初中数学实数大小进行比较的10种方法大全解析
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实数比较大小常见10中方法大全讲解
实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型,不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一,也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识,本文介绍几种比较实数大小的常用方法,供同学们参考。 模块一:比较大小会用到的一些基本事实和方法:
模块二:方法讲解与举例
方法一.运用方根定义法
例1、 比较5-m 和34m -的大小
解:根据平方根的定义可知:m -5≥0,即m ≥5,则4-m <0,34m -<0,又因为5-m ≥0,
由此可得:5-m >34m -.(注:实质上此题是运用了一个基本事实,即正数>负数) 小结:该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较,解答时要注意二次根式中的隐含条件.
方法二:差值比较法
差值比较法的基本思路是设a ,b 为任意两个实数,先求出a 与b 的差,再根据当a-b ﹥0时,得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时,得到a ﹤b 。当a-b =0,得到a=b 。
例2:(1)比较513-与5
1的大小。 (2)比较1-2与1-3的大小。 解 ∵513--51=523-<0 , ∴513-<5
1。 解 ∵(1-2)-(1-3)=23-
>0 , ∴1-2>1-3。 方法三:商值比较法
商值比较法的基本思路是设a ,b 为任意两个正实数,先求出a 与b 得商。当
b a <1时,a <b ;当b a >1时,a >b ;当b
a =1时,a=
b 。来比较a 与b 的大小。 例3:比较
513-与51的大小。 解:∵513-÷51=13-<1 ∴513-<5
1 方法四:倒数法
倒数法的基本思路是设a ,b 为任意两个正实数,先分别求出a 与b 的倒数,再根据当a 1>b
1时,a <b 。来比较a 与b 的大小。 例4:比较2004-2003与2005-2004的大小。
解∵200320041
-=2004+2003 , 200420051
-=2005+2004 又∵2004+2003<2005+2004 ∴2004-2003>2005-2004
方法五:中间值法:
基本思路是:要比较的两个数都接近于一个中间数,其中一个数大于中间数,另一个数小于中间数,就可以比较出两个数的大小
例5: 比较
456998和7481084的大小
解:456998<12 , 7481084>12 所以:456998<7481084
方法六:平方法
平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据a >0,b >0时,可由2a >2b 得到a >b 来比较大小,这种方法常用于比较无理数的大小。
例6:比较62+与53+的大小 解:1228)62(2+=+,2)53(+=8+215。又∵8+212<8+215 ∴62+<53+。
方法七:估算法
估算法的基本是思路是设a ,b 为任意两个正实数,先估算出a ,b 两数或两数中某部分的取值范围,再进行比较。
例7:比较83
13-与8
1的大小 解:∵3<13<4 ∴13-3<1 ∴8313-<81 小结:此题实质上就是同分母分数比较大小
方法八:移动因式法
移动因式法的基本是思路是,当a >0,b >0,若要比较形如a d b c 与的大小,可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内,再根据被开方数的大小进行比较。
例8:比较27与33的大小
解:∵27=722•=28,33=332•=27。 又∵28>27, ∴27>33。 方法九:取特值验证法
比较两个实数的大小,有时取特殊值会更简单。
例9:当0 x ,x ,x 1的大小顺序是______________。 解:取x =21,则:2x =41,x 1=2。 ∵41<21<2,∴2x <x <x 1。 除以上七种方法外,还有利用数轴上的点,右边的数总比左边的数大;以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。 方法十.放缩法 例10:比较26+和257-的大小 解:因为362<<,8577<<,所以有26+<3+2=5,又因257->7-2=5,于 是就有26+<257-. 小结:在通过放(缩)能够确定两个代数式的值一个比某个数小,而另一个恰好比另一个数大时,可选用该法. 跟踪练习: 1、比较m -3和35-m 的大小. 2、比较314和19的大小. 3、比较4.17和110+的大小. 4、比较25+和259-的大小. 5、比较5-3与3+3大小. 6、比较67-和32-的大小. 7、比较73+与25+的大小. 答案:1、m -3>35-m .2、314<19.3、4.17>110+.4、25+<259-. 5、5-3<3+3.6、67-<32-.7、73+>25+.