随机信号分析_第五章_窄带随机过程
窄带随机过程
窄带随机过程通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。
一、窄带随机过程的定义窄带随机过程的定义借助于它的功率谱密度的图形来说明。
图3.5.1（a）中，波形的中心频率为，带宽为，当满足时，就可认为满足窄带条件。
若随机过程的功率谱满足该条件则称为窄带随机过程。
若带通滤波器的传输函数满足该条件则称为窄带滤波器。
随机过程通过窄带滤波器之后变成窄带随机过程。
图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形 二、窄带随机过程的表示方式如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形，则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波，如图3.5.1（b）所示。
因此窄带随机过程可用下式表示成：式中，是窄带随机过程包络；是窄带随机过程的随机相位。
窄带随机过程也可用下式表示其中: 这里的和分别被称作的同相分量和正交分量。
可见，的统计特性可以由、或、的统计特性来确定。
反之，若已知的统计特性，怎样来求、或、的特性呢？三、同相分量与正交分量的统计特性设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。
可以证明，它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程，而且与具有相同的方差。
1.数学期望已设是平稳的，且均值为零，即对于任意时刻，有，所以，可得即 2.自相关函数我们知道一些统计特性可以从自相关函数中得到，所以，按定义的自相关函数为将上式展开，并取数学期望为其中因为是平稳的，可以令，得（1）同理，令，得（2）如果是平稳的，则、也是平稳的。
由于式（1）和式（2）相等，则应有可见，的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，有可见，有上式表示，为的奇函数，所以同理可以证明得到即这表明，和具有相同的方差。
3.概率密度函数因为和统计独立，则和的二维概率密度函数为利用式（3.5.16），上式改写为以上讨论的是由的统计特性推导出同相分量和正交分量的统计特性。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
2
a12 a22
2a
a1a2
cos
2
1
,
0
a1, a2 0, 1, 2 其它
2 2
fa a1, a2 0 0 fa a1, 1, a2 , 2 d1d2
a1a2
1
D2
I0
a1a2a()
1
D2
exp
2
a12 a22
1
2D2
,
0,
a1, a2 0 其它
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正弦信号加窄带噪声包络平方的分布
f A ( At
)
At
2
exp
At2 a2
2 2
I0
aAt
2
,
At 0
fU (ut ) f A ( At ) | J |
1
2
2
exp
1
2
2
(u
a
2
)
I0
au1/ 2
2
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总结
希尔伯特变换 解析信号 频带信号与带通系统 窄带平稳随机过程
二维瑞利分布 第一类零阶修正贝塞尔函数
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相位的二维分布
f 1,2
0
0 fa
a1,1, a2 ,2 da1da2
1
D2
1 2
4
2
4
1
2 cos1
3
1 2 2
,
0,
0 1，2 2
其它
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fa a1,1, a2 ,2 fa a1, a2 f 1,2
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第5章-窄带随机过程
第五章 窄带随机过程5.1 窄带随机过程的概念1． 通信工程中的信号频率在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。
对于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。
2． 窄带随机过程（1） 带通随机过程的定义若随机过程)(t X 的谱密度满足：⎩⎨⎧∆<-=其它0)()(0ωωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。
带通过程的谱密度的图解如下图。
（2） 窄通随机过程的定义若)(t X 为带通过程，且0ωω<<∆，即中心频率过大于谱宽，则称)(t X 为窄通随机过程。
3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法（1）窄带随机过程的莱斯表示定理：任何一个实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω-=证明：略。
注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。
（2） )(t a 、)(t b 的性质 ①)(t a 、)(t b 都是实随机过程。
②0))(())((==t b E t a E . 。
③)(t a 与)(t b 各自广义平稳，联合平稳，且：)()(ττb a R R =。
④))(())(())((222t X E t b E t a E ==，由此可得方差22b a σσ=。
⑤0)0(=ab R ，这说明)(t a 与)(t b 在同一时刻正交。
⑥)()(ωωb a S S =。
4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω证明：由莱斯表示法有：)()()(22t b t a t A +=， )()()(t a t b arctgt =Φ )(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。
慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比)cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
独立
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06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
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5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
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2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
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1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
窄带随机过程
正
交
滤
相频特性为：
()
/ 2
/
2
0 0
波 器
二、希尔伯特变换的性质
（1） H[xˆ(t)] x(t)
（2） H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
（3） 如果a(t)是低频信号
H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
低频信号
是窄带确知信号，其解析信号为
x%(t) A(t)cos0t+(t) jA(t)sin0t+(t)
A(t)e j0t+ (t) A%(t)e j0t
其中 A%(t) A(t)e j (t) ，称为复包络。
一、确知信号的复信号表示
对解析信号取傅里叶变换，得
X%() X () jX ()
第五章 窄带随机过程
窄带随机过程
5.1 窄带随机过程 5.2 信号的复信号表示 5.3 窄带随机过程的统计特性 5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
5.1 窄带随机过程
一、希尔伯特变换的定义
假定一实函数x(t)，其希尔伯特变换为：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
其反变换为：
4、同相分量和正交分量的统计特性
RY ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t cos0 (t )
RYYˆ ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t sin 0 (t ) 利用如下关系 RY ( ) RYˆ ( ) RYYˆ ( ) RˆY ( ) RYˆY ( )
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞 π 后 2 弧度的宽带相移全通网络。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
c
s
t t
t cos 2 ˆ t cos 2
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
(t
)
arctan
s c
(t (t
) )
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2
窄带随机过程的低通表示
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
复包络 复载波
其中L (t) ~(t)e j2fct
L (t) c (t) js (t) a (t)e j (t)
(t ) Re t Re L (t)e j2 fct
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3
5.3.2窄带随机过程的统计特性
解析信号的统计特性
■ R E * t t E (t) jˆ(t) (t ) jˆ(t )
R Rˆ jRˆ jRˆ 2 R jRˆ
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
0
f 0
fc
2 fc
f
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Pc ( f ) Ps ( f )
2A
f 0 f
f
10
5.4 窄带随机过程包络和相位的分布
窄带正态噪声的包络和相位分布
一维分布 二维分布
12
5.4.1
J 为Jocabian行列式。
随机信号分析_第五章_窄带随机过程
解析过程的性质
3. RXˆX ( ) RˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( ) 式中 RXˆX ( ) E[Xˆ (t)X (t )] RXXˆ ( ) E[X (t)Xˆ (t )]
Rˆ X ( )表示RX ( )的希尔伯特变换
4. RXˆX ( ) RXXˆ ( ) 5. RXˆX ( ) RXˆX ( )
定义： 在区间(-∞<t<∞)内给定实值函数
x(t)，其希尔伯特变换记做 xˆ(t) 或者 H[x(t)]，有：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
1 x(t ) d
希尔伯特变换的性质
1. 希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。 等效于输入信号通过一个冲激响应为 h(t)=1/(πt)的线性系统。即：
X~() a~ ( 0)
说明复信号 ~s (t) 只包含正的频率成分， 而强度为X(ω)的两倍。
~s (t) 也可以分解为： ~s (t) s(t) js ' (t)
其中s’(t)=asin φ(t)=asin(ω0t+θ)，为与s(t) 正交的分量。
二、任意信号的复数表示方法
为了设简s化(t)分为析任，意用的复实信信号号~s，(t频)来谱表为示X，(ω它)。 必须满足：
因为：a(t) X (t) cos0t Xˆ (t) sin 0t b(t) X (t) sin0t Xˆ (t) cos0t
SX () 0S,X (),
| | c
others
则称X(t)为低通过程。
SX(ω)
-ωc 0 ωc ω
如果X(t)的功率谱密度为：
SX () 0S,X (),
0 c | | 0 c
others
第五章 窄带随机信号
c) R ( ) RX ( )
X
7
d) S
XX XX
( ) j sgn( ) S X ( ) S ( ) j sgn( ) S X ( ) S
XX XX
XX
( )
e) R ( ) R f )R
XX
( )
ˆ ( ) ( ) h( ) * RX ( ) R X
x( ) (1)实值函数x(t ), ( x ), x(t ) H [ x(t )] d t ^ 1 x(t ) 1 x(t ) x(t ) d d
^
1
Βιβλιοθήκη (2)相当于一个正交滤波器 1 x(t ) x(t ) * t
2 t 2
19
20
0 0
ˆ (t ) cos t b(t ) X (t ) sin 0t X 0 2. a(t )与b(t )在同一时刻是正交的,不相关，独立， 高斯RVS 3.若S X ( )是关于0 对称，则a(t ), b(t )是相互正交， 不相关及独立
14
二
f ab (at , bt )
^
x(t )
1 h(t ) t
x(t )
^
j 0 (3) H ( ) j 0
4
(4)希尔伯特变换是一90 全通相移网络 (5)希尔伯特逆变换 x(t ) H [ x(t )]
^ 1 ^
1
x(t )
^
^
d
11
Sa ( ) Sb ( ) LP[ S X ( 0 ) S X ( 0 )]
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定义复指数函数： ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ，称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部，即：
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为：
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明：满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为：~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出： sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为：
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)＝A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为：
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为：
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。
第五章 窄带随机过程
内容： 一、信号的表示方法及希尔伯特变换 二、窄带随机过程的表示方法 三、窄带随机过程的的有关概率密度
对于一个平稳的随机过程，如果 其功率谱密度在频率轴的某个区域之 外全部为0，则称其为限带随机过程。 根据实际功率谱分布区域的不同，可 以分为低通过程和带通过程两大类。
如果平稳随机过程X(t)的功率谱 密度为：
定义： 在区间(-∞<t<∞)内给定实值函数
x(t)，其希尔伯特变换记做 xˆ(t) 或者 H[x(t)]，有：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
1 x(t ) d
希尔伯特变换的性质
1. 希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。1/(πt)的线性系统。即：
sˆ(t) H[s(t)]
对于正弦型信号：
s(t)=acos(ω0t+θ) 它的希尔伯特变换为：
sˆ(t) a sin(0t )
和前面比较可以看出，正弦型信号的复 指数函数与解析形式表示的复信号是完 全相同的。但是其它实信号并不一定是 这样。
三、高频窄带信号的复数表示方法
高频窄带信号是指信号的频谱限制 在载波频率±ω0附近的一个频带范围内， 且此范围远远小于载波频率。可以表示 为：
xˆ(t) x(t) 1
t
该系统的传输函数为：
H
(
)
j
sgn()
j,
j,
0 0
进一步得到其幅频响应和相频响 应为：
| H () | 1
(
)
/ 2,
/ 2,
0 0
上式表明，希尔伯特变换相当于一个 90°的移相器。它对所有频率分量的 幅度响应为1，对正频率分量（包括0 频率）移相-90° ，对负频率分量移相
~se
(t
)
的频谱为：
X~e () A~(
0
)
可以得到：
X~e () A~( 0) 2X () A~*( 0)
说明用复指数形式来表示窄带信号的时 候，其实部就是原来的实窄带信号，但 是其频谱发生了改变。当窄带信号的带 宽远远小于载波频率的时候，误差可以 近似忽略不计。
5.1.2 希尔伯特变换
SX () 0S,X (),
| | c
others
则称X(t)为低通过程。
SX(ω)
-ωc 0 ωc ω
如果X(t)的功率谱密度为：
SX () 0S,X (),
0 c | | 0 c
others
则称X(t)为带通过程。
SX(ω)
-ω0-ωc -ω0 -ω0+ωc
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
如果ωc<< ω0，则称X(t)为高频 窄带随机过程，简称窄带过程。有 时也称为准单色过程。目前通信中 常用的高频调制信号就属于窄带随 机过程。
5.1 信号的表示方法
我们实际观测到的随机信号通常都 是实随机过程，是物理存在的。但是在 某些情况下，把它表示成复数形式即复 随机过程，对于分析问题更方便一些。 我们可以把确定信号看作是一个特殊的 复随机信号。
5.1.1 复信号
一、正弦信号的复数表示方法 无线电技术中最常用的基本信号就
是正弦信号。包括正弦型和余弦型，它 们的复数表示形式统称为复正弦信号。
简单的正弦信号可以表示为： s(t)=acos(ω0t+θ)=acosφ(t)
其中φ(t)＝ω0t+θ，a、 θ、 ω0都为实常
数。 s(t)为实信号，是t的实值函数。
s(t)=A(t)cos[ω0t+θ(t)] 式中的A(t)和θ(t)分别代表信号的振幅和 相位分量，它们都是低频限带信号。和 载波相比，变化要缓慢得多。
信号表达式还可以写成：
s(t)=sc(t)cosω0t+ ss(t)sinω0t 其中 sc(t) =A(t)cos[θ(t)]
ss(t) =A(t)sin[θ(t)] 两者相互正交，也都是低频限带信号。
窄带信号表示成复信号也是有两种 方法：复解析表示法和复指数表示法。
1. 复解析表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的解析信号 ~sH (t) 为：
~sH (t) s(t) jsˆ(t) 式中 sˆ(t) H[s(t)]。
|X(ω)|
-ω0-ωc -ω0 -ω0+ωc
X~() a~ ( 0)
说明复信号 ~s (t) 只包含正的频率成分， 而强度为X(ω)的两倍。
~s (t) 也可以分解为： ~s (t) s(t) js ' (t)
其中s’(t)=asin φ(t)=asin(ω0t+θ)，为与s(t) 正交的分量。
二、任意信号的复数表示方法
为了设简s化(t)分为析任，意用的复实信信号号~s，(t频)来谱表为示X，(ω它)。 必须满足：