2020-2021学年数学第一册教师用书：第2章 §4 4.2简单幂函数的图象和性质含解析

2020-2021学年新教材北师大版数学必修第一册教师用书：第2章§4 4.2简单幂函数的图象和性质含解析4.2简单幂函数的图象和性质学习目标核心素养1。

了解幂函数的概念．(重点）2．掌握y＝x，y＝x2,y＝x3，y＝错误!，y＝x错误!的图象与性质．（重点)3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．（重点、难点)1.借助幂函数的图象的学习,培养直观想象素养．2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养．1．幂函数的概念形如y＝xα(α为常数）的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．思考：y＝1错误!是幂函数吗？提示：是．因为它可写成y＝x0（）x≠0的形式．2．幂函数的图象如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x;(2）y＝x错误!；（3)y＝x2;(4）y＝x－1；（5)y＝x3的图象．3．幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0，＋∞)上是增函数．特别地,当α〉1时，幂函数的图象下凸;当0<α<1时，幂函数的图象上凸;（3）α〈0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞）上是减函数．1．已知幂函数f错误!＝kxα的图象过点错误!，则k＋α等于(）A．错误!B．1C．错误!D．2C［由幂函数的定义知k＝1。

又f错误!＝错误!，所以错误!错误!＝错误!，解得α＝错误!，从而k＋α＝错误!.］2．函数y＝x错误!的图象是（)A B C DB［当0<x<1时，x错误!〉x；当x〉1时,x错误!〈x,故选B.］3．已知幂函数f（x)＝(t3－t＋1）x错误!（t∈Z)是偶函数，且在（0，＋∞)上是增加的，则函数的解析式为________．f(x）＝x2［∵f(x）是幂函数，∴t3－t＋1＝1，解得t＝－1或t＝0或t＝1.当t＝0时，f(x）＝x错误!是非奇非偶函数，不满足题意；当t＝1时，f（x)＝x－2是偶函数，但在(0,＋∞）上是减少的,不满足题意；当t＝－1时，f(x）＝x2，满足题意．综上所述，实数t的值为－1，所求解析式为f（x)＝x2.]4．已知函数f（x）＝(2m－3）x m＋1是幂函数．（1)求m的值；（2)判断f(x)的奇偶性．［解］(1）因为f（x）是幂函数,所以2m－3＝1，即m＝2.（2）由（1）得f（x)＝x3，其定义域为R，且f（－x）＝(－x）3＝－x3＝－f(x），故f（x)是奇函数．幂函数的概念【例1】在函数y＝x,y＝错误!，y＝2x2,y＝x2＋x，y＝1中,幂函数的个数为(）A．1B．2C．3D．4［思路点拨]从幂的系数、底数和指数三方面考察是否满足幂函数的定义．B ［因为y ＝x ＝x 12，y ＝错误!＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数;y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点（0，1), 所以常函数y ＝1不是幂函数．]函数解析式中只有满足幂的系数为1,底数为自变量x ，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3都不是幂函数．错误!1．已知y ＝（m 2＋2m －2）x 错误!＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝12n －3＝0，解得错误!所以m ＝－3或1，n ＝错误!.幂函数的图象及应用【例2】 若点(错误!，2）在幂函数f 错误!的图象上，点错误!在幂函数g 错误!的图象上,问当x 为何值时，（1)f 错误!〉g 错误!；(2）f 错误!＝g （)x ；（3）f 错误!<g 错误!.[解］设f错误!＝xα，则2＝错误!错误!，解得α＝2，则f错误!＝x2.同理可求得g错误!＝x－2.在同一坐标系内作出函数f错误!＝x2和g错误!＝x－2的图象（如图所示)，观察图象可得：（1）当x〉1或x<－1时，f错误!〉g错误!;(2）当x＝1或x＝－1时，f错误!＝g错误!；（3)当－1<x〈1且x≠0时，f错误!<g错误!.随着α的变化,其图象也随着变化,讨论其图象的特点时，可分0〈α<1，α>1和α〈0三种情况讨论．错误!2．当0<x<1时，函数f错误!＝x1.1,g错误!＝x0。

9，h错误!＝x－2的大小关系是________________．h错误!>g错误!>f错误!［如图所示为函数f错误!，g错误!,h错误!在（0，1）上的图象，由此可知,h错误!>g错误!〉f错误!。

]幂函数性质的应用角度一比较幂的大小【例3】比较下列各组数中两个数的大小：(1)错误!错误!与错误!错误!;(2）错误!错误!与错误!错误!［解］（1）∵0。

3〉0，∴y＝x0.3在(0，＋∞）上为增函数．又错误!〉错误!，∴错误!错误!〉错误!错误!.（2)∵－1<0，∴y＝x－1在(－∞,0）上是减函数，又－错误!<－错误!,∴错误!错误!〉错误!错误!。

此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．错误!3．比较下列各数的大小:(1)（－错误!）错误!和(－错误!）错误!;（2)4。

1错误!，3。

8－错误!和错误!错误!.［解］(1）函数y＝x错误!在（－∞，0)上为减函数,又－错误!〈－错误!，∴错误!错误!〉错误!错误!。

（2)4。

1错误!〉1错误!＝1;0<3。

8错误!<1错误!＝1；错误!错误!〈0，∴错误!错误!<3.8错误!<4。

1错误!.角度二由幂函数的大小求字母的取值范围【例4】已知幂函数f错误!＝x错误!（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足错误!错误!〈错误!错误!的a 的取值范围．[思路点拨]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0,再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．[解]∵函数在(0，＋∞）上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3。

∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，又22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.∴错误!错误!〈错误!错误!,即f（x）＝x错误!在（－∞，0)上是减函数,在（0，＋∞)上是减函数，且当x＜0时，f(x）＜0，当x＞0时，f （x）＞0，∴0＞a＋1＞3－2a或a＋1＞3－2a＞0或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或错误!＜a＜错误!。

故a的取值范围为错误!。

幂函数y＝xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性等性质，也可由这些性质去限制α的取值．错误!)。

4．已知幂函数f(x)＝x错误!（m∈N＋(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过（2，2)，试确定m的值，并求满足f错误!〉f错误!的实数a的取值范围．［解](1)∵m∈N＋，∴m2＋m＝m（m＋1）为偶数．令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f（x)＝错误!，∴定义域为［0,＋∞）,在[0，＋∞)上f错误!为增函数．(2)∵错误!＝2错误!＝2错误!，∴m2＋m＝2,解得m＝1或m＝－2（舍去)，∴f（x)＝x错误!，由（1)知f错误!在定义域［0，＋∞）上为增函数，∴f错误!〉f错误!等价于2－a>a－1≥0，解得1≤a<错误!。

故a的取值范围为错误!.1．幂函数y＝xα（α∈R），其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数α为常数,这是判断一个函数是不是幂函数的依据和标准．2．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1）α>0时,图象过（0，0)，（1，1)在第一象限的图象上升；α〈0时，图象不过原点,在第一象限的图象下降，反之也成立．（2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0〈α<1时,曲线上凸；α<0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，错误!，1，2，3这五个已研究熟的幂函数,这时可根据需要构造幂函数,并针对性地研究某一方面的性质．1．思考辨析（正确的画“√"，错误的画“×"）(1）y ＝－错误!是幂函数． ( ）（2）当x ∈（0，1）时,x 2〉x 3。

( )(3）y ＝x 错误!与y ＝x 错误!定义域相同． ( ）(4）若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数,则α〉0。

（ ) [答案] (1)× (2)√ (3）× (4)√2．如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±错误!四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2,－错误!，错误!，2B ．2,错误!，－错误!，－2C ．－12，－2，2，12D ．2，错误!，－2,－错误!B ［由幂函数的性质，知选B 。

］3．已知函数f （x ）＝错误!若关于x 的方程f （x )＝k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是________.(0,1) [作出函数图象如图所示,则当0<k 〈1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．］4．比较下列各组数的大小(1)2错误!，错误!错误!；(2）0.20。

5，0。

40.3［解]（1)由于幂函数y＝x错误!在错误!上是减函数,所以2－13〉3错误!,又3错误!＝错误!错误!,所以2错误!〉错误!错误!。

（2）由于指数函数y＝0。

2x在错误!上是减函数，所以0。

20.5<0.20。

3由于幂函数y＝x0.3在错误!上是增函数,所以0.20。

3<0.40.3，所以0.20。

5<0。

40。

3。

学必求其心得，业必贵于专精攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。