四川省成都市高二下学期期末数学试卷(文科)
四川省成都市高二下学期期末数学试卷（文科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共15分)
1. （1分） (2017高一上·长宁期中) 已知集合A={（x，y）|3x﹣y=7}，集合B={（x，y）|2x+y=3}，则
A∩B=________．
2. （1分）(2020·如皋模拟) 复数z满足 (其中为虚数单位)，则z的虚部为________.
3. （1分） (2019高一上·沈阳月考) 关于函数，有下列命题：①其最小正周期是；
②其图象可由的图象向左平移个单位得到；③其表达式可改写；④在
上为增函数．其中正确的命题的序是：________．
4. （1分）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{0，1}，则这样的集合D最多有________ 个
5. （2分） (2019高一上·厦门月考) 在平面直角坐标系中，角的终边过点，则 ________；将射线（为坐标原点）按逆时针方向旋转后得到角的终边，则 ________.
6. （1分） (2018高一上·四川月考) 已知幂函数的图象经过点，则 =________.
7. （1分） (2016高一上·铜陵期中) 已知f（x）= ，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）=________
8. （1分） (2017高一下·菏泽期中) 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为________．
9. （1分）(2018·长宁模拟) 若不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值为________．
10. （1分） (2017高一下·苏州期末) 已知cosθ=﹣，θ∈（，π），则cos（﹣θ）=________．
11. （1分） (2016高二上·南通开学考) 已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y=f（x2）+f（k﹣x）只有一个零点，则实数k的值是________．
12. （1分） (2019高一上·台州期中) 已知函数是定义在上的偶函数，若在上为
增函数，且满足，则的取值范围是________．
13. （1分） (2016高一上·盐城期中) 函数f（x）=﹣x2+2x﹣3，x∈[0，2]的值域是________
14. （1分） (2015高三上·舟山期中) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a4﹣a2=8，a3+a5=26．记Tn= ，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．
二、解答题 (共6题；共45分)
15. （5分） (2019高二下·宁夏月考) 已知复数其中i为虚数单位．
（Ⅰ）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；
（Ⅱ）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
16. （10分） (2019高一上·南昌月考) 已知
，
（1）化简；
（2）若，求的值.
17. （10分）(2018·南昌模拟) 函数的部分图象如图所示.
（1）求及图中的值；
（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.
18. （10分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%．
（1）从2015年起，经过x 年的研发资金为y 万元，写出y 关于x 的函数解析式；
（2）从哪一年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元？（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，
lg2=0.30）
19. （5分）设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，求满足的所有x
之和．
20. （5分）已知关于x的函数．
（1）如果函数f(x)在x=1处有极值-，求b、c；
（2）设当x∈（， 3）时，函数y=f（x）﹣c（x+b）的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k≤2，求实数b的取值范围．
参考答案一、填空题 (共14题；共15分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
二、解答题 (共6题；共45分)
答案：15-1、
考点：
解析：
答案：16-1、
答案：16-2、考点：
解析：
答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、考点：
解析：
答案：20-1、
考点：
解析：。
四川省成都市第七中学(高新校区)2023-2024学年高二下学期4月学科素养测试数学试卷
四川省成都市第七中学（高新校区）2023-2024学年高二下学期4月学科素养测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在数列{}n a 中，若11a =，142n n a a +=-，则12a =（ ） A ．2- B ．43- C ．1 D ．4 2．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β3．已知数列{}n a 是等比数列，若332a =，392S =，则1a 的值为（ ） A ．6 B ．32 C ．4 D ．6或324．已知等差数列{}n a ，若2a 、4038a 是函数()32113f x x x mx =-++的极值点，则2020a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．0 5．有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18 6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的实数x ，都有()10f x '+<，且(1)1f =-，则（ ）A ．(0)0f <B ．()f e e <-C ．()(0)f e f >D ．(2)(1)f f > 7．函数lg xy x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:143x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则12PF PF ⋅=u u u r u u u u r （ ）A ．94B ．74C ．2D ．72二、多选题9．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）A ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列B ．若{}n b 的前n 项和22=++n S n n ，则数列{}n b 为等差数列C ．若数列{}n a 为等比数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S --L 成等比数列D ．若数列{}n b 为等差数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S --L 成等差数列10．已知椭圆C ：22162x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点()1,1P 为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆CB ．12PF F △的面积为1C ．直线l 的方程为340x y +-=D ．MN =11．已知函数()3e 1x f x x a =-+-，则下列选项正确的是（ ）A ．()y f x =在()2,3上单调递减B ．()y f x =恰有一个极大值C ．当1a >时，()y f x =有三个零点D ．当1a =时，()()0f f x =有三个实数解三、填空题12．抛物线21x y a=的准线方程为1y =，则实数a 的值为. 13．若函数()e x f x x =-在区间()4,-a a 上存在最大值，则实数a 的取值范围是．14．在数列{}n a 的首项为11a =，且满足132n n n a a ++=⋅，设数列{}n a 的前n 项和n S ，则n a =，9S =．四、解答题15．已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，公差0d >，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 16．已知()()ln 1f x x a x =+-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.17．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(2)8,(2,0)A x y B ++=，动圆P 经过点B 且与圆A 相外切，记动圆的圆心P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)试问，在x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的动直线l 交C 于E ，F 两点时，恒有EAM FAM ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.19．已知R a ∈，函数()2e x f x ax =+，()g x 是()f x 的导函数．(1)当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =； (2)若存在实数a ，b ，使得()f x b ≥恒成立，求a b -的最小值．。
四川省成都市第七中学20232024学年高二下学期期末考试数学试卷
四川省成都市第七中学20232024学年高二下学期期末考试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、解答题
15．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位y（单位：m）是时间(024
££，单位：h)的函数，
t t
记作()
=，下面是某天水深的数据：
y f t
由图象得两函数有6个交点，所以有6个零点．故选：B．
．BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法
BDC A的体积，即可判断B.
11
【详解】建立如图所示空间直角坐标系Dxyz
故有1e b a -£，解得1e
b a ³-，此时ln 1()x f x x
+=的图象恒在2ln 1x ax bx £+-恒成立.
又21()e f ¢=，故()f x 在x =
所以X的分布列为：。
四川省成都市新津区成实外高级中学2022-2023学年高二下学期第一次质量检测文科数学试题
四川省新津成外2022—2023学年第二学期第一次质量检测高二数学文科时间：120分钟满分：150分一单项选择题（每题5分，共12道小题，共计60分）1. 电影《速度与激情》中超级跑车“莱肯”, 最高时速可达 396 千米/小时, 假设 “莱肯”从静止开始做匀加速直线运动, 路程 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 的函数关系为S(t)=4t 2, 则在t =5秒时刻的瞬时速度为（）米/秒.A.8B.40C.100D.1102. 若直线x +(1+m)y −2=0与直线mx +2y +4=0平行, 则m 的值是（）A.-2B.1C.1 或 -2D.−323. 函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f ′(x)在(a,b)内的图像如图所示, 则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4. 在曲线f(x)=x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy), 则Δy Δx 为（）A.Δx +1Δx +2B.2C.Δx +2D.Δx −1Δx+2 5. 若a >0,b >0, 且函数f(x)=4x 3−ax 2−2bx +2在x =1处有极值, 则ab 的最大值等于（）A.2B.3C.6D.96. 已知直线l:y =k(x −2)(k >0)与抛物线C:y 2=8x 交于A,B 两点,F 为抛物线C 的焦点, 若|AF|=2|BF|, 则k 的值是（）A.13B.2√23C.√24D.2√2 7. 已知f(x)=x 3, 则lnΔx→0f(−1+Δx)−f(−1)Δx =（） A.0 B.-3C.2D.3 8. 已知函数f(x)=kx 2−lnx , 若f(x)>0对任意x ∈(0,+∞)恒成立, 则k 的取值范围是（）A.(1e ,+∞)B.(12e ,1e )C.(−∞,12e )D.(12e,+∞)9. 已知函数f(x)=(x −1)e x , 若对于区间(−∞,1)上的任意x 1,x 2, 都有|f (x 1)−f (x 2)|⩽t , 则（）A.t 的最小值是 1B.t 的最小值小于 1C.t 的最大值是 1D.这样的t 的不存在10. 函数f(x)=log a (x 3−ax )(a >0且a ≠1)在区间(−12,0)内单调递增, 则a 的取值范围是（） A.[14,1) B.[34,1)C.(94,+∞) D.(1,94) 11. 定义在(0,+∞)上的单调递减函数f(x), 若f(x)的导函数存在且满足f(x)f ′(x)>x , 则下列不等式成立的是（）A.3f(2)<2f(3)B.3f(4)<4f(3)C.2f(3)<3f(4)D.f(2)<2f(1)12. 已知a 为常数, 函数f(x)=x(lnx −ax)有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2), 则（）A.f (x 1)>0,f (x 2)>−12B.f (x 1)<0,f (x 2)<−12C.f (x 1)>0,f (x 2)<−12D.f (x 1)<0,f (x 2)>−12二填空题（每题5分，共 4道小题，共计20分）13. 已知函数f(x)=13−8x +√2x 2, 且f ′(x 0)=4, 则x 0=___________.14. 设双曲线的一个焦点为F , 虚轴的一个端点为B , 如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直, 那么此双曲线的离心率为___________.15. 已知函数f(x)=13x 3−x 2+ax −5在区间[−1,2]上不单调, 则实数a 的取值范围为___________. 16. 已知函数f(x)=x −sinx , 则不等式f(x +1)+f(2−2x)>0的解集是___________.三解答题（共6道小题，共计70分，写清楚必要演算步骤和解题过程）17. （本题满分10分）已知函数f(x)=ax 3+bx +c 在x =2处取得极值为c −16.(1)求a,b 的值;(2) 若f(x)有极大值 28 , 求f(x)在[−3,3]上的最小值.18. （本题满分12分）某校为了解学生对食堂的满意程度, 做了一次问卷调查, 对三个年级进行分层抽样, 共抽取 40 名同学进行询问打分, 将最终得分按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),(80,85),85,90], 分成 6 段，并得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a的值, 以及此次问卷调查分数的中位数;(2)若分数在区间[60,70)的同学视为对食堂不满意的同学, 从不满意的同学中随机抽出两位同学做进一步调查, 求抽出的两位同学来自不同打分区间的概率.19. （本题满分12分）已知点A(−3,0),B(3,0), 动点P满足|PA|=2|PB|, 点P的轨迹为曲线C.(1)求此曲线的方程.(2)若点Q在直线l:x+y+3=0上, 点P为曲线C上的动点, 求|PQ|的最小值.20. （本题满分12分）已知函数f(x)=lnx−ax−2(a∈R),g(x)=xe x−x−a(x+1).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)≤g(x)恒成立, 求实数a的取值范围.21. （本题满分12分）已知点P(−1,32)是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,|PF1|+|PF2|=4(1) 求椭圆C的标准方程;(2) 设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A,B两点. 若直线PA与直线PB的斜率之和为1 , 问: 直线l是否过定点?证明你的结论.22. （本题满分12分）已知函数f(x)=x2+lnx−ax(a∈R)(1) 若f(x)≥0对任意x≥1恒成立, 求实数a的取值范围;(2) 若函数y=f(x)有两个极值点为x1,x2, 且x1∈(0,1), 若f(x1)−f(x2)>m恒成立, 求实数m的取值范围.。
2023-2024学年四川省成都市校级联考高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年四川省成都市校级联考高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a =(1,1,2),b =(−3,2,0)，则a +b 在a 上的投影向量为( )A. (32,32,322) B. (1510, 1510, 3010)C. (34,34,3 24) D. (−25,35, 25)2.平面直角坐标系内，与点A(1,1)的距离为1且与圆(x−1)2+(y−4)2=4相切的直线有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 0条3.设−A 、−B 分别是事件A 、B 的对立事件，P(A)>0，P(B)>0，则下列结论不正确的是( )A. P(A)+P(−A )=1B. 若A 、B 是互斥事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)C. P(A ∪−A )=1D. 若A 、B 是独立事件，则P(A ∩B)=P(A)P(B)4.如图，在平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°，则AC1⋅BD 1=( )A. 12B. 1C. 32D. 25.在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的25，且样本容量为210，则该组的频数为( )A. 28B. 40C. 56D. 606.已知双曲线C ：x 22−y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ，则|P F 2|为( )A.3B. 23C. 2D. 47.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，其上有两点A ，B ，若AB 的中点为M ，满足MF 的斜率等于1，则|BF|的最大值是( )A. 7B. 8C. 5+23D. 108.半径为R 的光滑半球形碗中放置着4个半径为r 的质量相同的小球，且小球的球心在同一水平面上，今将另一个完全相同的小球至于其上方，若小球不滑动，则Rr 的最大值是( )A. 25+1B. 27+1C. 211+1D. 213+1二、多选题：本题共4小题，共20分。
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案填在答题卷指定的位置上）1．（4分）下面命题中，正确命题的个数为（）①桌面是平面；②一个平面长3米，宽2米；③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；④空间图形是由空间的点、线、面构成的；A．1B．2C．3D．42．（4分）如果OA∥O1A，OB∥O1B，那么∠AOB与∠A1O1B1（）A．相等B．互补C．相等或互补D．以上均不对3．（4分）空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为（）A．60°B．120°C．30°D．60°或120°4．（4分）下面说法错误的是（）A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果两个不重合的平面有且只有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线D．经过一条直线和一点，有且只有一个平面5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（）A．2条B．3条C．4条D．6条6．（4分）棱柱的侧面一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四边形7．（4分）两直线不平行是这两直线是异面直线的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．（4分）分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．可能共面，也可能异面9．（4分）已知直线a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线10．（4分）已知球的半径为6cm，则它的体积为（）A．36πcm3B．144πcm3C．288πcm3D．864πcm3 11．（4分）下列命题一定正确的是（）A．三点确定一个平面B．依次收尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面12．（4分）已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件13．（4分）已知斜线段长是它在平面α上的射影长的2倍，则斜线和平面所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为1，则异面直线DD1与AB之间的距离为（）A．B．1C．D．15．（4分）如图所示，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥SBB．二面角S﹣AB﹣D与二面角S﹣BC﹣D相等C．AB∥平面SCDD．平面SAB⊥平面SBC二、填空题：（本答题共5个小题，每小题4分，共20分）16．（4分）若正方体的对角线长为a，那么正方体的表面积为．17．（4分）已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为．18．（4分）用长和宽分别为3π和π的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是．19．（4分）将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大的铅球，那么，这个大铅球的表面积是．20．（4分）已知一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是．三、解答题：（本大题共7小题，满分70分。
高二(下)期末数学复习试卷三(文科)
高二（下）期末数学复习试卷三（文科）一、选择题（每小题5分，共60.0分）1.设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A. 12B. √22C. √2D. 22.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( )A. 有两个内角是钝角B. 有三个内角是钝角C. 至少有两个内角是钝角D. 没有一个内角是钝角3.设函数y=√4−x2的定义域为A，函数y=ln（1-x）的定义域为B，则A∩B=（）A. (1,2)B. (1,2]C. (−2,1)D. [−2,1)4.设i为虚数单位，m∈R，“复数m(m−1)+i是纯虚数”是“m=1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中可以填入( )A. k<6?B. k<7?C. k>6?D. k>7?6.设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（）A. y与x具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点(x,y)C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg7.函数f（x）=ln|x+1|x+1的大致图象为（）A. B.C. D.8.用二分法求方程近似解的过程中，已知在区间[a，b]上，f(a)＞0,f(b)＜0，并计算得到f(a＋b2)<0，那么下一步要计算的函数值为（）A. f(3a+b4) B. f(a+3b4) C. f(a+b4) D. f(3a+3b4)9.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，图2是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个②第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月份的空气质量最差．A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④10. 下列说法错误的是（）A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线y ̂=b ̂x +a ̂至少经过其样本数据点中的一个点D. 在回归分析中，相关指数R 2越大，模拟的效果越好 11. 若函数f （x ）=12x 2-9ln x 在区间[a -1，a +1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1<a ≤2B. a ≥4C. a ≤2D. 0<a ≤312. 已知定义在R 上的函数y =f (x )对任意的x 满足f (x +1)=−f (x ),当−1≤x <1,f (x )=x 3.函数g(x)={|log a x|,x >0−1x,x <0,若函数h (x )=f (x )-g (x )在[-6,+∞)上恰有6个零点，实数a 的取值范围是（ ）A. (0,17)⋃(7,+∞)B. [19,17)⋃(7,9]C. (19,17]⋃[7,9)D. [19,1)⋃(1,9]二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20.0分）13. 函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′（-1）=6，则a 的值等于______ ． 14. ln1=0，ln （2+3+4）=2ln3，ln （3+4+5+6+7）=2ln5，ln （4+5+6+7+8+9+10）=2ln7，……则根据以上四个等式，猜想第n 个等式是______．（n ∈N *） 15. 已知函数f(x)={3x −1,x >0−2x 2−4x,x ≤0，若方程f(x)=m 有3个不等的实根，则实数m 的取值范围是________.16. 已知函数f （x ）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y =f ˈ（x ）图象如图所示．下列关于f （x ）的命题：X -1 0 4 5 f （x ）1221①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．其中正确命题的序号是__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知命题p：不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立，命题q：函数y=log a（1-2x）在定义域上单调递增，若“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18.已知函数f(x)=(a2-3a+3)a x是指数函数．(1)求f(x)的表达式；(2)判断F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性，并加以证明;(3)解不等式：log a(1-x)>log a(x+2)．19.为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：场数91011121314人数10182225205将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？非歌迷歌迷合计男女合计（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．P（K2≥k）0.050.01k 3.841 6.635．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 中国＂一带一路＂战略构思提出后，某科技企业为抓住＂一带一路＂带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本c (x )(万元)，当年产量不足80台时，c (x )=12x 2+40x(万元)；当年产量不小于80台时，c (x )=101x +8100x−2180(万元).若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(１)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；(２)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？21. 已知函数f （x ）=x •ln x ．（Ⅰ）求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若对于任意x ∈[1e ,e]，都有f （x ）≤ax -1，求实数a 的取值范围．四、选考题（本题满分10，请在22题23题任选一题作答，多答则以22题计分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 已知曲线C 1在平面直角坐标系中的参数方程为{x =√55ty =2√55t −1（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C 2：ρ=2cosθ-4sinθ （1）将C 1的方程化为普通方程，并求出C 2的平面直角坐标方程 （2）求曲线C 1和C 2两交点之间的距离．23. 已知函数f （x ）=|2x +1|-|x -m |（m ∈R ）．（1）当m =1时，解不等式f （x ）≥2；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥|x -3|的解集包含[3，4]，求m 的取值范围．答案和解析1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】A 10.【答案】C 11.【答案】A 12.【答案】B【解析】解：∵对任意的x 满足f （x+1）=-f （x ），∴f （x+2）=-f （x+1）=f （x ），即函数f （x ）是以2为周期的函数，画出函数f （x ）、g （x ）在[-6，+∞）的图象，由图象可知：在y 轴的左侧有2个交点，只要在右侧有4个交点即可,则即有，故7＜a≤9或≤a ＜．13.【答案】4 14.【答案】15.【答案】（0，2） 16.【答案】①②【解析】由导函数的图象可知：当x ∈（-1，0），（2，4）时，f′（x ）＞0， 函数f （x ）增区间为（-1，0），（2，4）； 当x ∈（0，2），（4，5）时，f′（x ）＜0， 函数f （x ）减区间为（0，2），（4，5）． 由此可知函数f （x ）的极大值点为0，4，命题①正确； ∵函数在x=0，2处有意义，∴函数f （x ）在[0，2]上是减函数，命题②正确； 当x ∈[-1，t]时，f （x ）的最大值是2，那么t 的最大值为5，命题③不正确； 2是函数的极小值点，若f （2）＞1，则函数y=f （x ）-a 不一定有4个零点，命题④不正确． ∴正确命题的序号是①②． 故答案为：①②．17.【答案】解：不等式（a -2）x 2+2（a -2）x -4＜0对任意实数x 恒成立．当a =2时不等式等价为-4＜0成立，当a ≠2时，可得{a −2<0∆=4(a −2)2+16(a −2)<0，解得-2＜a ＜2，综上-2＜a ≤2．即p ：-2＜a ≤2，函数y =log a （1-2x ）在定义域上单调递增，可得0＜a ＜1，即q ：0＜a ＜1，若“p ∨q ”为真命题且“p ∧q ”为假命题，则p ，q 为一真一假，若p 真q 假，则{−2<a ≤2a ≥1或a ≤0即1≤a ≤2或-2＜a ≤0，若p 假q 真，则{a >2或a ≤−20<a <1，此时无解，故实数a 的取值范围是1≤a ≤2或-2＜a ≤0． 18.【答案】解：（1）∵函数f(x)=(a 2−3a +3)a x 是指数函数，a >0且a ≠1， ∴a 2-3a +3=1，可得a =2或a =1（舍去），∴f （x ）=2x ；（2）由（1）得F （x ）=2x -2-x ，∴F （-x ）=2-x -2x ，∴F （-x ）=-F （x ）， ∴F （x ）是奇函数；（3）不等式：log 2（1-x ）＞log 2（x +2），以2为底单调递增， 即1-x ＞x +2＞0，∴-2＜x ＜-12，解集为{x |-2＜x ＜-12}．19.【答案】解：（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完2×2…（分）将列联表中的数据代入公式计算，得： K 2=100×(30×10−45×15)275×25×45×55=10033≈3.030 因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…（6分）（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）}其中a i 表示男性，i =1，2，3，b i 表示女性，i =1，2．Ω由10个等可能的基本事件组成．…（9分）用A 表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A ={（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2） }，事件A 由7个基本事件组成．∴P （A ）=710 (12)20.【答案】解：(1)∵当0<x <80时，∴y =100x −(12x 2+40x)−500=−12x 2+60x −500，∵当x ≥80时，∴y =100x −(101x +8100x−2180)−500=1680−(x +8100x)，∴y ={−12x 2+60x −500,0<x <801680−(x +8100x),x ≥80； (2)∵由(1)可知当0<x <80时，y =−12(x −60)2+1300，∴此时当x =60时y 取得最大值为1300(万元)，∵当x ≥80时，y =1680−(x +8100x)≤1680−2√x ·8100x=1500，∴当且仅当x =8100x，即x =90时，y 取最大值为1500(万元)，∴综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．21.【答案】解：（Ⅰ）因为函数f （x ）=x lnx ，所以f′(x)=lnx +x ⋅1x =lnx +1，f '（1）=ln1+1=1．又因为f （1）=0，所以曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y =x -1．（Ⅱ）函数f （x ）=x lnx 定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知，f '（x ）=ln x +1． 令f ′（x ）=0，解得x =1e ．所以，f （x ）的单调递增区间是(1e ，+∞)，f （x ）的单调递减区间是(0，1e )． （Ⅲ）当1e ≤x ≤e 时，“f （x ）≤ax -1”等价于“a ≥lnx +1x ”．令g(x)=lnx +1x ，x ∈[1e，e]，g′(x)=1x−1x 2=x−1x 2，x ∈[1e ，e]．当x ∈(1e ，1)时，g '（x ）＜0，所以以g （x ）在区间(1e ，1)单调递减．当x ∈（1，e ）时，g '（x ）＞0，所以g （x ）在区间（1，e ）单调递增．而g(1e )=−lne +e =e −1>1.5，g(e)=lne +1e =1+1e <1.5．所以g （x ）在区间[1e ，e]上的最大值为g(1e )=e −1．所以当a ≥e -1时，对于任意x ∈[1e ,e]，都有f （x ）≤ax -1．22.【答案】解：（1）曲线C 1在平面直角坐标系中的参数方程为{x =√55ty =2√55t −1（t 为参数），消去参数t 可得普通方程：y =2x -1．由曲线C 2：ρ=2cosθ-4sinθ，即ρ2=ρ（2cosθ-4sinθ），可得直角坐标方程：x 2+y 2=2x -4y ．（2）x 2+y 2=2x -4y ．化为（x -1）2+（y +2）2=5．可得圆心C 2（1，-2），半径r =√5． 圆心C 2（1，-2）到直线y =2x -1的距离为d =√12+22∴曲线C 1和C 2两交点之间的距离=2√5−(√12+22)2=8√55． 23.【答案】解：（1）当x ≤−12时，f （x ）=-2x -1+（x -1）=-x -2，由f （x ）≥2解得x ≤-4，综合得x ≤-4；当−12＜x ＜1时，f （x ）=（2x +1）+（x -1）=3x ，由f （x ）≥2解得x ≥23，综合得23≤x ＜1；当x ≥1时，f （x ）=（2x +1）-（x -1）=x +2，由f （x ）≥2解得x ≥0，综合得x ≥1．所以f （x ）≥2的解集是(−∞，−4]∪[23，+∞)．（2）∵f （x ）=|2x +1|-|x -m |≥|x -3|的解集包含[3，4]，∴当x ∈[3，4]时，|2x +1|-|x -m |≥|x -3|恒成立原式可变为2x +1-|x -m |≥x -3，即|x -m |≤x +4，∴-x -4≤x -m ≤x +4即-4≤m ≤2x +4在x ∈[3，4]上恒成立，显然当x =3时，2x +4取得最小值10，即m 的取值范围是[-4，10]．。
2023-2024学年四川省成都市高新区七年级(下)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年四川省成都市高新区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）下列标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．任意买一张电影票，座位号是单号C．在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是180°D．射击运动员射击一次，命中靶心3．（4分）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某芯片的晶体管栅极的宽度为0.0000014cm．将数据0.0000014用科学记数法表示为（）A．14×10﹣7B．1.4×10﹣6C．0.14×10﹣5D．1.4×10﹣54．（4分）下列运算正确的是（）A．x2•x3＝x6B．（﹣x3）2＝x6C．6x6÷2x2＝3x3D．（x+y）2＝x2+y25．（4分）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，∠B＝∠E，BF＝EC，添加下列一个条件，仍不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DFE6．（4分）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．下表是研究某种弹簧的长度与所挂物体质量关系的实验表格，则弹簧不挂物体时的长度为（）所挂物体重量x（kg）1235弹簧长度y（cm）9111317A．6cm B．7cm C．8cm D．8.5cm7．（4分）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝60°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°8．（4分）数学活动课上，小明用一张边长为4cm的正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（）A．8cm2B．7cm2C．6cm2D．5cm2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）计算：（x+1）（x+2）＝．10．（4分）数学实践活动中，为了测量校园内假山底部A，B两点之间的距离，小明首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC，连接BC并延长到点E，使CE ＝CB，并测得D，E两点之间的距离为8m，则A，B两点之间的距离为．11．（4分）某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：试验粒数n5001000200040007000100001200015000发芽的粒数m421868171434566020858010308129150.8420.8680.8570.8640.8600.8580.8590.861发芽的频率估计该种黄豆发芽的概率为（精确到0.01）．12．（4分）如图，△ABC的周长为20，BC＝8，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交边AB于点D，连接CD，则△ADC的周长为．13．（4分）如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，B的对应点为E，AE与CD交于点F．若∠FCE＝50°，则∠CAB的度数为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1）计算：（﹣1）4+|﹣4|+（π﹣3）0+（）﹣2；（2）计算：[（x﹣2y）2﹣x（x﹣2y）]÷2y．15．（8分）某路口东西方向交通信号灯的设置时间为：红灯20秒，绿灯27秒，黄灯m秒．张师傅随机地由东向西开车到达该路口．（1）张师傅遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？为什么？（2）若张师傅遇到红灯的概率为，则黄灯每次开启多少秒？16．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，连接CD，DG为△BCD的角平分线，DG∥AC，点E，F分别在线段AC，AD上，且∠AEF＝∠CDG．（1）求证：CD∥EF；（2）∠A＝35°，求∠CEF的度数．17．（10分）某市电力公司为鼓励居民节约用电，采用分档计费的方法计算电费，各档次计费方法如表：档次标准第一档每月用电不超过210度时，按0.6元/度计费第二档每月用电超过210度但不超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度的部分按0.7元/度计费第三档每月用电超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度但不超过400度的部分按0.7元/度计费，超出400度的部分按0.9元/度计费（1）小明家5月用电200度，需交电费元；（2）若设某月用电量为x（210＜x≤400）度，应交电费为y元，求y与x之间的关系式；（3）若小明家8月交电费268元，求小明家8月用了多少度电？18．（10分）在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，过点B作射线AD的垂线，垂足为点E．（1）如图1，过点C作射线AD的垂线，垂足为点F，求证：△ABE≌△CAF；（2）在射线EB上取点G，使EG＝AE，连接AG，CG，CG与AD交于点H．①如图2，若∠AGC＝90°，AE＝4，求线段BG的长；②若＝，求的值．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）已知4×2n＝64，则n＝．20．（4分）图1是某移动硬臀助力机械手，图2是其示意图，现立柱CD⊥基座AB，小臂FG∥立柱CD，上臂DE与立柱CD构成的角∠CDE为160°，下臂EF与上臂DE构成的角∠FED为98°，则小臂FG 与下臂EF构成角∠EFG度数为．21．（4分）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径OB是小圆半径OA的2倍，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞每次都落在游戏板上），则击中阴影部分的概率是．22．（4分）任取一个三位数，把这个三位数的百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字，对起始数的十位数字和个位数字进行相同的操作，得到下一个数的十位数字和个位数字，完成第1次操作；然后重复这个过程．如：以126作为原始数，第一次操作后得到的数为243．若以470作为原始数，则第99次操作后得到的数是．23．（4分）如图，在面积为的锐角△ABC中，AB＝，∠C＝30°，D是△ABC内部一点，E，F分别是边BC，AC上的动点，连接AD，BD，DE，DF，EF．若△ABD的面积为1，则△DEF周长的最小值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．（8分）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲、乙两人分别从A，C两地同时出发前往B地，甲匀速步行至B地，乙前15分钟匀速步行，中途休息了一段时间后，再匀速骑共享单车至B地．已知，乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，甲、乙两人同时到终点．甲、乙两人各自到A地的距离（米）与所用时间（分）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A，C两地之间的距离是米；（2）求乙中途休息了多少分钟；（3）乙骑行前，甲步行多少分钟，甲、乙两人之间的距离为400米．25．（10分）[基础]（1）x+y＝5，xy＝1，求x2+y2的值．[变式]（2）已知（2m﹣399）2+（400﹣2m）2＝5，求（2m﹣399）（m﹣200）的值．[应用]（3）为深入贯彻落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》某校规划了如图所示的五边形ABHMD劳动试验田，该劳动试验田中，四边形ABCD区域的形状是边长为a米的正方形，四边形ECGF（点E在DC上）区域及四边形FGHM区域的形状都是边长为b米的正方形．图中阴影部分区域种植了小白菜，已知DE的长为1.5米，ab＝27，求劳动试验田中小白菜的种植面积．26．（12分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BD为△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，∠EDF＝120°．（1）如图1，求证：DE＝DF；（2）如图2，∠CDF＝45°，连接EF，EF与BD交于点G．猜想AE与DG之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若＝，求证：＝．2023-2024学年四川省成都市高新区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．2．【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，不符合题意；C、在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.0000014＝1.4×10﹣6．故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．【分析】根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案．【解答】解：A、x2•x3＝x5，故A错误；B、（﹣x3）2＝x6，故B正确；C、6x6÷2x2＝3x4，故C错误；D、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识，解题的关键是熟记法则．5．【分析】先证明BC＝EF，由于已知∠B＝∠E，则根据全等三角形的判定方法各选项进行判断．【解答】解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，即BC＝EF，∵∠B＝∠E，∴当添加AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），所以A选项不符合题意；当添加AC＝DF时，不能判断△ABC与△DEF全等，所以B选项符合题意；当添加∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），所以C选项不符合题意；当添加∠ACB＝∠DFE时，△ABC≌△DEF（ASA），所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．6．【分析】根据题意，可以求得弹簧的长度与所挂重物的质量的函数解析式，然后将x＝0代入求出y的值，即可得到弹簧不挂物体时的长度．【解答】解：设弹簧的长度与所挂重物的质量的函数解析式为y＝kx+b，由表格可得：，解得，即弹簧的长度与所挂重物的质量的函数解析式为y＝2x+7，∴当x＝0时，y＝7，即弹簧不挂物体时的长度为7cm，故选：B．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．7．【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．【解答】解：延长AB交直线n于点D，∵m∥n，∠1＝60°，∴∠1＝∠BDC＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣60°＝30°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．【分析】根据七巧板的特征求解即可．＝（cm2），图2【解答】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积＝S大正方形＝（cm2），中阴影三角形的面积＝S大正方形∴阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），故选：C．【点评】本题考查了七巧板，熟记七巧板的特征是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝x2+2x+x+2＝x2+3x+2，故答案为：x2+3x+2【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：在△CDE和△CAB中，，∴△CDE≌△CAB（SAS），∴DE＝AB＝8m．故答案为：8m．【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．11．【分析】观察表格得到这种黄豆发芽的频率稳定在0.86附近，即可估计出这种黄豆发芽的概率．【解答】解：当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.86，故用频率估计概率，黄豆发芽的概率估计值是0.86．故答案为：0.86．【点评】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．12．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BD＝CD，再根据AB＝6，AC＝4即可得出结论．【解答】解：∵分别以点B和点C为圆心，以大于BC一半的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN．直线MN交AB于点D，连接CD，∴直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∴BD+AD＝CD+AD＝AB，∴△ADC的周长＝CD+AD+AC＝AB+AC＝20﹣8＝12．故答案为：12．【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．13．【分析】由翻折变换可得∠B＝∠D＝∠E＝90°，∠DFA＝∠EFC，可推出∠DAF＝∠FCE＝50°，∠由BAC＝∠EAC即可求出结果．【解答】解：∵将长方形纸片ABCD沿直AC折叠，∴∠DAB＝∠B＝∠D＝∠E＝90°，∴∠EFC+∠FCE＝90°，∠DFA+∠DAF＝90°，∵∠DFA＝∠EFC，∴∠DAF＝∠FCE＝50°，∴∠EAB＝∠DAB﹣∠DAF＝90°﹣50°＝40°，∵∠EAC＝∠CAB，∴∠CAB＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换，熟练掌握平行线的性质和翻折变换是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算，即可解答；（2）先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）4+|﹣4|+（π﹣3）0+（）﹣2＝1+4+1+4＝10；（2）[（x﹣2y）2﹣x（x﹣2y）]÷2y＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+2xy）÷2y＝（4y2﹣2xy）÷2y＝2y﹣x．【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．15．【分析】（1）根据概率公式判断即可；（2）根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）∵红灯20秒，绿灯27秒，27＞20，∴张师傅遇到绿灯的概率大；（2）∵张师傅遇到红灯的概率为，∴＝，解得m＝3，经检验，m＝3是方程的解，答：黄灯每次开启3秒．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．16．【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠ACD＝∠CDG，然后利用等量代换可得∠AEF＝∠ACD，从而利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，即可解答；（2）先利用平行线的性质可得∠A＝∠GDB＝35°，再利用角平分线的定义可得∠CDG＝∠GDB＝35°，从而可得∠ACD＝∠CDG＝35°，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵DG∥AC，∴∠ACD＝∠CDG，∵∠AEF＝∠CDG，∴∠AEF＝∠ACD，∴CD∥EF；（2）解：∵DG∥AC，∴∠A＝∠GDB＝35°，∵DG平分∠CDB，∴∠CDG＝∠GDB＝35°，∴∠ACD＝∠CDG＝35°，∵EF∥CD，∴∠CEF＝180°﹣∠ACD＝145°，∴∠CEF的度数为145°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．17．【分析】（1）根据第一档“电费＝电费单价×用电量”计算即可；（2）根据“应交电费＝0.6×210+0.7×（x﹣210）”写出y与x之间的关系式即可；（3）分别计算第一档、第二档电费的上限并与268相比较，从而确定小明家8月用电量所在的档次；设小明家8月用了a度电（a＞400），根据第三档的标准列方程并求解即可．【解答】解：（1）200×0.6＝120（元），∴小明家5月用电200度，需交电费120元．故答案为：120．（2）根据题意，得y＝210×0.6+0.7（x﹣210）＝0.7x﹣21，∴y与x之间的关系式为y＝0.7x﹣21（210＜x≤400）．（3）当用电量为210度时，电费为0.6×210＝126（元），268＞126；当用电量为400度时，电费为y＝0.7×400﹣21＝259，268＞259；∴小明家8月用电量在第三档．设小明家8月用了a度电（a＞400）．根据题意，得0.6×210+0.7×（400﹣210）+0.9×（a﹣400）＝268，解得a＝410，∴小明家8月用了410度电．【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据档次标准写出函数关系式和列方程是解题的关键．18．【分析】（1）由余角的性质可得∠ABE＝∠CAF，再加上AB＝AC以及直角即可证明△ABE≌△CAF；（2）①过点C作射线AD的垂线，垂足为点F，由（1）可得△ABE≌△CAF，即可得到EG＝AE＝CF，BE＝AF，进一步可证明△EHG≌△FHC，得到EH＝FH；由∠AGC＝90°可得∠EGH＝45°，得到EH＝FH＝EG＝AE＝CF，得到BE＝3AE，BG＝2AE，即可求得答案；②由题意设BG＝3x，AH＝5x，EG＝AE＝CF＝a，再分两种情况讨论：当点E在△ABC的内部时，当点E在△ABC的外部时，分别求得即可．【解答】（1）证明：∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠BAC＝∠F＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠CAF，∴△ABE≌△CAF（AAS）；（2）解：①过点C作射线AD的垂线，垂足为点F，由（1）可得△ABE≌△CAF，∴AE＝CF，BE＝AF，∵EG＝AE，∴EG＝AE＝CF，∠BEF＝∠F＝90°，∠EHG＝∠FHC，∴△EHG≌△FHC（AAS），∴EH＝FH；∵EG＝AE，BE⊥AD，∵∠AGE＝45°，∴∠EGH＝45°，∴EH＝EG，∴EH＝FH＝EG＝CF＝AE＝CF，∴BE＝3AE，BG＝2AE，∵AE＝4，∴BG＝8；②根据＝，设BG＝3x，AH＝5x，EG＝AE＝CF＝a，当点E在△ABC的内部时，如图，过点C作CF⊥AD于F，∴BE＝AF＝3x+a，EH＝AH﹣AE＝5x﹣a，∴FH＝AF﹣AH＝a﹣2x，∵EH＝FH，∴5x﹣a＝a﹣2x，解得：a＝x，∴＝＝＝；当点E在△ABC的外部时，如图，过点C作CF⊥AD于F，设BG＝3x，AH＝5x，EG＝AE＝CF＝a，则BE＝AF＝a﹣3x，EH＝AE﹣AH＝a﹣5x，∴FH＝AH﹣AF＝8x﹣a，∵EH＝FH，∴a﹣5x＝8x﹣a，∴a＝x，∴＝＝＝；综上所述，的值为或．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定等知识，合理利用这些知识是解题的关键；一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．【分析】先把4写成2的平方，64写成2的6次方的形式，然后把已知等式的左边按照同底数幂的乘方法则，从而列出关于n的方程，解方程即可．【解答】解：∵4×2n＝64，22×2n＝26，22+n＝26，∴2+n＝6，n＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘方法则．20．【分析】过E作EH∥CD，得到FG∥EH，推出∠EFG+∠FEH＝180°，∠CDE+∠DEH＝180°，求出∠DEH＝20°，得到∠FEH＝98°﹣20°＝78°，即可求出∠EFG＝102°．【解答】解：过E作EH∥CD，∵FG∥CD，∴FG∥EH，∴∠EFG+∠FEH＝180°，∠CDE+∠DEH＝180°，∵∠CDE＝160°，∴∠DEH＝20°，∵∠FED＝98°，∴∠FEH＝98°﹣20°＝78°，∴∠EFG＝102°．故答案为：102°．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠EFG+∠FEH＝180°，∠CDE+∠DEH ＝180°．21．【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：∵大圆的半径OB是小圆半径OA的2倍，∴大圆的面积是小圆面积的4倍，∴阴影部分面积是小圆面积的3倍，∴飞镖落在阴影部分的概率是，故答案为：．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．22．【分析】按照定义将第一次操作后得到的数算出来，再算第二次、第三次…直至找到规律，最后得到第99次操作后的数．【解答】解：∵4×2＝8，7×2＝14＞9，0×2＝0，∴第一次操作后的数为：850，∵8×2＝16＞9，5×2＝10＞9，0×2＝0，∴第二次操作后的数为：710，∵7×2＝14＞0，1×2＝2，0×2＝0，∴第三次操作后的数为：520，∵5×2＝10＞9，2×2＝4，0×2＝0，∴第四次操作后的数为：140，∵1×2＝2，4×2＝8，0×2＝0，∴第五次操作后的数为：280，∵2×2＝4，8×2＝16＞0，0×2＝0，∴第六次操作后的数为：470，∴6次操作为一个循环，∵6×16+3＝99，∴第99次操作后得到的数是520．故答案为：520．【点评】本题以新定义为背景，考查了学生对规律型的数字变化，解题的关键是计算出前几次操作后的数字，得到规律．23．【分析】过点D作直线l∥AB，过点C作CG⊥AB于点G，交直线l于点H，求出CH，推出CD的最小值为CH，再作点D关于BC，AC的对称点D'，D″，连接D'D″，CD'，CD″，证明出△CD'D″是等边三角形，且边长等于CD，由此可解决问题．【解答】解：过点D作直线l∥AB，过点C作CG⊥AB于点G，交直线l于点H，如图，由题意，知CG为△ABC的边AB上的高，HG等于△ABD的边AB上的高，∵锐角△ABC的面积为，AB＝，∴וCG＝，∴CG＝，∵△ABD的面积为1，AB＝，∴•HG＝1，点D是直线l上的动点，∴HG＝，∴CH＝CG﹣HG＝＝，∵CD≥CH，∴CD的最小值为，作点D关于BC，AC的对称点D'，D″，连接D'D″，CD'，CD″，则CD'＝CD，CD″＝CD，∠DCD'＝2∠DCB，∠DCD″＝2∠DCA，∵∠ACB＝30°，∴∠D'CD″＝2∠ACB＝60°，∴△CD'D″是等边三角形，∴△DEF周长的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，能够得到CD的最小值，以及证明出△CD'D″是等边三角形，且边长等于CD是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．【分析】（1）当x＝0时，甲乙的距离即为A，C两地之间的距离；（2）求出乙步行和骑车的速度，再计算时间即可；（3）求出甲乙的速度，再按乙休息前后分类讨论计算即可．【解答】解：（1）由图象可得，当x＝0时，S＝600时，甲乙的距离即为A，C两地之间的距离为600米，故答案为：600；（2）乙步行速度为（1800﹣600）÷15＝80（米/分钟），∴骑车速度为3×80＝240（米/分钟），骑行时间＝5（分钟），∴乙中途休息时间为30﹣15﹣5＝10（分钟）．（3）甲速度为＝100（米/分钟），设乙休息前，甲步行t分钟，甲、乙两人之间的距离为400米，解得：t＝10＜15，符合题意，当乙休息后，骑行前，若甲、乙两人之间的距离为400米，则甲行驶路程为400+1800＝2200（米），用时为＝22（分钟），∴乙骑行前，甲步行22或10分钟，甲、乙两人之间的距离为400米．【点评】本题考查一次方程的应用，根据图象发现所需信息是解题关键．25．【分析】（1）把x+y＝5左右两边平方，利用完全平方公式化简后，把xy＝1代入计算即可求出x2+y2的值；（2）设2m﹣399＝a，400﹣2m＝b，即a2+b2＝5，根据a+b＝1，利用完全平方公式求出ab的值，即可求出原式的值；（3）由三个正方形面积+△DEM面积﹣△ABD面积﹣△GHM面积表示出阴影部分面积，根据a﹣b＝1.5，ab＝27求出即可．【解答】解：（1）把x+y＝5两边平方得：（x+y）2＝25，展开得：x2+y2+2xy＝25，把xy＝1代入得：x2+y2+2＝25，则x2+y2＝23；（2）设2m﹣399＝a，400﹣2m＝b，可得a2+b2＝5，则有a+b＝2m﹣399+400﹣2m＝1，（2m﹣399）（m﹣200）＝﹣（2m﹣399）（400﹣2m）＝﹣ab，把a+b＝1两边平方得：（a+b）2＝1，展开得：a2+b2+2ab＝1，即5+2ab＝1，整理得：ab＝﹣2，则（2m﹣399）（m﹣200）＝﹣ab＝﹣×（﹣2）＝1；（3）根据题意得：DE＝a﹣b＝1.5米，ab＝27米，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝2.25+108＝110.25，S阴影＝S正方形ABCD+S△DEM+2S正方形EFGC﹣S△ABD﹣S△GHM＝a2+•2b（a﹣b）+2b2﹣a2﹣b2＝a2+ab+b2＝（a2+2ab+b2）＝（a+b）2＝×110.25＝55.125（米2）．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．26．【分析】（1）过D作DM⊥BC．由角平分线得DM＝DA．再△AED≌△MDF即可．（2）过F作FQ⊥GD，过D作DM⊥BC．由（1）中全等得∠ADB＝∠BDM＝60°，再由三线合一得GD＝2QD．最后证明△FQD≌△DMF即可．（3）过E作EN⊥BDD，过F作FH⊥BD，过D作DM⊥BC，DR⊥EF．由（2）∠AED＝90°﹣∠ADE ＝75°，∠BEG＝180°﹣∠AED﹣∠DEG＝75°，又∠EGB＝∠DGF＝75°，得∠BEG＝∠BGE，BE＝BG，同理：FG＝FD．利用面积法得＝＝＝＝＝＝＝＝＝．设BE＝mx，BF＝nx，由∠BEG＝∠BGE＝75°，得BG＝BE＝mx，同理：BD＝BF＝nx，GD＝BD﹣BG＝nx﹣mx＝（n﹣m）x，故＝＝．【解答】（1）证明：过D作DM⊥BC．∵BD为△ABC的角平分线，∴DM＝DA．∵∠C＝30°，∴∠MDF+∠FDC＝60°，∵∠EDF＝120°，∴∠ADE+∠FDC＝60°，∴∠ADE＝∠MDF．在△AED和△MDF中，，∴△AED≌△MDF（AAS），∴DE＝DF．（2）过F作FQ⊥GD，过D作DM⊥BC．由（1）知△AED≌△MDF，∴MF＝AE，∠MDF＝∠ADE，∵∠EDF＝∠EDM+∠MDF＝120°，∴∠EDM+∠ADE＝120°，∠ADM＝120°，∵∠A＝∠DMB＝90°，∠ABD＝∠DBM，∴∠ADB＝∠BDM，∵∠ADB+∠BDM＝∠ADM＝120°，∴∠ADB＝∠BDM＝60°，∵∠FDC＝45°，∠EDF＝120°，∴∠ADE＝15°，∴∠EDG＝60°﹣15°＝45°．∴∠GDF＝120°﹣45°＝75°．∵∠EDF＝120°，DE＝DF，∴∠DEG＝∠DFG＝30°，∴∠FGD＝75°，∴∠FDG＝∠FGD，∴FG＝FD，∴GD＝2QD．在△FQD和△DMF中，，∴△FQD≌△DMF（AAS），∴QD＝MF，∴DG＝2AE．（3）过E作EN⊥BDD，过F作FH⊥BD，过D作DM⊥BC，DR⊥EF．由（2）∠AED＝90°﹣∠ADE＝75°，∴∠BEG＝180°﹣∠AED﹣∠DEG＝75°，又∠EGB＝∠DGF＝75°，∴∠BEG＝∠BGE，∴BE＝BG，同理：FG＝FD．∴＝＝＝＝＝＝＝＝＝．设BE＝mx，BF＝nx，∵∠BEG＝∠BGE＝75°，∴BG＝BE＝mx，同理：BD＝BF＝nx，∴GD＝BD﹣BG＝nx﹣mx＝（n﹣m）x，∴＝＝．【点评】本题考查了三角形综合题，利用角平分线性质构造全等，同时利用勾股定理计算是解题关键。
2023-2024学年四川省成都市成华区七年级(下)期末数学试卷
2023-2024学年四川省成都市成华区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只1．（4分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（）A．B．C．D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．2a2﹣a＝a B．2a•3a＝5a2C．a6÷a3＝a3D．（a2）3＝a53．（4分）杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．确定性事件D．随机事件4．（4分）下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A．B．C．D．5．（4分）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：鸭的质量/kg0.51 1.52 2.53烤制时间/min406080100120140若鸭的质量为3.5kg时，烤制时间为（）minA．158B．160C．162D．1646．（4分）已知某小组10名学生中有6名男生和4名女生，若从这10名学生中随机抽取一名担任学校的安全宣传员，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（）A．180°B．360°C．540°D．720°8．（4分）地铁给人们带来了快捷、便利的生活，同时也是疏导交通、解决拥堵的最佳方式．现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条600米长的隧道，所挖隧道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，现有下列说法：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④当x＝4时，甲、乙两队所挖隧道长度一样；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）芯片，又称微电路（microcircuit）、微芯片（microchip）、集成电路（英语：integrated circuit，IC）．是指内含集成电路的硅片，体积很小，常常是计算机或其他电子设备的一部分．某芯片采用5纳米制造工艺，5纳米是0.0000005厘米，将数据0.0000005用科学记数法表示为．10．（4分）已知a+b＝7，ab＝6，则a2+b2＝．11．（4分）一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是．12．（4分）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若∠2的度数为55°，则∠1的度数为.13．（4分）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝6cm，△ABD的周长为20cm，则△ABC的周长为cm．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）（a2）3•a4÷（﹣a）8；（2）20242﹣2025×2023；（3）．15．（8分）先化简再求值：若x，y满足|2x+1|+（y﹣3）2＝0，求[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x ﹣y）]÷（﹣2x）的值．16．（8分）如图，每一个小正方形的边长为1．（1）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A'B'C'；（2）求△ABC的面积．17．（10分）某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务，随机抽取若干名学生进行问卷调查．调查问卷如下：调查问卷在下列课外活动中，你最喜欢的是（）（单选）A．文学B．科技C．艺术D．体育填完后，请将问卷交给教务处．根据统计得到的数据，绘制成下面两幅不完整的统计图．请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：（1）本次调查采用的调查方式为（填写“普查”或“抽样调查”）；（2）在这次调查中，抽取的学生一共有人；扇形统计图中n的值为；选择“艺术”类课外活动的有人；（3）若该校共有1200名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有人．18．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E，点F分别是AB，AC上（不与B，C重合的动点．点O是BC的中点，连接AO．（1）如图1，当∠EOF＝90°时，请问△AEO与△CFO全等吗？如果全等请证明，如果不全等请说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，过点O作OH⊥AC，垂足为H，若AE＝4，AF＝10，请求HF的长；（3）如图3，当∠EOF＝45°时，连接EF，若AO＝7，AE：AF：EF＝3：4：5，请求△AOF的面积．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知实数a，b满足a﹣b＝﹣3，a+b＝2，则代数式a2﹣b2的值为．20．（4分）已知3x•27y＝81，则x+3y＝．21．（4分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝142°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为．22．（4分）已知△ABC中，AD为BC边上的高，∠B＝40°，∠CAD＝12°，则∠BAC的度数．23．（4分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线FE分别交AC，AB于点E，F，若点G是直线EF上一动点，H是直线BC上的一动点，AB＝7，CD＝3，BC＝5，CD⊥AB，则HG+CG的最小值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点C重合放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠CDE＝∠E＝45°．（1）如图1，∠1与∠2的数量关系是，理由是；（2）如图1，点D在AB上，若DE⊥AB，求∠1的度数；（3）如图2，将三角尺ABC固定不动，改变三角尺DCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，当点D在直线BC的上方且在直线AC右侧时，这两块三角尺存在一组边互相平行的情况，请直接写出∠BCD所有可能的值．25．（10分）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形；（1）直接写出图2中阴影部分的正方形的边长；请写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；（2）若，m﹣n＝﹣6，运用你所得到的公式，试求m+n的值；（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两侧作正方形，两正方形的面积和S1+S2＝50，图中阴影部分面积为，求AB的长度．26．（12分）已知△ABC是等边三角形．（1）如图1，点D、E分别为AB，AC边上的点，CE＝AD，连接BE，CD相交于点F．求∠BFD的度数；（2）如图2，AE∥BC，点D在AB边上，点F在射线AE上，AC与DF相交于点Q，且∠CDF＝60°．①求证：DC＝DF；②作FH⊥AC于点H，当点D在AB边上移动时，请同学们探究线段AD，AC，CH之间的数量关系，并对结论加以证明．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(文科)_20220122190805
2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x02．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣15．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0 10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为千亿元．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈N，≤sin x0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝1【分析】由已知抛物线方程以及求出p的值，进而可以求解．【解答】解：由已知抛物线方程可得：2p＝4，所以p＝2，所以准线方程为x＝−＝−1，即x＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质以及准线方程，属于基础题．3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）【分析】根据所给的点的坐标，知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．【解答】解：∵点A（1，﹣1，1），一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（1，1，﹣1）故选：B．【点评】本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣1【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【解答】解：∵直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0，l1⊥l2，∴a×1+（a﹣2）×a＝0，解得a＝0或a＝1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题【分析】直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果．【解答】解：对于A：命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题是：“若a，b 都是偶数，则a+b是偶数”，该命题为真命题，由于逆命题和否命题等价，故否命题为真命题，故A错误；对于B：命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是：若是无理数，则a 也为无理数”是假命题，故B错误；对于C：命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”，故C正确；对于D：若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p为假命题，q为真命题，故D 错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：命题真假的判定，四种命题的转换，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，进而根据裂项法即可求解．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，S＝++...+＝（1﹣）+（）+...+（﹣）＝1﹣＝．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）【分析】求得方程表示椭圆的条件，根据利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若方程表示椭圆，则，解得：﹣3＜m＜1且m≠﹣1，则方程表示椭圆的充要条件是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}，则：方程表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}的真子集，选项D，m∈（﹣3，﹣1）符合条件．故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程，属于基础题．8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关【分析】利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．【解答】解：由散点图得：对于A，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差为：56﹣38＝18，超过15分，故A正确；对于B，该同学8次测试成绩的众数是48分，故B正确；对于C，该同学8次测试成绩的中位数是：＝48分，故C错误；对于D，该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减得：+＝0，因为弦AB恰好被点M（1，1）平分，所以有x1+x2＝2，y1+y2＝2．所以直线AB的斜率k＝＝﹣•＝﹣，因此直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即4x+3y﹣1＝0，故选：D．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力，属于中档题．10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．【解答】解：如图，设大正方形的边长为2，则最大的三角形是腰长为的等腰直角三角形，角上的三角形是腰长为1的等腰直角三角形，最小的三角形是腰长为的等腰直角三角形，∴白色部分的面积为：S白＝22﹣×﹣××﹣×1×1＝，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入双曲线方程，推出a，b的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：PF1的方程：y＝，PF2的方程为：y＝﹣（x﹣c），联立，解得P（，），点P在双曲线上，可得，可得：b4﹣3a2b2﹣4a4＝0，可得：b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由曲线方程知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．【解答】解：曲线C：x2+y2＝|x|+|y|可知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，如图所示，所以曲线C围成的图形的面积是×+2×π×（）2＝2+π，故命题①正确；曲线上任意两点间距离的最大值为4×＝2，故命题②错误；设圆心C到直线3x+4y﹣12＝0的距离为d＝＝，故曲线上任意一点P（m，n）到直线l的距离的最小值为最小值为﹣，故|3m+4n﹣12|的最小值是，故命题③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为4．【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解长轴长即可．【解答】解：椭圆x2+2y2＝4，可得，可得a＝2，所以椭圆长轴长为：4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是29．【分析】求出系统抽样间隔，根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号．【解答】解：系统抽样间隔为40÷5＝8，且抽取的第一位编号是05，所以第四位的编号是5+8×3＝29．故答案为：29．【点评】本题考查了系统抽样应用问题，是基础题．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝ 1.6；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为 3.65千亿元．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解，然后代入计划2022年出口总额达到5千亿元，求解即可．【解答】解：由题意可得：＝2.4．＝＝3．因为样本中心满足回归直线方程，可得3＝2.4﹣0.84，解得＝1.6．，2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为x，则5＝1.6x﹣0.84，解得x＝3.65．故答案为：1.6；3.65．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是[，+∞）．【分析】设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得|PO|＝c，则∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2＝n，可得m2+n2＝4c2①，m+n＝2a1②，|m﹣n|＝2a2③，进一步求出e2的取值范围．【解答】解：设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得||＝2||，所以2c＝2|PO|，所以|PO|＝c，所以|OF1|＝|OP|＝|OF2|＝c，所以∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2+n2＝4c2，①m+n＝2a1，②，|m﹣n|＝2a2，③②2+③2，得2m2+2n2＝4（a12+a22），代入①，得2×4c2＝4（a12+a22），所以2c2＝a12+a22，所以+＝2，④又e1＝，e2＝，所以＝，＝，所以④化为+＝2，即＝2﹣，因为e1∈（，]，所以＜e12≤，所以≤＜2，所以﹣2＜﹣≤﹣，所以0＜2﹣≤2﹣＝，即0＜≤，则e22≥，又e2＞1，所以e2≥，所以e2的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查椭圆与双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由A、C两点坐标可以写出直线AC斜率，再代入A、C中的一个点就可以求出AC方程．（Ⅱ）求出AB中点，l与AC平行，从而斜率相等，即可设出l，代入A、C中点求得l．【解答】解：（Ⅰ）由题意知AC斜率为k＝＝﹣，所以AC边所在直线方程为y﹣0＝﹣（x﹣4），即3x+4y﹣12＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知l可设为3x+4y+m＝0，又AB边中点为（5，），将点（5，）代入直线l的方程得3×5+4×+m＝0，解得m＝﹣29，所以l方程为3x+4y﹣29＝0．【点评】本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【分析】（Ⅰ）利用古典概型直接求解．（Ⅱ）采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，利用列举法求出恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有4种，由此能求出其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【解答】解：：（Ⅰ）用A表示“认为作业不多”，用B表示“喜欢手机网游且认为作业多”，则P（A）＝＝，P（B）＝＝．（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生，“不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为＝，∴采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有：{B，B1}，{B，B2}，{B，B3}，{B，B4}，共4种，∴其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率P＝．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．【分析】（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），再将点P （5，5）代入圆C方程，即可求解．（II）将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．【解答】解：（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），∵圆C经过点P（5，5），∴（5﹣1）2+（5﹣2）2＝r2，即r2＝25，∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25．（II）由（I）知圆C的圆心为C（1，2），半径为5，∵圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，∴圆O与圆C相交，∴|5﹣m|＜|OC|＜5+m，∵，∴，故m的取值范围是．【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．【分析】（Ⅰ）所有组频率之和为1，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让1减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是m值．频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x的值．（Ⅱ）平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率．【解答】（Ⅰ）由图知第三组频率为1﹣（0.01+0.04+0.02）×10＝0.30，所以第三组矩形的高为m＝＝0.03．因为前两组的频率为（0.01+0.03）×10＝0.4＜0.5，前三组的频率为（0.01+0.03+0.04）×10＝0.8＞0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x，（0.01+0.03）×10+（x﹣80）×0.04＝0.5，解得x＝82.5，所以估计此次得分的中位数是82.5分．（Ⅱ）由频率分布直方图知，学生得分的平均值为＝65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×0.02＝82．参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为500×[0.02×10+（90﹣82）×0.04]＝260，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的500名学生中有260名学生获奖．【点评】本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数，频数的求解，考查较基础难度不大．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．【分析】（Ⅰ）由题意可得|AF|＝3+＝4，求得p，则抛物线E的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，可得直线PQ与MN的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得C与D的坐标，再求出|FC|与|FD|的值，作积后整理，再由基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，|AF|＝3+＝4，得p＝2．∴抛物线E的方程为x2＝4y；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，故直线PQ的方程为y＝kx+1，联立方程组，消去y，整理得x2﹣4kx﹣4＝0，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝4k，∵C（x C，y C）为弦PQ的中点，∴x C＝（x1+x2）＝2k．由y C＝kx C+1＝2k2+1，故点C（2k，2k2+1），同理，可得D（﹣，），故|FC|＝＝2，|FD|＝＝2．∴|FC|•|FD|＝4＝．当且仅当，即k＝±1时，等号成立．∴|CF|•|FD|的最小值为8．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系的应用，考查化简运算能力和推理能力，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，进而可得答案．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算k1k2＝•，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又因为|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，所以|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，所以2a＝4，即a＝2，2c＝2，即c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，所以点Q的轨迹方程为+y2＝1．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得2x2+4bx+4b2﹣4＝0，所以x1+x2＝﹣2b，x1x2＝2b2﹣2，所以k1k2＝•＝＝＝＝＝，所以k1k2为定值．【点评】本题考查椭圆的方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。