窄带随机过程
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4.3 窄带随机过程的基本特点
S AC (ω ) = S AS (ω ) = FT [ R X (τ ) cos(ω0τ ) + RX (τ ) sin(ω0τ )]
1 j = [ S X (ω + ω0 ) + S X (ω ω0 )] + [ S X (ω + ω0 ) S X (ω ω0 )] 2 2
S X (ω ) = j sgn( ω ) S X (ω )
AC (t)与AS (t)的互相关函数是奇函数
当τ = 0时, 有 : RAC AS (0) = 0
在同一时刻 AC (t)与AS (t)之间是正交的 , .
16
RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) = FT[RAC AS (τ )]
RAC AS (τ ) = RX (τ ) sin( ω0τ ) + RX (τ ) cos(ω0τ )
1 SAC (ω) = SAS (ω) = {SX (ω +ω0 )[1+ sgn( ω +ω0 )] 2 + SX (ω ω0 )[1sgn( ω ω0 )]}
10
ω
SX (ω ω0 ) + SX (ω +ω0 )
1 ω 2
偶函数
11
ω SX (ω +ω0 ) + SX (ω ω0 ) ω < SAC (ω) = SAS (ω) = 2 0 其它
8
E[ AC (t)] = E[ AS (t)] = 0
AC (t)和AS (t)都是平稳过程
RAC (τ ) = RAS (τ ) = RX (τ ) cos(ω0τ ) + RX (τ ) sin( ω0τ )
1 j = [ S X (ω + ω0 ) + S X (ω ω0 )] + [ S X (ω + ω0 ) S X (ω ω0 )] 2 2
S X (ω ) = j sgn( ω ) S X (ω )
AC (t)与AS (t)的互相关函数是奇函数
当τ = 0时, 有 : RAC AS (0) = 0
在同一时刻 AC (t)与AS (t)之间是正交的 , .
16
RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) = FT[RAC AS (τ )]
RAC AS (τ ) = RX (τ ) sin( ω0τ ) + RX (τ ) cos(ω0τ )
1 SAC (ω) = SAS (ω) = {SX (ω +ω0 )[1+ sgn( ω +ω0 )] 2 + SX (ω ω0 )[1sgn( ω ω0 )]}
10
ω
SX (ω ω0 ) + SX (ω +ω0 )
1 ω 2
偶函数
11
ω SX (ω +ω0 ) + SX (ω ω0 ) ω < SAC (ω) = SAS (ω) = 2 0 其它
8
E[ AC (t)] = E[ AS (t)] = 0
AC (t)和AS (t)都是平稳过程
RAC (τ ) = RAS (τ ) = RX (τ ) cos(ω0τ ) + RX (τ ) sin( ω0τ )
随机信号分析_第五章_窄带随机过程
定义复指数函数： ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ，称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部，即：
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为：
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明：满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为：~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出： sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为：
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)＝A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为：
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为：
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。
09第八章窄带随机过程
4S (w) w 0 (t)的 功 率 谱 密 度 S (w) X 5) 解 析 过 程 X X w 0 0 ˆ 解 ： 已 知 R X ( ) 2[ R X ( ) jR X ( )]， 等 式 两 边 做 傅 氏 变 换 可 得 ： ˆ S X ( w ) 2[ S X ( w ) jS X ( w )] ˆ 其 中 ， S X ( w ) j sgn( w ) S X ( w ) 所 以 ： S X ( w ) 2[ S X ( w ) s g n ( w ) S X ( w )] 4SX (w) w 0 w 0 0
三、窄带随机过程的莱斯表达式
任 何 一 个 实 平 稳 随 机 过 程 X(t)都 可 以 表 示 为 ： X ( t ) = ( t ) c o s w 0 t b ( t ) s in w 0 t 式 中 ， 对 于 窄 带 随 机 过 程 来 说 ， w 0一 般 为 窄 带 滤 波 器 的 中 心 频 率 。
( t ) ， b ( t )为 另 外 两 个 随 机 过 程 。
ˆ ( t ) = X ( t ) c o s w 0t X ( t ) s i n w 0t ˆ b( t ) = - X ( t ) s i n w 0 t X ( t ) c o s w 0 t 证明：
证明： 若 X(t)为 实 随 机 过 程 ， 则 其 解 析 过 程 为 ： ˆ X ( t ) = X ( t ) jX ( t ) 用乘e
复随机过程
定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
Zt X
t
iY t
其中 i
1
，则称{Zt, t∈T}为复随机过程。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
高斯 同一时刻不相关
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
窄带随机过程的两种表达式
窄带随机过程的两种表达式
随机过程是有关概率的一个抽象概念，它指的是一系列随机变化的事件序列，可以通过某种数学形式来描述。
窄带随机过程是指在一定的时间和频率内的随机过程，它是不断变换的快速信号序列，可以被压缩表示为一维或二维的图像。
窄带随机过程的表达式可以主要分为两类：
一、谱密度函数表示法
谱密度函数可以定义为：S(f),是指窄带随机过程中，每一种频率f处的功率谱密度，即根据频率f得到每一次过程的变化情况，它可以用来预测窄带随机过程所属的分布，如正态分布、均方差和偏差等。
举例来说，以正态分布为例，谱密度函数S(f)的表达式可以表示为：S(f) = σ^2 / (2πf^2)
其中，σ代表窄带随机过程的均方差，f为频率。
二、功率谱密度函数表示法
功率谱密度函数可以定义为：P(f),是指窄带随机过程中，随机变量的模方差的函数，它可以用来描述窄带随机过程的功率谱特性，估计窄带
随机信号的能量。
举例来说，功率谱密度函数P(f)的表达式可以表示为：
P(f) = 2πf^2σ^2
其中，σ代表函数的模方差，f为频率。
总的来说，窄带随机过程的两种表达式主要是谱密度函数表达法和功率谱密度函数表达法，它们各有特点，可以根据不同的窄带随机信号类型选择不同的表达方式，以达到最佳的谱性能效果。
窄带随机过程《通信原理》
窄带随机过程
1．窄带随机过程的定义
若随机过程ξ(t)的谱密度集中在中心频率f c附近相对窄的频带范围Δf内，即满足
条件，且f c远离零频率，则称该ξ(t)为窄带随机过程。
2．窄带随机过程的表示
①一般正弦表达式
窄带随机过程的样本的波形如同一个包络和相位随机缓变的正弦波。
即
式中，及分别为窄带随机过程ξ(t)的随机包络和随机相位；为正弦波的中心角频率。
②三角函数展开式
式中，ξc(t)是ξ(t)的同相分量；ξs(t)是ξ(t)的正交分量，则
3．窄带随机过程的统计特性
（1）ξc(t)和ξs(t)的统计特性
一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ(t)：
①它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)同样是平稳高斯过程；
②ξc(t)和ξs(t)的均值为零，方差相同；
③在同一时刻上得到的ξc和ξs是互不相关的或统计独立的。
（2）的统计特性
一个均值为零、方差为的窄带平稳高斯过程ξ(t)：
①包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一维分布是均匀分布；
②就一维分布而言，aξ(t)与φξ(t)是统计独立的，即。
03第三讲：高斯过程、窄带过程
正交分量：
现在我们需要求 Zc(t)和Zs(t)的统计特性，即 f(Zc,Zs)＝?
对于窄带高斯过程来说，同相分量和正交分量是不相关的，或 者也可以说是统计独立的，而对于正弦波+窄带高斯过程来说, 它仍然属于窄带的范畴，所以其同相分量和正交分量也是相互 独立的，而且也是高斯过程。
对于同相分量:
由此可得同相分量Zc(t)的概率密度函数，
（2）y1、y2是x1、x2的函数：y1＝f1(x1,x2)，y2＝f2(x1,x2)， 反函数:x1＝g1(y1,y2)， x2＝g2(y1,y2)，
如果已知x1,x2的pdf为f(x1,x2)， 求：y1,y2的pdf，f(y1,y2)=? 解决此问题时，利用以下结论： f(y1,y2)＝|J|f(x1,x2) |J|是Jacobi行列式，
窄带随机过程的带宽 固定不变，载波频率 变大时，频谱图向高 频处搬移，对应样函数的包络频率不变，但样函数波形的频率 变 大。载波频率 变小时，频谱图向低频处搬移，对应样函数的包络 频率不变，但样函数波形的频率 变小。
二、窄带过程的数学表示
1、用包络和相位的变化表示
窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程, 过程中的
2
或erfc(x) 2 2( 2x)
2.6 窄带随机过程
一、引言
1.必要性：任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系 统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一 个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该 带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带 随机过程的规律是重要的。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
现在我们需要求 Zc(t)和Zs(t)的统计特性，即 f(Zc,Zs)＝?
对于窄带高斯过程来说，同相分量和正交分量是不相关的，或 者也可以说是统计独立的，而对于正弦波+窄带高斯过程来说, 它仍然属于窄带的范畴，所以其同相分量和正交分量也是相互 独立的，而且也是高斯过程。
对于同相分量:
由此可得同相分量Zc(t)的概率密度函数，
（2）y1、y2是x1、x2的函数：y1＝f1(x1,x2)，y2＝f2(x1,x2)， 反函数:x1＝g1(y1,y2)， x2＝g2(y1,y2)，
如果已知x1,x2的pdf为f(x1,x2)， 求：y1,y2的pdf，f(y1,y2)=? 解决此问题时，利用以下结论： f(y1,y2)＝|J|f(x1,x2) |J|是Jacobi行列式，
窄带随机过程的带宽 固定不变，载波频率 变大时，频谱图向高 频处搬移，对应样函数的包络频率不变，但样函数波形的频率 变 大。载波频率 变小时，频谱图向低频处搬移，对应样函数的包络 频率不变，但样函数波形的频率 变小。
二、窄带过程的数学表示
1、用包络和相位的变化表示
窄带过程是功率谱限制在ωc附近的很窄范围内的一个随机过程, 过程中的
2
或erfc(x) 2 2( 2x)
2.6 窄带随机过程
一、引言
1.必要性：任何通信系统都有发送机和接收机，为了提高系 统的可靠性，即输出信噪比，通常在接收机的输入端接有一 个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该 带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带 随机过程的规律是重要的。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
窄带随机过程
正
交
滤
相频特性为：
()
/ 2
/
2
0 0
波 器
二、希尔伯特变换的性质
（1） H[xˆ(t)] x(t)
（2） H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
（3） 如果a(t)是低频信号
H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
低频信号
是窄带确知信号，其解析信号为
x%(t) A(t)cos0t+(t) jA(t)sin0t+(t)
A(t)e j0t+ (t) A%(t)e j0t
其中 A%(t) A(t)e j (t) ，称为复包络。
一、确知信号的复信号表示
对解析信号取傅里叶变换，得
X%() X () jX ()
第五章 窄带随机过程
窄带随机过程
5.1 窄带随机过程 5.2 信号的复信号表示 5.3 窄带随机过程的统计特性 5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
5.1 窄带随机过程
一、希尔伯特变换的定义
假定一实函数x(t)，其希尔伯特变换为：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
其反变换为：
4、同相分量和正交分量的统计特性
RY ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t cos0 (t )
RYYˆ ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t sin 0 (t ) 利用如下关系 RY ( ) RYˆ ( ) RYYˆ ( ) RˆY ( ) RYˆY ( )
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞 π 后 2 弧度的宽带相移全通网络。
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N (t ) 平稳窄带实高斯随机过程，具有零均值和方差 2
功率谱密度对称于 0
N(t) 表示成莱斯表示式 N (t) a(t) cos0t b(t) sin 0t
X (t) acos a(t)cos0t asin b(t)sin0t
令
a1 b1
(t) (t)
a a
cos s in
a(t)
b(t)
于是， X (t) a1(t) cos0t b1(t) sin 0t
低频限带随机过程
同样 X (t) A(t) cos[0t (t)] 准正弦振荡
A(t) a12 (t) b12 (t)
慢变化随机过程
(t) arctg[b1 (t) / a1 (t)]
概率密度函数?
正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位概率密度函数
D(a1t ) D(b1t ) 2
f a1b1
(a1t , b1t
)
1
2
2
exp
1
2
2
[(a1t
a cos )2
(b1t
a sin )2 ]
2、由随机变量的函数的概率分布求 fA (At ,t )
ab11tt
At At
cost sin t
J cost sin t
At sin t At cost
f A ( At ,t )
f A ( At ), f (t )
二维r.v.函数的概率密度变换 边沿概率密度
f ab (at , bt ) f a (at ) fb (bt )
1
2
2
exp
at2 bt2
2 2
1
2
2
exp
At2
2 2
abtt
At At
cost s in t
利用二维随机变量函数的概率密度变换有：
解析过程性质
若X (t)为实平稳随机过程，则 Xˆ (t)也是实平稳 过程，且联合平稳 。
实函数与其希尔伯特变换的相关函数（功率谱）
相同
RXˆ ( ) RX ( ) S Xˆ () S X ()
RXˆX ( ) RˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
RXXˆ ( ) RXˆX ( )
| H () | 1
0
H ()的相移 90
0 90
希尔伯特变换逆变换
x(t) H 1[xˆ(t)]
1 xˆ(t )d 1 xˆ(t )d
h(t) xˆ(t)
h(t) 1
t
希尔伯特变换应用及实现
滤波法（难点在于滤波器设计）
平衡调幅器 0 带通滤波器 0 单边带输出
At
f A ( At ,t ) J fa1b1 (a1t , b1t )
f a1b1
(a1t ,b1t
)
1
2
2
exp
1
2
2
[(a1t
a cos )2
(b1t
a sin )2 ]
f A
(
,t
|
)
At
2
2
exp
1
2
2
[ At2
a2
2a(a1t
cos
b1t
s in
)]
f A ( At ,t ) J f a1b1 (a1t , b1t )
At
2
2
exp
1
2
2
[ At2
a2
2a(a1t
cos
b1t
sin )]
At
2
2
exp
1
2
2
[ At2
a2
2aAt
(cos t
cos
sin t
sin )]
At
2
2
exp
1
2
2
[ At2
a2
2aAt
cos(
t
)]
0 t 2 At 0
由边沿分布求 fA (At ) f (t )
RXˆX ( ) RXˆX ( )
解析过程性质
RXˆX (0) 0
RX~ ( ) 2[RX ( ) jRXXˆ ( )] 2[RX ( ) jRˆ( )]
S XXˆ
()
jSX jSX
() ()
0 0
S
X~
()
4S
0
X
()
0 0
例题解析
设低频信号a(t)的频谱为：
A()
a(t) X (t) cos0t Xˆ (t) sin 0t b(t) X (t) sin 0t Xˆ (t) cos0t 称此为莱斯表达式。
a(t),b(t)的性质
a(t)和b(t)都是实随机过程 E[a(t)] E[b(t)] 0 a(t)和b(t)都是平稳随机过程，且联合平稳。
fA (At ,t ) J fab(at ,bt )
at J At
bt At
at
t cost bt sint
t
At sint At cost At
f A
(
At
,t
)
At
2
2
exp
At2
2 2
0
At 0, 0 2
else
2
2
fA ( At ) 0 fA ( At ,t )dt f A ( At ,t ) 0 dt
2
1 ut
ut
2
exp( ut )
2 2
=
1 exp( ut )
2 2
2 2
概率密度为指数函数
包络与相位的二维概率密度函数
求解过程：
协方差矩阵
考虑最简单最常用的功率谱密度关于中心频 率对称的情况
2
K
0
Ra (
)
Rab ( )
0 a2
Rab ( ) Ra ( )
Ra ( ) Rab ( )
(或0 ) 0
希尔伯特变换应用及实现
相移法（难点在移相网络）
调制信号
V0 sin t
平衡 v1=V0 sin t sin0t 调幅器A
V0 sin 0t 载波 振荡器
调制信号90度 载波90度
移相网络
移相网络
合并网络 v3
V0 cos0t
平衡 v2 =V0 cos t cos0t 调幅器B
实信号、复信号、解析信号
包络和相位的一维概率密度
假设窄带高斯实随机过程 X (t)的均值为0，方差为 2
表示成莱斯表示式
X (t) a(t) cos0t b(t) sin 0t
令t固定，
abtt
At At
cost s in t
a(t) A(t)cos(t) b(t) A(t)sin(t)
fab (at , bt )
E[a2 (t)] E[b2 (t)] E[ X 2 (t)]
a(t),b(t)的性质
Rab( ) RX ( )sin0 RˆX ( )cos0
Rab (0) 0
RX ( ) Ra ( ) cos0 Rba ( )sin0
Sa () Sb () LP[SX ( 0 ) SX ( 0 )] Sab () jLP[SX ( 0 ) SX ( 0 )]
3.由边沿分布求 fA (At ) f (t )
At 的条件概率密度为
2
f A ( At ) 0 f A ( At ,t )dt
At exp( At2 a 2 ) • 1
2
2 2 2
2 0
exp[
aAt
2
cos(
t )]dt
At
2
exp(
At2 a 2
2 2
)
I
0
(
窄带随机过程
信息与通信工程学院 叶方
本章重点及难点
窄带随机过程的特点及工程意义 赖斯表达式、准正弦振荡表达式 窄带随机过程包络与相位慢变化特性 窄带高斯随机过程包络和相位特性 窄带高斯过程包络平方的概率密度函数 正弦信号与窄带随机过程之和的包络与相位特
性
希尔伯特变换
定义
在区间( t )内给定实值函数x(t) ，它的希 尔伯特变换记作 xˆ(t（) 或者记作H[x(t)]）
aAt
2
)
At 0
因此正弦型信号加窄带高斯噪声包络的一维概率密度为
f A ( At
)
At
2
exp(
At2 a 2
2 2
)
I
0
(
aAt
2
)
At 0
服从广义瑞利分布
窄带高斯过程的包络服从瑞利分布
正弦信号加窄带高斯噪声的包络服从广义瑞利 分布（又称为莱斯分布）
为何引入复信号 实信号与复信号的关系 如何得到，有何特点，与之间存在什么关系
解析过程
定义
给定任实随机过程X (t) ，定义复随机过程X (t)为
X (t) X (t) jXˆ (t)
Xˆ (t) H[X (t)] 1 X ( )d
t
称X~(t)为实随机过程X (t) 的复解析过程，简称 解析过程。
窄带波形的频谱及示意图
f £ fc
S( f )
O
S( f )
O
(a) 缓慢变化的包络[a(t)]
频率近似为 fc (b)
f
fc
f
t
莱斯表达式
任何一个实平稳窄带随机过程 X (t) 都可以表示 为： X (t) a(t) cos0t b(t) sin 0t
其中 0为固定值， a(t)、b(t)是另外两个随机过 程，且
At
2
2
exp