第6章 窄带随机过程
4.3 窄带随机过程的基本特点
1 j = [ S X (ω + ω0 ) + S X (ω ω0 )] + [ S X (ω + ω0 ) S X (ω ω0 )] 2 2
S X (ω ) = j sgn( ω ) S X (ω )
AC (t)与AS (t)的互相关函数是奇函数
当τ = 0时, 有 : RAC AS (0) = 0
在同一时刻 AC (t)与AS (t)之间是正交的 , .
16
RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) = FT[RAC AS (τ )]
RAC AS (τ ) = RX (τ ) sin( ω0τ ) + RX (τ ) cos(ω0τ )
1 SAC (ω) = SAS (ω) = {SX (ω +ω0 )[1+ sgn( ω +ω0 )] 2 + SX (ω ω0 )[1sgn( ω ω0 )]}
10
ω
SX (ω ω0 ) + SX (ω +ω0 )
1 ω 2
偶函数
11
ω SX (ω +ω0 ) + SX (ω ω0 ) ω < SAC (ω) = SAS (ω) = 2 0 其它
8
E[ AC (t)] = E[ AS (t)] = 0
AC (t)和AS (t)都是平稳过程
RAC (τ ) = RAS (τ ) = RX (τ ) cos(ω0τ ) + RX (τ ) sin( ω0τ )
窄带随机过程的模拟与分析
实验报告实验题目：窄带随机过程的模拟窄带随机过程的模拟一、实验目的（1）了解具有任意功率谱（低频）的正态随机过程的模拟； （2）了解窄带随机过程的模拟方法。
二、实验原理（1）任意功率谱的正态随机过程的模拟假定需要产生一个持续时间为d T 的高斯随机过程的一个样本()X t ，要求功率谱满足()X G f 。
为此，可以先将()X t 进行周期延拓，得到一个周期信号，然后对周期信号进行傅里叶级数展开。
即0201()()j f k k k dXt X e f T π∞=-∞==∑由于傅里叶级数是k X 的线性组合，所以，如果k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值高斯过程，如果{}()Xt 是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱。
即 2220()()(())kk k X k G f g f kf gE X δ∞=-∞=- =∑通过选择k g 就可以得到期望的功率谱。
假定()X G f 是带限的，即()0()X G f f B = >那么，{}2k g 只有有限项，共21M +项，与此对应的傅里叶级数也是21M +项。
因此，只需产生21M +个互相正交的零均值高斯随机变量{}11,,,,M M M M X X X X --+- 。
然后据此构造时域样本函数即可，有02()[]()Mj f k i t k k MX i X i t X e π∆=-=∆=∑其中t ∆为任意小的时间间隔。
（2）窄带随机过程的模拟对于窄带系统，当系统输入白噪声或宽带噪声时，输出可以表示为0()()cos[()]Y t A t t t ω=+Φ其中0ω为中心频率，()A t 和()t Φ是满变化的随机过程，对上式展开得00()()cos ()sin c s Y t A t t A t t ωω=-其中，()()cos (),()()sin ()c s A t A t t A t A t t =Φ=Φ，是慢变化的随机过程，分别称为窄带随机过程的同向分量和正交分量。
6.窄带随机过程的产生 - 随机信号分析实验报告
计算机与信息工程学院综合性实验报告一、实验目的1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。
2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、概率密度函数、相关函数及功率谱密度等。
3、掌握窄带随机过程的分析方法。
二、实验仪器或设备1、一台计算机2、MATLAB r2013a 三、实验内容及实验原理基于随机过程的莱斯表达式00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1)实验过程框图如下：理想低通滤波器如图所示：图1 理想低通滤波器()20AH ∆ω⎧ω≤⎪ω=⎨⎪⎩其它(3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（）,则系统输出的物理谱为 220=()=20Y X N AG H G ∆ω⎧0≤ω≤⎪ωωω⎨⎪⎩（）（）其它(3.3) 输出的自相关函数为:01()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ∞=⎰ /221cos 2N A d ωωτωπ∆=⎰ (3.4) 20sin 242N A ωτωωτπ∆∆=⋅∆ 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。
计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密度图形。
四、MATLAB 实验程序function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程%--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p;w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C;[b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器y_at=at.*cos(w.*n); %产生随机过程a（t）y_bt=at.*sin(w.*n); %产生随机过程b（t）yt=y_at-y_bt; %产生一个p个点的高斯窄带随机过程subplot(211)plot(yt)title('高斯窄带随机过程y(t)')subplot(212)pdf_ft=ksdensity(yt) ;plot(pdf_ft)title('y(t)的概率密度图')disp('均值如下')E_Xt=mean(y_at)E_at=mean(y_at)E_bt=mean(y_bt)E_ft=mean(yt)%-----------------------自相关函数代码如下--------------------------% figure(2)R_Xt=xcorr(Xt); %高斯白噪声X(t)的自相关函数R_at=xcorr(at); %限带白噪声的自相关函数R_y_at=xcorr(y_at); %随机过程a(t).coswt的自相关函数R_y_bt=xcorr(y_bt); %随机过程b(t).coswt的自相关函数R_ft=xcorr(yt);subplot(2,2,1);plot(R_Xt);title('高斯白噪声的自相关函数R_Xt'); %并绘制图形subplot(2,2,2)plot(R_at);title('限带白噪声的自相关函数R_a_bx'); %并绘制图形subplot(2,2,3)plot(R_y_bt);title('随机过程b(t)的自相关函数R_y_bt');subplot(2,2,4)plot(R_ft);title('高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R_yt');%------------------------功率谱密度代码如下---------------------------% figure(3)subplot(1,2,1)periodogram(Xt);title('高斯白噪声功率谱密度S_Xt');subplot(1,2,2)periodogram(at);title('限带白噪声功率谱密度S_a_bt');figure(4)subplot(3,1,1)periodogram(y_at);title('随机过程a(t).coswt概率密度概率密度S_y_at');subplot(3,1,2)periodogram(y_bt);title('随机过程b(t).sinwt功率谱密度S_y_bt');subplot(3,1,3);periodogram(yt);title('高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S_yt');五、实验结果将上述random 函数放在Path 中后，在Commaod Window 中输入：random(1000,10,0.001)时，输出结果如下：01002003004005006007008009001000-0.50.5高斯窄带随机过程y(t)0102030405060708090100246y(t)的概率密度图0500100015002000-50005001000高斯白噪声的自相关函数R X t 0500100015002000-101020限带白噪声的自相关函数R ab x 0500100015002000-50510随机过程b(t)的自相关函数R yb t 0500100015002000-101020高斯窄带随机过程y(t)的自相关函数R y t00.51-40-30-20-10010Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯白噪声功率谱密度S X t 00.51-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )限带白噪声功率谱密度S ab t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-80-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程a(t).coswt 概率密度概率密度S ya t00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )随机过程b(t).sinwt 功率谱密度S yb t0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-40-30-20-10Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /r a d /s a m p l e )高斯窄带随机过程y(t)的功率谱密度S y t在Commaod Window 中输出的结果如下：E_Xt = 0.0020 E_at= 0.0020 E_bt= -0.0020 E_ft = 0.0040六、实验结果分析：1、由于高斯白噪声Xt是标准正态的，所以均值趋近于零，而at，bt是由Xt通过一个线性系统（低通滤波器）得到的，所以输出均值不变，仍为零，从程序运行结果可以看出，Xt，at，bt均值都趋近于零。
窄带随机过程
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t ) 。
t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
1
全通滤
| H( )|
波器
H ( )
0
90
1
0
f
0
f
0
90
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与sin0t 正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近
Matlab仿真窄带随机过程
随机过程数学建模分析任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程。
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质：中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。
图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。
若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。
图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图图2 窄带随机过程的一个样本函数二、窄带随机过程的数学表示1、用包络和相位的变化表示由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式：X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。
包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。
2、莱斯（Rice）表示式任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为：X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t其中同相分量：A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t＋sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t]正交分量：A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t]（LP[A]表示取A的低频部分）。
Matlab仿真窄带随机过程
随机过程数学建模分析任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程。
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度具有下述性质：中心频率为ωc，带宽为△ω=2ω0，当△ω<<ωc时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器传输之后变成窄带随机过程。
图1 为典型窄带随机过程的功率谱密度图。
若用一示波器来观测次波形，则可看到，它接近于一个正弦波，但此正弦波的幅度和相位都在缓慢地随机变化，图2所示为窄带随机过程的一个样本函数。
图1 典型窄带随机过程的功率谱密度图图2 窄带随机过程的一个样本函数二、窄带随机过程的数学表示1、用包络和相位的变化表示由窄带条件可知,窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程,从示波器观察(或由理论上可以推知):这个过程中的一个样本函数(一个实现)的波形是一个频率为ƒc且幅度和相位都做缓慢变化的余弦波。
写成包络函数和随机相位函数的形式：X(t)=A(t)*cos[ωc t+ Φ(t)]其中:A(t)称作X(t)的包络函数; Φ(t)称作X(t)的随机相位函数。
包络随时间做缓慢变化，看起来比较直观，相位的变化，则看不出来。
2、莱斯（Rice）表示式任何一个实平稳随机过程X(t)都可以表示为：X(t)=A c(t) cosωc t-A S(t) sinωc t其中同相分量：A c(t)= X(t) cosφt= X(t) cosωc t＋sinωc t=LP[X(t) *2cosωc t]正交分量：A S(t) = X(t)sinφt=cosωc t— X(t) sinωc t= LP[-X(t) *2sinωc t]（LP[A]表示取A的低频部分）。
第6章 窄带随机信号
,
r2
=
a2 2σ 2
1
fAt (a t ) ≈
1 2πσ
exp
而所有样本函数的总体---窄带随机信号 X (t) ，则可写成：
6-1
《随机信号分析基础》第六章：窄带随机信号分析
第2页 共9页
X (t ) = A(t ) cos ⎡⎣ω0t + Φ (t )⎤⎦ 上式就是窄带随机信号常用的数学模型。由于 ak (t ) ，ϕk ( t ) 相对 cosω0t 来说是慢变化的时
上式中， cosω0t ， sinω0t 都是确定函数。其中
Ac(t) = A(t) cos Φ(t) 同相分量(In-phase Component)
As(t) = A(t) sin Φ(t) 正交分量(Quadrature Component,书上称为几何“垂直”分量)
A(t ) = Ac2 (t ) + As2 (t )
G
X
(ω) Δω
x k (t)
a k (t)
−ω 0 0
0 ω0 ω
t cos[ω 0t + ϕk (t)]
(a)窄带随机信号的功率谱密度
(b)窄带随机信号的样本函数波形
图 6.1 窄带随机信号
6.1.2 窄带随机信号的数学模型与表示
1.窄带随机信号的数学模型
随机信号 X(t) 的样本函数可写成：
xk (t ) = ak (t ) cos ⎡⎣ω0t + ϕk ( t )⎤⎦ ξk ∈ Ω (k = 1, 2, )
说明 X (t)与同相分量 Ac(t) 、正交分量 As (t) 具有相同的方差，即平均功率相等。
⑸ Ac (t) 、 As (t) 的概率分布
6.窄带与正弦波加窄带随机过程
于是， 由式（3.5 - 9）及式（3.5 - 10）得到
Rsc(0)=Rcs(0)=0
(3.5 - 15)
于是，由式（3.5 - 9）及式（3.5 - 10）得到
Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0)
(3.5 - 16)
即σ2ξ=σ2c=σ2s
(3.5 - 17)
பைடு நூலகம்
这表明ξ(t)、ξc(t)和ξs(t)具有相同的平均功率或方差（因
3.5 窄带随机过程
•窄带过程: 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出. •窄带系统: 是指其通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。 •窄带随机过程 实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通 过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪 声又是随机的，则称它们为窄带随机过程. •窄带噪声的波形:
再取使cosωct=0的所有t
(3.5 - 9)
Rξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ (3.5 - 10)
其中应有
Rs(t, t+τ)=Rs(τ) Rsc(t, t+τ)=Rsc(τ)
由以上的数学期望和自相关函数分析可知， 如果窄带过 程ξ(t)是平稳的，则ξc(t)与ξs(t)也必将是平稳的。
由式（3.5 - 1）至(3.5 - 4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)， φξ(t)或ξc(t),ξs(t))的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计 特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。
3.5.1 窄带过程的同相和正交分量的统计特性
设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差 为σ2。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均 值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。
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xˆ
2
(
t
)dt
x
2
(t
)dt
lim 1 T xˆ 2 (t)dt lim 1 T x 2 (t)dt
T 2T T
T 2T T
上 海 大 学 通 信 学 院
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3
2016/10/28
上
海 三、窄带随机过程的性质
大
学
通 问题：若已知Z(t)的功率谱密度 GZ ( ) 或统计特性RZ ( ) 信 （讨论平稳窄带过程），则其B(t)和 (t ) 或X(t) 和Y (t)
性质4．
RX
(
)
1
0 GZ ()cos[( 0 ) ]d
性质5． RX ( ) RY ( )
性质6．
RXY
(
)
1
0 GZ ()sin[( 0 ) ]d
性质7． RY X ( ) RXY ( ), RXY ( ) RXY ( )
上
海
大 学
性质8． RXY (0) E[X(t)Y(t)] 0, RY X (0) 0
(
f
)，奇函数
由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。
1
2016/10/28
上
海 大
从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余
学 的，所以只要保留正频域的频谱，记为 S ( f )，即可。
通
信 学
若只取正频域频谱
S ( f )，则
S
(
f
)
S (
f
)，即S ( f ) 不满
院 足共轭对称性，且 S ( f ) 时域复信号。
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t) js(t) h(t)
F变换
Z( f ) S( f )1 jH ( f )
上
海
H(f)的设计要求：
大
1．要满足使得Z(f)只有正频域频谱；
学 通 信
2．要使z(t)信号与s(t)信号的总能量保持不变。 由此可得，
学 院
H( f ) 0,j,
2016/10/28
上
海 第六章 窄带随机过程
大
学 一、窄带随机过程的定义
通 信
很多无线电系统的通频带 是比较窄的，它们远小于
学 其中心频率 0 ，这种系统只允许输入信号靠近 0 附近的
院 频率分量通过，故称为窄带系统。其满足：
0 , 0 一般为高频载波。
同理，可定义窄带随机过程，即：
若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波 ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
学 院
则， p(Bt , t )
p(
X
t
,Yt
)
( X t ,Yt (Bt , t
) )
。
X (Bt , t )
( X t ,Yt ) (Bt , t )
Bt X (Bt , t )
t
Y (Bt , t )
Bt Y (Bt , t )
cos t sin t
t
Bt sin t Bt cos t
exp
Bt2
2
2 Z
d t
Bt
2 Z
exp
Bt2
2
2 Z
, Bt
0
p( t )
— —瑞利分布
p(Bt , t )dBt
Bt
0
2
2 Z
exp
Bt2
2
2 Z
dBt
(令 y Bt2 )
2
2 Z
1
1
exp( y)dy ,
2 0
2
— —均匀分布
0 t 2
上
学 通 信 学
平 X(稳t)与过Y程(t的)互性不质相。关同，时高由斯RX统Y (0计) 独R立YX (。0) 0 可知：同时刻的
院
2．Z(t)的包络B(t)和相位Ф(t)的概率分布
Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 若Z(t)为零均窄带平稳高斯随机过程，则
p( X t ,Yt )
通
信 学
性质9． GX () Lp[GZ ( 0 ) GZ ( 0 )]
院
其中，Lp[·]为求等效低通运算。即，令ω0=0
性质10． GX () GY ()
性质11．GXY () jLp[GZ ( 0 ) GZ ( 0 )]
性质12性质证明
大
f 0 f 0 j sgn( f )
j, f 0
h(t) F 1 H( f ) 1
。
t
故此，sˆ(t) s(t) 1 t
1 s( ) d
t
H
[s(t)]，
称为Hilbert变换。
上 海 大 学 通 信 学 院
H(f)或h(t)称为Hilbert变换器。它不改变信号的幅频特性， 只改变信号的相频特性。
上
海 大
表达式 2： Z(t) X (t)cos0t Y (t)sin0t
学 通 信
其中：
X (t ) B(t )cos (t )
Y (t ) B(t )sin(t )
学
院
B(t) X 2(t) Y 2(t), tan (t) Y (t) / X (t)
由于cos0t 与sin0t 正交，故称X( t )为Z( t )的同相分 量，Y( t )为Z( t )的正交分量。引入表达式 2 的目的是将 Z( t )分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析。
学 院
t2t120时0 时 , ,
Z (t1) X (t1) Z (t2 ) Y (t2 )
由Z(t)为高斯的可知：X(t1)和Y(t2)也是高斯随机变量。 又因为高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，而
严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关，即有：
上
海
大 学
pZ(t1 ) pX(t1 ) pX(t)， t 的任意性。
学
通
信
学
院
上 海
性质证明
大
学
通
信
学
院
上 海
性质证明
大
学
通
信
学
院
4
上 海
性质证明
大
学
通
信
学
院
上 海
性质证明
大
学
通
信 学
–
院
+
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上 海
四. 窄带高斯随机过程Z(t)
大
学 1. Z(t)的同相分量X(t)和正交分量Y(t)的概率分布
通 信
由 Z(t) X (t)cos0t Y (t)sin0t ，可得：
Bt
p(Bt , t )
Bt
2
2 Z
exp
Bt2
2
2 Z
， Bt
0, 0 t
2
。
5
2016/10/28
上
海 大 学
Bt B(t) 0 (B(t)的包络)，相位Ф(t)在[0，2π]上取值。
通
由边缘分布可得
信
学 院
p(Bt ) p(Bt , t )d t
2 Bt
0
2
2 Z
通
信 学
pZ(t2 ) pY(t2 ) pY(t) ， t 的任意性。
院
故， pZ(t) pX (t) pY (t)
1
Z 2(t)
2 Z
exp
2
2 Z
其中，Z(t)可替换为X (t) 或Y (t)。
上 海
结论二、零均窄带平稳高斯随机过程Z(t)，其同相分量X(t)
大 和正交分量Y(t)同样是平稳高斯随机过程，且具有一般窄带
由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的解析信号。写为
sA (t) s(t) jH s(t) 。
S A ( f ) S( f )1 jH ( f ) 2SS((ff)),,
0,
f 0 f 0 f 0
上
上
海
海
大
大
学
学
通
通
信
信
学
学
院
院
2
上 海
Hilbert逆变换
大
学
通
信
学
院
上 海 大 学 通 信 学 院
上 海 大 学 通 信 学 院
2016/10/28
上
海 大
3．Hilbert变换的性质
学
通 信
性质1. H [xˆ(t)]= x(t)。
学 院
性质2 若 y(t) h(t) x(t)，则
H [ y(t) ] h(t) xˆ(t) hˆ(t) x(t)。
性质3 xˆ (t) 和x(t)的能量及平均功率相等，即
1 2
2
exp
ut 2 2
,
ut
0
上 海
五、余弦波加窄带高斯过程
大
学 通
通信系统接收机前端模型
信
学
s(t) n(t )
院 s(t) 信道
H ( )
R(t) s(t) Z(t)
n(t )
白高斯噪声
带通滤波器
H( )
0
0
0
上
海
大 学
其中： s(t ) a cos(0t )
通 信
θ 是[0，2π]上均匀分布的随机变量。S(t)为随相余弦信号；
学 院
Z(t ) BN (t ) cos[0t (t )]