABCD ，使∠ABC ＝∠ADC ＝90°，且AD ＝CD ，连接DQ ，求DQ 的最小值； 问题解决：（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，AC ＝600米．其中AB 、BD 、BC 为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB +BD +BC 的最大值．38．如图，已知矩形ABCD 中，BC =2cm ，AB =23cm ，点E 在边AB 上，点F 在边AD 上，点E 由A 向B 运动，连结EC 、EF ，在运动的过程中，始终保持EC ⊥EF ，△EFG 为等边三角形．（1）求证△AEF ∽△BCE ；（2）设BE 的长为xcm ，AF 的长为ycm ，求y 与x 的函数关系式，并写出线段AF 长的范围；（3）若点H 是EG 的中点，试说明A 、E 、H 、F 四点在同一个圆上，并求在点E 由A 到B 运动过程中，点H 移动的距离．39．如图 1，抛物线21:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ，交y 轴正半轴于C ，且OB OC =．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）在图2中，将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ，若CAP ∆的内心在CAB △内部，求n 的取值范围（3）在图3中，M 为抛物线1C 在第一象限内的一点，若MCB ∠为锐角，且3tan MCB ∠＞，直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________40．如图，在边长为5的菱形OABC 中，sin∠AOC＝45，O 为坐标原点，A 点在x 轴的正半轴上，B ，C 两点都在第一象限．点P 以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O 运动一周，设运动时间为t （秒）．请解答下列问题： （1）当CP⊥OA 时，求t 的值；（2）当t ＜10时，求点P 的坐标（结果用含t 的代数式表示）；（3）以点P 为圆心，以OP 为半径画圆，当⊙P 与菱形OABC 的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据众数的概念求解．【详解】这组数据中5出现的次数最多，出现了2次，则众数为5．故选：C．【点睛】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．2．C解析：C【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：sin 30°＝1 2故选C【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．3．A解析：A【解析】【分析】将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较. 【详解】当x=0时，y 1= -1+3=2, 当x=1时，y 2= -4+3= -1, ∴213y y <<. 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用红灯亮的时间除以以上三种灯亮的总时间，即可得出答案. 【详解】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒， ∴红灯的概率是：301302552=++.故答案为：C. 【点睛】本题考查的知识点是简单事件的概率问题，熟记概率公式是解题的关键.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解． 【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4． 故选A ． 【点睛】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：调整前的平均数是：26042804300443⨯+⨯+⨯⨯=280；调整后的平均数是：260528023005525⨯+⨯+⨯++=280； 故A 正确； 调整前的方差是：()()()222142602804280280430028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=8003； 调整后的方差是：()()()222152602802280280530028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=10003； 故B 错误； 调整前：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，280，280，280，280，300，300，300，300；最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280，调整后：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，260，280，280，300，300，300，300，300；最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280，故C 正确；调整前的极差是40，调整后的极差也是40，则极差不变，故D 正确.故选B.【点睛】此题考查了平均数、方差、中位数和极差的概念，掌握各个数据的计算方法是关键.7．A解析：A【解析】【分析】方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲.【详解】解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2S 乙故选：A【点睛】本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 8．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x ＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x ＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可．【详解】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝﹣1，过（1，0）点，把（1，0）代入y ＝ax 2+bx +c 得，a +b +c ＝0，因此①正确；对称轴为直线x ＝﹣1，即：﹣2b a＝﹣1，整理得，b ＝2a ，因此②不正确； 由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；由图可得，抛物线有两个交点，所以b 2﹣4ac ＞0，故④正确；故选C ．【点睛】考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴，y 轴的交点，以及增减性上寻找其性质．9．B解析：B【解析】【分析】两边直接开平方得：3x =±，进而可得答案．【详解】解：29x =，两边直接开平方得：3x =±，则13x =，23x =-．故选：B ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题一般要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成2(0)x a a =的形式，利用数的开方直接求解． 10．D解析：D【解析】【分析】分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN AC AC CB=，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =，165BH k =，则1685CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴CMB CABCAN ∠>∠>∠，AB=10，CAN CAB ∴∠≠∠，设3CN k =，4BM k =，①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽，∴CN AC AC CB =， ∴3668k =， 32k ∴=， 6BM ∴=．②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，∴BM MH BH BA AC BC ==， ∴41068k MH BH ==， 125MH k ∴=，165BH k =， 1685CH k ∴=-， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒，ACN CHM ∴∆∆∽，∴CN MH AC CH=， ∴123516685k k k =-， 1k ∴=，4BM ∴=．综上所述，4BM =或6．故选：D ．【点睛】本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．11．D【解析】【分析】先将方程左边提公因式x，解方程即可得答案．【详解】x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x1＝0，x2＝3，故选：D．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．12．C解析：C【解析】【分析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数．【详解】解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，故选：C．【点睛】此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.．13．C解析：C【解析】【分析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x的取值范围.【详解】22y x x x=-+=--+，2(1)1<，∵图像的对称轴为x=1，a=-10<时，y随着x的增大而增大，∴当x1故选：C.【点睛】<时，对称轴左增右减，当＞时，对称轴左减右增.此题考查二次函数的性质，当a0a014．C解析：C【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AOC 所对的弧为AC ，∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．A解析：A【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【详解】抛物线23y x =先向左平移1个单位得到解析式：()231y x =+，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：()2312y x =++．故选：A ．【点睛】此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 二、填空题16．【解析】【分析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性解析：()1,2【解析】【分析】二次函数2()y a x h k =-+（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程23(1)2y x =-+知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ，k 所表示的意义． 17．【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，∴ 解析：72【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】 解：∵一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ∴2214241402b ac k k ,整理得，22410k k ， ∴21+22k k 2221k k k 224k k224k k当21+22k k 时， 224k k142=-+ 72=故答案为：72. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.18．【解析】【分析】在OA 上取使，得，则，根据点到直线的距离垂线段最短可知当⊥AB 时，CP 最小，由相似求出的最小值即可.【详解】解：如图，在OA 上取使，∵，∴，在△和△QOC 中，，解析：455【解析】【分析】在OA 上取'C 使'OC OC =，得'OPC OQC ≅，则CQ=C'P ，根据点到直线的距离垂线段最短可知当'PC ⊥AB 时，CP 最小，由相似求出C'P 的最小值即可.【详解】解：如图，在OA 上取'C 使'OC OC =，∵90AOC POQ ∠=∠=︒，∴'POC QOC ∠=∠，在△'POC 和△QOC 中，''OP OQ POC QOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△'POC ≌△QOC （SAS ），∴'PC QC =∴当'PC 最小时，QC 最小，过'C 点作''C P ⊥AB ，∵直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A 坐标为：（0，8）；B 点（-4，0），∵'4OC OC OB ===，∴AB =''4AC OA OC =-=. ∵'''OB C P sin BAO AB AC ∠==， ''4C P =，∴''C P =∴线段CQ【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．19．2【解析】【分析】首先连接BE ，由题意易得BF=CF ，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO ：CO=1：3，即可得OF ：CF=OF ：BF=1：2，在Rt△OBF 中，即可求解析：2【解析】【分析】首先连接BE ，由题意易得BF=CF ，△ACO ∽△BKO ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO ：CO=1：3，即可得OF ：CF=OF ：BF=1：2，在Rt △OBF 中，即可求得tan ∠BOF 的值，继而求得答案．【详解】如图，连接BE ，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=12CK，BF=12BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=12CF=12BF，在Rt△PBF中，tan∠BOF=BFOF=2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为2【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．20．24【解析】【分析】根据题意做图，圆心在内所能到达的区域为△EFG，先求出AB的长，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M，根据圆的性质可知BH平分∠ABC，故CH=HM,设CH=x=HM，根解析：24【解析】【分析】根据题意做图，圆心P在ABC内所能到达的区域为△EFG，先求出AB的长，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M，根据圆的性质可知BH平分∠ABC，故CH=HM,设CH=x=HM，根据Rt△AMH中利用勾股定理求出x的值，作EK⊥BC于K点，利用△BEK∽△BHC，求出BK的长，即可求出EF的长，再根据△EFG∽△BCA求出FG，即可求出△EFG的面积.【详解】如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接BE，延长BE交AC于H点，作HM⊥AB于M ，EK ⊥BC 于K ，作FJ ⊥BC 于J ．∵90C ∠=︒，12AC =，9BC =，∴AB=2212915+=根据圆的性质可知BH 平分∠ABC∴故CH=HM,设CH=x=HM ，则AH=12-x ，BM=BC=9,∴AM=15-9=6在Rt △AMH 中，AH 2=HM 2+AM 2即AH 2=HM 2+AM 2（12-x ）2=x 2+62解得x=4.5∵EK ∥AC ，∴△BEK ∽△BHC ，∴EK BK HC BC =，即14.59BK = ∴BK=2，∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6，∵EG ∥AB ，EF ∥AC ，FG ∥BC ， ∴∠EGF ＝∠ABC ，∠FEG ＝∠CAB ，∴△EFG ∽△ACB ，故EF FG BC AC =,即6912FG = 解得FG=8 ∴圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为12FG×EF=12×8×6=24, 故答案为24.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、相似三角形的判定与性质.21．【解析】【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到，求出a 的值，再利用tanA 即可求解.【详解】设BC=EC=a,∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△ECF ，∴,即解得a=（-舍去）∴【解析】【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到222a a =+，求出a 的值，再利用tan DAE ∠=tanA 即可求解.【详解】设BC=EC=a,∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△ECF ， ∴AB EC BF CF =,即222a a =+解得1（-1舍去）∴tan DAE ∠=tanF=2EC a CF ==12故答案为：12. 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义. 22．3【解析】【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，∴＝，解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】本题解析：3【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226+， 解得：AD ＝3，故答案为：3．【点睛】 本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.23．60π【解析】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.由题意得圆锥的母线长∴圆锥的侧面积．考点：勾股定理，圆锥的侧面积点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧解析：60π【解析】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 由题意得圆锥的母线长∴圆锥的侧面积． 考点：勾股定理，圆锥的侧面积点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线. 24．【解析】【分析】根据题意，将问题转化为解一元二次方程的求解问题即可得出答案．【详解】解：设BP=x ，则AP=4-x ，根据题意可得，，整理为：，利用求根公式解方程得：，∴，(舍去)．解析：(625)-【分析】根据题意，将问题转化为解一元二次方程的求解问题即可得出答案．【详解】解：设BP=x ，则AP=4-x ， 根据题意可得，444x x x -=-， 整理为：212160x x -+=，利用求根公式解方程得：x 6===±，∴16x =-264x =+>(舍去)．故答案为：6-【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽化出来的一元二次方程问题，将问题转化为一元二次方程求解问题，熟记一元二次方程的求根公式是解此题的关键．25．【解析】【分析】根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可.【详解】根据二次函数的图象可知：对称轴为，已知一个点为，根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称解析：20x -<<【解析】【分析】根据3y >，则函数图象在直线3y =的上方，所以找出函数图象在直线3y =的上方x 的取值范围即可.【详解】根据二次函数的图象可知：对称轴为1x =-，已知一个点为()03，， 根据抛物线的对称性，则点()03，关于对称性对称的另一个点为()23-，， 所以3y >时，x 的取值范围是20x -<<．故答案为：20x -<<．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图象信息，利用对03，的对称点是解题的关键．称轴求出点()26．4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=解析：4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=0.4．故答案为：0.4．27．乙【解析】【分析】根据方差越小数据越稳定即可求解．【详解】解：因为甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同且S甲2 ＞S 乙2，所以乙的成绩数学测试成绩较稳定．故答案为：乙．【解析：乙【解析】【分析】根据方差越小数据越稳定即可求解．【详解】解：因为甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同且S甲2＞S乙2，所以乙的成绩数学测试成绩较稳定．故答案为：乙．【点睛】本题考查方差的性质，方差越小数据越稳定．28．【解析】【分析】先在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．【详解】解：如图：在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，【解析】【分析】先在CB上取一点F，使得CF=12，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．【详解】解：如图：在CB上取一点F，使得CF=12，再连接PF、AF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=12DE=2，∵14CFCP=，14CPCB=∴CF CP CP CB=又∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴14 PF CFPB CP==∴PA+14PB=PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF=22221145622 CF AC⎛⎫+=+=⎪⎝⎭∴PA+14PB ≥.1452∴PA+14PB的最小值为1452，故答案为145．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．29．①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛解析：①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；④m＝﹣3，结论错误，∴其中，正确的有. ①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.30．﹣≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣，∴函数的对称轴为x＝﹣，∴当﹣1≤x≤0时，函数有最解析：﹣13≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+13）2﹣13，∴函数的对称轴为x＝﹣13，∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣13，当x＝﹣1时，有最大值1，∴y的取值范围是﹣13≤y≤1，故答案为﹣13≤y≤1．【点睛】本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．三、解答题31．（1）20%；（2）8640万元.【解析】【分析】（1）设平均增长率为x,根据题意可得2018年投入的资金是5000(1+x)万元，2019年投入的资金是5000(1+x) (1+x)万元，由2019年投入的资金是7200万元即可列出方程.，求解即可.（2）相当于数字7200增长了20%，列式计算.【详解】解：（1）设两年间每年投入资金的平均增长率为x ，根据题意得，5000(1+x)2=7200解得，x 1=0.2=20%，x 2= -2.2（不符合题意，舍去）答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为20%；（2）根据题意得，7200（1+20%）=8640万元.答：在2020年预计需投入8640万元.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，根据a(1+x)2=b （a 、b 、x 、n 分别表示增长前量、增长后量、增长率和增长次数）列方程是解答增长率问题的关键.32．（1）123;2x x =-=；（2）123;1x x ==-【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方方程；（2）用直接开平方法解一元二次方程.【详解】解：（1）x 2＋x －6＝0；(3)(2)0x x +-=∴123;2x x =-=（2）2(x －1)2－8＝0．22(1)8x -=2(1)4x -=12x -=±∴123;1x x ==-【点睛】本题考查直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，掌握解题技巧正确计算是本题的解题关键.33．（1）24233y x x =--+，13x <- 或21>x ；（2）P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）1234(5,0),(1,0),(2(2--Q Q Q Q【解析】【分析】 （1）将点A （﹣3，0），B （1，0）带入y ＝ax 2＋bx ＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y ﹤0；（2）设出P 点坐标224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，利用割补法将△ACP 面积转化为PAC PAO PCO ACO S S S S =+-，带入各个三角形面积算法可得出PAC S 与m 之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；（3）分两种情况讨论，一种是CM 平行于x 轴，另一种是CM 不平行于x 轴，画出点Q 大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q 坐标的方程，解出即可得到Q 点坐标.【详解】解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）两点带入y ＝ax 2＋bx ＋2可得：093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩ 解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数解析式为24233y x x =--+. 由图像可知，当x 3<-或x 1>时y ﹤0；综上：二次函数解析式为24233y x x =--+，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； （2）设点P 坐标为224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，如图连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N.PM=224233m m --+，PN=m -，AO=3. 当x 0=时，24y 002233=-⨯-⨯+=，所以OC=2。
沪教版2020-2021年九年级上册期末数学试题(含答案)
沪教版2020-2021年九年级上册期末数学试题(含答案)一、选择题1．sin 30°的值为（ ）A B ．2C ．12D ．22．入冬以来气温变化异常，在校学生患流感人数明显增多，若某校某日九年级8个班因病缺课人数分别为2、6、4、6、10、4、6、2，则这组数据的众数是（ ） A ．5人B ．6人C ．4人D ．8人3．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙两队身高一样整齐 B ．甲队身高更整齐C ．乙队身高更整齐D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐4．已知52x y =，则x y y-的值是（ ） A ．12 B ．2C ．32D ．235．△ABC 的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点． A ．三条边垂直平分线 B ．三条中线 C ．三条角平分线D ．三条高6．10件产品中有2件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．157．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ，若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )A ．在⊙O 的内部B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．在⊙O 上或⊙O 内部8．二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ） A ．(1,3) B ．(1,3)- C ．(1,3)- D ．(1,3)-- 9．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ） A ．5πB ．10πC ．20πD ．40π10．二次函数22y x x =-+在下列（ ）范围内，y 随着x 的增大而增大． A ．2x <B ．2x >C ．0x <D ．0x >11．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ） A ．方差 B ．众数C ．平均数D ．中位数12．如图，O 的半径为2，弦2AB =，点P 为优弧AB 上一动点，60PAC ∠=︒，交直线PB 于点C ，则ABC 的最大面积是 ( )A．12B．1 C．2 D．213．设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝﹣(x+1)2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y2＞y1B．y1＞y2＞y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y314．如图，AB，AM，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P，M，N．若 MN∥AB，∠A＝60°，AB＝6，则⊙O 的半径是（）A．32B．3 C．323D．315．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+y＝1 B．x2+3xy＝6 C．x+1x＝4 D．x2＝3x﹣2二、填空题16．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.17．正方形ABCD的边长为4,圆C半径为1，E为圆C上一点，连接DE，将DE绕D顺时针旋转90°到DE’，F 在CD 上，且CF=3，连接FE’，当点E 在圆C 上运动，FE’长的最大值为____.18．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 相交所成的锐角为60︒，当8AC BD +=时，四边形ABCD 的面积的最大值是______.19．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝6，D 是BC 上一点，CD ＝2，过点D 的直线l 将△ABC 分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC 相似，若直线l 与△ABC 另一边的交点为点P ，则DP ＝________．20．抛物线y ＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．21．关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是19x =-，211x =（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则关于x 的方程2(3)0a x m b +++=的解是________．22．已知⊙O 半径为4，点,A B 在⊙O 上，21390,sin 13BAC B ∠=∠=，则线段OC 的最大值为_____．23．已知 x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2+4x -5＝0的两个根，则x 1 + x 2＝_____． 24．将抛物线 y ＝（x+2）2-5向右平移2个单位所得抛物线解析式为_____．25．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为35，则m ＝__．26．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．27．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________．28．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．29．若关于x 的一元二次方程22(1)0k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为__________. 30．如图，二次函数y ＝x （x ﹣3）（0≤x ≤3）的图象，记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；……若P （2020，m ）在这个图象连续旋转后的所得图象上，则m ＝_____．三、解答题31．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且DE ＝4，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则PA ＋14PB 的最小值为_____．32．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线-2y x =交于B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点C 的坐标； （2）求△ABC 的面积；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．33．某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下： 命中环数6 7 8 9 10 甲命中相应环数的次数 0 1 3 1 0 乙命中相应环数的次数221（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是_____环，乙命中环数的众数是______环；（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会变小．（填“变大”、“变小”或“不变”） 34．解方程： （1）x 2－8x ＋6＝0 （2）(x -1)2 -3(x -1) =035．一只不透明的袋子中装有标号分别为1、2、3、4、5的5个小球，这些球除标号外都相同．（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是 ；（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．四、压轴题36．如图, AB 是⊙O 的直径,点D 、E 在⊙O 上,连接AE 、ED 、DA ,连接BD 并延长至点C ,使得DAC AED ∠=∠．（1）求证: AC 是⊙O 的切线；（2）若点E 是BC 的中点, AE 与BC 交于点F ， ①求证: CA CF =；②若⊙O 的半径为3，BF =2,求AC 的长． 37．如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为(1,0)-，过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．（1）点C 的坐标是________，b =________； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，直接写出所有t 的值；若不存在，说明理由．38．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求tan ACB ∠；（3）若5tan 2CDE ∠=，记AD x =，ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数关系式.39．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，DEDC等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DEDC的值； （3）如图③，若DE CF ，求DEDC的值.40．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ； （1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：sin 30°＝1 2故选C【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．2．B解析：B【解析】【分析】找出这组数据出现次数最多的那个数据即为众数.【详解】解：∵数据2、6、4、6、10、4、6、2，中数据6出现次数最多为3次，∴这组数据的众数是6.故选：B.【点睛】本题考查众数的概念，出现次数最多的数据为这组数的众数.3．B解析：B【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】∵S2甲=1.7，S2乙=2.4，∴S2甲＜S2乙，∴甲队成员身高更整齐；故选B.【点睛】此题考查方差，掌握波动越小，数据越稳定是解题关键4．C解析：C【解析】【分析】设x=5k（k≠0），y=2k（k≠0），代入求值即可．解：∵52x y = ∴x=5k （k ≠0），y=2k （k ≠0） ∴52322x y k k y k --== 故选：C ． 【点睛】本题考查分式的性质及化简求值，根据题意，正确计算是解题关键．5．A解析：A 【解析】 【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可． 【详解】解：△ABC 的外接圆圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点， 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.6．D解析：D 【解析】 【分析】由于10件产品中有2件次品，所以从10件产品中任意抽取1件，抽中次品的概率是21105=． 【详解】解：()21P 105==次品 ． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是用概率公式求事件的概率，根据题目找出全部情况的总数以及符合条件的情况数目是解此题的关键．7．D解析：D 【解析】 【分析】先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d 的范围，进而得出d 与r的数量关系，即可判断点P 和⊙O 的关系.. 【详解】解：∵关于x 的方程x 2 -2x+d=0有实根， ∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d ≥0， 解得d ≤1， ∵⊙O 的半径为r=1, ∴d ≤r∴点P 在圆内或在圆上. 故选：D. 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r 时，点在圆外，当d=r 时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内.8．A解析：A 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标. 【详解】∵2(1)3y x =-+，∴二次函数图像顶点坐标为：(1,3). 故答案为A. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．9．B解析：B 【解析】 【分析】利用圆锥面积=Rr 计算. 【详解】Rr =2510，故选：B. 【点睛】此题考查圆锥的侧面积公式，共有三个公式计算圆锥的面积，做题时依据所给的条件恰当选择即可解答.10．C解析：C【解析】【分析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x 的取值范围.【详解】222(1)1y x x x =-+=--+，∵图像的对称轴为x=1，a=-10<，∴当x 1<时，y 随着x 的增大而增大，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，当a 0a 0<时，对称轴左增右减，当＞时，对称轴左减右增. 11．D解析：D【解析】【分析】由于有13名同学参加歌咏比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．【详解】共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．故选D ．【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．12．B解析：B【解析】【分析】连接OA 、OB ，如图1，由2OA OB AB ===可判断OAB 为等边三角形，则60AOB ∠=︒，根据圆周角定理得1302APB AOB ∠=∠=︒，由于60PAC ∠=︒，所以90C ∠=︒，因为2AB =，则要使ABC 的最大面积，点C 到AB 的距离要最大；由90ACB ∠=︒，可根据圆周角定理判断点C 在D 上，如图2，于是当点C 在半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 为等腰直角三角形，从而得到ABC 的最大面积．【详解】解：连接OA 、OB ，如图1，2OA OB ==，2AB =，OAB ∴为等边三角形，60AOB ∴∠=︒， 1302APB AOB ∴∠=∠=︒， 60PAC ∠=︒90ACP ∴∠=︒ 2AB =，要使ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，作ABC 的外接圆D ，如图2，连接CD ，90ACB ∠=︒，点C 在D 上，AB 是D 的直径，当点C 半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 等腰直角三角形，CD AB ∴⊥，1CD =，12ABC S ∴=⋅AB ⋅CD 12112=⨯⨯=， ABC ∴的最大面积为1．故选B ．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直角三角形的面积公式．13．B解析：B【解析】【分析】本题要比较y 1，y 2，y 3的大小，由于y 1，y 2，y 3是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得A 点关于对称轴的对称点A '的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y 随x 的增大而减小，便可得出y 1，y 2，y 3的大小关系．【详解】∵抛物线y＝﹣（x+1）2+m，如图所示，∴对称轴为x＝﹣1，∵A（﹣2，y1），∴A点关于x＝﹣1的对称点A'（0，y1），∵a＝﹣1＜0，∴在x＝﹣1的右边y随x的增大而减小，∵A'（0，y1），B（1，y2），C（2，y3），0＜1＜2，∴y1＞y2＞y3，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．14．D解析：D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO≌△BPO，可得AP=BP=3，在直角△APO中，利用三角函数可解出半径的值.【详解】解：连接OP，OM，OA，OB，ON∵AB，AM，BN 分别和⊙O 相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN∥AB，∠A＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO和△BPO中，OAP OBP APO BPOOP OP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△APO≌△BPO（AAS），∴AP=12AB=3，∴tan∠OAP=tan30°=OPAP=3，∴OP=3，即半径为3.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P是AB中点，难度不大.15．D解析：D【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：A、原方程为二元一次方程，不符合题意；B、原式方程为二元二次方程，不符合题意；C、原式为分式方程，不符合题意；D、原式为一元二次方程，符合题意，故选：D．【点睛】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.二、填空题16．7【解析】设树的高度为m，由相似可得，解得，所以树的高度为7m解析：7【解析】设树的高度为x m，由相似可得6157262x+==，解得7x=，所以树的高度为7m17．【解析】【分析】先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.【详解】解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大, 由题可知,PF=4,DF=解析：171+【解析】【分析】先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.【详解】解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,由题可知,PF=4,DF=1,∴DP=2241+=17,∴FE’=171+,故答案是：171+【点睛】本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P的位置是解题关键.18．【解析】【分析】设AC=x,根据四边形的面积公式，，再根据得出，再利用二次函数最值求出答案.【详解】解：∵AC、BD相交所成的锐角为∴根据四边形的面积公式得出，设AC=x ，则BD=8-解析：【解析】【分析】设AC=x,根据四边形的面积公式，1S sin 602AC BD =⨯⨯︒，再根据sin 60︒=()1 S 82x x =-. 【详解】解：∵AC 、BD 相交所成的锐角为60︒ ∴根据四边形的面积公式得出，1S sin 602AC BD =⨯⨯︒ 设AC=x ，则BD=8-x所以，()()21S 84224x x x =-⨯=--+∴当x=4时，四边形ABCD 的面积取最大值故答案为：【点睛】本题考查的知识点主要是四边形的面积公式，熟记公式是解题的关键.19．1， ，【解析】【分析】分别利用当DP ∥AB 时，当DP ∥AC 时，当∠CDP=∠A 时，当∠BPD=∠BAC 时求出相似三角形，进而得出结果．【详解】BC ＝6,CD=2，∴BD=4,①如图解析：1，83 ，32【解析】【分析】分别利用当DP ∥AB 时，当DP ∥AC 时，当∠CDP=∠A 时，当∠BPD=∠BAC 时求出相似三角形，进而得出结果．【详解】BC ＝6,CD=2，①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，∴PD CDAB BC=,∴236DP=,∴DP=1;②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．∴PD BDAC BC=,∴446DP=,∴DP=83;③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，∴DP DCAB AC=,∴234DP=,∴DP=32;④如图，当∠BPD=∠BAC时，过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。
上海市金山区2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷(一模) 解析版
2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．计算：+2（﹣）＝．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）10．正十边形的中心角等于度．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．20．（10分）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，那么该二次函数图象的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【分析】根据抛物线的顶点式，可求抛物线的对称轴．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴是：直线x＝2．故选：A．2．下列各点在抛物线y＝2x2上的是（）A．（2，2）B．（2，4）C．（2，8）D．（2，16）【分析】把x＝2代入抛物线解析式中，求得函数值，即可判断．【解答】解：把x＝2代入y＝2x2得y＝2×22＝8，故点（2，8）在抛物线上．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么锐角A的正弦等于（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义得出答案即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的正弦表示的是锐角A的对边与斜边的比，即：，故选：B．4．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据特殊锐角三角函数值先得出α+15°，再求出α即可．【解答】解：∵sin45°＝，∴α+15°＝45°，∴α＝30°，故选：B．5．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（）A．B．C．D．【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴DE＝BC，∵＝，∴＝，∴＝﹣，故选：D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．计算：+2（﹣）＝．【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．【解答】解：原式＝+3﹣2＝．故答案是：．8．已知f（x）＝x2+3x，那么f（﹣2）＝﹣2．【分析】计算自变量为﹣2对应的函数值即可．【解答】解：把x＝﹣2代入f（x）＝x2+3x得f（﹣2）＝（﹣2）2+3×（﹣2）＝4﹣6＝﹣2．故答案为：﹣2．9．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是上升．（填“上升”或“下降”）【分析】根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2的开口向下，对称轴为y轴，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∴抛物线y＝﹣2x2在y轴左侧的部分是上升的，故答案为：上升．10．正十边形的中心角等于36度．【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可．【解答】解：正十边形的中心角为：＝36°．故答案为：36°．11．已知⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，若⊙O1和⊙O2内切，那么圆心距O1O2的长等于1．【分析】根据两圆内切，圆心距等于半径之差．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径长分别为3和4，⊙O1和⊙O2内切，∴圆心距O1O2的长＝4﹣3＝1，故答案为：1．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝，那么BC＝12．【分析】根据正弦的定义得到sin A＝＝，然后把AB＝15代入计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴BC＝AB＝×15＝12．故答案为12．13．在△ABC中，AB：AC：BC＝1：2：，那么tan B＝2．【分析】设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，根据勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义作答．【解答】解：根据题意，可设AB＝k，则AC＝2k，BC＝k，∴AC2+AB2＝BC2＝5k2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．∴tan B＝＝＝2．故答案是：2．14．已知：如图，△ABC的中线AE与BD交于点G，DF∥AE交BC于F，那么＝．【分析】根据三角形中位线定理可得＝，再根据相似三角形的性质可得＝＝＝，设辅助常数，表示AG，AE，最后根据平行线分线段成比例得出答案．【解答】解：连接DE，∵AE、BD是△ABC的中线，∴AD＝DC，BE＝EC，∴DE∥AB，DE＝AB，∴∠DEG＝∠BAG，∠EDG＝∠ABG，∴△DEG∽△BAG，∴＝＝＝，设GE＝k，则AG＝2k，AE＝k+2k＝3k，又∵DF∥AE，AD＝DC，∴＝，∴DF＝k，∴＝＝，故答案为：．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示为﹣．【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形ABCD是平行四边形，则可求得与，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BE＝AD，DE＝AB，∵BC＝2AD，∴AD＝EC．∵＝，＝，∴＝＝，＝＝，∴＝﹣＝﹣（+）＝﹣．故答案为：﹣．16．如图，已知⊙O中，∠AOB＝120°，弦AB＝18，那么⊙O的半径长等于．【分析】如图，过点O作OH⊥AB于H．直角三角形求出OA即可．【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于H．∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝9，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OA＝＝6．故答案为：6．17．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，DE交对角线AC于F，若CE＝2BE，△ABC 的面积等于15，那么△FEC的面积等于4．【分析】根据平行四边形的性质证明△ADF∽△CEF，可得对应边成比例，根据CE＝2BE，△ABC的面积等于15，进而可得△FEC的面积．【解答】解：在▱ABCD中，AD∥CE，AD＝BC∴△ADF∽△CEF，∴＝＝，∵CE＝2EB，∴CE＝BC＝AD，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝S△ADC＝15，∴S△ACD＝S△AFD+S△CFD＝15，∵＝，∴＝＝，∴S△AFD＝9，S△CFD＝6，∴S△FEC＝4．故答案为：4．18．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，以点C为直角顶点的Rt△DCE的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若tan∠CED＝，CE＝GE，那么BD的长等于2+．【分析】如图，过点A作AH⊥CE于H．想办法证明AK＝AC，推出HK＝CH，推出AK ＝AD＝2，即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作AH⊥CE于H.∵tan∠CED＝＝tan∠BAC，∴∠E＝∠BAC，∵CE＝EG，∴∠CGE＝∠ECG，∵∠BAC+∠GAK＝180°，∴∠E+∠GAK＝180°，∴∠AGE+∠AKE＝180°，∵∠AKE+∠AKC＝180°，∴∠AKC＝∠CGE，∴∠AKC＝∠ACK，∴AC＝AK＝2，∵AH⊥CK，∴KH＝CH，∵∠AHE＝∠DCK＝90°，∴AH∥CD，∴KA＝AD，∴DK＝2AK＝4，AD＝AK＝2，∵∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴BD＝AB+AD＝2+，故答案为：2+．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求：tan B sin A+|1﹣cos B|+的值．【分析】根据勾股定理求得AB，然后求得直角三角函数值，代入求得即可求得．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，∴，∴；；；，∴原式＝＝．20．（10分）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．（1）求证：O1A∥O2B；（2）若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1A∥O2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT 的值．【解答】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线，又∵⊙O1与⊙O2外切于点T，∴O1O2经过点T．∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．∵∠O1TA＝∠O2TB，∴∠A＝∠B．∴O1A∥O2B；（2）∵O1A∥O2B，∴．∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，∴，解得：．21．（10分）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成y＝﹣2（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【分析】（1）将点A（0，1）、B（1，﹣5）代入解析式求出b、c的值即可得；（2）将二次函数配方成顶点式后确定其顶点坐标与对称轴．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5），∴，解得：；∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2﹣4x+1；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3，∴抛物线的顶点坐标为：（﹣1，3），对称轴为：直线x＝﹣1．22．（10分）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）【分析】（1）过点A作AD垂直HB于D，作AE∥BH交GH于点E，由坡度的定义和锐角三角函数定义分别计算出BD，根据勾股定理求出AD；（2）作AE∥BH交GH于点E，根据题意得到四边形ADHE是平行四边形，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过点A作AD垂直HB，交HB的延长线于点D，即∠ADB＝90°，由题意得：i＝1：，AB＝60（米），∴，即；又∵AB2＝AD2+BD2，即，∴AD＝20（米），答：山坡的高度为20米；（2）作AE∥BH交GH于点E，∵AD⊥BH，GH⊥BH，∴AD∥GH，即：四边形ADHE是平行四边形，由题意可知：∠GAE＝30°，BH＝60（米），∵（米），∴（米），在Rt△AGE中，，∴（米），又∵EH＝AD＝20（米），∴（米），答：铁塔的高度GH为米．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若，求证：EF∥MN．【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△F AB，得，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得，进而证出，则MN∥BD即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△F AB，∴，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴，∵，∴，∴，∴MN∥BD，∴EF∥MN．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A．（1）求点A的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移两个单位后，经过点（1，﹣2），求抛物线y＝ax2+bx ﹣1的表达式；（3）若抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2+bx﹣1关于x轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P'与点P，当S△OPP′＝3时，求抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式．【分析】（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可得出答案；（2）由抛物线经过点A可得出b＝﹣4a，由平移的性质可得出答案；（3）求出顶点P的坐标为（2，﹣4a﹣1），由轴对称的性质可得出P'的坐标，求出PP'的长，根据三角形的面积公式可得出方程，解方程可得出答案．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与直线y＝x﹣3相交于点A，∴，解得：；∴点A的坐标为（4，﹣1）．（2）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A（4，﹣1），∴16a+4b﹣1＝﹣1，即b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax﹣1，∴平移后的抛物线的表达式是y＝ax2﹣4ax+1，∴﹣2＝a﹣4a+1，解得：a＝1，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是：y＝x2﹣4x﹣1．（3）如图，∵y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴P（2，﹣4a﹣1），∵抛物线y＝a'x2+b'x+c（a'＜0）与y＝ax2﹣4ax﹣1关于x轴对称，∴P'（2，4a+1），∵a'＜0，∴a＞0，∴P'P＝8a+2，又∵OD＝2，S△OPP'＝×OD×PP'，∴，解得：a＝，∴抛物线y＝ax2+bx﹣1的表达式是y＝x﹣1．25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝．（1）求弦AC的长．（2）当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．（3）当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理可得AH＝BH＝AC，由锐角三角函数和勾股定理可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求AG，EG，CG的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形和勾股定理可求解．【解答】解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC于点H，由垂径定理得：AH＝BH＝AC，在Rt△OAH中，，∴设OH＝3x，AH＝4x，∵OH2+AH2＝OA2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），∴OH＝3，AH＝4，∴AC＝2AH＝8；（2）如图2，过点O作OH⊥AC于H，过E作EG⊥AC于G，∵∠DEO＝∠AEC，∴当△DOE与△AEC相似时可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：，∴∠ACD≠∠DOE∴当△DOE与△AEC相似时，不存在∠DOE＝∠ACD情况，∴当△DOE与△AEC相似时，∠DOE＝∠A，∴OD∥AC，∴，∵OD＝OA＝5，AC＝8，∴，∴，∵∠AGE＝∠AHO＝90°，∴GE∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴，∴，∴，，在Rt△CEG中，；（3）当点E在线段OA上时，如图3，过点E作EG⊥AC于G，过点O作OH⊥AC于H，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，由（1）可得OH＝3，AH＝4，AC＝8，∵OE＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，∴，∴AG＝，EG＝，∴GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝2；当点E在线段AO的延长线上时，如图4，延长AO交⊙O于M，连接AD，DM，过点E 作EG⊥AC于G，同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，∴EC＝＝＝，∵AM是直径，∴∠ADM＝90°＝∠EGC，又∵∠M＝∠C，∴△EGC∽△ADM，∴，∴，∴AD＝，综上所述：AD的长是或．。
上海上海中学东校2020年数学九年级上册期末试卷及答案
上海上海中学东校2020年数学九年级上册期末试卷及答案一、选择题1．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（） A ．2：3 B ．2：3 C ．4：9 D ．16：81 2．有一组数据5，3，5，6，7，这组数据的众数为（ ）A ．3B ．6C ．5D ．73．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）A ．100°B ．72°C ．64°D ．36°4．如图，以AB 为直径的⊙O 上有一点C ，且∠BOC ＝50°，则∠A 的度数为（ ）A ．65°B ．50°C ．30°D ．25°5．△ABC 的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点．A ．三条边垂直平分线B ．三条中线C ．三条角平分线D ．三条高6．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜1 7．关于x 的一元二次方程x 2+bx-6=0的一个根为2，则b 的值为( ) A ．-2 B ．2 C ．-1 D ．1 8．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．12D 2：1 9．已知⊙O 的直径为4，点O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断10．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位11．有一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，这组数据的中位数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．二次函数y =()21x ++2的顶点是( ) A ．(1，2)B ．(1，−2)C ．(−1，2)D ．(−1，−2)13．方程x 2=4的解是（ ）A ．x=2B ．x=﹣2C ．x 1=1，x 2=4D ．x 1=2，x 2=﹣2 14．如图所示的网格是正方形网格，则sin A 的值为（ ）A ．12B ．22C ．35D ．4515．若二次函数y ＝x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n 的值是（ ） A ．1B ．3C ．4D ．6二、填空题16．如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B=∠C=90°，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50m ，求得河宽AB=______m ．17．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到MCN ∆，点D 、E 分别为AB 、MN 的中点，若点E 刚好落在边BC 上，则sin DEC ∠=______.18．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为__________ ．19．如图，用一张半径为10 cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8 cm ，那么这张扇形纸板的弧长是________cm ．20．抛物线2(-1)3y x =+的顶点坐标是______.21．某校五个绿化小组一天的植树的棵数如下：9，10，12，x ，8．已知这组数据的平均数是10，那么这组数据的方差是_____．22．如图，曲线AB 是顶点为B ，与y 轴交于点A 的抛物线y ＝﹣x 2+4x +2的一部分，曲线BC 是双曲线ky x=的一部分，由点C 开始不断重复“A ﹣B ﹣C ”的过程，形成一组波浪线，点P （2018，m ）与Q （2025，n ）均在该波浪线上，则mn ＝_____．23．方程290x 的解为________.24．已知⊙O 半径为4，点,A B 在⊙O 上，21390,sin 13BAC B ∠=∠=，则线段OC 的最大值为_____．25．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.26．数据1、2、3、2、4的众数是______．27．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．28．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，则∠CAD ＝_____．29．若a b b -＝23，则ab的值为________． 30．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________．三、解答题31．如图，在矩形纸片ABCD 中，已知2AB =6=BC E 在边CD 上移动，连接AE ，将多边形ABCE 沿AE 折叠，得到多边形AB C E ''，点B 、C 的对应点分别为点B '，C '.（1）连接AC .则AC =______，DAC ∠=______°； （2）当B C ''恰好经过点D 时，求线段CE 的长；（3）在点E 从点C 移动到点D 的过程中，求点C '移动的路径长.32．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A -，、(30)B ，两点，与y 轴相交于点C . （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是对称轴上的一个动点，当PAC 的周长最小时，直接写出点P 的坐标和周长最小值;（3）点Q 为抛物线上一点，若8QABS=，求出此时点Q 的坐标.33．小亮晚上在广场散步，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯的位置．（1）请你在图中画出小亮站在AB 处的影子BE ；（2）小亮的身高为1.6m ，当小亮离开灯杆的距离OB 为2.4m 时，影长为1.2m ，若小亮离开灯杆的距离OD ＝6m 时，则小亮（CD ）的影长为多少米？34．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，点A 在x 轴的正半轴上，B 为⊙O 上一点，过点A 、B 的直线与y 轴交于点C ，且OA 2＝AB •AC ．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AB＝3，求直线AB对应的函数表达式．35．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相交于A、D两点．抛物线的顶点为C，连结AC．（1）求A，D两点的坐标；（2）点P为该抛物线上一动点（与点A、D不重合），连接PA、PD．①当点P的横坐标为2时，求△PAD的面积；②当∠PDA＝∠CAD时，直接写出点P的坐标．四、压轴题36．如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．继续推理就可以使问题得到解决．（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为；②若AD+BD＝14，求2AD BD2⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭的最大值，并求出此时⊙O的半径．37．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.（1）求证：AEF BCE ∽； （2）若23AC =，求AB 的长；（3）在（2）的条件下，求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离？ 38．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．39．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，连结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．（1）若ED＝BE，求∠F的度数：（2）设线段OC＝a，求线段BE和EF的长（用含a的代数式表示）；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．40．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C．（1）求m，n的值及抛物线的解析式；（2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y＝x+3上，求线段OP的长度；（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据面积比为相似比的平方即可求得结果.【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，∴它们的周长比为492 3 .故选B.【点睛】本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的平方.2．C解析：C【分析】根据众数的概念求解．【详解】这组数据中5出现的次数最多，出现了2次，则众数为5．故选：C．【点睛】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．3．C解析：C【解析】【分析】【详解】试题分析：设AC和OB交于点D，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C．4．D解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】解：由圆周角定理得，1252A BOC∠=∠=︒，故选：D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．A解析：A【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可． 【详解】解：△ABC 的外接圆圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点， 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.6．D解析：D 【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根， ∴()2240m =-->， 解得：m ＜1． 故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．D解析：D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b 的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把x=2代入程x 2+bx-6=0得4+2b-6=0， 解得b=1． 故选：D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.8．B解析：B 【解析】 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，∴它们的面积比是：1：4．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．9．B解析：B【解析】【分析】根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系．【详解】∵⊙O 的直径为4，∴⊙O 的半径为2，∵圆心O 到直线l 的距离是2，∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l 与⊙O 的位置关系是相切．故选：B ．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知圆的半径是r ，圆心到直线的距离是d ，当d ＝r 时，直线和圆相切，当d ＞r 时，直线和圆相离，当d ＜r 时，直线和圆相交．10．C解析：C【解析】【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【详解】 抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ．【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．解析：B【解析】【分析】先把这组数据按顺序排列：4，6，6，6，8，9，12，13，根据中位数的定义可知：这组数据的中位数是6，8的平均数．【详解】∵一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，∴这组数据的中位数是()6821427+÷÷==，故选：B ．【点睛】本题考查中位数的计算，解题的关键是熟练掌握中位数的求解方法：先将数据按大小顺序排列，当数据个数为奇数时，最中间的那个数据是中位数，当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数．12．C解析：C【解析】【分析】因为顶点式y=a （x-h ）2+k ，其顶点坐标是（h ，k ），即可求出y=()21x ++2的顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y=()21x ++2是顶点式，∴顶点坐标为：(−1，2)；故选：C.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握． 13．D解析：D【解析】x 2=4，x =±2.故选D.点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.14．C解析：C【解析】【分析】设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC ，AD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC ，AD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，∵224225AC BC =+==，BC ＝22，AD ＝2232AC CD +=， ∵S △ABC ＝12AB •CE ＝12BC •AD ， ∴CE ＝223265525BC AD AB ⨯==， ∴6535525CE A sin CAB C ∠==＝， 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．15．C解析：C【解析】【分析】二次函数y =x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则240b ac =-=⊿，据此即可求得．【详解】∵1a =，4b =，c n =，根据题意得：2244410b ac n =-=⨯⨯=⊿﹣，解得：n =4，故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的交点与一元二次方程20ax bx c ++=根之间的关系．24b ac =-⊿决定抛物线与x 轴的交点个数．⊿＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；0=⊿时，抛物线与x 轴有1个交点；⊿＜0时，抛物线与x 轴没有交点．二、填空题16．100【解析】【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△E解析：100【解析】【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴AB BD EC CD=，即BD EC ABCD⨯=，解得：AB=1205060⨯=100（米）．故答案为100．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．17．【解析】【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】【解析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE 长，sin DEC∠的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，∵D为AB的中点，∴CD=15 2AB= ,由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E为MN的中点，∴CE=15 2MN,∵DM⊥BC,DC=DB,∴CM=BM=13 2BC=,∴EM=CE-CM=5-3=2，∵DM=14 2AC,∴由勾股定理得，DE=25，∵CD=CE=5，CN⊥DE,∴DN=EN=5 ,∴由勾股定理得，CN=25,∴sin∠DEC=25 CNCE.25.【点睛】本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.18．【解析】【分析】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：，解得所以解析：16【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n，解得360πn=所以22360S==16360360扇形π4πrπ=n19．【解析】【分析】首先求出圆锥的底面半径，然后可得底面周长，问题得解．【详解】解：∵扇形的半径为10cm，做成的圆锥形帽子的高为8cm，∴圆锥的底面半径为cm，∴底面周长为2π×6＝12解析：12π【解析】【分析】首先求出圆锥的底面半径，然后可得底面周长，问题得解．【详解】解：∵扇形的半径为10cm，做成的圆锥形帽子的高为8cm，6=cm，∴底面周长为2π×6＝12πcm，即这张扇形纸板的弧长是12πcm，故答案为：12π．【点睛】本题考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长．20．(1，3)【解析】【分析】根据顶点式：的顶点坐标为（h，k）即可求出顶点坐标.【详解】解：由顶点式可知：的顶点坐标为：(1，3).故答案为(1，3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标，解析：(1，3)【解析】【分析】根据顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.【详解】解：由顶点式可知：2(-1)3y x =+的顶点坐标为：(1，3).故答案为(1，3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标，掌握顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）是解决此题的关键.21．2【解析】【分析】首先根据平均数确定x 的值，再利用方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]，计算方差即可．【详解】∵组数据的平均数是10，∴(9+10+12+x+8解析：2【解析】【分析】首先根据平均数确定x 的值，再利用方差公式S 2＝1n[（x 1﹣x ）2+（x 2﹣x ）2+…+（x n ﹣x ）2]，计算方差即可．【详解】∵组数据的平均数是10， ∴15(9+10+12+x+8)＝10， 解得：x ＝11， ∴S 2＝15[[（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2+（8﹣10）2]， ＝15×（1+0+4+1+4）， ＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x，则方差S2＝1n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（x n﹣x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．22．24【解析】【详解】点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点，∴点B的坐标为（2，6），2018÷6=336…2，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，∴点P的坐标为（2018，6），解析：24【解析】【详解】点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点，∴点B的坐标为（2，6），2018÷6=336…2，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，∴点P的坐标为（2018，6），∴m＝6；点B（2，6）在kyx=的图象上，∴k＝6；即12yx=，2025÷6=337…3，故点Q离x轴的距离与当x＝3时，函数12yx=的函数值相等，又x＝3时，1243y==，∴点Q的坐标为（2025，4），即n＝4，∴mn=6424.⨯=故答案为24．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的图象与性质．本题是一道找规律问题．找到点P、Q在A﹣B﹣C段上的对应点是解题的关键．23．【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．故答案为．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这解析：3x =±【解析】【分析】这个式子先移项，变成x 2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x 2=9，解得x =±3．故答案为3x =±．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a ≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2=b （b ≥0）；a （x +b ）2=c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．24．【解析】【分析】过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明，由三角函数可得出，进而求得，再通过证明，可得出，根据三角形三边关系可得:,由勾股定理可得，求出BE 的最大值，则答案即可求出.解析：833+ 【解析】【分析】过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明ABC AEO ∆∆，由三角函数可得出23AO AE =，进而求得6AE =，再通过证明AEB AOC ∆∆，可得出23OC BE =，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,由勾股定理可得OE =，求出BE 的最大值，则答案即可求出.【详解】解:过点A作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,∵OAE BACAEO ABC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩,∴ABC AEO∆∆,∴tanAC AOBAB AE∠==,∵213sin B∠=,∴2213313cos113B⎛⎫∠=-=⎪⎪⎝⎭∴213sin213tancos3313BBn B∠∠===∠,∴23AOAE=，又∵4AO=,∴6AE=,∵90,90 EAB BAO OAC BAO∠+∠=︒∠+∠=︒，∴=EAB OAC∠∠，又∵AC AOAB AE=，∴AEB AOC∆∆,∴23OC ACBE AB==,∴23OC BE=,在△OEB中，根据三角形三边关系可得:BE OE OB≤+,∵222264213OE AE AO=+=+=，∴4OE OB +=,∴BE 的最大值为：4，∴OC 的最大值为：()28433=. 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角函数、勾股定理及三角形三边关系，解题的关键是构造直角三角形. 25．（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）．解析：（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A ′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）． 26．2【解析】【分析】根据众数的定义直接解答即可．【详解】解：数据1、2、3、2、4中，∵数字2出现了两次，出现次数最多，∴2是众数，故答案为：2．【点睛】此题考查了众数，掌握众数的解析：2【解析】【分析】根据众数的定义直接解答即可．【详解】解：数据1、2、3、2、4中，∵数字2出现了两次，出现次数最多，∴2是众数，故答案为：2．【点睛】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．27．【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】，，，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键． 解析：203【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】123////l l l ，AB DE BC EF∴=， 3,5,4AB BC DE ===，345EF∴=， 解得203EF =， 故答案为：203． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键． 28．36°．【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE ，得出 ==，由圆周角定理即可得出答案．【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，解析：36°．【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=15(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出BC=CD=DE，由圆周角定理即可得出答案．【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BAE=15(n﹣2)×180°=15(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，∴BC=CD=DE，∴∠CAD=13×108°=36°；故答案为：36°．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用；熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键．29．【解析】【分析】根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】∵＝，∴b=a,∴=,故答案为：.【点睛】本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．解析：5 3【解析】【分析】根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】∵a bb-＝23，∴b=35 a,∴ab=5335aa=,故答案为：5 3 .【点睛】本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．30．①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛解析：①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；④m＝﹣3，结论错误，∴其中，正确的有. ①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.三、解答题31．（1）22，30；（2）2322CE =-；（3）CC '的长223π=【解析】【分析】 (1)直接利用勾股定理可求出AC 的长，再利用特殊角的三角函数值可得出∠DAC 的度数(2)设CE=x ，则DE=2x -，根据已知条件得出AD B DEC '',再利用相似三角形对应线段成比例求解即可.(3)点C?运动的路径长为´CC 的长，求出圆心角，半径即可解决问题.【详解】解：(1)连接AC22AC 2622AB BC =+=+=∵21sin 30222AB AC ===︒ ∴ACB DAC 30∠∠==︒ （2）由已知条件得出，A 2B '=,D 2B '=,D 62C '=- 易证AB D DC E ''∆∆∽∴C E DC BD AB ''='' ∴6222CE -= ∴2322CE =-（3）如图所示，C'运动的路径长为CC '的长由翻折得：30C AD DAC '∠=∠=︒∴60CAC '∠=︒∴CC '的长601803π⋅== 【点睛】本题考查的知识点有相似三角形的判定与性质，特殊的三角函数值，弧长的相关计算等，解题的关键是弄清题意，综合利用各知识点来求解.32．（1）223y x x =--；（2）(1,2)P -；（3）1(1Q - ，2(1Q + ，3(1,4)Q -【解析】【分析】(1)把(10)A -，、(30)B ，代入抛物线2y x bx c =++即可求出b,c 即可求解; (2)根据A,B 关于对称轴对称,连接BC 交对称轴于P 点,即为所求,再求出坐标及PAC 的周长;(3)根据△QAB 的底边为4,故三角形的高为4,令y =4，求出对应的x 即可求解.【详解】(1)把(10)A -，、(30)B ，代入抛物线2y x bx c =++得01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩ 解得23b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =--;(2)如图，连接BC 交对称轴于P 点,即为所求,∵223y x x =--∴C(0,-3),对称轴x=1设直线BC 为y=kx+b, 把(30)B ，, C(0,-3)代入y=kx+b 求得k=1,b=-3, ∴直线BC 为y=x-3令x=1，得y=-2，∴P （1，-2），∴PAC 的周长;(3)∵△QAB 的底边为AB=4, 182QAB SAB H =⨯= ∴三角形的高为4, 令y =4，即2234x x --=±解得x 1=122-, x 2=122+, x 3=1故点Q 的坐标为1(122,4)Q - ， 2(122,4)Q + ，3(1,4)Q -.【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与一次函数的求解.33．（1）如图，BE 为所作；见解析；（2）小亮（CD ）的影长为3m ．【解析】【分析】（1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B 处沿BO 所在的方向行走到达O 处的过程中，连接PA 并延长交直线BO 于点E ，则可得到小亮站在AB 处的影子；（2）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可．【详解】（1）如图，连接PA 并延长交直线BO 于点E ，则线段BE 即为小亮站在AB 处的影子：（2）延长PC 交OD 于F ，如图，则DF 为小亮站在CD 处的影子，AB ＝CD ＝1.6，OB ＝2.4，BE ＝1.2，OD ＝6，∵AB ∥OP ，∴△EBA ∽△EOP ，∴,AB EB OP EO =即1.6 1.2,1.2 2.4OP =+ 解得OP ＝4.8，∵CD ∥OP ，∴△FCD ∽△FPO ，∴CD FDOP FO=，即1.64.86FDFD=+，解得FD＝3答：小亮（CD）的影长为3m．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答．34．（1）见解析；（2）32333 y x=-+【解析】【分析】，（1）连接OB，根据题意可证明△OAB∽△CAO，继而可推出OB⊥AB，根据切线定理即可求证结论；（2）根据勾股定理可求得OA＝2及A点坐标，根据相似三角形的性质可得OB AB CO AO=，进而可求CO的长及C点坐标，利用待定系数法，设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，再把点A、C的坐标代入求得k、b的值即可．【详解】（1）证明：连接OB．∵OA2＝AB•AC∴OA AB AC OA=,又∵∠OAB＝∠CAO，∴△OAB∽△CAO，∴∠ABO＝∠AOC，又∵∠AOC＝90°，∴∠ABO＝90°，∴AB⊥OB；∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：∵∠ABO＝90°，3AB=OB＝1，∴2OA ===，∴点A 坐标为（2，0），∵△OAB ∽△CAO ，∴OB AB CO AO =，即1CO =，∴CO =， ∴点C 坐标为0,3⎛ ⎝⎭；设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx +b ，则02k b b =+⎧=，∴3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y x =． 即直线AB对应的函数表达式为33y x =-+． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质、圆的切线定理、勾股定理、一次函数解析式等知识，解题的关键是正确理解题意，求出线段的长及各点的坐标．35．（1）A （1，0），D （4，3）；（2）①当点P 的横坐标为2时，求△PAD 的面积；②当∠PDA ＝∠CAD 时，直接写出点P 的坐标．【解析】【分析】（1）由于A 、D 是直线直线y ＝x ﹣1与抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5的交点，要求两个交点的坐标，需可联立方程组求解；（2）①要求△PAD 的面积，可以过P 作PE ⊥x 轴，与AD 相交于点E ，求得PE ，再用△PAE 和△PDE 的面积和求得结果；②分两种情况解答：过D 点作DP ∥AC ，与抛物线交于点P ，求出AC 的解析式，进而得PD 的解析式，再解PD 的解析式与抛物线的解析式联立方程组，便可求得P 点坐标；当P 点在AD 上方时，延长DP 与y 轴交于F 点，过F 点作FG ∥AC 与AD 交于点G ，则∠CAD ＝∠FGD＝∠PDA，则FG＝FD，设F点坐标为（0，m），求出G点的坐标（用m表示），再由FG＝FD，列出m的方程，便可求得F点坐标，从而求出DF的解析式，最后解DF的解析式与抛物线的解析式联立的方程组，便可求得P点坐标．【详解】（1）联立方程组2165y xy x x=-⎧⎨=-+-⎩，解得，111xy=⎧⎨=⎩，2243xy=⎧⎨=⎩，∴A（1，0），D（4，3），（2）①过P作PE⊥x轴，与AD相交于点E，∵点P的横坐标为2，∴P（2，3），E（2，1），∴PE＝3﹣1＝2，∴()112(41)22PAD D AS PE x x=-=⨯⨯-＝3；②过点D作DP∥AC，与抛物线交于点P，则∠PDA＝∠CAD，∵y=-x2+6x-5=-（x-3）2+4，∴C（3，4），设AC的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵A （1，0），∴034k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， ∴22k b ⎧⎨-⎩＝＝， ∴AC 的解析式为：y=2x-2，设DP 的解析式为：y=2x+n ，把D （4，3）代入，得3=8+n ，∴n=-5，∴DP 的解析式为：y=2x-5，联立方程组22565y x y x x -⎧⎨-+-⎩＝＝， 解得，1015x y ⎧⎨-⎩＝＝，2243x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴此时P （0，-5），当P 点在直线AD 上方时，延长DP ，与y 轴交于点F ，过F 作FG ∥AC ，FG 与AD 交于点G ，则∠FGD=∠CAD=∠PDA ，∴FG=FD ，设F （0，m ），∵AC 的解析式为：y=2x-2，∴FG 的解析式为：y=2x+m ，联立方程组21y x m y x +⎧⎨-⎩＝＝， 解得，12x m y m --⎧⎨--⎩＝＝， ∴G （-m-1，-m-2），。
[试卷合集3套]上海市2020年九年级上学期数学期末达标测试试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，P 是AB 上一点，将△PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是G ，过点B 作BE ⊥CG ，垂足为E ，且在AD 上，BE 交PC 于点F ，则下列结论，其中正确的结论有（ ） ①BP ＝BF ；②若点E 是AD 的中点，那么△AEB ≌△DEC ；③当AD ＝25，且AE ＜DE 时，则DE ＝16；④在③的条件下，可得sin ∠PCB＝310；⑤当BP ＝9时，BE•EF ＝1．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】①根据折叠的性质∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC ，从而证明BE ⊥CG 可得BE ∥PG,推出∠BPF＝∠BFP ,即可得到BP=BF;②利用矩形ABCD 的性质得出AE=DE,即可利用条件证明△ABE ≌△DCE;③先根据题意证明△ABE ∽△DEC,再利用对应边成比例求出DE 即可;④根据勾股定理和折叠的性质得出△ECF ∽△GCP,再利用对应边成比例求出BP,即可算出sin 值;⑤连接FG,先证明▱BPGF 是菱形,再根据菱形的性质得出△GEF ∽△EAB,再利用对应边成比例求出BE ·EF ．【详解】①在矩形ABCD ，∠ABC ＝90°，∵△BPC 沿PC 折叠得到△GPC ，∴∠PGC ＝∠PBC ＝90°，∠BPC ＝∠GPC ，∵BE ⊥CG ，∴BE ∥PG ，∴∠GPF ＝∠PFB ，∴∠BPF ＝∠BFP ，∴BP ＝BF ；故①正确；②在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC ，∵E 是AD 中点，∴AE ＝DE ，在△ABE 和△DCE 中，=90AB DC A D AE DE =⎧⎪∠=∠︒⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DCE(SAS)；故②正确；③当AD＝25时，∵∠BEC＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CED＝∠ABE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEC，∴AB DE AE CD=，设AE＝x，∴DE＝25﹣x，∴122512xx-=，∴x＝9或x＝16，∵AE＜DE，∴AE＝9，DE＝16；故③正确；④由③知：CE20==，BE15==，由折叠得，BP＝PG，∴BP＝BF＝PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴EF EC PG CG=，设BP＝BF＝PG＝y，∴152025yy-=，∴y＝253，∴BP＝253，在Rt△PBC中，PC＝==，∴sin∠PCB＝2510 32510103PBPC==；故④不正确；⑤如图，连接FG，由①知BF∥PG，∵BF＝PG＝PB，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，FG＝PB＝9，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴EF GFAB BE=，∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝1；故⑤正确，所以本题正确的有①②③⑤，4个，故选：C．【点睛】本题考查矩形与相似的结合、折叠的性质,关键在于通过基础知识证明出所需结论,重点在于相似对应边成比例．2．如图，在ABC中，点,,D E F分别在边,,AB AC BC上，且//,//DE BC EF AB，则下列结论不一定成立的是（）A．AD AEEF EC=B．BD CEBF CF=C．AD BDAE CE=D．AB ADBC BF=【答案】B【分析】根据相似三角形平行线分线段成比例的性质，分别判定即可.【详解】∵//,//DE BC EF AB∴∠A=∠CEF ，∠ADE=∠ABC ，∠CFE=∠ABC ，AD AE BD CE =， ∴∠ADE=∠CFE ，AD BD AE CE=，C 选项正确； ∴△ADE ∽△EFC ∴AD AE EF EC=，A 选项正确； 又∵AD AE BF AB AC BC== ∴AB AD BC BF=，D 选项正确； ∵AD AE BF BD CE CF== ∴BD CE BF CF =不成立 故答案为B .【点睛】此题主要考查相似三角形平行线分线段成比例的运用，熟练掌握，即可解题.3．若关于x 的方程20x m -=有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <B ．0m ≤C ．0m >D ．0m ≥【答案】D【分析】用直接开平方法解方程，然后根据平方根的意义求得m 的取值范围.【详解】解：20x m -= 2x m =∵关于x 的方程20x m -=有实数根∴0m ≥故选：D【点睛】本题考查直接开平方法解方程，注意负数没有平方根是本题的解题关键.4．如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【答案】C【解析】试题分析：根据中心对称图形与轴对称图形的概念依次分析即可．①②③是只是中心对称图形，④只是轴对称图形，故选C.考点：本题考查的是中心对称图形与轴对称图形点评：解答本题的关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．5．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，若40BCD ∠︒＝，则ABD ∠的大小为（ ）．A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B【分析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD ∠的大小.【详解】解：连接AD ，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒．∵40BCD ∠=︒，∴40A BCD ∠=∠=︒，∴904050ABD ∠=︒-︒=︒．故选B ．【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.6．一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】从图形的上方观察即可求解.【详解】俯视图从图形上方观察即可得到，故选D ．【点睛】本题考查几何体的三视图；熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键．7．将一个直角三角形绕它的最长边（斜边）旋转一周得到的几何体为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】如图旋转，想象下，可得到D.8．若关于x 的函数y=（3-a ）x 2-x 是二次函数，则a 的取值范围( )A ．a≠0B ．a≠3C ．a ＜3D ．a ＞3 【答案】B【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0列式求解即可．【详解】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0，3-a ≠0，则a≠3，故选B【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．9．二次函数y ＝3（x+4）2﹣5的图象的顶点坐标为（ ）A ．（4，5）B ．（﹣4，5）C ．（4，﹣5）D ．（﹣4，﹣5）【答案】D【分析】根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标．【详解】∵二次函数()2345y x +=-∴该函数图象的顶点坐标为（﹣4，﹣5），故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式()2y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）． 10．已知52x y =，则x y y -的值是（ ） A ．12 B ．2 C ．32 D ．23【答案】C【分析】设x=5k （k ≠0），y=2k （k ≠0），代入求值即可．【详解】解：∵52x y = ∴x=5k （k ≠0），y=2k （k ≠0）∴52322x y k k y k --== 故选：C ．【点睛】本题考查分式的性质及化简求值，根据题意，正确计算是解题关键．11．某同学用一根长为（12+4π）cm 的铁丝，首尾相接围成如图的扇形（不考虑接缝），已知扇形半径OA ＝6cm ，则扇形的面积是（ ）A ．12πcm 2B ．18πcm 2C ．24πcm 2D ．36πcm 2【答案】A 【分析】首先根据铁丝长和扇形的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的圆心角，然后代入扇形面积公式求解即可．【详解】解：∵铁丝长为（12+4π）cm ，半径OA ＝6cm ，∴弧长为4πcm ，∴扇形的圆心角为：18046ππ⨯＝120°， ∴扇形的面积为：21206360π⨯＝12πcm 2， 故选：A ．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，解题的关键是了解扇形的面积公式及弧长公式，难度不大．12．已知关于x的一元二次方程2110 4x x m-+-=有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥2B．m≤5C．m＞2 D．m＜5【答案】B【分析】根据一元二次方程根的情况即可列出不等式，从而求出m的取值范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程2110 4x x m-+-=有实数根，∴b2﹣4ac＝1﹣4（114m-）≥0，解得：m≤5故选：B．【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与△的关系是解决此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点M，若AB＝CM＝4，则⊙O的半径为_____．【答案】2.1【分析】连接OA，由垂径定理得出AM＝12AB＝2，设OC＝OA＝x，则OM＝4﹣x，由勾股定理得出AM2+OM2＝OA2，得出方程，解方程即可．【详解】解：连接OA，如图所示：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AM＝12AB＝2，∠OMA＝90°，设OC＝OA＝x，则OM＝4﹣x，根据勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝2.1；故答案为：2.1．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．14．二次函数1()(6)y x mx m m=--(其中m>0),下列命题：①该图象过点(6，0)；②该二次函数顶点在第三象限；③当x>3时，y 随x 的增大而增大；④若当x<n 时，都有y 随x 的增大而减小，则132n m ≤+.正确的序号是____________.【答案】①④【分析】先将函数解析式化成交点时后，可得对称轴表达式，及与x 轴交点坐标，由此可以判断增减性. 【详解】解：()()1166y x mx m m x x m m ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴对称轴为121613222x x m x m++===+，①121,6x x m ==，故该函数图象经过()6,0，故正确； ②0m >，∴()611322m x m m -+=-=+3>， ∴该函数图象顶点不可能在第三象限，故错误；③121613222x x m x m++===+3>，则当132x m >+时，y 随着x 的增大而增大，故此项错误； ④当132x m<+时，即132n m ≤+，y 随着x 的增大而减小，故此项正确. 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.15．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x ≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．【答案】3【解析】试题分析：设最大利润为w 元，则w=（x ﹣30）（30﹣x ）=﹣（x ﹣3）3+3，∵30≤x≤30，∴当x=3时，二次函数有最大值3，故答案为3．考点：3．二次函数的应用；3．销售问题．16．如图，已知点A 在反比例函数图象上，AC ⊥y 轴于点C ，点B 在x 轴的负半轴上，且△ABC 的面积为3，则该反比例函数的表达式为__．【答案】y＝﹣6 x【解析】根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△AOC的面积=△ABC的面积=3，再根据反比例函数中k的几何意义，即可确定k的值，进而得出反比例函数的解析式．【详解】解：如图，连接AO，设反比例函数的解析式为y＝kx．∵AC⊥y轴于点C，∴AC∥BO，∴△AOC的面积＝△ABC的面积＝3，又∵△AOC的面积＝12|k|，∴12|k|＝3，∴k＝±2；又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，∴k＜1．∴k＝﹣2．∴这个反比例函数的解析式为y＝﹣6x．故答案为y＝﹣6x．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．17．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).【答案】>【分析】利用函数图象可判断点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断1y 与2y 的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，∴1y ＞2y ．故答案为＞．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A 和点B 都在对称轴的右侧．18．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是边AD 的中点，将△ABE 折叠后得到△A′BE ，延长BA′交CD 于点F ，则DF 的长为______．【答案】94【分析】根据点E 是AD 的中点以及翻折的性质可以求出AE ＝DE ＝EA'，然后利用“HL”证明△EDF 和△EA'F 全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF ＝A'F ；设FD ＝x ，表示出FC 、BF ，然后在Rt △BCF 中，利用勾股定理列方程即可得解．【详解】∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△A'BE ，∴AE ＝EA'，AB ＝BA'，∴ED ＝EA'，∵在矩形ABCD中，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EA'F＝90°，∵在Rt△EDF和Rt△EA'F中，∵ED EA EF EF'⎧=⎨=⎩，∴Rt△EDF≌Rt△EA'F（HL），∴DF＝FA'，设DF＝x，则BF＝4+x，CF＝4﹣x，在Rt△BCF中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝94．故答案为：94．【点睛】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，利用勾股定理列出方程，是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．解方程：（1）3x1－6x－1＝0；（1）(x－1)1＝(1x＋1)1．【答案】（1）x1＝1x1＝1（1）x1＝13，x1＝－3【分析】（1）利用配方法解方程即可；（1）先移项，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）解：x1－1x＝2 3x1－1x＋1＝23＋1(x－1)1＝5 3x－1＝∴x1＝1x1＝1（1）解：[ (x－1)＋(1x＋1)] [ (x－1)－(1x＋1)]＝0 (3x－1) (－x－3)＝0∴x1＝13，x1＝－3【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能灵活运用各种方法解一元二次方程是解题的关键．20．将一块面积为2120m 的矩形菜地的长减少2m ，它就变成了正方形，求原菜地的长．【答案】原菜地长为12m .【分析】设原菜地的长为xm ，根据正方形的性质可得原矩形菜地的宽，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可.【详解】设原菜地的长为xm ，则原矩形菜地的宽(2)x m -由题意得：(2)120x x -=解得：112x =，210x =-(不合题意，舍去)答：原菜地的长为12m .【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键.21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. （1）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天的盈利是1050元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最大？最大盈利是多少？【答案】（1）每件衬衫降价5元或25元时，商场平均每天的盈利是1050元.（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天的盈利最大，最大盈利是1250元.【分析】（1）设每件衬衫应降价x 元，则每天多销售2x 件，根据盈利=每件的利润×数量建立方程求出其解即可；（2）根据盈利=每件的利润×数量表示出y 与x 的关系式，由二次函数的性质及顶点坐标求出结论．【详解】解：（1）设每件衬衫降价x 元根据题意，得(40)(202)1050x x -+=整理，得2301250x x -+=解得125,25x x ==答：每件衬衫降价5元或25元时，商场平均每天的盈利是1050元.（2）设商场每天的盈利为W 元.根据题意，得22(40)(202)2608002(15)1250W x x x x x =-+=-++=--+∵20-<∴当15x =时，W 有最大值，最大值为1250.答:每件衬衫降价15元时，商场平均每天的盈利最大，最大盈利是1250元.【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，销售问题的数量关系的运用，二次函数的运用，解答时求出函数的解析式是关键．22．如图，在△ABC 中，sinB=35，cosC=22，AB=5，求△ABC 的面积．【答案】212【分析】过A 作AD ⊥BC ，根据三角函数和三角形面积公式解答即可．【详解】过A 作AD ⊥BC ．在△ABD 中，∵sinB=35，AB=5，∴AD=3，BD=1．在△ADC 中，∵cosC=22，∴∠C=15°，∴DC=AD=3，∴△ABC 的面积=12133422⨯⨯+=（）．【点睛】本题考查了解直角三角形，关键是根据三角函数和三角形面积公式解答．23．如图直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线263y x x =-++交y 轴于点A ，过A 作//AB x 轴，交抛物线于点B ，连结OB ．点P 为抛物线上AB 上方的一个点，连结PA ，作PQ AB ⊥垂足为H ，交OB 于点Q ．（1）求AB 的长；（2）当APQ B ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）当APH 面积是四边形AOQH 面积的2倍时，求点P 的坐标．【答案】（1）6；（2）(4,11)P ；（3）(4,11)P 或(3,12)P【分析】（1）令x=0求得A 的坐标，再根据//AB x 轴，令y=3即可求解；（2）证明ABO HPA ∽，则HP AH AB AO=，即可求解； （3）当APH 的面积是四边形AOQH 的面积的2倍时，则2()AO HQ PH +=，262(3)62m m m -+=-+，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线263y x x =-++交y 轴于点A ， ∴()0,3A ，∵//AB x 轴，∴B 的纵坐标为3，设B 的横坐标为a ，则2363a a =-++，解得16a =，20a =（舍），∴()6,3B ，∴6AB =；（2）设2(,63)P m m m -++P B ∠=∠，90AHP OAB ∠=∠=︒，ABO HPA ∴∽， ∴HP AH AB AO=， ∴2663m m m -+=， 解得4m =．(4,11)P ∴（3）当APH 的面积是四边形AOQH 的面积的2倍时，则2()AO HQ PH += ∴262(3)62m m m -+=-+， 得：14m =，23m =，(4,11)P ∴或(3,12)P【点睛】本题考查的是二次函数综合，涉及到一次函数、三角形相似、图形的面积计算等，逐一分类讨论． 24．小明、小亮两人用如图所示的两个分隔均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，转盘停止后，将两个指针所指数字相加(若指针恰好停在分割线上，则重转一次).如果这两个数字之和小于8(不包括8)，则小明获胜；否则小亮获胜。