线性代数 线性代数方程组的解
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计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法
“回代”解得
xn
bn ann
xk
1 akk
[bk
n
akj x j ]
j k 1
其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1
xi
b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i
2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )： 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)
线代方程组通解的求法
线代方程组通解的求法
求解一般线性代数方程组
1、确定系数矩阵：系数矩阵是由方程的系数组成的矩阵，一般而言，每个方
程的系数组成一行，系数矩阵是一个m行n列的矩阵，其中m是方程的个数，n
是自由变量的个数。
2、解决方程组等号两边：将等式变形，把不同变量名因为统一放在一边，其
他变量全放在另一边，注意保持符号一致，形成python和系数的增广矩阵进行计算。
3、选择求解方法：一般来说，可以通过三种方法来求解一般线性代数方程组。
4、计算出未知量：根据上述线性代数的三种方法，解出增广矩阵的解，计算
出相应的未知量。
5、检查结果：求得的解满足给定的线性方程组，如果有什么不正确的地方，
及时调整，重新求解，直到求解正确。
线性代数方程组的解法
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
end
LU分解
求A的LU分解（L是下三角矩阵，U是上三角矩阵）
1 1 1 1 3 4 3 4
LU分解
性质1 设向量
, xn ) 且 xk 0 T 则存在唯一的下三角阵 Lk I lk ek ,满足 x ( x1 , x2 ,
T
Lk x ( x1 ,
第三章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
nn
det( A) 0
Di xi D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
Gauss消去法的消元过程算法
for for
j 1: n 1
i j 1: n
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
Ly b Ux y
二、 高斯消去法
线性代数线性代数方程组的解
βk+1,⋯, βm 中至少有一个不等于零 .
不妨设 βk+1 ≠ 0 .
α11 α12
⋯α1n
β1
此时第 k+1 个方程变成 0x1 + 0x2 +⋯+ 0xn = βk+1 ≠ 0
这是不可能的．
.........................
αk1 αk 2
⋯αkn βk
a11 a12 ⋯a1n
系数矩阵
A
=
a21 a22 ⋯a2n .....................
am1 am2 ⋯amn
增广矩阵:
a11
a12
⋯ a1n
b1
A
=
a21 a22 ⋯a2n .....................
b2
+
1 5
t2
x2
=
t1
x3
=
−
3 10
t2
x4 =
t2
x1
−2
1/5
或
x2
x3
=
t1
1 0
+
t2
0 −3 /10
x4 0 1
通解表达式中包含两个任意常数 t1 , t2 . 令
(3) 当 k = 3 时，方程组成为
3x1 + x2 + x3 = 5
3x1
+ 2x2 x2 +
07线性代数方程组的解法
总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k
n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同
解 (1)
方
程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)
11 1
12 2
1n n
1
b x 22 2
b2nxn g 2
称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1
0
1
L m 0 2
32
1
0 mn2 0
m a a
(2) (2)
i2
i2
22
i 3,4, ,n
第三章线性代数方程组的直接解法
由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设
法通消常去把方按程照组的先系消数元矩,阵后A回的代主两对个角线步下骤的求元解素线,而性 将方A程x=组b化的为方等法价称的上为三高角斯形（方G程a组us,s然）后消再去通法过。回
代过程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩 阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形 矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较 简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出 未知变量 xn , xn1 , , x1 这种求解上三角方程组的 方法称为回代, 通过一个方程乘或除以某个常数,以 及将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数,最 终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过程称为 消元,然后再回代求解。
3.2.2 高斯消去法算法构造 我们知道,线性方程组(3.1)用矩阵形式表示为
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2n
ann
x1 b1
x
2
b2
xn bn
每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。
整个过程分为消元和回代两个部分。
（1）消元过程 第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将 方程 ①乘上 1 加到方程 ③上去,这样就消去
2
了第2、3个方程的 x1 项,于是就得到等价方程 组
2x1 x2 3x3 1
2
x1
x2
3x3
1
4x2 x3 2
5 2
x2
3 2
x3
13 2
线性代数方程组的解法
线性代数方程组的解法涉及直接解法和迭代解法两大类。直接解法如高斯消去法，能在有限步内求得精确解，实际计算中因舍入误差只能得到近似解。高斯消去法的基本思想是先消元，将方程组化为等价的上三角形方程组，然后进行回代求解。举例来说，对于给定的三次线性方程组，首先通过消元过程将增广矩阵转化为上三角形形式，然后依次回代求解未知量。练习部分还提供了一个具体的三次线ห้องสมุดไป่ตู้方程组求解示例，通过顺序高斯消去法的步骤，展示了如何逐步化简并求解方程组，最终得到未知量的解。该方法适用于一般情况下的线性方程组求解，通过统一公式和逐步消元回代的过程，能够高效地解决线性代数中的方程组问题。
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
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当 r ( A) > r ( A) 时，
未知数表示． 未知数表示． 通解表达式中就出现 n-k 个任意常数． 个任意常数．
β k +1 , ⋯, β m 中至少有一个不等于零 . α11 α12 ⋯α1n β1 不妨设 β k +1 ≠ 0 . ......................... 此时第 k+1 个方程变成 α k 1 α k 2 ⋯α kn β k 0x1 + 0 x2 + ⋯ + 0 xn = β k +1 ≠ 0 0 0 ⋯ 0 β k +1 这是不可能的． 这是不可能的． ..................... 因此方程无解． 因此方程无解． 0 0 ⋯ 0 βm
4.2.1
Байду номын сангаас齐次线性代数方程组
定理 3 (1) 齐次线性方程组有非平凡解 齐次线性方程组有非平凡解的充分必要条件是 有非平凡解的充分必要条件是 r ( A) < n （系数矩阵的秩小于未知数的个数） 系数矩阵的秩小于未知数的个数） (2) 若齐次线性方程组有非平凡解， 齐次线性方程组有非平凡解，则通解中含有
四个未知数， 四个未知数，两个方程. 选 x2, x4 为自由未知量， 为自由未知量，
r ( A) = 2, n = 4 . 方 程 组有非 平 凡 解 .
令 x2 = t1 , x4 = t2 .
1
1 x1 = −2t1 + 5 t2 x2 = t1 则有 3 x = − t2 3 10 x = t2 4
通解表达式中包含两个任意常数 t1 , t2 . 令
−2 1/ 5 x1 1 0 x 2 . , α2 = x = , α1 = 0 −3/10 x3 0 1 x4
系数矩阵
β = ( β1 β 2 ⋯ β m )T
原方程组 Ax=b 化为同解方程组
当 r ( A) = r ( A) = k 时， 增广矩阵化为 α11 α12 ⋯α1n β1 a11 a12 ⋯ a1n b1 ......................... a21 a22 ⋯ a2 n b2 α k 1 α k 2 ⋯α kn β k ∼ A= ..................... 0 0 ⋯ 0 β k +1 am1 am 2 ⋯ amn bm ..................... r ( A) = r ( A) 可以推出 0 0 ⋯ 0 βm β k +1 = ⋯ = β m = 0 . 当 r ( A) = r ( A) = k = n 时，
(2) 若 r ( A) = r ( A) = n ， 则非齐次方程组有惟一解 .
(3) 若 r ( A) = r ( A) < n ， 则非齐次方程组有无限多解 ,
通解表达式中含有 n-r(A) 个任意常数.
(4) 若 r ( A) > r ( A) ， 则非齐次方程组无解 .
2
将系数矩阵 A 变成梯形矩阵 N 1
下面研究这样的问题： 下面研究这样的问题： ①在什么条件下非齐次方程组有解？ 在什么条件下非齐次方程组有解？ ②怎样求解？ 怎样求解？ ③解的表达式具有什么形式？ 解的表达式具有什么形式？
系数矩阵的秩为3，未知数的个数也 是3，所以方程组只有平凡解： 所以方程组只有平凡解： x1 0 x2 = 0 x3 0
方程组 N1 x = β 的系数矩阵是 n × n 可逆矩阵 . −1 存在惟一解： 存在惟一解： x = N1 β
N1 x = β
只需要讨论这个方程组就可以了． 只需要讨论这个方程组就可以了．
当 r ( A) = r ( A) = k < n 时， 方程组N1 x = β 左端的n -k
个未知数移到方程右端． 个未知数移到方程右端． 移到右端的未知数分别取值
齐次方程组一定有解（ 齐次方程组一定有解（至少有平凡解）． 至少有平凡解）． 但是一般情形， 但是一般情形，非齐次方程组未必有解． 非齐次方程组未必有解． 如果非齐次方程组有解， 如果非齐次方程组有解，则称该方程组相容 则称该方程组相容． 相容． 定理4 (1) 若 r ( A) = r ( A) ， 则非齐次方程组 相容 .
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 a x + a x + ⋯ + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ..................................... am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bm
或
x1 −2 1/ 5 1 x 2 = t +t 0 x3 1 0 2 −3 /10 0 1 x4
例5：求解齐次线性方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 3x + 6 x + 10 x = 0 1 2 3 2 x1 + 5 x2 + 7 x3 = 0 x1 + 2 x2 + 4 x3 = 0
k = n − r ( A) 个任意常数.
考察 n 个未知数的齐次线性代数方程组： 个未知数的齐次线性代数方程组：
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = 0 ..................................... am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = 0 a11 a12 ⋯ a1n 系数 a21 a22 ⋯ a2 n 方程组的 Ax = 0 矩阵 A = 矩阵表示 ..................... am1 am 2 ⋯ amn
例5
对方程组
kx1 + x2 + x3 = 5 3x1 + 2 x2 + kx3 = 18 − 5k x2 + 2 x3 = 2
问k取何值时方程组有惟一解， 取何值时方程组有惟一解，无限多解或无解. 无限多解或无解. 在无限多解时求出通解.
解一 利用行初等变换， 利用行初等变换，可把讨论相容性与 求解过程结合进行： 求解过程结合进行： 3 2 k 18 − 5k 5 k 1 1 2 A = 3 2 k 18 − 5k r~ 0 1 2 12 r23 k 1 1 5 2 0 1 2 3 0 k − 4 14 − 5k 3 0 k −4 14 − 5k ~ 0 1 2 2 ~ 0 1 2 2 r21 ( −2) k r13 ( − ) r23 ( −1) 3 3 4 1 2 5 2 14 k 0 −1 0 0 k − k − 1 k − k + 3 3 3 3 3 4 1 2 (1) 当 k − k − 1 ≠ 0 时，即当 k ≠ 1 并且 k ≠3 3 3
b1 b b= 2 ⋮ bm
Ax = b
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n A= 系数矩阵 ..................... am1 am 2 ⋯ amn a11 a12 ⋯ a1n b1 增广矩阵: a21 a22 ⋯ a2 n b2 A= ..................... am1 am 2 ⋯ amn bm
则方程组通解可表示为： 则方程组通解可表示为： x
= t1 α1 + t2α2 , 其中
1 3 A= 2 1
2 3 6 10 用行初等变换将系数 5 7 矩阵变为梯形矩阵 2 4
α1 ,α2 称为齐次方程组的基础解系。 称为齐次方程组的基础解系。
1 3 A= 2 1 1 0 0 0
t1 , t2 ,⋯, tn −k
左端的未知数由右端的
α11 α12 ⋯α1n β1 ......................... α k 1 α k 2 ⋯α kn β k 0 0 ⋯ 0 β k +1 ..................... 0 0 ⋯ 0 βm
证明 对于增广矩阵进行行初等变换 对于增广矩阵进行行初等变换， ， a11 a12 ⋯ a1n b1 a21 a22 ⋯ a2 n b2 A= ..................... am1 am 2 ⋯ amn bm
A ~ [ N1 ⋮ β ]
4.2 线性代数方程组的解
第二节 线性代数方程组的解
齐次方程组 非齐次方程组
一个存在解的线性代数方程组称为是相容的 一个存在解的线性代数方程组称为是相容的, 相容的, 否则就是不相容或矛盾方程组. 否则就是不相容或矛盾方程组. 利用矩阵的概念可 理性地描述一般齐次[ 理性地描述一般齐次[线性] 线性]方程组的通解以及非齐 次方程组相容的条件和相容线性代数方程组解的结 构.
证明
例4：求解齐次线性方程组 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 0 2 x1 + 4 x2 + 8 x3 + 2 x4 = 0 3x + 6 x + 2 x =0 1 2 3
1 2 4 1 用行初等变换将系数 2 4 8 2 系数矩阵 A = 矩阵变为梯形矩阵 3 6 2 0 1 1 2 4 1 1 2 4 0 0 −10 −3 r12 (−2) 0 0 0 0 r23 r13 (−3) 0 0 0 −10 −3 0 0 0