窄带随机过程的模拟与分析

实验报告
实验题目：窄带随机过程的模拟
窄带随机过程的模拟
一、实验目的
（1）了解具有任意功率谱（低频）的正态随机过程的模拟； （2）了解窄带随机过程的模拟方法。

二、实验原理
（1）任意功率谱的正态随机过程的模拟
假定需要产生一个持续时间为d T 的高斯随机过程的一个样本()X t ，要求功率谱
满足()X G f 。

为此，可以先将()X t 进行周期延拓，得到一个周期信号，然后对周期信号进行傅里叶级数展开。

即
0201
()()j f k k k d
X
t X e f T π∞
=-∞
==
∑
由于傅里叶级数是k X 的线性组合，所以，如果k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值高斯过程，如果{}
()X
t 是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱。

即 2
220
()()(())k
k k X k G f g f kf g
E X δ∞
=-∞
=
- =∑
通过选择k g 就可以得到期望的功率谱。

假定()X G f 是带限的，即
()0()X G f f B = >
那么，{}
2
k g 只有有限项，共21M +项，与此对应的傅里叶级数也是21M +项。

因此，只需产生21M +个互相正交的零均值高斯随机变量{}11,,,,M M M M X X X X --+- 。

然后据此构造时域样本函数即可，有
02()[]()M
j f k i t k k M
X i X i t X e π∆=-=∆=
∑
其中t ∆为任意小的时间间隔。

（2）窄带随机过程的模拟
对于窄带系统，当系统输入白噪声或宽带噪声时，输出可以表示为
0()()cos[()]Y t A t t t ω=+Φ
其中0ω为中心频率，()A t 和()t Φ是满变化的随机过程，对上式展开得
00()()cos ()sin c s Y t A t t A t t ωω=-
其中，()()cos (),()()sin ()c s A t A t t A t A t t =Φ=Φ，是慢变化的随机过程，分别称为窄带随机过程的同向分量和正交分量。

三、实验内容
1. 有色高斯随机过程的产生 假定要求模拟产生一个功率谱为 4
1
()1(/)X G f f f =
+∆
的高斯随机过程，过程的时长为5ms ，1Hz f k ∆=，画出一个样本函数。

2. 产生窄带随机过程
以(1)产生的有色高斯过程作为同相分量和正交分量，产生时长为5ms 、中心频率为
01000/f =π的窄带随机过程，画出一个样本函数。

四、 实验结果与分析
(一) 设计此实验有如下过程：
a ．根据所需过程的时长td 确定频率f0，并由此确定傅里叶级数系数的长度M=[B/f0]；
b ．根据式
0()(*)
B
X
B
M
X
k M
G
f df G
k f β-=-=
⎰∑ 确定系数
c ．产生2M+1个独立的高斯随机变量，即
0(0,(*)),,1,,1,k X X N G k f k M M M M
β=--+-
d ．构建时域样本函数。

本题中td=5ms ，f0=0.2kHz ，B=6KHz ，M=30； 按照频域产生有色高斯随机过程的步骤，编程得到： clear all; clc; td=0.005; f0=200; B=6000; M=floor(B/f0); x1=-B:100:B;
y1=1./((1+(x1./1000).^4));
z1=trapz(x1,y1); sum=0; for m=-M:M;
sum=sum+1./(1+(m.*f0/1000).^4)
end a=z1/sum; for j=-M:M;
A=randn(61,1);
h(M+1+j)=sqrt(a*1./((1+(j.*f0/1000).^4)))*A(M+1+j); end m=0:0.01:5; sum=0; for n=-M:M;
sum=sum+h(M+1+n)*exp(1i*2*pi*0.2*n*m);
end
X=sum; %样本函数 plot(m,X);
axis([0 5 -200 100]); xlabel('时间 t/ms'); ylabel('样本函数 X(t)');
其中一个样本如下图所示：
00.51 1.52
2.53
3.54
4.55
时间 t/ms
样本函数 X (t )
该图形关于中间时刻对称，这与f0有关。

(二)
00.51 1.52
2.5
3 3.5
4 4.5
5
x 10
-3
-2.5
-2-1.5-1-0.500.51
1.5时间 t/s
y (t )
窄带随机过程的一个样本函数 y(t)
程序代码： clear all;clc;
t=0:0.0001:0.005; w0=1000/pi;
sita=2*pi*randn(1,51); A=randn(1,51); Ac=A.*cos(sita); As=A.*sin(sita);
y=Ac.*cos(w0*t)-As.*sin(w0*t); plot(t,y);
xlabel('时间 t/s'); ylabel('y(t)');
title('窄带随机过程的一个样本函数 y(t)');
五、 心得体会
在做第一个内容的时候，由于要对功率谱作分析，不清楚前进的方向，因此做了许多无用功，十分沮丧。

除此之外，实验内容一大量用到了矩阵的点乘点除，稍有不慎即会报错。

总而言之，还是有不小的收获。

六、实验要求
（1）个人独立完成实验，切勿抄袭； （2）用MATLAB 完成所有要求的实验内容；
（3）撰写详细的实验报告，实验报告中应该包括以下內容： ● 实验内容和原理的简单阐述，分析； ● 得到的实验结果图形及简要分析，比较； ● 自己的实验心得。