窄带随机过程ppt课件
2.5 窄带随机过程
可见， 服从均匀分布。
第2章
随机过程
结论：
其包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位 t 的一维分布 t 是均匀分布，并且就一维分布而言，aξ(t)与 是统计独立 一个均值为零，方差为 2 的窄带平稳高斯过程 ξ(t) ，
的，即有下式成立：
f (a , ) f (a ) f ( )
s (t ) a (t ) sin (t )
第2章
随机过程
2.5.1同相和正交分量的统计特性 t 的统计特性可由 a t , t 或c t , s t 的统计特性
确定。反之亦然。 1. 数学期望 2 设窄带过程是平稳高斯窄带过程，且均值为0，方差为 。 对式（2.5 - 2）求数学期望: E[ (t )] E[c (t )]cos ct E[s (t )]sin ct （2.5-5） 因为已设ξ(t)平稳且均值为零，那么对于任意的时间t，都有E ［ξ(t)］=0，所以由式（2.5-5）可得
E[ c (t )] 0 E[ s (t )] 0
（2.5-6）
第2章
随机过程
2. 自相关函数
R (t, t ) E[ (t ) (t )]
E{[ c (t ) cosc t s (t ) sin c t ]
[ c (t ) cosc (t ) s (t ) sin c (t )]}
第2章
随机过程
另外，因为ξ(t)是平稳的，所以ξ(t)在任意时刻的取值都
是服从高斯分布的随机变量， 故在式（2.5 - 2）中有
t t1 0 时, (t1 ) c (t1 )
t t2 时, (t2 ) s (t2 ) 2c
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
2
a12 a22
2a
a1a2
cos
2
1
,
0
a1, a2 0, 1, 2 其它
2 2
fa a1, a2 0 0 fa a1, 1, a2 , 2 d1d2
a1a2
1
D2
I0
a1a2a()
1
D2
exp
2
a12 a22
1
2D2
,
0,
a1, a2 0 其它
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正弦信号加窄带噪声包络平方的分布
f A ( At
)
At
2
exp
At2 a2
2 2
I0
aAt
2
,
At 0
fU (ut ) f A ( At ) | J |
1
2
2
exp
1
2
2
(u
a
2
)
I0
au1/ 2
2
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总结
希尔伯特变换 解析信号 频带信号与带通系统 窄带平稳随机过程
二维瑞利分布 第一类零阶修正贝塞尔函数
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相位的二维分布
f 1,2
0
0 fa
a1,1, a2 ,2 da1da2
1
D2
1 2
4
2
4
1
2 cos1
3
1 2 2
,
0,
0 1，2 2
其它
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fa a1,1, a2 ,2 fa a1, a2 f 1,2
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第5章-窄带随机过程
第五章 窄带随机过程5.1 窄带随机过程的概念1． 通信工程中的信号频率在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。
对于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。
2． 窄带随机过程（1） 带通随机过程的定义若随机过程)(t X 的谱密度满足：⎩⎨⎧∆<-=其它0)()(0ωωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。
带通过程的谱密度的图解如下图。
（2） 窄通随机过程的定义若)(t X 为带通过程，且0ωω<<∆，即中心频率过大于谱宽，则称)(t X 为窄通随机过程。
3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法（1）窄带随机过程的莱斯表示定理：任何一个实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω-=证明：略。
注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。
（2） )(t a 、)(t b 的性质 ①)(t a 、)(t b 都是实随机过程。
②0))(())((==t b E t a E . 。
③)(t a 与)(t b 各自广义平稳，联合平稳，且：)()(ττb a R R =。
④))(())(())((222t X E t b E t a E ==，由此可得方差22b a σσ=。
⑤0)0(=ab R ，这说明)(t a 与)(t b 在同一时刻正交。
⑥)()(ωωb a S S =。
4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω证明：由莱斯表示法有：)()()(22t b t a t A +=， )()()(t a t b arctgt =Φ )(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。
慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比)cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。
09第八章窄带随机过程
4S (w) w 0 (t)的 功 率 谱 密 度 S (w) X 5) 解 析 过 程 X X w 0 0 ˆ 解 ： 已 知 R X ( ) 2[ R X ( ) jR X ( )]， 等 式 两 边 做 傅 氏 变 换 可 得 ： ˆ S X ( w ) 2[ S X ( w ) jS X ( w )] ˆ 其 中 ， S X ( w ) j sgn( w ) S X ( w ) 所 以 ： S X ( w ) 2[ S X ( w ) s g n ( w ) S X ( w )] 4SX (w) w 0 w 0 0
三、窄带随机过程的莱斯表达式
任 何 一 个 实 平 稳 随 机 过 程 X(t)都 可 以 表 示 为 ： X ( t ) = ( t ) c o s w 0 t b ( t ) s in w 0 t 式 中 ， 对 于 窄 带 随 机 过 程 来 说 ， w 0一 般 为 窄 带 滤 波 器 的 中 心 频 率 。
( t ) ， b ( t )为 另 外 两 个 随 机 过 程 。
ˆ ( t ) = X ( t ) c o s w 0t X ( t ) s i n w 0t ˆ b( t ) = - X ( t ) s i n w 0 t X ( t ) c o s w 0 t 证明：
证明： 若 X(t)为 实 随 机 过 程 ， 则 其 解 析 过 程 为 ： ˆ X ( t ) = X ( t ) jX ( t ) 用乘e
复随机过程
定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
Zt X
t
iY t
其中 i
1
，则称{Zt, t∈T}为复随机过程。
第四章 窄带随机过程
(准正弦震荡)
包络 A t 与相位 t 均为慢变化（包含信息）
0
快变（载波)
展开成另一种表达形式:
X t A t cos 0 t t
A t cos t cos 0 t A t sin t sin 0 t
ˆ X t cos t X t sin t
0 0
ˆ RX cos 0 t cos 0 t RX sin 0 t sin 0 t
ˆ RX cos 0 RX sin 0 RAC ( )
解析信号(复信号的一种常见形式)
ˆ z t x t jx t
2 X ( ) Z X sgn X 0
0 0
正频率加倍，负频率清零。复信号没有负频率。
4.1.2 Hilbert变换的性质
2 X
2 AC
2 AS
3．功率谱密度
1 S AC S X 0 S X 0 2
1 sgn 0 S X 0 sgn 0 S X 0 2
用 X (t )及希尔伯特变换 X (t ) 表示 两个正交分量
ˆ AC t X t cos 0 t X t sin 0 t ˆ AS t X t sin 0 t X t cos 0 t
1．均值：零均值
5.互相关
ˆ RAC AS RX sin 0 RX cos 0
ˆ RAS AC RX sin 0 RX cos 0
第12讲_窄带随机过程2
窄带信号通过窄带系统窄带信号通过窄带系统窄带信号的低通表示方法Xω(A中除载波频率之外的所有信息，称为)窄带信号通过窄带系统窄带系统的表示方法H(H窄带信号通过窄带系统窄带信号通过窄带系统的计算方法例已知，，且，。
窄带信号通过窄带系统()0()cos x t m t t =ωr t ()0cos ,00,t t Th t <<⎧=⎨⎩ω其他02T >>πω()h t 求()解法1：T=∗()()()r t x t h t +∞−∞=−∫()()x t h d τττ=−−∫000()cos ()cos Tm t t d τωτωττ=−+−−∫∫000011()cos ()cos (2)22T Tm t td m t t d τωττωττ1t d =−u t τt =−2u t τ=∫cos ()t m u du ω++∫1()cos u tm udu ω窄带信号通过窄带系统解法2：先求等效基带信号T先求等效带信号()=0()cos x t m t tω()()()=+=000()cos sin j t xt m t t jm t t m t e ωωω ()()0()j t L x t xt e m t ω−== 再求系统的等效低通表示=−−0()[()()]cos h t U t U t T tω=−−=−−0j t h ω +⎡⎤⎣⎦00()[()()]cos sin [()()]t U t U t T t j t U t U t T e ωω窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的统计特性表示形式1()()cos ()C A t A t t =Φ()()sin ()S A t A t t =Φ00ˆ()()cos ()sin C A t X t t X t t ωω=+00ˆ()()sin ()cos S A t X t t X t t ωω=−+A t A t 表示形式1：表示形式2：30和都是实随机过程()C ()S 如果，则，由此有[()][()]0C S E A t E A t ==[()]0E X t =ˆ[()]0E Xt =窄带随机过程的统计特性()A t ,+τ窄带随机过程的统计特性A t()+τ,t窄带随机过程的统计特性A t()窄带随机过程的统计特性GG2ωG窄带随机过程的统计特性A t()窄带随机过程的统计特性对零值的窄带平稳随机过程对于零均值的窄带平稳随机过程同相分量和正交分量均为零均值的平稳随机过程同相分量和正交分量的自相关函数相同，且方差均等于窄带随机过程的方差同相分量和正交分量联合平稳，且互相关函数为奇函数联合平稳关函数为奇函数36窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布由于窄带正态随机过程包络和相位的分布ˆ由窄带正态随机过程包络和相位的分布()()cos ()=A t A t t ϕ窄带正态随机过程包络和相位的分布222⎪⎜⎟d 包络的一维概率密度为()()0,0,0==⎨⎝⎠⎪<⎩∫A A f A f A A ϕϕϕσσ分布41窄带正态随机过程包络和相位的分布相位的一维概率密度为窄带正态随机过程包络和相位的分布()cos ()A t a N t θ=+窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布窄带正态随机过程包络和相位的分布作业。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
c
s
t t
t cos 2 ˆ t cos 2
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
(t
)
arctan
s c
(t (t
) )
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2
窄带随机过程的低通表示
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
复包络 复载波
其中L (t) ~(t)e j2fct
L (t) c (t) js (t) a (t)e j (t)
(t ) Re t Re L (t)e j2 fct
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3
5.3.2窄带随机过程的统计特性
解析信号的统计特性
■ R E * t t E (t) jˆ(t) (t ) jˆ(t )
R Rˆ jRˆ jRˆ 2 R jRˆ
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
0
f 0
fc
2 fc
f
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Pc ( f ) Ps ( f )
2A
f 0 f
f
10
5.4 窄带随机过程包络和相位的分布
窄带正态噪声的包络和相位分布
一维分布 二维分布
12
5.4.1
J 为Jocabian行列式。
窄带随机过程ppt课件
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与 sin0t正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
Fourier 变换
S ()
时域复信号。
问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
10
2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
z(t) s(t) jsˆ(t)
其中，sˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t ) js(t ) h(t)
引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量，
以便于分别分析。 6
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系： 表达式1：Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 表达式2：Z(t ) X (t )cos 0t Y (t )sin0t
B( t ) Y(t )
令 0
RZ (0) RX (0) RY (0)
即: X(t),Y(t),Z(t) 的平均功率相同
∵ 前面假设窄带平稳随机过程的均值为零， ∴
2 Z
2 X
2 Y
24
性质性质4证明:
Z (t) X (t) cos0t Y (t) sin 0t Z (t) X (t) sin 0t Y (t) cos0t
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T 2T T
T 2T T
15
性质4. 平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换 Xˆ (t) 的自相关函数满足：
RXˆ ((0)
性质5. 平稳随机过程 X(t) ~ Xˆ (t) 的互相关函数满足：
(t )
X(t )
7
平稳窄带过程
表达式1： Z (t ) B(t ) cos[0t (t )], B(t) 0
表达式2： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
X (t ) B(t ) cos (t )
Y
(t)
B(t ) sin (t )
B(t) X 2(t) Y 2(t),
F变换
Z( ) S( )1 jH( )
11
H()的设计要求：
1．要满足使得Z()只有正频域频谱； 2．要使z(t)信号与s(t)信号的总能量保持不变。
由此可得:
H
( )
j,
j,
f 0
j sgn()
f 0
。
h(t) F 1 H ( ) 1
t
故此， sˆ(t) s(t) 1 1 s( ) d H [s(t)]，
t t
称为Hilbert变换。
12
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
t
13
H( )
1
0
f
1
全通滤波器
| H( )|
1
0
f
H ( )
0
90
问题的提出：
tan(t) Y (t) / X (t)
B( t )与Ф( t ) 统计特性或功率谱密度如何 X( t )和Y( t ) 确定呢？
8
§ 6.2 解析信号与希尔伯特变换
1． 解析信号的引入--- 仅在正频域有值的复信号.
一般时域信号 S(t) S() s(t)e jtdt R() jI () S ()满足共轭对称性，即，
S () S ()
R() R(), 偶函数 I () I ()， 奇函数
j arctanI ( )
S( ) S( ) e j( f ) R2 () I 2 ()e
R( )
S ()，偶函数 ()，奇函数
由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。 9
从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余 余的，所以只要保留正频域的频谱，记为 S () ，即可。
0
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
2
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t )。
性质1. H [ xˆ (t)]= x(t)
性质2 若 y(t) h(t) x(t)，则
H [ y(t) ] h(t) xˆ (t) hˆ(t) x(t) 。
性质3 xˆ (t ) 和x(t)的能量及平均功率相等，即
xˆ 2 (t )dt x 2 (t )dt
lim 1 T xˆ 2 (t)dt lim 1 T x 2 (t)dt
引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量，
以便于分别分析。 6
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系： 表达式1：Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0 表达式2：Z(t ) X (t )cos 0t Y (t )sin0t
B( t ) Y(t )
0
f
0
90
H()或h(t)称为Hilbert变换器。
90°相移器
它不改变信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。
由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的解析信号:
sA(t) s(t ) j H s(t )
2S(), 0
S A ()
S ( )1
jH ()
0, 0
14
3．Hilbert变换的性质
5
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与 sin0t正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
Fourier 变换
S ()
时域复信号。
问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
10
2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
z(t) s(t) jsˆ(t)
其中，sˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，
s( t )
h( t )
ˆs( t )
即， z(t ) s(t ) js(t ) h(t)
Z(t) B(t)cos[0t (t)], B(t) 0
4
B( t )
B(t)cos[0t (t)]
Z( t )的一个样本函数
B( t )----窄带随机过程Z(t)的包络函数---慢变化 Ф( t )----窄带随机过程Z(t)的相位函数----慢变化， B( t ) , Ф( t )都是随时间 t 慢变化的随机过程。
3
1.
由
Gz
( )
E[lim T
|
ZT ( )
T
|2
]
可知:
若Gz(ω)占的频带很窄，则│ZT(ω)│也一定占很窄的 频带,即其系统函数具有与功率转移函数相似的形式
2. 由信号与线性系统可知： 时域中的一个慢变化信号对一高频(ω0)信号调幅变换时,
信号具有如图所示的频响特征。
窄带随机过程的时域表达(一):
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
1
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近
附近的频率分量通过，故称为窄带系统。其满足：