二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质
二次函数讲义(四)：二次函数y=a(x-好)2的图像和性质
二次函数与y=a 的图像和性质
【知识要点梳理】
知识点1:二次函数y=a 图象的特征
①图象是抛物线;②对称轴是直线x=h;③顶点是(h,0)。
当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是最低点。
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是最高点。
知识点2:二次函数y=a 图象的性质
从二次函数y=a 图象可知:
①如果a>0,当xh时,y随x的增大而增大;
②如果a<0,当xh时,y随x的增大而减小
知识点3: 二次函数y=a 图象与二次函数y=a 图象的关系
当h>0时,可将抛物线y=a 向右平移 个单位得到y=a ;
当h<0时,可将抛物线y=a 向左平移 个单位得到y=a 。
〖名师点拨〗 解二次函数y=a 的问题要注意两点:
1.将抛物线y=a 沿x轴左右平移可以得到抛物线y=a , 可简记为“左加右减”。
抛物线y=a 的顶点坐标是(0,0),抛物线y=a 的顶点坐标是(h,0),顶点始终在x轴上。
2.对于函数y=a ,
若a>0,则xh时,y随x的增大而增大,函数有最小值0;
若a<0,则xh时,y随x的增大而减小,函数有最大值0。
【知识点过关训练】
知识点1: 二次函数y=a 的图象
1. 抛物线y=-5 的顶点坐标是( )
A.（-2，0） B.（2，0） C.（0，-2） D.（0，2）
2. 二次函数y=3 图象的对称轴是( )
A. 直线x=2 B. 直线x=−2 C. y轴 D. x轴
3.对于抛物线y=2 ,下列说法正确的有( )
①开口向上，②顶点为(0,-1)③对称轴为直线m=1④与轴的交点坐标系为(1,0)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 平行于x轴的直线与抛物线y=a 的一个交点坐标为(−1,2),则另一个交点坐标为( )
人教版九年级数学第二十二章二次函数考点例析(三)---抛物线y=a(x-h)^2+k和y=ax^2+bx+c的图像和性质
抛物线y=a +k和y=a 的图像和性质
一、学习目标
1．会画出y=a +k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质。
2．掌握把抛物线y=a 平移至y=a +k的规律。
3. 能通过配方把二次函数y=a 化成y=a +k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标.
二、知识精讲
知识点1：二次函数y=a +k的图象和性质
归纳．
2yax y=a
+k
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
最值 0a时，当x＝__时，
y有最大值为 ；
0a时，当x＝___时，
y有最 值为 ． 0a时，当x＝__时，
y有最 值为 ；
0a时，当x＝___时，
y有最 值为 ．
增减性 当0a时
当0a时
因此，
把抛物线2yax向 _____平移h个单位，向 ________平移k个单位，可以得到抛物线2()+yaxhk。
【例1】巳知函数y=-3 ，y=-3 ，y=-3 -1，
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=-3 得到抛物线y=-3 和抛物线y=-3 -1；
(4)试讨论函数y=-3 -1的性质。
．
【例2】（1）函数y=-3 -1的图象可由y=-3x2的图象沿x轴向 平移
_____个单位再沿y轴向 平移 个单位得到；对称轴是______,顶点坐标是 ______；当x_________时，y随着x的增大而_______。
必刷题《22.1.3_课时2_二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质》刷基础练习
《22.1.3 课时2 二次函数 y=a(x-h)²的图像和性质》刷基础
题型1 二次函数y=a(x-h)²的图像
1.[2019天津蓟州区期中]抛物线y=-3（x+1）2不经过的象限是（ ）
A.第一、二象限
B.第二、四象限
C.第三、四象限
D.第二、三象限
2.在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.在同一坐标系中画出下列函数的图象，观察抛物线，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标及对称轴两侧图象的增减性.
（1）y=-x2；（2）y=-（x+2）2；（3）y=-（x-1）2.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=-x2 … …
y=-(x+2)2 … …
y=-(x-1)2 … …
题型2 二次函数y=a(x-h)²的性质
4.关于x的二次函数y=2（x-3）2与y=-2（x-3）2的性质中，下列说法错误的是（ ）
A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.顶点坐标相同
D.当x<3时，y=2（x-3）2随x的增大而减小；y=2（x-3）2随x的增大而增大
5.二次函数y=3（x-5）2的图象上有两点P（2，y1），Q（6，y2），则y1和y2的大小关系是__________.
6.[2019河南洛阳模拟]已知二次函数y=2（x-h）2的图象上，当x>3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是__________.
7.[中]已知抛物线y=a（x-h）2，当x=2时，有最大值，且抛物线过点（1，-3）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；
（3）求抛物线与y轴的交点坐标.
题型3 二次函数y=a(x-h)²的图像的平移
8.[2020安徽合肥瑶海区期中]抛物线y=x2+1经过平移得到抛物线y=（x+1）2，平移的方法是（ ）
人教版数学九年级上册22 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质导学案
第二十二章二次函数
知人者智，自知者明。《老子》
原创不容易，【关注】，不迷路！
22.1.3二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质
第2课时二次函数y=a(x－h)2的图象和性质
学习目标：1.会画二次函数y=a(x－h)2的图象.
2.掌握二次函数y=a(x－h)2的性质.
3.比较函数y=ax2与y=a(x－h)2的联系.
重点：会画二次函数y=a(x－h)2的图象.
难点：掌握二次函数y=a(x－h)2的性质并会应用其解决问题.
一、知识链接
1.说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
2.二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系？
3.函数21(2)2yx的图象，能否也可以由函数212yx平移得到？
二、要点探究
探究点1：二次函数y=a(x－h)2的图象和性质
引例在同一直角坐标系中，画出二次函数212yx与21(2)2yx的图象．
根据所画图象，填写下表：
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=12x2
y=12（x-2）2
自主学习
试一试画出二次函数2112yx，2112yx的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
想一想通过上述例子，函数y=a(x－h)2的性质是什么？
要点归纳：二次函数y=a(x－h)2(a≠0)的性质
当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，y有最小值为0.
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当a＞0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，0)，当x=h时，y有最大值为0.
当x＜h时，y随x的增大而增大；x＞h时，y随x的增大而减小.
典例精析
例1已知二次函数y＝(x-1)2
（1）完成下表；
x … …
y … …
（2）在如图坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
第11讲二次函数y=a(x-h)^2 k的图像及性质-人教版暑假班九年级数学上册教学案(教育机构专用)
教之以简，用之以丰 圆梦堂文化培训学校精品班教案 第 11 讲
教学主管 检查日期
辅导科目 数学 就读年级 初二升三 教师姓名
课 题 khxay2的图像及性质
授课时间 备课时间
教学目标
掌握khxay2的图像级性质；掌握khxay2图像的由来
重、难点 掌握khxay2和2axy的关系
教学内容
要点1 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1. 二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象是一条 ，其对称轴是 轴，顶点坐标为 .
2. 抛物线y＝ax2＋k，当a>0时，开口向 ，顶点是它的最
点，在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ；当a<0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 .
要点2 二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象之间的平移
当k>0时，y＝ax2＋k是将y＝ax2的图象向上平移 个单位得到的；当k<0时，y＝ax2＋k是将y＝ax2的图象向 平移|k|个单位得到的.
要点3 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
1. 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象是一条 ，其对称轴是 ，顶点坐标为 .
教之以简，用之以丰 2. 抛物线y＝a(x－h)2，当a>0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ；当a<0时，开口向 ，顶点是它的最
《二次函数y=a(x-h)2的图象与性质》评课稿
《二次函数y=a（x-h）²的图象与性质》评课稿
授课人
评课人
《二次函数y=a（x-h）²的图象与性质》评课稿
聆听了周老师的课。下面就周老师执教的《二次函数y=a（x-h）²的图象与性质》这一课谈谈自己的看法。
周老师这堂课紧凑有序，学生首先复习特殊系数的二次函数和图象的性质，包括增减性、开口方向、最值问题。在自主探究环节，周教师给出二次函数解析式，学生通过列表法将图象刻画出来并写出其性质。
本节课重点研究三个函数之间的平移关系：从三条不同函数解析式开始探究三个图象之间的相互转化关系，重点引导学生结合图象通过平移的方式进行变换。教师引导学生进行及时归纳，使用列表格的方法从开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的增减性、最值五个方面对比学习二次函数的图象与性质。
当然，数学是一门逻辑性较强的科目，任何好的理念和设计在实际的教学过程中总会留下一些遗憾：有学生不太认识对称轴，它是一个常函数，是一条直线。
22.1.3二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质(教案)
22.1.3 二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第22章第1节第3部分，主要探讨二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质。教学内容包括：
1. 二次函数y=a(x-h)^2的标准形式及其特点；
2. 二次函数y=a(x-h)^2图象的绘制方法，包括顶点、对称轴、开口方向等；
3. 二次函数y=a(x-h)^2的性质，如最值、单调性、奇偶性等；
4. 通过实例分析，掌握二次函数y=a(x-h)^2在实际问题中的应用。
本节课将帮助学生深入理解二次函数的图象和性质，为后续学习二次函数的顶点式、一般式等打下基础。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1. 培养学生运用数学知识分析、解决问题的能力，通过二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质的学习，使学生能够运用数学语言描述实际问题，建立数学模型，提高数学应用意识；
2. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力，通过绘制和分析二次函数图象，让学生感知数学图形的直观性，发展几何直观；
3. 培养学生的数据分析观念和推理能力，通过对二次函数性质的研究，使学生能够发现数据规律，进行合理解释，形成数学推理；
4. 培养学生的团队合作意识和表达能力，通过小组讨论、展示交流，提高学生的沟通能力和协作能力。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 函数解析式y=a(x-h)^2的理解：重点讲解a、h的几何意义，即a代表抛物线的开口大小和方向，h代表顶点的横坐标。
- 抛物线的图象绘制：重点掌握如何根据给定的a、h值绘制抛物线，包括顶点、对称轴、开口方向等。
- 抛物线的性质：重点掌握抛物线的最值（最大值或最小值），以及其单调性、奇偶性等。
- 实际应用：重点通过实例，让学生学会将二次函数应用于解决实际问题。
举例：讲解a的取值对抛物线开口的影响时，可以对比a>0和a<0的抛物线图象，强调a的符号决定了抛物线的开口方向。
二次函数y=a(x-h)^2的图象和性质(2)
二次函数2yaxh的图象和性质
年级： 班级： 姓名： 学号：
目标 知识与技能 会画二次函数2)(hxay的图象；掌握二次函数2)(hxay的性质，并会应用.
过程与方法 经历画图像、观察、比较等过程，发现2)(hxay的性质.
情感、态度与价值观 培养学生观察、比较、分析、归纳问题的能力，养成类比分析的习惯。
重点：掌握二次函数2)(hxay的性质，并会应用.
难点：掌握二次函数2)(hxay的性质.
导学过程
环节 导学任务及要求
自主
学习
1.将二次函数22xy的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为。
2.将抛物线142xy的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为。
二、自主学习
画出二次函数21(1)2yx，21(1)2yx的图象；
1.列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
21(1)2yx … …
21(1)2yx … …
2.描点连线
交流
展示
探究
深化
训练
为能
归纳：（1）21(1)2yx的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是。图象有最点，即x=时，y有最值是；
在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x时y随x的增大而。
21(1)2yx可以看作由212yx向平移个单位形成的。
（2）21(1)2yx的开口向，对称轴是直线，顶点坐是，图象有最点，即x=时，y有最值是；
在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x时y随x的增大而。
21(1)2yx可以看作由212yx向平移个单位形成的。
三、知识梳理--抛物线2)(hxay特点：
1.当0a时，开口向；当0a时，开口；
2. 顶点坐标是；3. 对称轴是直线。
（二）抛物线2)(hxay与2yax形状相同，位置不同，2)(hxay是由2yax平移得到的。（填上下或左右）
22.1.3二次函数y=a(x-h)2_的图象和性质教学设计.13二次函数y=a(x-h)2的图像和性质教学设计
第22.1.3课 第 2课时 二次函数y=a（x-h)2的图象和性质
教学目标：
1、会画二次函数y=a（x-h)2 图象
2、理解 y=a（x-h)2的性质以及 y=a（x-h)2的图象与y=ax2的图象的关系
重点：y=a（x-h)2的图象以及性质
难点：y=a（x-h)2的图象性质以及与y=ax2的图象的关系
环节 内容 教师活动 学生活动 个性复备
一、引题
知识回顾：
1. y=ax2+k的图象是通过y=ax2的图象怎样平移得到的？
2.说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标
(1) y=5x2
(2) y=-3x2 +2
(3) y=8x2+6
(4) y= -x2-4
3.下面，我们探究二次函数 y = a﹙x-h﹚2的图象和性质,以及与y=ax2的联系与区别.
提出问题：引导学生回忆并作答
出示题目并检查学生的做题情况，给以适当指导
回顾上节学过的二次函数y=ax2+k的图象及性质
回答问题1、2、3。
二、明确学习目标
出示本课学习目标 默读目标。
三、自主学习
1.自学课本33“探究”---34的内容，画出二次函数
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
2.根据你画的图象思考讨论下列问题：
（1）y=a（x-h)2的图象与y=ax2的图象有何联系
（2）二次函数 y=a（x-h)2的图象有什么性质？
（3）y=a（x-h)2的图象与y=ax2的图象有何异同？
二次函数y = a﹙x-h﹚2的性质:
（1）开口方向：
当a＞0时，开口向上;
当a＜0时，开口向下；
（2）对称轴：
对称轴直线x=h;
（3）顶点坐标：
顶点坐标是（h，0）
（4）函数的增减性：
当a＞0时，对称轴左侧(x ﹤ h时)y随x增大而减小，对称轴右侧(x ≥ h时)y随x增大而增大；
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
一、情境导入
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．从如图所示的直角坐标系中，你能得到函数图象解析式吗？
二、合作探究
探究点：二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
【类型一】y＝a(x－h)2的图象与性质的识别
已知抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a，h的值．
解：∵抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h＝－2.又∵抛物线y＝a(x＋2)2经过点(－4，2)，∴(－4＋2)2·a＝2，∴a＝12.
方法总结：抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴是直线x＝h.
【类型二】二次函数y＝a(x－h)2增减性的判断
对于二次函数y＝9(x－1)2，下列结论正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＞－1时，y随x的增大而增大
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
解析：由于a＝9＞0，抛物线开口向上，而h＝1，所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.
【类型三】确定y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系
能否向左或向右平移函数y＝－12x2的图象，使得到的新的图象过点(－9，－8)？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
解：能，设平移后的函数为y＝－12(x－h)2，将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－12(－9－h)2，所以h＝－5或h＝－13，所以平移后的函数为y＝－12(x＋5)2或y＝－12(x＋13)2.即抛物线的顶点为(－5，0)或(－13，0)，所以向左平移5或13个单位．
方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移h个单位后，a不变，括号内变“减去h”；若向左平移h个单位，括号内应“加上h”，即“左加右减”．