二次函数y=ax平方的性质
,顶点
y轴
y轴 ,顶点
(0,0) ;
m2+m
已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式 ① 解: 依题意有: m+1>0 m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1 ∴ m=1 由①得:m>－1 此时,二次函数为: y=2x2,
作业：
• 1．如何画出函数y ax 的图 象? • 2．函数y ax 具有哪些性 质 ?
-1 -0.5 0 0.5 1
y
4.5 2 0.5
1.5 2 … 0 0.5 2 4.5 8 …
10 y 2 x 9 8 7 6 5 4 3 2 1
2
(3) 连线
函数y= x ,y=2x2 的图像与函数y=x2( 图中虚线图形)的图像 相比,有什么共同点和 不同点?
1 2 2
1 2 y x 2
2 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 2 在同一直角坐标系中画出函数y=－2 x 和y=－2x2的图像 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2)描点
y
1 x 2
2
… -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
(3)连线
函数y=的图像与函数 y=－x2(图中虚线图形) 的图像相比,有什么共同 点和不同点?
1 2 , x y=2x2 2
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 -8 y x2 2 -9 -10 y 2 x 2
a>0 相同点： y 2x yx y 2 10 一般地,抛物线y=ax 的对称 1 9 y x 8 2 轴是y轴,顶点是原点. 7 6 5 4 不同点： 3 2 当a>0时,抛物线的开口向上, 1 顶点是抛物线的最低点,a越大, -5-4-3-2-1 o1 2 3 4 5 x a<0 y 抛物线的开口越小 1 -5-4-3-2-1 -1o1 2 3 4 5 x -2 当a<0时,抛物线的开口向 -3 -4 下,顶点是抛物线的最高点,a越 -5 -6 -7 大,抛物线的开口越大; -8 1 y x -9
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和 常数项.
下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1) y=3x-l (4) y=x-2
(2) y=2x² ＋7
8 (3) y x
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点
1 2 例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2 x 和y=2x2的图像 解:(1) 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
-1.5
x … -2 y=2x2 … 8
2
2
2
2
y x2
-10y 2x2
2
yx
2
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 增大。
当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 增大。
y x
当a<0时，在对称轴的 2 右侧， y随着x的增大而 减小。
1、函数y=2x2的图象的开口向上 ,对称轴 是 (0,0) ; 2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴 是
(5) y=(x+3)² -x² (6) y=3(x-1)² +1
直线 ， (1)一次函数的图象是一条_____ (2) 通常怎样画一个函数的图象？列表、描点、连线 (3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
二次函数y=ax2的图象和性质
yx
2
8
y 2 x2
6
4 2
1 2 y x 2
2
4
－4
－2
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 y= － x -7 -8 -9 -10
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图 像都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷 y y 铅球时球在空中所 o 经过的路线. y=x2
x
这样的曲线叫做抛物线. o x 2 2 y=x 的图像叫做抛物线y=x . y=－x2的图像叫做抛物线y=－ 2. x 一般地,二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛 物线y=ax2+bx+c.
画函数y=x2的图像 解: (1) 列表 x … -3 -2 -1 (2) 描点 y=x2 … 9 4 1 (3) 连线
0 0
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
1 1
2 4
3 … 9 …
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … (2) 描点 y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … (3) 连线
y=ax平方的图像性质 ppt课件
9
各点，就得到y = x2 的图象．
6
3
ppt课件
－3
3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地， 二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
你画出的图象与图中相同吗？
ppt课件
8
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
4 ·· ··－8x·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··
y 2x2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
··
··
·
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于y轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
－4 －2 －2 －4
－6
ppt课件
－8
y x2
24
y1x 2
y 2x2 9
．巩固练习
抛物线 y 2 x 2 ，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而
3
增大 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 减小．
9 6 3
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0， 0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
《二次函数y=ax^2的图象与性质》知识点解读
《二次函数y=ax²的图象与性质》知识点解读知识点1 二次函数y=ax²的图象及有关概念二次函数的图象函数y=ax2（a≠0）的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。
实际上，二次函数的图象都是抛物线，y轴是抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点。
用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象（1）按步骤列表、描点、连线。
（2）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在O（0,0）点左右两侧（或在对称轴左右两侧）对称的选取自变量x的值，在计算y的值，这样的对应值选择月密集，描出的图象越精准。
通常情况下，画图一般选取9个点，草图通常取5或7个点，但必须画出抛物线的顶点，然后对称的取其他各点。
实际问题应在自变量取值范围内选取适当的几个点，一般选7个点，再进行描点。
连线时要注意图象的平滑，特别是顶点处更要注意，不能画得太平或者太尖，要顺势用平滑曲线连接。
知识点2 二次函数y=ax²的性质（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象是一条抛物线。
我们把二次函数y=ax2（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2。
（2）抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴（即直线x=0），顶点是原点。
（3）当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是它的最低点，抛物线在x轴上方（顶点在x轴上），并且向上无限延伸；当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，顶点是它的最高点，抛物线在x 轴下方（顶点在x轴上），并且向下无限延伸。
（4）当a＞0时，在y 轴左侧，y随x的增大而减小，在y 在右侧，y随x 的增大而减大，函数y的值，当x=0时最小，最小值是0；当a＜0时，在y 在左侧，y随x的增大而增大，在y 在右侧，y随x 的增大而减小，函数y的值，当x=0时最大，最大值是0。
（5）当a 的绝对值越大，图象越靠近y 轴，抛物线开口越窄；当a 的绝对值越小，图象越远离y 轴，抛物线开口越宽。
二次函数 y = ax^2 的图象与性质教案设计
二次函数y=ax^2的图象与性质【教学目标】1．知识与技能：使学生会用描点法画出y=ax2的图像，理解抛物线的有关概念。
2．过程与方法：使学生经历、探索二次函数y=ax2图像性质的过程。
3．情感态度与价值观：培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。
【教学重难点】1．重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图像。
2．难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图像以及探索二次函数性质。
【教学过程】一、提出问题：1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？3．一次函数的图像是什么？二次函数的图像是什么？二、范例：例1：画二次函数y=ax2的图像。
解：（1）列表：在x（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
（3）连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图像，如图所示。
提问：观察这个函数的图像，它有什么特点？让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图像有一点交点。
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
三、做一做：1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图像，观察并比较两个图像，你发现有什么共同点？又有什么区别？2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图像，观察并比较这两个函数的图像，你能发现什么？3．将所画的四个函数的图像作比较，你又能发现什么？对于1，在学生画函数图像的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。
两个函数图像的共同点以及它们的区别，可分组讨论。
交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图像都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图像开口向上，函数y=-x2的图像开口向下。
九年级数学第二章二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点进阶：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点进阶：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >j xOy()20y ax c c =+>cjyxOc()20y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()20y ax c c =+<()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点进阶：抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质例1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（ ）．例2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2a ay ax +=的图象是开口向上的抛物线．举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．例3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质例4.关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（ ）A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3.举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．例5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)m y m x-=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23-2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（ ）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ， 水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =二、填空题7.抛物线23y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. 对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ．12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．。
二次函数y=ax2的图象和性质
3.(2018湖北武汉硚口期中,16,★★☆)已知点M(2,3),F
0,
1 2
,点P(m,n)为
抛物线y= 1 x2上一动点,则用含m的式子表示PF为
2
;PF+PM的最
小值是
.
答案 1 (m2+1); 7
2
2
解析 ∵点P(m,n)为抛物线y=1 x2上一动点,∴n=1 m2,
2
2
∴点P的坐标为
2
同性质:
.
答案 对称轴是y轴(或顶点是原点) 解析 ∵函数y= 1 x2的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0);函
2
数y=x2的图象开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0);函数y=-x2的图象
开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),∴三个函数的共同性质为:对
称轴是y轴,顶点是原点.
例 已知y=(k+1) xk22 是关于x的二次函数. (1)求满足条件的k的值; (2)k为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.当x为何值时,y的值随x 值的增大而增大? (3)k为何值时,函数有最大值?最大值是多少?当x为何值时,y的值随x值 的增大而减小?
解析
(1)由题意,得
k
2
2
2,
解得k=±2.
k 1 0,
∴当k=±2时,原函数是二次函数.
(2)若抛物线有最低点,则抛物线的开口向上,
∴k+1>0,即k>-1,∴k=2.∴该抛物线的解析式为y=3x2,
∴抛物线的顶点坐标为(0,0),当x>0时,y随x的增大而增大.
(3)若函数有最大值,则抛物线的开口向下,∴k+1<0,∴k<-1,∴k=-2.∴抛
最新 y=ax平方的图像性质知识讲解
1 1.5
2 4.5
2 ···
8 ···
6
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
函数 y1x2, y2x2 的图象与函数 y=x2 2
有什么共同点和不同点？
的图象相比，
相同点：开口都向上，顶点是原 点而且是抛物线的最低点，对称 轴是 y 轴
不同点：a 要越大，抛物线的开 口越小．
y x2
8 6
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
归纳： 如果 a＞0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大； 如果 a＜0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a>0
最新 y=ax平方的图像性质
(1) 一次函数的图象是一条_直__线__ (2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合的 研究函数的重要方 法．我们得从最简 单的二次函数开始 逐步深入地讨论一 般二次函数的图象 和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
1
2
3
···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 如图，再用平滑曲线顺次连接
9
各点，就得到y = x2 的图象．
6
3
－3
）
27.2.1二次函数y=ax^2的图象与性质课件
a<o
(3)、增减性
当a＞0时， 在对称轴的左侧(x<0): y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧(x>0): y随x的增大而增大。
a＞0
∴ 当 x=0 时, y最小值=o.
当a<0时 在对称轴的左侧(x<0): y随x的增大而增大。 在对称轴的右侧(x>0): y随x的增大而减小。
a<0
∴ 当 x=0 时, y最大值=o.
y ax 的图象与性质
2
二次函数的定义：
函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数
思考：你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看 二次项的系数是否为0．
练习： 若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m______
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 y随x的增大而 ； ，在对称轴的右侧，
2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 y随x的增大而 ； ，在对称轴的右侧，
3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是 （ A ） A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。 B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
2
x （2）当 a 0 时，设自变量 x1， 2 的对应值分别为 y1 ，y 2 ， 当 x1 x2 0 时，必有 y1 y 2 吗？为什么？
小结： １．函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数． ２．二次函数y=ax2的图象性质与特点：
九年级数学上册第22章《二次函数y=ax^2的图象和性质》名师教案(人教版)
22.1.2 二次函数2ax y =的图象和性质一、教学目标 （一）学习目标1．会用描点法画出形如y=ax 2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数y=ax 2的图象特征和性质；3．在类比探究二次函数 y=ax 2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想． （二）学习重点会画二次函数y=ax²的图象，理解其图象特征和性质． （三）学习难点用描点法画二次函数y=ax 2的图象以及探索二次函数性质，体会数与形的相互联系． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）二次函数y=ax 2 ，当a>0时，图象特征和性质是： ①图象是一条抛物线，开口向上；②原点（0,0）是图象的顶点，也是最低点，当x=0时，函数y 有最小值0；③图象是轴对称图形，对称轴是y 轴（直线x=0）；在对称轴的左侧（即x<0时），抛物线从左到右下降，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧（即x>0时），抛物线从左到右上升，y 随x 的增大而增大.（2）二次函数y=ax 2 ，当a<0时，图象特征和性质是： ①图象是一条抛物线，开口向下；②原点（0,0）是图象的顶点，也是最高点，当x=0时，函数y 有最大值0；③图象是轴对称图形，对称轴是y 轴（直线x=0）；在对称轴的左侧（即x<0时），抛物线从左到右上升，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧（即x>0时），抛物线从左到右下降，y 随x 的增大而减小. 2．预习自测1.二次函数26x y =的图象开口向________，对称轴是________，顶点坐标________，当x_______时，y 随x 的增大而增大，当x_______时，y 随x 的增大而减小， 当x=______时，y 有最______值,为 ．【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质【解题过程】由二次函数2y ax =的图象和性质可得.【思路点拨】牢记二次函数2ax y =的图象和性质是解题的关键 【答案】上，y 轴，（0，0），＞0，<0，0，小，02.函数22x y -=的图象开口方向________，对称轴是_______，顶点坐标__________， 在y 轴的左侧，y 随x 的增大而______，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而______． 当x=_______时，函数有最______值,为 ． 【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质【解题过程】由二次函数2y ax =的图象和性质可得.【思路点拨】牢记二次函数2ax y =的图象和性质是解题的关键 【答案】下，y 轴，（0，0），增大，减小，0，大，03.函数231x y =与13y x =-2的图象之间的关系是____________．【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质与【解题过程】因函数231x y =与231x y -=的二次项系数互为相反数，其图象的形状相同，只是开口方向相反，所有它们的图象关于x 轴对称.【思路点拨】由二次函数2ax y =与2ax y -=的图象关于x 轴对称可得 【答案】关于x 轴对称 4.已知函数72-=m mxy 的图象是抛物线，且开口向下，则m 的值为_______.【知识点】二次函数2ax y =的图象和性质【解题过程】由272m -=得3m =±，又开口向下，故3m =-【思路点拨】牢记二次函数的概念和2ax y =的图象和性质是解题的关键 【答案】3m =- （二）课堂设计 1．知识回顾（1）二次函数的定义：一般地，形如c bx ax y ++=2（a≠0）的函数叫做x 的二次函数. （2）一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与性质：图象是一条直线；当k>0时，直线通过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k<0时，直线通过二、四象限，y 随x 的增大而减小．（3）研究函数时，了解函数性质的主要工具是：函数的图象．（4）画函数图象的主要步骤：①列表.②描点.③连线.2．问题探究探究一画出二次函数2y=的图象重点、难点知识★▲ax●活动①合作探究1.实践操作：用描点法画2xy=的图象。
22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质教案
2.增加课堂互动，鼓励学生提问和发表观点，提高他们的课堂参与度。
3.丰富教学手段，运用多媒体、实物演示等手段，让学生更直观地理解二次函数的性质。
4.加强课后辅导，关注学生对知识点的掌握情况，及时解答他们的疑问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数y=ax2的基本概念。二次函数是形如y=ax2的函数，其中a为常数，且a≠0。它是描述物体抛物线运动、图形变换等方面的重要数学工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数y=ax2在抛物线运动中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.掌握二次函数y=ax2的增减性，会判断给定区间内函数的增减情况；
4.掌握二次函数y=ax2的最大（小）值及其取值情况。
二、核心素养目标
（1）通过探究二次函数y=ax2的图像和性质，培养学生的直观想象和逻辑推理能力；
（2）使学生能够运用数学语言表达二次函数的性质，提高学生的数学表达能力；
（3）培养学生运用二次函数解决实际问题的能力，增强数学应用意识；
4.学生小组讨论环节，大家围绕二次函数在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。但在分享成果时，我发现有些小组的成果过于表面，没有深入挖掘二次函数的性质。为此，我将在接下来的教学中，加强引导，让学生更好地运用所学知识解决实际问题。
结回顾环节，学生对本节课的知识点有了更深入的理解，但仍有个别学生对二次函数的增减性和最值掌握不够牢固。在今后的教学中，我会加强这些知识点的巩固。
（4）通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流沟通能力；
（5）引导学生发现二次函数图像与性质之间的关系，提高学生的数据分析能力。
北师版九年级数学下册课件 第二章 二次函数 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质
练一练 1.函数y=4x2的图象的开口 向上,对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) ;2.函数y=－3x2的源自象的开口 向下 抛物线的最_高___点
,对称轴是 y轴
,顶点是_(_0_,0_)_ 顶点是
3.函数y= 3 x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点是向下 ; 顶点是抛物线的最__低__点.
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位. （2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 =0 ，其图象与y轴的交点坐标 是 1 ，与x轴的交点坐标是 (0,1) .
例2 已知 y (k 2)xk2 k4 是二次函数，且当x＞0时，y随x 增大而增大，则k= 2 .
分析： y (k 2)xk2 k4 是二次函数，即二次项的系数
不为0，x的指数等于2.
又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.
因此，
k2 k 4 2 k 2＞0
解得 k=2
x
··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5
···
···
4.5
2
0.5 0 0.5 2 4.5
···
描点，连线.
y x2 8 6
4 2
－4
－2
y 2x2
2
4
观察思考
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？ 二次函数y=2x2的图象是一条抛物线， 并且抛物线开口向上. 问题2 图象的对称轴是什么？
与y=ax2的关 系
平移规律： c正向上； c负向下.