第5章 窄带随机过程
第五章 窄带系统和窄带随机过程
图5-2 窄带系统包络线
§5.1.1 窄带－对称网络的包络线定理 线性系统的冲激响应函数 变化域 时间域: (1) 单个元器件的传递函数 函数 ; (2) 拉普拉斯反变换
R
L
系统的传递
C
窄带系统冲激响应
窄带-对称系统的包络定理
窄带-对称系统的包络定理: 1) 求解出系统传递函数 的零-极点形式;
包络检波器
宽带随 机信号
高频窄带 系统
理想带通限幅器
低通网络
接收机
§5.3窄带随机过程的包络和相位分 布
准正弦振荡表示：
包络服从 瑞丽分布
相位服从等 概率分布
同一时刻，包络和 相位是相互独立
§5.4 窄代随机信号包络线的自相关特 性
R L
拖尾
C
具有相关性：
1.衰减因子 越长; ，衰减越快， 的拖尾(尾迹)
传递函数雷达系统发送机接收机hpflpf第五章窄带系统和窄带随机过程窄带系统窄带随机过程的一般概念窄带随机过程包络和相位分布窄带随机过程包络线的自相关特性正弦信号叠加窄带高斯噪声的合成振幅分布51窄带系统511窄带系统及其包络线特性一窄带系统只允许靠近中心频率附近很窄范围的频率成分通过的系统称为窄带系统
C
解 (1) 电路的传输函数
电路的品质因数>>1
2)画出
的“极点分布图”,得到
极点分布图；
3)对 其中
取拉氏反变换,得到
4）由
恢复
§5.2 窄带随机过程的一般概念
§5.2.1 定义 平稳随机过程
，若其功率谱密度函数
为
则称此随机过程为平稳随机过程。
窄带高通滤波器
§5.2.2 窄带随机过程表示为准正弦振荡
随机信号分析_第五章_窄带随机过程
定义复指数函数： ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ，称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部，即：
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为：
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明：满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为：~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出： sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为：
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)＝A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为：
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为：
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
2
a12 a22
2a
a1a2
cos
2
1
,
0
a1, a2 0, 1, 2 其它
2 2
fa a1, a2 0 0 fa a1, 1, a2 , 2 d1d2
a1a2
1
D2
I0
a1a2a()
1
D2
exp
2
a12 a22
1
2D2
,
0,
a1, a2 0 其它
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25
正弦信号加窄带噪声包络平方的分布
f A ( At
)
At
2
exp
At2 a2
2 2
I0
aAt
2
,
At 0
fU (ut ) f A ( At ) | J |
1
2
2
exp
1
2
2
(u
a
2
)
I0
au1/ 2
2
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总结
希尔伯特变换 解析信号 频带信号与带通系统 窄带平稳随机过程
二维瑞利分布 第一类零阶修正贝塞尔函数
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18
相位的二维分布
f 1,2
0
0 fa
a1,1, a2 ,2 da1da2
1
D2
1 2
4
2
4
1
2 cos1
3
1 2 2
,
0,
0 1，2 2
其它
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fa a1,1, a2 ,2 fa a1, a2 f 1,2
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第5章-窄带随机过程
第五章 窄带随机过程5.1 窄带随机过程的概念1． 通信工程中的信号频率在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。
对于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。
2． 窄带随机过程（1） 带通随机过程的定义若随机过程)(t X 的谱密度满足：⎩⎨⎧∆<-=其它0)()(0ωωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。
带通过程的谱密度的图解如下图。
（2） 窄通随机过程的定义若)(t X 为带通过程，且0ωω<<∆，即中心频率过大于谱宽，则称)(t X 为窄通随机过程。
3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法（1）窄带随机过程的莱斯表示定理：任何一个实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω-=证明：略。
注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。
（2） )(t a 、)(t b 的性质 ①)(t a 、)(t b 都是实随机过程。
②0))(())((==t b E t a E . 。
③)(t a 与)(t b 各自广义平稳，联合平稳，且：)()(ττb a R R =。
④))(())(())((222t X E t b E t a E ==，由此可得方差22b a σσ=。
⑤0)0(=ab R ，这说明)(t a 与)(t b 在同一时刻正交。
⑥)()(ωωb a S S =。
4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω证明：由莱斯表示法有：)()()(22t b t a t A +=， )()()(t a t b arctgt =Φ )(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。
慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比)cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
独立
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06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
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5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
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2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
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1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
窄带随机过程
正
交
滤
相频特性为：
()
/ 2
/
2
0 0
波 器
二、希尔伯特变换的性质
（1） H[xˆ(t)] x(t)
（2） H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
（3） 如果a(t)是低频信号
H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
低频信号
是窄带确知信号，其解析信号为
x%(t) A(t)cos0t+(t) jA(t)sin0t+(t)
A(t)e j0t+ (t) A%(t)e j0t
其中 A%(t) A(t)e j (t) ，称为复包络。
一、确知信号的复信号表示
对解析信号取傅里叶变换，得
X%() X () jX ()
第五章 窄带随机过程
窄带随机过程
5.1 窄带随机过程 5.2 信号的复信号表示 5.3 窄带随机过程的统计特性 5.4 窄带正态随机过程包络和相位的分布
5.1 窄带随机过程
一、希尔伯特变换的定义
假定一实函数x(t)，其希尔伯特变换为：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
其反变换为：
4、同相分量和正交分量的统计特性
RY ( ) cos0t cos0 (t ) RYˆY ( ) sin 0t cos0 (t )
RYYˆ ( ) cos0t sin 0 (t ) RYˆ ( ) sin 0t sin 0 (t ) 利用如下关系 RY ( ) RYˆ ( ) RYYˆ ( ) RˆY ( ) RYˆY ( )
具有系统函数为 jsgn 的网络是一个使相位滞 π 后 2 弧度的宽带相移全通网络。
窄带随机过程
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t ) 。
t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
1
全通滤
| H( )|
波器
H ( )
0
90
1
0
f
0
f
0
90
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与sin0t 正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
c
s
t t
t cos 2 ˆ t cos 2
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
(t
)
arctan
s c
(t (t
) )
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2
窄带随机过程的低通表示
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
复包络 复载波
其中L (t) ~(t)e j2fct
L (t) c (t) js (t) a (t)e j (t)
(t ) Re t Re L (t)e j2 fct
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3
5.3.2窄带随机过程的统计特性
解析信号的统计特性
■ R E * t t E (t) jˆ(t) (t ) jˆ(t )
R Rˆ jRˆ jRˆ 2 R jRˆ
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
0
f 0
fc
2 fc
f
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Pc ( f ) Ps ( f )
2A
f 0 f
f
10
5.4 窄带随机过程包络和相位的分布
窄带正态噪声的包络和相位分布
一维分布 二维分布
12
5.4.1
J 为Jocabian行列式。
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第五章 窄带随机过程
5.1 窄带随机过程的概念
1． 通信工程中的信号频率
在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。
对于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。
2． 窄带随机过程
（1） 带通随机过程的定义
若随机过程)(t X 的谱密度满足：
⎩⎨
⎧∆<-=其它
0)()(0ω
ωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。
带通过程的谱密度的图解如下图。
（2） 窄通随机过程的定义
若)(t X 为带通过程，且0ωω<<∆，即中心频率过大于谱宽，则称)(t X 为窄通随机过程。
3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法
（1）窄带随机过程的莱斯表示
定理：任何一个实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：
)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω-=
证明：略。
注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。
（2） )(t a 、)(t b 的性质 ①)(t a 、)(t b 都是实随机过程。
②0))(())((==t b E t a E . 。
③)(t a 与)(t b 各自广义平稳，联合平稳，且：)()
(ττb a R R =。
④))(())(())((2
22t X E t b E t a E ==，由此可得方差22b a σσ=。
⑤0)0(=ab R ，这说明)(t a 与)(t b 在同一时刻正交。
⑥)()(ωωb a S S =。
4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法
定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：
))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω
证明：由莱斯表示法有：
)()()(22t b t a t A +=， )
()
()(t a t b arctg
t =Φ )(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。
慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比)
cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。
其中：称0ω这载波频率。
称)(t A 为)(t X 的包络。
称)(t Φ为)(t X 的相位（初相）。
这一表达式称为准正弦振荡表示法。
5.2 窄带高斯过程包络与相位的概率密度
在工程应用中，假定系统的输出是一个窄带高斯随机过程，可使问题的解决得到简化。
实际上，有许多工程实际的系统输出是窄带高斯随机过程。
对于窄带随机过程，包络)(t A 与相位)(t Φ的检测是首要工作。
1． 包络与相位的一维概率密度
（1） 先求)(t a 与)(t b 的联合概率密度),(t t ab b a f
当t 确定后，)(t a 与)(t b 都是高斯随机变量，且相互正交，所以有
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+-=22222exp 21
),(σπσt t t t ab b a b a f （2） 求)(t A 与)(t Φ的联合概率密度
定理： ),(),(t t ab t t A b a f J A f =ΦΦ，J 为雅可比行列式。
由 )()()(22t b t a t A +=
， )
()
()(t a t b arctg
t =Φ 可得 )(t A J =
所以有
⎪
⎩⎪⎨⎧≤Φ≤≥⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-=ΦΦ其它0
20,02ex p 2),(222π
σπσt t t t t t A A A A A f
（3） 求)(t A A f 、)(t f ΦΦ
对),(t t A A f ΦΦ求边缘概率密度，可得)(t A A f 与)(t f ΦΦ
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-=ΦΦ⎰
Φ22220
2exp ),()(σσπ
t t
t t t A t A A A d A f A f ＝，（0≥t A ） π
21
),()(0
=
ΦΦ⎰∞ΦΦt t t A t A d A f f ＝，（π20≤Φ≤t ） 5.3 正弦型信号与窄带高斯噪声之和
1． 模型
设
)()()(t N t s t X +=
其中)(t s 为具有随机相位的正弦型信号
)cos()(0θω+=t a t s
a 与0ω为已知常数，θ为)2,0(π区间均匀分布的随机变量，)(t N 为平稳窄带实高斯随
机噪声过程，均值为0，方差为2
σ，功率谱密度对称于0ω±。
可以证明，)(t X 是一窄带随机过程： 设
)sin()()cos()()(00t t b t t a t N ωω-=
)sin(sin )cos(cos )cos()(000t a t a t a t s ωθωθθω⋅-⋅=+=
可得
)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω'-'=
其中⎩
⎨⎧+='+=')(sin )()(cos )(t b b t b t a a t a θθ
或
))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω
其中 )()()(22t b t a t A '+'=
， )
()
()(t a t b arctg
t ''=Φ 2． 在θ确定下，求条件概率密度)(θt A A f 、)(θt f ΦΦ （1）求)(t a '与)(t b '的联合概率密度),(θt t b a b a f ''''
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-+-'-=''''2
2222)sin ()cos (exp 21
),(σθθπσθa ba a a b a f t t t t b a （2）求)(t A 与)(t Φ的条件联合概率密度 ),(),(θθt t b a t t A b a f J A f ''=Φ''Φ
⎪
⎩⎪⎨⎧≤Φ≤≥⎭⎬⎫
⎩⎨⎧Φ--+-=其它0
20,02)cos(2ex p 22
222π
σθπσt t t t t t A aA a A A
（4） 求)(θt A A f 、)(θt f ΦΦ
利用),(θt t A A f ΦΦ求边缘分布密度，可得：
)(2exp ),()(2
0222220
σσσθθπ
t
t t
t t t A t A A a I a A A d A f A f ⋅⋅⎭⎬⎫⎩
⎨⎧+-=ΦΦ⎰
Φ＝ 其中)(0•I 是第一类零阶修正贝塞尔函数。
由于)(θt A A f 与θ无关，于是有
)()(θt A t A A f A f =
t t t A t A d A f f ⎰∞
ΦΦΦΦ0
),()(θθ＝
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧Φ---⋅Φ-ψ⋅Φ-⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2)(cos exp ))cos((2)cos(2exp 21
t 222t t 22θσθσπθσπa a a a a )(•ψ是概率积分函数。
作业：P174，6.1，6.2，6.3，6.4，6.5，6.6，6.10。