解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型(1) (1)

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r1+r2=2a。

第二定义中，r1=ed1r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，r1 -r2 = 2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB 中点为M(x0,y0)，将点A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：x 2 y 2（1）+a 2b 2= 1(a >b > 0)与直线相交于A、B，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有x 0 +y0 k = 0。

(其中K 是直线AB 的斜率)a 2b 2x 2 y 2（2）-a 2b 2= 1(a > 0, b > 0)与直线l 相交于A、B，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有x 0 -y0 k = 0(其中K 是直线AB 的斜率)a 2b 2（3）y2=2px（p>0）与直线l 相交于A、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y =kx +b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax 2 +bx +c = 0的方程，方程的两根设为x，x B，判别式为△，则| AB|= 1 +k 2 ·| x A -x B |= 1 +k 2· △，若直接用结论，能| a |减少配方、开方等运算过程。

5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些A2 代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

如“2x+y”，令 2x+y=b ，则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令= d ，则 d 表示点 P （x ，y ）到原点的距离；又如“ y - 3”，令 y - 3=k ，则 k表示点 P （x 、y ）与点 A （-2，3）这两点连线的斜率……6、参数法x + 2 x + 2（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。

如 x 轴上一动点 P ，常设 P （t ，0）；直线 x-2y+1=0 上一动点 P 。

除设 P （x 1,y 1）外，也可直接设 P （2y 1-1,y 1）（2）斜率为参数当直线过某一定点 P(x 0,y 0)时，常设此直线为 y-y 0=k(x-x 0)，即以 k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。

（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。

7、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件 P 1,P 2 求（或求证）目标 Q ”，方法 1 是将条件 P 1 代入条件 P 2，方法 2 可将条件 P 2 代入条件 P 1，方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进行假设，代入 P 1,P 2,这就是待定法。

不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。

八、充分利用曲线系方程法一、定义法【典型例题】例 1、(1)抛物线 C:y 2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为(2)抛物线 C:y 2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。

分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF ，则 PH = PF 现，当 A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

，因而易发 A QHPFBx 2+ y 2y APH F 0 F ′2 4 2 - 0 2 2 5 （2）B 在抛物线内，如图，作 QR ⊥l 交于 R ，则当 B 、Q 、R 三点共线时，距离和最小。

解：（1）（2， ）连 PF ，当 A 、P 、F 三点共线时， AP + PH= AP + PF 最小，此时 AF 的方程为y = 3 - 1 (x - 1) 即 y=2 (x-1),代入 y 2=4x 得 P(2,2 )，（注：另一交点为( 1 ,- 2)，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去）1 （2）（ ,1）4过 Q 作 QR ⊥l 交于 R ，当 B 、Q 、R 三点共线时， BQ + QFQ 点的纵坐标为 1，代入 y 2=4x 得 x= 1，∴Q( 1,1)= BQ + QR 最小，此时4 4点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

x 2 例 2、F 是椭圆 4圆上一动点。

+ y23 = 1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭（1） PA + PF 的最小值为x（2） PA + 2 PF 的最小值为分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 PF '或准线作出来考虑问题。

解：（1）4-设另一焦点为 F '，则 F '(-1,0)连 A F ',P F 'PA + PF = PA + 2a - PF ' = 2a - ( PF ' - PA ) ≥ 2a - AF ' = 4 -当 P 是 F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PA + PF 取得最小值为 4-。

（2）作出右准线 l ，作 PH ⊥l 交于 H ，因 a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e= 1，2∴ PF = 1PH ,即2 PF 2= PH ∴ PA + 2 PF = PA + PH255(x + 1)2 +y 2(x - 1)2 +y 2a 2当A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为c -xA= 4 - 1 = 3x例3、动圆M 与圆C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心M 的轨迹方程。

分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C 共线，B、D、M 共线）。

列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的MC = MD）。

解：如图，MC = MD，∴ AC -MA = MB -DB 即6 -MA = MB - 2∴ MA +MB = 8 （*）∴点M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15 轨迹方程为x16 +y 2= 15点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出+= 4，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！3例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB= sinA,求点A 的轨迹方程。

5分析：由于sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。

3 3解：sinC-sinB= sinA 2RsinC-2RsinB= ·2RsinA∴ AB -AC5 5 =3BC5即AB -AC = 6 （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）yCMDA 0B 5211 2 2 1 2 2 0 00 0 0 0 00 00 0 0 1 21 2 ∵2a=6，2c=10∴a=3， c=5， b=4x 2 所求轨迹方程为 9 - y 2= 16（x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x 2 上移动，AB 中点为 M ，求点 M 到 x 轴的最短距离。

分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设 A(x 1,x 2)，B(x ，X 2)，又设 AB 中点为M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出 y 0 关于 x 0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。

解法一：设 A(x 1，x 2)，B(x ，x 2)，AB 中点 M(x ，y )⎧(x - x )2 + (x 2 - x 2 )2 = 9①则⎪ ②⎨x 1 + x 2 = 2x 0 ⎪x 2 + x 2 = 2 y ③ ⎩ 1 2 0由①得(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=9即[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]·[1+(x 1+x 2)2]=9 ④由②、③得 2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 2-2y 0代入④得 [(2x 0)2-(8x 2-4y )]·[1+(2x )2]=9∴ 4 y 0- 4x 2=9，1 + 4x24 y 0 = 4x 2 + 9 4x 2= (4x 2+1) + 9 - 1 4x 2 + 1 1yMBA A 1 0B 1A 2M 2 B 2M 1 9 0 ≥ 2 - 1 = 5,y ≥ 5 04当 4x 2+1=3即 x 0 = ± 时， ( y 0 2)min = 5此时 M (±4 ,5 ) 2 4法二：如图， 2 MM 2 = AA 2+BB 2= AF+BF ≥AB = 33 1 3∴ MM 2 ≥ 2， 即 MM 1 5+ ≥，4 2x∴ MM 1 ≥ 4， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。