高一数学弧度制2
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1.1.2 弧度制
(2)若和的终边关于y轴对称，则 ( B )
2 B. ( 2k 1) ( k Z ) C . 2 k ( k Z ) D. 2k A.
2
(k Z )
16
课堂小结
1. 什么叫1弧度角? 2. 任意角的弧度的定义.
1.2 (2)由弧长公式 L= r=10 =6 米 2
因此轮周上一点每秒所转过的弧长为6π米。
22
9、如图，扇形AOB的面积为4cm2，周长为10cm， 求扇形的中心角α及AB的长。
解：设扇形半径为r，
A
1 2 r =4 得2 , 2r+ r=10
O
1 = 或8，r=4或1 2 1 = ，r=4 =8>2 舍去 2 1 AB=2r sin =8sin 2 4
1弧度记做1rad. 在实际运算中， 常常将rad单位省略．
1rad
5
思 考：
1. 一定大小的圆心角所对应的弧长与 半径的比值是否是确定的？与圆的半径 大小有关吗？
6
弧度制的性质
①半圆所对的圆心角为
r
r
.
2 r ②整圆所对的圆心角为 2 . r ③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一个负数．
8
常规写法 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
写成多少的形式，不必写成小数．
② 弧度与角度不能混用．
9
特殊角的弧度数
角 度 弧 度
0 30 45 60 90 120 135 150180 270 360
0
6
4
2 3 5 3 2 3 4 6
3 2 2
7.1.2弧度制课件高一上学期数学(2)
C角度化弧度
弧度化角度
名师点睛
知识点3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式
度量制
为度数
为弧度数
扇形的弧长
扇形的面积
名师点睛 两者相比较，弧度制下的扇形的弧长公式和面积公式具有更为简单的形式，其记忆和应用更易操作，如果已知角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这样可避免计算过程或结果出错.
13.《乐府诗集》辑有晋诗一组,属清商曲辞吴声歌曲,标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰:叠扇放床上,企想远风来.轻袖佛华妆,窈窕登高台.诗里的叠扇,就是折扇.一般情况下,折扇可看作
14.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”“弦”和“矢”的定义，“弧田”（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
苏教版 数学 必修第一册
【课标要求】1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
要点深化·核心知识提炼
知识点1. 度量角的两种单位制
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
0
【题型二】用弧度制表示角的集合
角度1 用弧度制表示终边相同的角、象限角
ABD
角度2 用弧度制表示区域角
B
A. B. C. D.
C
A.2 B.4 C.6 D.8
4.（多选题）[2023淮安测试] 下列说法正确的是( )
AB
B层 能力提升练
D
C
A. B. C. D.
题型分析·能力素养提升
5.1.2弧度制教学课件高一上学期数学人教A版(2019)
弧度制
1. “1弧度”角的定义 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1
弧度角． 弧度单位用符号”rad”表示,读作弧度.
2. 弧度的表示： (1)几何表示
在单位圆O(半径为1 的圆) 中,
若 AB 的长为1，则AOB 1rad .
(2)代数表示 在单半径为r 的圆 中, 设弧长为l
所对的圆心角为rad，则 ① | | l
解：(1)2230
22.5
45
2 180
8
(2) 210 210 7
180 6
(3)1200 1200 20
180 3
180 rad
1 rad , 180
1rad (180 )
2.把下列弧度化成角度：
(1) ；(2) 4 ；(3) 3 .
12
3Байду номын сангаас
10
解：(1) 1 180 15；
(1)精确值； (2)近似值(精确到0.001)。 180 rad
解：(1) 3.14 rad 314 rad
100
1rad (180 )
314 (180 )
100
57.30
( 2826 )
5 (2) 3.14 rad 3.14 (57.30 )
179.922
说明： (1)若无特别要求，互化结果一般取精确值，不将π化成小数； (2)弧度单位可省略不写，如
思考1：回忆一下，在以前，角的大小我们一般用什么单位制 来度量？它的规定是怎样的？
角度制。 其基本单位是“度(°)”，其下还有“分(')”和“秒(″)”
1度角：周角的 1 360
度(°)，分(')，秒(″)的关系是：
5.1.2弧度制课件-高一上学期数学人教A版(4)
大小为rl rad，故其面积为 S＝rl×r22＝12lr，将 l＝|α|r 代入上式可得 S＝12lr ＝12|α|r2，此公式称为扇形面积公式．
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第五章 三角函数
数学（必修·第一册 RJA）
想一想：(1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形 式？
(2)弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了 什么数学思想？
D 正确
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第五章 三角函数
数学（必修·第一册 RJA）
知识点 2 弧度数 一 般 地 ， 正 角 的 弧 度 数 是 一 个 __正__ 数 ， 负 角 的 弧 度 数 是 一 个 _负___
数，零角的弧度数是__0_． 如果半径l为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝
对值是|α|＝__r__． 想一想：(1)建立弧度制的意义是什么？ (2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书
212rr＋ l＝l＝3，8，解得rl＝＝23，或lr＝＝61.，
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第五章 三角函数
数学（必修·第一册 RJA）
∵α 是扇形的圆心角的弧度数，∴0<α<2π. 当 r＝3，l＝2 时，α＝rl＝23，符合题意； 当 r＝1，l＝6 时，α＝rl＝61＝6，符合题意． 综上所述，这个扇形的圆心角的弧度数为23或 6.
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第五章 三角函数
数学（必修·第一册 RJA）
题型四 角度和弧度混用致错 典例4 求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[错解一] [错解二]
αk·360°＋330°<α<k·360°＋60°，k∈Z}． α|2kπ－30°<α<2kπ＋60°，k∈Z.
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第五章 三角函数
数学（必修·第一册 RJA）
想一想：(1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形 式？
(2)弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了 什么数学思想？
D 正确
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第五章 三角函数
数学（必修·第一册 RJA）
知识点 2 弧度数 一 般 地 ， 正 角 的 弧 度 数 是 一 个 __正__ 数 ， 负 角 的 弧 度 数 是 一 个 _负___
数，零角的弧度数是__0_． 如果半径l为r的圆的圆心角α 所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝
对值是|α|＝__r__． 想一想：(1)建立弧度制的意义是什么？ (2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书
212rr＋ l＝l＝3，8，解得rl＝＝23，或lr＝＝61.，
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第五章 三角函数
数学（必修·第一册 RJA）
∵α 是扇形的圆心角的弧度数，∴0<α<2π. 当 r＝3，l＝2 时，α＝rl＝23，符合题意； 当 r＝1，l＝6 时，α＝rl＝61＝6，符合题意． 综上所述，这个扇形的圆心角的弧度数为23或 6.
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第五章 三角函数
数学（必修·第一册 RJA）
题型四 角度和弧度混用致错 典例4 求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[错解一] [错解二]
αk·360°＋330°<α<k·360°＋60°，k∈Z}． α|2kπ－30°<α<2kπ＋60°，k∈Z.
高中数学 1-1-2弧度制和弧度制与角度制的换算课件 新人教B版必修4
(2010·新余市高一下学期期末测试)在单位圆中，面积
为1的扇形所对圆心角的弧度数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 设扇形的弧长为l，由题意，
得 S＝12lR＝12l×1＝1，∴l＝2，
∴扇形所对圆心角的弧度数为Rl ＝21＝2.
[例4] 已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多 大时，它有最大面积？
[分析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，则扇形面积可 表示为 S＝12lr，l 与 r 之间还要满足周长为 20，即 l＋2r＝ 20，所以 l＝20－2r，这样 S 就能表示成关于 r 的二次函数， 再利用二次函数的性质求最值即可．
[解析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，由已知条件可 知：l＋2r＝20，即 l＝20－2r.由 0<l<2πr，得 0<20－2r<2πr， ∴π1＋01<r<10.
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式 为：β＝2kπ＋α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}．
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合． [解析] 第一象限角的集合：
S1＝α2kπ<α<π2＋2kπ，k∈Z
；
第二象限角的集合：
S2＝απ2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
rad≈0.01745rad，
1rad＝ (18π0)°≈57.3°＝57°18′.
3．在弧度制下，弧长公式为 l＝θr，扇形面积公式为
S＝
1 2lr .
重点：弧度的概念，角度与弧度的换算，弧长公式． 难点：弧度概念的理解及角度与弧度的换算和弧度制 下弧长与扇形面积公式． 1．关于弧度的理解，主要明确以下几点： (1)和角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量 角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位 制． (2)根据圆心角定义，对于任何一个圆心角α，所对弧 长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数．因此，弧 长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变 化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准．
弧度制 高一数学课件(北师大版2019必修第二册)
1.３弧度制
温故而知新:
• 1、角度制的定义 • 将圆周360等分，每一等分的弧所对的圆心角为1度.这种
用度做单位来度量角的制度叫角度制。
nl
1 °
R°
2、弧长公式及扇形面积公式
l n R , S n R2 1 lR
180
360 2
1.角度制的定义 规定周角的 1 为1度的角，这种用度作单位来度
[0, )
2
(, )
2
弧长公式及扇形面积公式
l= —n—πR—
180
n° l
R
S= —nπ—R2—
360
圆的弧长公式及扇形面积公式
由︱α︱=
l r
得
L =︱α ︱r S = —12 L r
r
αl
O
= —12 ︱α ︱r2
(1). 弧长公式： (2). 扇形面积公式
R
S R
例4．求图中公路弯道处弧AB的长（精确到
所以 α=4.
6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的 角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º， 所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º. 合 5
36
7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所 在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？ 合多少度？扇形的面积是多少？
l r
=2π弧度
B
l=2r
l=2 π r
2弧度
2π弧度
Or A
O r A(B)
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的
长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对值是
l r
= 3，
即∠AOቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = - l = -3弧度. r
温故而知新:
• 1、角度制的定义 • 将圆周360等分，每一等分的弧所对的圆心角为1度.这种
用度做单位来度量角的制度叫角度制。
nl
1 °
R°
2、弧长公式及扇形面积公式
l n R , S n R2 1 lR
180
360 2
1.角度制的定义 规定周角的 1 为1度的角，这种用度作单位来度
[0, )
2
(, )
2
弧长公式及扇形面积公式
l= —n—πR—
180
n° l
R
S= —nπ—R2—
360
圆的弧长公式及扇形面积公式
由︱α︱=
l r
得
L =︱α ︱r S = —12 L r
r
αl
O
= —12 ︱α ︱r2
(1). 弧长公式： (2). 扇形面积公式
R
S R
例4．求图中公路弯道处弧AB的长（精确到
所以 α=4.
6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的 角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º， 所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º. 合 5
36
7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所 在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？ 合多少度？扇形的面积是多少？
l r
=2π弧度
B
l=2r
l=2 π r
2弧度
2π弧度
Or A
O r A(B)
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的
长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对值是
l r
= 3，
即∠AOቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = - l = -3弧度. r
5.1.2弧度制课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
探究角度3
区域角的表示
[例4] 如图所示.
(1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;
解:(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是
积为
cm2.
解析:因为 150°=150×
所以 l= ×10=
S= lr= ×
= ,r=10,
(cm).
×10=
2
(cm ).
cm,面
= , = ,
解得
或
=
= .
当 r =1,l=8
时,α= =8>2π(舍去),所以 r =4,l=2,
此时α= = (r ad).如图可知 AB=2·r·sin =2×4×sin =8sin (cm).
即时训练3-1:已知扇形AOB的周长为10 cm,求该扇形的面积的最大值及取
5.1.2弧度制
一、复习回顾
1、1°的角是如何定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
2、在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长如何
计算？
n
nr
l 2r
360 180
二、弧度制的定义
※规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
5.1.2 任意角与弧度制(第二课时课件)高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品
S是扇形的面积.
练一练
一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这扇
形的面积为( )
A.2R2
B.2
C.1 R2
2
D.R2
答案：D
3 弧度制的应用
例4.利用计算器比较sin 1.5和sin 85°的大小.
解：由计算器 MO 2MOD
DE
E
sin 1.5 = 0.997 494 986
MO DE sin 85 ......
答案：D
3 弧度与角度的换算
思考：一个圆周角以度为单位度量是多少度，以弧 度为单位度量是多少弧度？ 角度与弧度有怎样的换算关系？
l=2πr
Or
3 弧度与角度的换算
思考：1°等于多少弧度，1 rad等于多少度？
练一练 根据度与弧度的换算关系，填写下表中特殊角的度数
或弧度数.
角
度 0 30 60 120 135
3 弧度制的应用
例6. 如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，质点P 从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P在1 秒钟内转过的角度为θ(0<θ<π)，经过2秒钟达到第三象限， 经过14秒钟后又恰好回到出发点A,求θ. 解：
练一练
已知扇形的周长为40，求圆心角为多大时，此 扇形的面积取得最大值.
MOD E1
= 0.996 194 698.
所以 sin 1.5 > sin 85°.
练一练
5 弧度的角所在的象限为( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：D
3 弧度制的应用
例5. 已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角 的弧度数.
练一练
一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这扇
形的面积为( )
A.2R2
B.2
C.1 R2
2
D.R2
答案：D
3 弧度制的应用
例4.利用计算器比较sin 1.5和sin 85°的大小.
解：由计算器 MO 2MOD
DE
E
sin 1.5 = 0.997 494 986
MO DE sin 85 ......
答案：D
3 弧度与角度的换算
思考：一个圆周角以度为单位度量是多少度，以弧 度为单位度量是多少弧度？ 角度与弧度有怎样的换算关系？
l=2πr
Or
3 弧度与角度的换算
思考：1°等于多少弧度，1 rad等于多少度？
练一练 根据度与弧度的换算关系，填写下表中特殊角的度数
或弧度数.
角
度 0 30 60 120 135
3 弧度制的应用
例6. 如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，质点P 从点A出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P在1 秒钟内转过的角度为θ(0<θ<π)，经过2秒钟达到第三象限， 经过14秒钟后又恰好回到出发点A,求θ. 解：
练一练
已知扇形的周长为40，求圆心角为多大时，此 扇形的面积取得最大值.
MOD E1
= 0.996 194 698.
所以 sin 1.5 > sin 85°.
练一练
5 弧度的角所在的象限为( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：D
3 弧度制的应用
例5. 已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角 的弧度数.
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2、若角、 满足下列条件， 求它们的关系式？ （ 1 ）终边关于x轴对称
2k 1 180 且k Z
2k 1 180 且k Z
（2）终边关于y轴对称
（3）终边互为反向延长线 2k 1 180 且k Z
§4.2 弧度制
我们的目标： 1、理解弧度制 2、掌握公式
3、掌握角度制与弧度制的换算
l R
角度制以周角的360分之一为一个单位,即以 1 360
1 360
为单位.
用度作单位的叫角度制.
把长度等于半径长的弧所对应的圆心角叫做一弧度的角. 这样的圆心角等于1rad 以弧度作单位的叫弧度制 r r
2、例题： （1）把67 30化为弧度； 3 （2）把 化为角度； 5
(3)把下列特殊角化为弧度 数
度
弧 度
0 0 300 450 600 900 120 0 1350 150 0 180 0 270 0 3600
2 3 5 0
6 4 3 2 3 4 6
3 2
2
求: 1. sin ,
7 解： 1480 4 360 40 4 2 40 9 180 9
2、（ 1 ）第三象限角的集合为 ？
4是第几象限角？
（2 ）终边落在如图阴影部 分（包括 边界）的角的集合是？
3 4
y 0
x
5 4
2.解:
1) 2 k ,180 270 a=-4是第2象限角
1、角度制与弧度制：一一对，
零角
负角
零
负实数
任意的满足 0 360 ，换成弧度应该是：
0 2
1、 系： 360 2
rad rad
180
1 rad 0.01745rad 180 180 1rad 57.30 57 18
2、 3、 5、 6的单号
武汉性用品 / yrk391sqz 武汉地处江汉平原东部、长江中游。世界第三大河长江及其最大支流汉江横贯市境中央，将武汉中心城区一分为三 我看见自己在不同的异乡辗转。是孤独的飞鸟，失去了回程的路线，只是在不停地飞，不停地寻找，寻找可以栖息的地方。但是一直不能找到 可以长久停留之所在，每次都只是短暂的停顿，再次启程。飘零太久会习惯，也会非常疲倦，不知道何时才能终结这种浮萍般的状态。 长安，我很好奇你究竟是什么模样。如果我回国，就来找你。 又有一段崎岖的路段，长安从梦境中醒来，身体因为颠簸而起伏。 Anne很少谈论与之邂逅的异国男子，他们只是路过，不曾触摸到她生命的核心。
3 5 2) 2k , 4 4
3、证明:扇形的面积公式 证明:
S 扇 S圆 2 1 1 2 2 r r lr 2 2 2
1 S扇 l r 2
任意的
初中
角度制
角的度量
高中
弧度制
r
r
五、作业 ◎ P12习题4.2
弧度制
瑞昌二中
陈小平
X
1、写出下列关于角的集合 （ 1 ）锐角
0
90
（2） 0 到90 的角 0 （3）第一象限角
90
（4）小于90 的角 0 90
k 360 ,0 90 且k Z
注:弧度制以弧长为r的弧所对应的圆心 角为基本单位.
弧度制
l r
正负
r
l r
r
其中 : 1、l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2r 3、圆心角为周角时，l 2r，则 2 r r 4、圆心角为半角时，l r，则 r
4
2. tan 1.5
2 解: 1. 45 sin sin 45 4 4 2
2. 57.30 1.5 85.95 85 57
tan 1.5 tan 85 57 14.12
1.把 1480 写 成 k的 形 式 ，k z , 其 中0