窄带系统和窄带随机过程
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4.3 窄带随机过程的基本特点
S AC (ω ) = S AS (ω ) = FT [ R X (τ ) cos(ω0τ ) + RX (τ ) sin(ω0τ )]
1 j = [ S X (ω + ω0 ) + S X (ω ω0 )] + [ S X (ω + ω0 ) S X (ω ω0 )] 2 2
S X (ω ) = j sgn( ω ) S X (ω )
AC (t)与AS (t)的互相关函数是奇函数
当τ = 0时, 有 : RAC AS (0) = 0
在同一时刻 AC (t)与AS (t)之间是正交的 , .
16
RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) = FT[RAC AS (τ )]
RAC AS (τ ) = RX (τ ) sin( ω0τ ) + RX (τ ) cos(ω0τ )
1 SAC (ω) = SAS (ω) = {SX (ω +ω0 )[1+ sgn( ω +ω0 )] 2 + SX (ω ω0 )[1sgn( ω ω0 )]}
10
ω
SX (ω ω0 ) + SX (ω +ω0 )
1 ω 2
偶函数
11
ω SX (ω +ω0 ) + SX (ω ω0 ) ω < SAC (ω) = SAS (ω) = 2 0 其它
8
E[ AC (t)] = E[ AS (t)] = 0
AC (t)和AS (t)都是平稳过程
RAC (τ ) = RAS (τ ) = RX (τ ) cos(ω0τ ) + RX (τ ) sin( ω0τ )
1 j = [ S X (ω + ω0 ) + S X (ω ω0 )] + [ S X (ω + ω0 ) S X (ω ω0 )] 2 2
S X (ω ) = j sgn( ω ) S X (ω )
AC (t)与AS (t)的互相关函数是奇函数
当τ = 0时, 有 : RAC AS (0) = 0
在同一时刻 AC (t)与AS (t)之间是正交的 , .
16
RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) = FT[RAC AS (τ )]
RAC AS (τ ) = RX (τ ) sin( ω0τ ) + RX (τ ) cos(ω0τ )
1 SAC (ω) = SAS (ω) = {SX (ω +ω0 )[1+ sgn( ω +ω0 )] 2 + SX (ω ω0 )[1sgn( ω ω0 )]}
10
ω
SX (ω ω0 ) + SX (ω +ω0 )
1 ω 2
偶函数
11
ω SX (ω +ω0 ) + SX (ω ω0 ) ω < SAC (ω) = SAS (ω) = 2 0 其它
8
E[ AC (t)] = E[ AS (t)] = 0
AC (t)和AS (t)都是平稳过程
RAC (τ ) = RAS (τ ) = RX (τ ) cos(ω0τ ) + RX (τ ) sin( ω0τ )
窄带随机过程
窄带随机过程通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程的定义窄带随机过程的定义借助于它的功率谱密度的图形来说明。
图3.5.1（a）中，波形的中心频率为，带宽为，当满足时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器之后变成窄带随机过程。
图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形 二、窄带随机过程的表示方式如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形，则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波，如图3.5.1（b）所示。
因此窄带随机过程可用下式表示成：式中，是窄带随机过程包络；是窄带随机过程的随机相位。
窄带随机过程也可用下式表示其中: 这里的和分别被称作的同相分量和正交分量。
可见，的统计特性可以由、或、的统计特性来确定。
反之，若已知的统计特性，怎样来求、或、的特性呢？三、同相分量与正交分量的统计特性设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。
可以证明，它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程，而且与具有相同的方差。
1.数学期望已设是平稳的，且均值为零，即对于任意时刻，有，所以，可得即 2.自相关函数我们知道一些统计特性可以从自相关函数中得到，所以，按定义的自相关函数为将上式展开，并取数学期望为其中因为是平稳的，可以令，得（1）同理，令，得（2）如果是平稳的，则、也是平稳的。
由于式（1）和式（2）相等，则应有可见，的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，有可见，有上式表示，为的奇函数，所以同理可以证明得到即这表明，和具有相同的方差。
3.概率密度函数因为和统计独立，则和的二维概率密度函数为利用式（3.5.16），上式改写为以上讨论的是由的统计特性推导出同相分量和正交分量的统计特性。
第五章 窄带系统和窄带随机过程
图5-2 窄带系统包络线
§5.1.1 窄带－对称网络的包络线定理 线性系统的冲激响应函数 变化域 时间域: (1) 单个元器件的传递函数 函数 ; (2) 拉普拉斯反变换
R
L
系统的传递
C
窄带系统冲激响应
窄带-对称系统的包络定理
窄带-对称系统的包络定理: 1) 求解出系统传递函数 的零-极点形式;
包络检波器
宽带随 机信号
高频窄带 系统
理想带通限幅器
低通网络
接收机
§5.3窄带随机过程的包络和相位分 布
准正弦振荡表示：
包络服从 瑞丽分布
相位服从等 概率分布
同一时刻，包络和 相位是相互独立
§5.4 窄代随机信号包络线的自相关特 性
R L
拖尾
C
具有相关性：
1.衰减因子 越长; ，衰减越快， 的拖尾(尾迹)
传递函数雷达系统发送机接收机hpflpf第五章窄带系统和窄带随机过程窄带系统窄带随机过程的一般概念窄带随机过程包络和相位分布窄带随机过程包络线的自相关特性正弦信号叠加窄带高斯噪声的合成振幅分布51窄带系统511窄带系统及其包络线特性一窄带系统只允许靠近中心频率附近很窄范围的频率成分通过的系统称为窄带系统
C
解 (1) 电路的传输函数
电路的品质因数>>1
2)画出
的“极点分布图”,得到
极点分布图；
3)对 其中
取拉氏反变换,得到
4）由
恢复
§5.2 窄带随机过程的一般概念
§5.2.1 定义 平稳随机过程
，若其功率谱密度函数
为
则称此随机过程为平稳随机过程。
窄带高通滤波器
§5.2.2 窄带随机过程表示为准正弦振荡
第6章 窄带随机过程
Z (t ) B(t ) cos[ (t )], 其中 B( t ) 0, ( t ) t ( t ) 。 0
上 海 大 学 通 信 学 院
表达式1： Z ( t ) B( t ) cos[ 0 t ( t )],
B( t ) 0, ( t ) 0 t ( t ) 表达式2： Z ( t ) X ( t ) cos 0 t Y ( t ) sin 0 t
上 海 大 学 通 信 学 院
二、解析信号与希尔伯特变换*
1． 解析信号的引入
S ( f ) s(t )e j 2 f t dt R( f ) jI ( f ) 时域实信号S(t)
S ( f )满足共轭对称性，即，
R( f ) R( f ), 偶函数 S ( f ) S ( f ) I ( f ) I ( f )， 奇函数
上 海 大 学 通 信 学 院
2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
ˆ(t ) z( t ) s( t ) js
ˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为， 其中，s
s( t )
即，
h( t )
ˆ s( t )
z( t ) s( t ) js( t ) h( t )
ˆ ( t ) 的互相关函数满足： X
T
T
R X ( t , t )dt
性质5. 平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换
ˆ ( ) ˆ RX X ( ) R ( ), R ( ) R ˆ ˆ X X XX
上 海 大 学 通 信 学 院
随机信号分析_第五章_窄带随机过程
定义复指数函数： ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ，称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部，即：
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为：
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明：满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为：~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出： sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为：
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)＝A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为：
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为：
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
高斯 同一时刻不相关
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
13第八章窄带随机过程
步骤1 求a(t)和b(t)的联合分布
ˆ (t)= X(t)cosw 0t X(t)sinw 0t ˆ b (t)= -X(t)sinw 0t X(t)cosw 0t
所以： (at , bt ) 的二维概率密度函数为：
f ab (at , bt ) f a (at ) fb (bt ) at2 bt2 = exp{ } 2 2 2 2 At2 1 exp{ 2 } 2 2 2 1
1
X (t )
d X (t )] ˆ ( ) d R X
E[ X (t ) X (t )] 1 d
R ( )
ˆ R XX ˆ ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t )( 1
(t)，b(t )为另外两个随机过程。
ˆ )sinw t (t)= X(t)cosw 0t X(t 0 ˆ b(t)= -X(t)sinw 0t X(t)cosw 0t 证明：
证明： 若X(t)为实随机过程，则其解析过程为： ˆ X(t)=X(t) jX(t) 用乘e jw0t 上式两端得： ˆ (t)][cos w t j sin w t ] X(t)e jw0t [X(t) jX 0 0 ˆ sin w t ] j[ X(t)sin w t X(t) ˆ [X(t)cos w t X(t) cos w t ]
证明:
例题：求S (t ) sin w0t , w0 >0的希尔伯特变换。 解：
H [sin w0t ] 1
1
窄带随机过程
正
交
滤
相频特性为：
()
/ 2
/
2
0 0
波 器
二、希尔伯特变换的性质
（1） H[xˆ(t)] x(t)
（2） H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
（3） 如果a(t)是低频信号
H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
低频信号
是窄带确知信号，其解析信号为
x%(t) A(t)cos0t+(t) jA(t)sin0t+(t)
A(t)e j0t+ (t) A%(t)e j0t
其中 A%(t) A(t)e j (t) ，称为复包络。
一、确知信号的复信号表示
对解析信号取傅里叶变换，得
X%() X () jX ()
第五章 窄带随机过程
窄带随机过程
5.1 窄带随机过程 5.2 信号的复信号表示 5.3 窄带随机过程的统计特性 5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
5.1 窄带随机过程
一、希尔伯特变换的定义
假定一实函数x(t)，其希尔伯特变换为：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
其反变换为：
4、同相分量和正交分量的统计特性
RY ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t cos0 (t )
RYYˆ ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t sin 0 (t ) 利用如下关系 RY ( ) RYˆ ( ) RYYˆ ( ) RˆY ( ) RYˆY ( )
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞 π 后 2 弧度的宽带相移全通网络。
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3
j 0
p*
1
p*
p 3
2
j0
RCL串联回路
SX
0
0
R
L
ni t
C not
高斯白噪声由大量独立的面积随机变化的 型随机脉冲迭加。
N
ni takt tk k1
线性电路性质： n otn it*h t
N
notakht tk k1
h t0 e 1 tsi0 t n t h t t k 0 e 1 t t k s 0 i t t n k t t k
y
hEtL1HEs2KA
其中
A 1 Lc
n 1 K2j012j0
hE
t
L 1 H
E
s 2 A
K
e 1t 2 1 t
LC 2 0
1 LC 0
e 1t
e 1t
0
4）由hEt 恢复 ht
K 20
K
K
2
ht
hE t
hthEtcos0tKt
e1t
0
cos0t2t
§5.2 窄带随机过程的一般概念
j
j 0
j0
(b)极点分布
图5-1 窄带系统特性与极点分布
无源窄带系统特点： 1、传输函数的极点只能出现在左半平面或
虚轴上； 2、如果是低耗系统，则极点一定远离原点
且靠近虚轴； 3、极点簇对其中心线jj0对称； 4、冲击响应函数可写成 h t h E tc o 0 t s，其
中 hEt——变化缓慢，cos0t——变化快。
N
not
a e1ttk k0
s
in0
t
tk
ttk
k1
N
a e1ttk k0
s
in0t
0tk
t
tk
k1
输出信号由大量幅度为ak0，以e1ttk衰减的， 相位随机 0tk 的谐振振荡为 0 的信号组成。
输出信号的振幅 Rt 就是大量幅度为ak0 ，以 e1ttk 衰减的，相位随机 0tk 的信号矢量rk t迭加而成。
Hj
HEj
0 c 0 c 0 c 0 c
c
c
ht
hE t
窄带-对称系统的包络定理
窄带-对称系统的包络定理: 1) 求解出系统传递函数Hs 的零-极点形式;
H sA s s p z1 1s s z p 2 2 s s zp m n
H s A s p 1 s p 2 s s p z 1 3 s s z p 2 1 * s p 2 *s p 3 *
R 2L
j
1 Lc
cR 2 1
4L
1
R 2L
R j 2L
1 Lc
1
1 4Q0 2
Q0
LR C
电路的品质因数>>1
1 j0
0
1 1 1 LC 4Q02
1 LC
2)画出Hs的“极点分布图”,得H到Es 极点分布图；
j p1
j
HE
s
s
1 p1
p 1
p1 p1j01
1
1
p
1
3)对HEs取拉氏反变换,得到 hEt
4)对 HEs取拉氏反变换,得到 hEt
hEtL1HEs2KA
其中, , Kj20n n是 Hs 在第二象限极点个数.
2A、K 是Hs在幅度和相位上对hEt幅度补偿。
j
p1
p 2
j 0
p3
p*
1
p
*
p
3
2
j0
n3
j
p 1
p
2
p 3
5) 由 hEt恢复 ht
h t h E tco 0 t s K t
窄带系统和窄带随机 过程
第五章 窄带系统和窄带随机过程
➢窄带系统 ➢窄带随机过程的一般概念 ➢窄带随机过程包络和相位分布√ ➢窄带随机过程包络线的自相关特性√ ➢正弦信号叠加窄带高斯噪声的合成振幅分布
§5.1 窄带系统
§5.1.1 窄带系统及其包络线特性 一、窄带系统
只允许靠近中心频率 0 附近很窄范围( 0) 的频率成分通过的系统称为窄带系统。
其中，K K， t 单位阶跃的函数。
例 5.1 用包络线定理求RCL电路的单位冲
击响应 ht R R L sL
1
sc
en t
C uc t
解 (1) 电路的传输函数
1
Hs sc
R sL
1
1
1
Lc s2 R s
1
sc
L Lc
1 Lc
s
p1
1
s
p1
s2 Rs 1 0 L Lc
p1 ,
p1
SX
X t
Rt
t
0
0
X t R tco 0 t s t 准正弦振荡
式中 Rt是随机过程的慢变幅度，称为窄带随 机过程的包络； t是慢变相位，称为窄带随机 过程的随机相位。
窄带随机过程准正弦振荡表示物理解释
Sn 窄带高通滤波器 SX
Hj
SXSnH j2
白高斯 噪声
Sn
H j j
p1
p2
p
Y s s z 1 s z 2 s z m
X s s z 1 s z 2 s z n
A
Xs和 Ys是实系数的有理函数，则系统的零
点和极点或者位于 s平面的实轴上，或者成
对地位于与实轴对称的位置上。
Hj
0 c 0 c 0 c 0 c
(a)频率特性
2) 画出 Hs 的“极点分布图”；
j
p1
p 2
j 0
p3
p*
1
p
*
p
3
2
j0
3)去除第三象限的极点，并将二象限的极点沿 虚轴平移，使其中心与实轴重合；
j
p1
p 2
j 0
p3
p*
1
p
*
pห้องสมุดไป่ตู้
3
2
j0
j
p 1
p
2
p 3
(a) Hs极点分布 HEssp1 s 1p2 sp3
(b) HEs极点分布
p1 p1j0 p2 p2j0 p3 p3j0
ht
hE t
图5-2 窄带系统包络线
§5.1.1 窄带－对称网络的包络线定理
线性系统的冲激响应函数 ht
变化域
时间域:
(1) 单个元器件的传递函数His 函数 Hs ;
系统的传递
(2) 拉普拉斯反变换 Hs
ht
R
L
en t
C uc t
1
H s
sc R sL
1
sc
Hs
ht
窄带系统冲激响应 h t h E tc o 0 t s
Hj
0 c 0 c 0 c 0 c
H j H j 0 c0c
0
others
二、信号与系统复频域分析
xt
yt
ht
Xj
Hj
Yj
Xs
Hs
Y s
sj
Hs
Ys Xs
传输函数零极点表示
H s Y X s s A s s p z 1 1 s s z p 2 2 s s z p m n m n 其中
§5.2.1 定义
平稳随机过程 Xt ，若其功率谱密度函数SX为
SX SX 0 2 0 2 0
0
others
则称此随机过程为平稳随机过程。
SX
0
0
Sn 窄带高通滤波器 SX
Hj
SXSnH j2
H j j
p1
p2
p
3
j 0
p*
1
p*
p 3
2
j0
Sn
SX
0
0
§5.2.2 窄带随机过程表示为准正弦振荡