非线性方程和方程组的数值解法
非线性方程和方程组的数值解法-赖志柱
第四章非线性方程和方程组的数值解法教学目标：1.了解并掌握非线性方程的根的相关概念，如m重根、有根区间等概念；2.掌握逐步搜索法和二分法（区间对分法）的基本思想及步骤，了解这两种方法的适用性及缺点，能应用其求解简单的非线性方程；3.了解迭代法的分类，理解并掌握不动点迭代法的概念及相关收敛性定理，掌握全局收敛性及局部收敛性联系及区别，理解收敛阶和计算效率的相关概念的来历及含义；4.了解迭代加速的思想，掌握加权法（松弛法）、Aitken以及Steffensen加速方法的思想及相关理论、计算公式；5.理解并掌握Newton迭代法及求重根的修正Newton迭代法的思想、实现步骤以及相关理论；6.理解Newton迭代法的相关变形方法的提出及实现步骤，如简化Newton 法（平行弦法）、Newton下山法、拟Newton法和Steffenson方法；7、理解割线法和Muller法提出的背景及实现步骤，掌握相关的理论。
教学重点：1.逐步搜索法和二分法（区间对分法）的基本思想及步骤；2.不动点迭代法的概念及相关收敛性定理；3.迭代加速的思想及三种实现方式；4. Newton迭代法及相关变形或改进的迭代法的思想及步骤。
教学难点：1..不动点迭代法的概念及相关收敛性定理；2.迭代加速的思想及三种实现方式；3. Newton迭代法及相关变形或改进的迭代法的思想及步骤。
教学方法：教具：§4.1 问题的提出非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。
但是，非线性方程的求根非常复杂。
本章重点讨论单个方程的求根方法，对于非线性方程组的解法仅作一些简单的介绍。
这是因为单个方程的求根问题比非线性方程组更普遍。
另外非线性方程组的求解是个难度比较大的问题，许多近代研究集中在这个问题上。
非线性方程和方程组的数值解法主要是迭代法。
一般的非线性方程组可以写成()0n=F x=，其中F和x都是n维向量。
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
实验五(线性方程组的数值解法和非线性方程求解)
1大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5一、 实验目的1、学习用Matlab 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2、通过实例学习用线性代数方程组解决简化问题。
二、 实验内容项目一：种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。
种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。
种群年龄记作k=1,2,…,n ,当年年龄k 的种群数量记作x k ，繁殖率记作b k （每个雌性个体1年的繁殖的数量），自然存活率记作s k （s k =1−d k ，d k 为1年的死亡率），收获量记作ℎk ，则来年年龄k 的种群数量x ̌k 应该为x ̌k =∑b k n k=1x k , x ̌k+1=s k x k −ℎk , (k=1,2,…,n -1)。
要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要求使得x ̌k =x k , (k=1,2,…,n -1).(1) 如果b k , s k 已知，给定收获量ℎk ，建立求各个年龄的稳定种群数量x k 的模型（用矩阵、向量表示）.(2) 设n =5,b 1=b 2=b 5=0,b 3=5,b 4=3,s 1=s 4=0.4,s 2=s 3=0.6,如要求ℎ1~ℎ5为500,400,200,100,100，求x 1~x 5.(3) 要使ℎ1~ℎ5均为500，如何达到？问题分析：该问题属于简单的种群数量增长模型，在一定的条件（存活率，繁殖率等）下为使各年龄阶段的种群数量保持不变，各个年龄段的种群数量将会满足一定的要求，只要找到种群数量与各个参量之间的关系，建立起种群数量恒定的方程就可以求解出各年龄阶段的种群数量。
模型建立：根据题目中的信息，令x ̌k =x k ，得到方程组如下：{x ̌1=∑b k nk=1x k =x 1x ̌k+1=s k x k −ℎk =x k+1整理得到：{−x 1∑b k nk=1x k =0−x k+1+s k x k =ℎk2 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/52写成系数矩阵的形式如下：A =[b 1−1b 2b 3s 1−100s 2−1…b n−1b n0000⋮⋱⋮000000000⋯00−10s n−1−1]令h =[0, ℎ1,ℎ2,ℎ3,…,ℎn−2,ℎn−1]Tx =[x n , x n−1,…,x 1]T则方程组化为矩阵形式：Ax =h ，即为所求模型。
数学方法解决非线性方程组
数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。
解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。
本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。
1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。
它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。
然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。
将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。
牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。
2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。
它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。
具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。
然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。
接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。
它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。
具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。
然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。
它在求解非线性方程组时具有较好的效果。
4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。
它通过线段的截断来逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。
然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。
但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。
总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。
数值计算方法主要知识点
数值计算方法主要知识点数值计算方法是数学中的一门基础课程，主要研究数值计算的理论、方法和算法。
它是现代科学和工程技术领域中不可或缺的重要工具，广泛应用于数值模拟、优化计算、数据处理等诸多领域。
下面是数值计算方法的主要知识点（第一部分）。
1.近似数与误差：数值计算的基本问题是将无法精确计算的数值通过近似计算来求得。
近似数即为真实数的近似值，其与真实值之间的差称为误差。
误差可以分为绝对误差和相对误差。
绝对误差为真实值与近似值之差的绝对值，相对误差为绝对误差与真实值的比值。
通过控制误差可以评估数值计算结果的准确性。
2.插值与多项式：插值是指通过已知离散点构造一个函数，并在给定点处对其进行近似计算。
插值函数通常采用多项式拟合，即通过已知点构造一个多项式函数，并利用此函数进行近似计算。
主要的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
3.数值微分与数值积分：数值微分主要研究如何通过数值方法去近似计算函数的导数。
常用的数值微分方法有差商、中心差商和插值微分等。
数值积分则是研究如何通过数值方法去近似计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有矩形法、梯形法和辛普森法等。
4.非线性方程的数值解法：非线性方程的数值解法是指通过数值方法求解形如f(x)=0的方程。
常用的非线性方程数值解法有二分法、牛顿法和二次插值法等。
这些方法基于一些基本原理和定理，通过迭代的方式逐步逼近方程的根即可求得方程的近似解。
5.线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法是指通过数值方法求解形如Ax=b的线性方程组。
其中，A是一个已知的系数矩阵，b是一个已知的常数向量，x是未知的解向量。
常用的线性方程组数值解法有高斯消元法、追赶法和LU分解法等。
这些方法通过一系列的变换和迭代来求解线性方程组的解。
6.插值型和积分型数值方法：数值计算方法可以分为插值型和积分型两类。
插值型数值方法是通过插值的方式进行近似计算，如插值法和数值微分。
而积分型数值方法是通过数值积分的方式进行近似计算，如数值积分和微分方程的数值解法。
Ch7 非线性方程与方程组的数值解法(2)
4 / 19
几何意义 Aitken 加速：
y y = g(x)
一般地有：
( x K 1 x K )2 ˆ xK xK xK 2 xK 1 xK 2
y=x
15 / 19
例 再求x 3 x 1 0在1.5附近的根x * .
解：依次用牛顿法 0 1.5，x0 0.6，简化牛顿法 0 0.6， x x 牛顿下山法 1，折半， 1 / 32，计算结果如下：
k 0 1 2 3 4 xk 1.5 1.34783 1.32520 1.32472 xk 0.6 17.9 发散 xk 0.6 1.140625 1.36181 1.32628 1.32472 f(xk) -1.384 -0.656643 0.1866 0.00667 0.0000086
x0 , x1 g ( x0 ), x 2 g ( x1 ), ˆ x 0 , x3 g ( x 2 ), ˆ x1 , x 4 g ( x3 ), ......
P(x1, x2) P(x0, x1)
ˆ x K 比x K 收敛得略快。
Steffensen 加速：
x x1 x* x2 x0
2 / 19
2 x1
2 x1x * x * x2 x0 x2 x * x0 x * x * ,
2 2
x1 x * x0 x * x2 x * x1 x *
2 2 2 x2 x0 x1 x2 x0 2 x0 x1 x0 x2 x0 x1 x* x0 x2 2 x1 x0 x2 2 x1 x0
数值分析--第7章非线性方程与方程组的数值解法
k
y.
（2.4） 时序列 {xk }
收敛到
x
*.
25
再证明估计式（2.5），由（2.4）有
xk1 xk (xk )(xk1) L xk xk1 .
反复递推得
xk
1 2 k 1
0.005,
只需 k 6 ，即只要二分6次，便能达到预定的精度.
11
计算结果如表7-2.
表7 2
k
ak
0 1.0
bk
xk
1.5
1.25
1 1.25
1.375
2
1.375 1.3125
3 1.3125
1.3438
4
1.3438 1.3281
5
1.3281 1.3203
6 0.3203
对于 x *的某个近似值 x0，在曲线 y (x)上可确定 一点 P0，它以 x0为横坐标，而纵坐标则等于(x0 ) x1.
过 P0 引平行 x轴的直线，设此直线交直线 y x于点 Q1， 然后过 Q1再作平行于 y轴的直线，与曲线 y (x) 的交点
17
记作 P1，则点 P1 的横坐标为 x1 ，纵坐标则等于 (x1) x2.
（2.（2）2.5）
证明 设 x*[a, b] 是 (x)在 [a, b]上的唯一不动点， 由条件，可知 {xk }[a, b]，再由（2.4）得
xk x* (xk1)(x*)
L xk1 x* Lk x0 x*.
因(x0)
L(y1)，故L当x
f (x) 0
（1.1）
其中 x R, f (x) C[a, b], [a, b]也可以是无穷区间.
非线性方程与方程组数值解法
2.2 二分法
表2-2 计算结果
k
0 1 2 3 4 5 6 7
ak
1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3203
bk
2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3281 1.3281
xk
1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
ab ；否则，回 2
5.2 二分法
说明：
x*
(ⅰ)上述计算步骤（2）和（3）每执行一次就把新的区间分成两份，根的范围也 缩小一半. 如果第 k 次二分后得到的区间记 为 [ak , bk ]，根的近似值记为 xk ，则 ba (a b ) 有 bk ak k ， xk k k ，那么当时 k ， bk ak 0，这说明如果二分过 2 2 程无限继续下去，这些区间必将收敛于一点，即为所求根. (ⅱ) 第
3
2 f ( x ) 3 x 1 0, x [1, 2] 解 已知 f (1) 1 0, f (2) 5 0 且 ，
则方程
f ( x) x 3 x 1 0
在区间
(1, 2)
内只有一个实根.
当 k 1 ， x1
bk ak 102 ，继续二分；
2.1 引言
通常隔离区间的确定方法为 （1）作 y f ( x) 的草图, 由 y f ( x)与横轴交点的大致位置来确定； 或 者将 f1 ( x) f 2 ( x) 改写成 f ( x) 0 ， 根据 y f1 ( x) 和 y f 2 ( x) 交点横坐标来确定
根的隔离区间.
当 k 2 ， x2
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1. 使用二分法求3250x x --=在区间[2，3]上的根，要求误差不超过30.510-⨯.
解：首先确定二分次数，根据误差估计式得，取k=10即可。
使用二分法计算10次，结果见下表
2. 利用0)ln(=+x x 构造收敛的迭代格式，并求在0.5附近的根.
解 首先考虑迭代格式
1ln ,0,1,2,...k k x x k +=-=，
相应的迭代函数()ln ,x x ϕ=-容易计算'
1
()x x
ϕ=-
，在0.5附近有 ''()2,()21x x ϕϕ≈-≈>.
迭代格式
1ln ,0,1,2
k k x x k +=-=不收敛，利用上题结论，函数()ln x x ϕ=-的反函数
1()x x e ϕ--=，建立迭代格式
1,0,1,2,...,
k x k x e k -+==
取初值00.5x =，计算结果见下表：
最后*
180.5671408
x x
≈=
3.求方程310
x x
--=在]2,1[上的唯一正根，精度4
10-
解考虑函数
3
()1, f x x x
=
--显然(1)10,(2)50
f f
=-<=>，
故在[1,2]上方程有根存在；另外
'2
()312,[1,2],
f x x x
=-≥∈因此在[1,2]上方程有唯一的根。
建立迭代格式
1
n
x
+
=
迭代函数
()x
ϕ=
在[1,2]上满足
2
3
'1
3
1
()(1)
3
x x
ϕ-
=+<
根据收敛性定理，迭代格式
1
n
x
+
=
[1,2]
x∈均收敛。
例如，
取初值
x=1.5，并计算结果如下：
方程31
x x
--=0在[]
1,2上的精确解是* 1.324718
x=
4.利用简单加速方法，求方程x
x e-
=在x=0.5附近得一个根，精度5
10-。
解考虑'
(),()0.6
x x
x e x e L
ϕϕ
--
==-=≈-.利用简单加速方法
()
1
11
1
111
n n
n
n n
L L
x x
x x x
ϕ
+
+
+--
⎧=
⎪
⎨
=-
⎪⎩
得
()
1
1
1
1 1.6
0.6
n
x
n
n
n n
x e
x x x
-
+
+
+
⎧=
⎪
⎨
=+
⎪⎩
取初值00.5x =，计算结果列表如下：
5. 利用Newton 法解方程x=cosx ，取初值0x =1.
解 考虑()cos f x x x =-，建立Newton 迭代格式：
()()01'1,,0,1,2.....
n n n n x f x x x n f x +=⎧
⎪
⎨
=-=⎪⎩
方程x=cosx 的精确解是*
x =0.739 085 133……。
6. 用下列方法求方程cos 0x x xe -=的最小正根，取初值0x =0，当6110k k x x -+-<时迭
代结束。
（1）Newton 迭代法. （2）割线法.
解 （1）Newton 迭代格式为
()10cos ,0.sin 1k
k
x k k k k x k k x x e x x x x x e +-=-=--+
计算结果列表如下：
方程的根*
x ≈0.517 757 363 68. （2）割线法迭代格式为
()
1
101111
cos ,0, 1.cos cos k
k k x k k k k x x k k k k k k x x e x x x x x x e x x e x x -+----=-
==----
方程的根*
x ≈0.517 757 363 68.
7. 利用Newton 迭代格式求解非线性方程组
110
2
184140
x
x y e x y x ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩ 取初值0x =0，0y =0，精度6
12*10ε-=.
解 将方程组改写成()()
114102
11481x x y e y x x ⎧=+-⎪⎨=-⎪⎩
Newton 迭代格式
()11021841,04x
x y e F x y x y x ⎡⎤
-+-==⎢⎥
-++⎣⎦
首先计算jacobi 矩阵
()1101
441,14x
e
J x y x
⎡⎤+-=⎢⎥-+⎣⎦
其逆矩阵
()1
112141054
411
,1415x x
J x y x e e x -⎡⎤=⎢⎥-+++⎣⎦ Newton 迭代格式为
()()11
1,,.k k k k k k k k x x J x y F x y y y +-+⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
精确解x =8. 利用Newton 迭代格式求解非线性方程组
()222
1
,04 3.25x y F x y x x y y ⎡⎤--==⎢⎥-+-+⎣⎦
解 首先计算jacobi 矩阵
()21,2421x
J x y x y -⎡⎤=⎢⎥
--⎣⎦
逆矩阵
()1
2111,24244y J x y x x xy --⎡⎤
=⎢⎥-+-⎣⎦
Newton 迭代格式为
()()11
1,,.k k k k k k k k x x J x y F x y y y +-+⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
取初值为（0，0），计算结果列表如下：。