4抽样误差与假设检验
? 标准误：描述样本均数的抽样误差，标准误较小， 表示样本均数与总体均数较接近。说明样本均数的 可靠性。
? 用途 标准差：表示变量值离散程度的大小，结合均数估计
参考值范围。
标准误：表示抽样误差的大小，估计总体均数的可信 区间。
参数估计
点估计(point estimation) 区间估计(interval estimation)
1.点估计 ： 用样本统计量直接作为总体参数的估计值 。
第四章 抽样误差与假设检验
第四章 抽样误差与假设检验
第一节 均数的抽样误差与标准误差
第一节 均数的抽样误差与标准误
一、抽样误差 ? 从总体当中随机抽取一份样本，计算均数。 这个均数不同于总体的均数。为什么？
? 再从该总体中随机抽取一份样本，再计算均数。 前后两个均数不等。为什么？
——抽样误差！
样本均数抽样分布具有如下特点： 1、各样本均数未必等于总体均数； 2、各样本均数间存在差异； 3、样本均数围绕总体均数呈正态分布； 4、样本均数变异范围较原变量变异范围大大缩小， 这100个样本均数的均数为 167.69cm ，标准差为 1.69cm 。 在非正态分布总体中可进行类似抽样。
? ??
x
n
（标准误）
反映样本均数间的离散程度。
S? S
x
n
（标准误的估计值）
例1 2000年某研究所随机调查某地健康成年 男子27人，得到血红蛋白的均数为 125g/L，标准 差为15g/L 。试估计该样本均数的抽样误差。
SX ? S / n ? 15 / 27 ? 2.89g / l
标准差与标准误的区别与联系
在t界值表中，横标目为自由度v，纵标目 为概率p。表中数字表示当v和p确定时，对应的 t临界值（critical value）。
该表中分别给出了单侧概率和两侧尾部 面积之和的双侧概率所对应的t临界值。
单侧概率相对应的t临界值用符号 t? ,v 表示。 双侧概率相对应的t临界值用符号t? /2,v 表示。 例如：
1.表 示个 体变量 值 的变异 度大 小， 即原 始变 量值的
离散程度。公式为： S ? ? (X ? X)2 n?1
2.计 算变 量值的 频数分 布范围 ，如 ：
（ X ? 1.96S ）。
3.可 对某 一个变 量 值是否 在正 常值 范围 内作 出初步 判断。 4. 用 于计 算标准 误。
1. 表示 样本均数 抽样误差 的大小 ，即样 本均 数的 离散程
二、t 分布的图形和t 分布表
t分布曲线特点：
?t分布曲线是单峰分布，以 0为中心，左右两侧对称
?曲线的中间比标准正态曲线（ Z分布曲线）低，两 侧翘得比标准正态曲线略高。
?t分布曲线随自由度 υ而变化，当样本含量越小
（严格地说是自由度 υ =n-1越小），t分布与Z分
布差别越大；当逐渐增大时， t分布逐渐逼近于 Z分
而在相同t值时，双侧概率 p为单侧概率p的两倍。 即：
t0.10 / 2,16 ? t0.05,16 ? 1.746
第四章 抽样误差与假设检验
第四章 抽样误差与假设检验
第一节 均数的抽样误差与标准误差
第二节 总体均数的估计
第二节 总体均数的估计
一、参数估计的概念
统计推断包括参数估计和假设检验。参数估计就 是用样本指标（统计量）来估计总体指标（参数）。
sx
从正态总体 N(μ,σ2)中进行无数次样本含量为 n 的随机抽样，每次均可得到一个 X 和一个S，通过
t? X?? ? X??
SX S n
公式转换，可得无数个 t值，t值的分
布即为含量为 n的t值的总体或称 t-分布。
? t值的分布与自由
度? 有关（实际
是样本含量 n不 同）。
? t 分布的图形不是 一条曲线，而是 一簇曲线。
当单侧概率 p=0.05 时，v=16，单侧 t0.05,16 ? 1.746 当双侧概率 p=0.05时，v=16，双侧 t0.05/2 ,16 ? 2.120
α
α/ 2
α/ 2
0
tα
(a)
Tα为单侧临界值
-tα/2 0
tα/2
(b)
Tα/2为单侧临界值
单双侧t分布示意图
从t界值表中亦可看出：
在相同自由度时， t 值越大，概率 p越小；
? 与样本含量的关系
标准差：随样本含量的增多，逐渐趋于稳定
标准误：随样本含量的增多逐渐减小。
? 联系 1、标准差与标准误都是变异指标，说明个体值之间 差异是用标准差，说明样本均数之间差异时用标准 误。
2、当样本含量不变时，标准差越大，标准误越大。
标准差和标准误的区别
Байду номын сангаас
标 准 差 （S）
标 准 误S( ) X
布，当υ =∞时，t分布就完全成正态分布 。
? t分布曲线是一簇曲线，而不是一条曲线。
?t分布下面积分布规律：查 t分布表。 ?t-分布曲线下面积为 1
t 分布表
同标准正态分布曲线一样，统计应用中最 为关心的是t分布曲线下的尾部面积（即概率p） 与横轴t值间的关系。
为使用方便，统计学家编制了不同自由度 v下的t界值表（附表2）。
可得到如下结论： ? 若变量服从正态分布，则各样本均数也服从正态 分布。
? 若变量不服从正态分布，当样本量足够大时，各 样本均数 近似服从正态分布，当样本量很小时， 则样本均数为非正态分布。
样本均数的总体均数为μ，而样本均数的标准差比 原来个体值的标准差要小，为区别两者，我们用 ? x来表示，其计算公式为
N(? ,? 2 n)
Z? X?? ?n
标准正态分布
N（0，12）
t? X?? ? X??,
S n SX
Student t分布 v ? n ? 1 自由度：n-1
在实际工作中，由于 ? x 未知，常用 sx
x??
代替，此时
服从 t 分布（t-distribution ）即：
sx
t ? x ? ? ,v ? n?1
度。公 式为 ：S X ?
S n
2. 计算 总体均 数的可 信区 间，如 ：
（X ? 1.96S ）。 X 3. 可对 总体均 数的大 小作 出初步 的判断 。
4. 用于 进行假 设检验 。
t 分布
一、t分布的概念
随机变量X N（? ，? 2）
Z?
X?? ?
Z变换
标准正态分布
N（0，12）
均数 X
4 假设检验和t检验
t
2.671
17905113912 /11101971 9462 / 9 ( 1 1)
11 9 2
11 9
=n1+n22=11+9-2=18
(3)确定P值，作出推断结论
以=18，查 t 界值表得 0.01<P<0.02。按=0.05 水
准，拒绝 H0，接受 H1,差异有统计学意义。可以认为 两种饲料对小鼠的体重影响不同。
(2)计算检验统计量
本例n=12，d=53，d2=555，
d d 53 4.42 n 12
sd
d2 (
d)2 / n
555 (53)2 /12 5.40
n 1
12 1
t d 4.42 2.83 sd / n 5.40 / 12
12 1 11
(3)确定P值，作出推断结论
(1)建立检验假设，确定检验水准
H0：1=2 即两组小鼠的体重总体均数相同 H1：1 2 即两组小鼠的体重总体均数不相同 =0.05
(2)计算检验统计量
126.45 105.11
t
2.671
(111)17.762 (9 1)17.802 ( 1 1)
11 9 2
11 9
126.45 105.11
型）选择相应的检验统计量。 如 t 检验、z检验、 F检验和 2 检验等。
本例采用t检验方法 t X X X 0 , n 1
SX S n S n
本例t值为1.54
3. 确定P值,做出推断结论
是指查根表据得所到计检算验的用检的验临统界计值量，确然定后H将0成算立得的可 能性的大统小计，量即与确拒定绝在域检的验临假界设值条作件比下较由，抽确样定误P差引 起差值别。的如概对率双。侧 t 检验 | t | ，则 tα/2(ν) P α ,按检
第三章抽样误差与假设检验详解演示文稿
态分布N (0,1)。
（二）t分布
由于在实际工作中，往往σ是未知 的，常用s作为σ的估计值，为了与Z变 换区别，称为t 变换t = x ，统计量 t 值的分布称为t 分布。 sx
t分布有如下特征
1．以0为中心，左右对称的单峰分布；
2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地 说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲 线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准 正态分布（u分布）曲线，如图4.1。
从什么分布，X 的抽样分布均近似正态。
抽样分布
图 抽样分布示意图
二．均数的抽样误差
如上所述，数理统计研究表明，抽样 误差具有一定的规律性，可以用特定的指 标来描述。这个指标称为标准误 （standard error SE）。
标准误除了反映样本统计量之间的离 散程度外，也反映样本统计量与相应总体 参数之间的差异，即抽样误差大小。
标准误的计算公式：
x / n
sx
s n
•意义：反映抽样误差的大小。标准误越小， 抽样误差越小，用样本均数估计总体均数的 可靠性越大。
•与样本量的关系：S 一定，n↑，标准误↓
例4.1 在某地随机抽查成年男子140人， 计算得红细胞均数4.77×1012/L，标准差 0.38 ×1012/L ，试计算均数的标准误。
第三章抽样误差与假 设检验详解演示文稿
优选第三章抽样误差 与假设检验
第三章 抽样误差与假设检验
熟悉： 1、抽样误差的概念 2、引起抽样误差的原因 3、均数的标准误的计算 4、标准差和标准误的区别
第一节 抽样分布与抽样误差
一．抽样研究 （一）抽样研究的意义
总体
医学统计学重点总结
(1) 单个样本均数 H0:μ=μ0t= ν=n－1 （小样本)
（已知样本——均数） H1:μ≠μ0
α=u= 或u= （大样本）(2)配对：H0:μ=μ0
H1:μ≠μ0t= ν=对子数－1
α=
(3) 两独立样本均数H0:μ=μ0t= ν=n1＋n2－2
（4）（已知样本——样本） H1:μ≠μ0
9.对任何参数μ和σ的正态分布，都可以通过一个简单的变量变换成标准正态分布，即μ=X-μ
σ
9
标准正态分布
正态分布
面积或概率
-1~1
μ σ
%
~
μ σ
%
·
μ σ
%
10.医学参考值范围（reference value range）传统上称作正常值范围，指正常人的解剖、生理、生化、免疫及组织代谢产物的含量等各种数据的波动范围。习惯上是包含95%的参照总体的范围。
实际工作中标准差 σ往往未知，因而通常用样本标准差S代替σ，求得样本均数 准误估计值S ，计算公式为 S = （当n→无穷，S→σ，S →0）
3 95%的可信区间的计算：x (μ，σ ) 1) σ已知，可信区间= σ
2）σ未知，n为小样本： t 3)σ未知，n为大样本：
T变换
μ变换
N (0，1)
3、t分布曲线的形态变化与自由度v=n-1有关。
2.四格表专用公式（
3对于四格表资料，通常规定为：（1）当n≥40且所有的T ≥ 5时，用检验的基本公式或四格表的专用公式；（2）当n ≥ 40 但有1≤T＜5时，用四格表资料的校正公式；（3）当n＜40，或T＜1时，用四格表资料的Fisher确切 概率法。
4 行×列表资料的χ 检验: 自由度:ν=（行数-1）（列数-1）
抽样分布、参数估计和假设检验
抽样分布一、抽样分布的理论及定理 （一） 抽样分布抽样分布是统计推断的基础，它是指从总体中随机抽取容量为n 的若干个样本，对每一样本可计算其k 统计量，而k 个统计量构成的分布即为抽样分布，也称统计量分布或随机变量函数分布。
（二） 中心极限定理中心极限定理是用极限的方法所求的随机变量分布的一系列定理，其内容主要反映在三个方面。
1．如果总体呈正态分布，则从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，其样本均数的分布也呈正态分布；无论总体是否服从正态分布，只要样本容量足够大，样本均数的分布也接近正态分布。
2．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的均数（X μ）等于总体均数（μ）即μμ=X3．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的标准差（X σ）等于总体标准差除以样本容量的算数平方根，即n X σσ=中心极限定理在统计学中是相当重要的。
因为许多问题都使用正态曲线的方法。
这个定理适于无限总体的抽样，同样也适于有限总体的抽样。
中心极限定理不仅给出了样本均数抽样分布的正态性依据，使得大多数数据分布都能运用正态分布的理论进行分析，而且还给出了推断统计中两个重要参数（即样本均数X μ与样本标准差X σ）的计算方法。
（三）抽样分布中的几个重要概念1．随机样本。
统计学是以概率论为其理论和方法的科学，概率又是研究随机现象的，因此进行统计推断所使用的样本必须为随机样本（random sample ）。
所谓随机样本是指按照概率的规律抽取的样本，2．抽样误差。
从总体中抽取容量为n 的k 个样本时，样本统计量与总体参数之间总会存在一定的差距，而这种差距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参数之间的不同，称为抽样误差。
3．标准误。
样本统计量分布的标准差或某统计量在抽样分布上的标准差，符号SE 或Xσ表示。
根据中心极限定理其标准差为n X σσ=正如标准差越小，数据分布越集中，平均数的代表性越好。
总体均数的估计和假设检验PPT课件
5、t’检验
当方差不齐时，两小样本均数的比较用t’
检验。 检验统计量：t'
x1 x2 s12 s22 n1 n2
临界值：
t'
s2 x1
t ,v1
s2
s2 x2
s2
t ,v2
x1
x2
如果t’ ＞t’α，则P＜α，则拒绝原假设。
6、z检验
当样本含量较大时，可用z检验来进行
两样本均数的比较。它是用于两大样本均 数的比较，目的是推断两总体均数是否相 同。所用公式：
4、成组t检验
(3) 资料要求：两样本来自正态或近似正态 分布，并且两组总体方差相等。
(4) 对数正态分布的资料，在进行t检验时，
要先把数据进行对数转换，用对数值作为
新变量进行成组t检验。
4、成组t检验
(4) 公式： H0： μ1＝ μ2 H1：μ1 ≠ μ2
t x1 x2 s
x1 x2
(1) 小样本资料的估计(未知)
P(t ,＜t＜t , ) 1
由1-αx时 t，,计( 算sn )总＜体＜均x数的t,可( 信sn区)可间得的到通当式可为信：度
即：x
t
,
s x
例2：试求例1中该地1岁婴儿血红蛋白平 均值的95%的可信区间。
s
由ν于 ＝nn＝ －215＝，24s=，11α.取9g双/L尾, 0s.x 05，n查t2界.3值8 g表/ L得：
准差s2＝1.626 mg/dl，配对t检验结果，t ＝－
3.098，P<0.05，故认为脑病病人尿中类固醇排出 量高于正常人。
表3 正常人和脑病病人尿中类固醇排出量 （mg/dl）
正常人
2.90 5.41 5.48 4.60 4.03 5.10 4.97 4.24 4.37 3.05 2.78脑ຫໍສະໝຸດ 病人差别是由抽样误差引起的。
统计学第五章课后题及答案解析
第五章一、单项选择题1．抽样推断的目的在于（）A．对样本进行全面调查B．了解样本的基本情况C．了解总体的基本情况D．推断总体指标2．在重复抽样条件下纯随机抽样的平均误差取决于（）A．样本单位数B．总体方差C．抽样比例D．样本单位数和总体方差3．根据重复抽样的资料，一年级优秀生比重为10%，二年级为20%，若抽样人数相等时，优秀生比重的抽样误差（）A．一年级较大B．二年级较大C．误差相同D．无法判断4．用重复抽样的抽样平均误差公式计算不重复抽样的抽样平均误差结果将（）A．高估误差B．低估误差C．恰好相等D．高估或低估5．在其他条件不变的情况下，如果允许误差缩小为原来的1/2，则样本容量（）A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的4倍C．缩小到原来的1/4D．缩小到原来的1/26．当总体单位不很多且差异较小时宜采用（）A．整群抽样B．纯随机抽样C．分层抽样D．等距抽样7．在分层抽样中影响抽样平均误差的方差是（）A．层间方差B．层内方差C．总方差D．允许误差二、多项选择题1．抽样推断的特点有（）A．建立在随机抽样原则基础上 B．深入研究复杂的专门问题C．用样本指标来推断总体指标 D．抽样误差可以事先计算E．抽样误差可以事先控制2．影响抽样误差的因素有（）A．样本容量的大小 B．是有限总体还是无限总体C．总体单位的标志变动度 D．抽样方法E．抽样组织方式3．抽样方法根据取样的方式不同分为（）A．重复抽样 B．等距抽样 C．整群抽样D．分层抽样 E．不重复抽样4．抽样推断的优良标准是（）A．无偏性 B．同质性 C．一致性D．随机性 E．有效性5．影响必要样本容量的主要因素有（）A．总体方差的大小 B．抽样方法C．抽样组织方式 D．允许误差范围大小E．要求的概率保证程度6．参数估计的三项基本要素有（）A．估计值 B．极限误差C．估计的优良标准 D．概率保证程度E．显著性水平7．分层抽样中分层的原则是（）A．尽量缩小层内方差 B．尽量扩大层内方差C．层量扩大层间方差 D．尽量缩小层间方差E．便于样本单位的抽取三、填空题1．抽样推断和全面调查结合运用，既实现了调查资料的_______性，又保证于调查资料的_______性。
抽样误差与假设检验(ppt 43页)
假设检验的基本思想—利用反证法的思想
利用小概率反证法思想，从问题的对立面（H0）出发间 接判断要解决的问题（H1）是否成立。然后在H0成立的条
件下计算检验统计量，最后获得P值来判断。当P小于或等 于预先规定的概率值α，就是小概率事件。根据小概率事件
的原理：小概率事件在一次抽样中发生的可能性很小，如果 他发生了，则有理由怀疑原假设H0，认为其对立面H1成立
判断观察对象的某
项指标正常与否
• 某地调查100人得收缩压均数为18.62kPa， 标准差为1.33kPa。试估计：
• 该地95％的人收缩压在什么范围？ • 该地所有人收缩压的均数可能在什么范围？
假设检验的意义和步骤
(Hypothesis Test)
要求： 掌握：假设检验的基本思想和基本步
骤，样本均数与总体均数的比较，配对 资料的比较，两个样本均数的比较，假 设检验应注意的问题。
4 .7， 7 S0 .3， 8 n 140
下限： X － u /2 . S X 4 . 7 1 . 9 7 0 . 3 6 /1 8 4 . 7 ( 1 0 1 1 /L 2 0 ) 上限： X u / 2 . S X 4 . 7 1 . 9 7 0 . 3 6 /1 8 4 . 8 ( 1 0 3 1 / L 2 0 )
24
1.711 2.064 2.492 2.797
25
1.708 2.060 2.485 2.787
2①6 自由度1相.7同06时，2│.0t5│6值越2.4大79，概2率.77P9越小；
2②7 t值相同1.时70，3 t0.025/.20,2522= t02.0.2457,223=2.20.7747。1
统计学各章练习——抽样推断
第九章抽样推断一、名词1、抽样推断：即由样本指标来推断总体指标的统计方法。
2、抽样误差：是指抽样指标和全及指标之间的绝对离差。
3、抽样极限误差：是指样本指标与全及指标之间产生的抽样误差被允许的最大可能范围，也叫允许误差。
4、点估计：就是直接用样本指标代表总体指标的估计方法。
5、区间估计：就是把抽样指标与抽样平均误差结合起来，来推断总体指标所在的可能范围的方法。
6、假设检验：就是先对研究总体的参数做出某种假设，然后抽取样本，构造适当的统计量，利用样本提供的信息对假设的正确性进行判断的过程。
二、填空题1.抽样推断是由（样本指标）来推断（相应的全及指标）的统计方法。
2.影响抽样误差大小的因素主要有：总体各单位标志值的差异程度、（样本的单位数目）、（抽样的具体方法）和抽样调查的组织形式。
3.抽样误差是由于抽样的（随机性）而产生的误差，这种误差不可避免，但可以控制在（所允许的范围）之内。
4.抽样平均误差是样本平均数的（标准差），是所有可能样本指标与总体指标之离差的（平均数）。
5.抽样极限误差，是指样本指标与全及指标之间产生的（抽样误差）被允许的（最大可能范围）。
6.用样本指标估计总体指标，要做到三个要求，即：（无偏性）、（一致性）、（有效性）。
7．抽样估计的方法有（点估计）和（区间估计）两种。
8.总体参数的区间估计必须同时具备（估计值）、（抽样误差范围）和（概率保证程度）三个要素。
9.总体中各单位标志值之间的变异程度越大，要求的样本单位数就（越多），即样本容量就（越大），总体各单位标志值变异程度与样本容量之间成（正比）。
10.允许误差越大，需要的样本单位数目就（越少）；允许误差越小，需要的样本单位数目就（越多）。
11.对推断结果要求的可靠程度越高，必要样本单位数目就（越多）；反之，可靠程度越低，必要样本单位数目就（越少）。
12.参数估计是用样本统计量估计（总体参数），而假设检验则是先对总体参数（提出假设），然后，运用样本资料验证假设（是否成立）。
抽样误差和假设检验练习题
抽样误差和假设检验练习题在实验和调查中，我们经常会使用随机抽样的方法来得到代表性样本。
然而，抽样误差是不可避免的问题，它可能会对最终的统计结果产生影响。
因此，我们需要了解和掌握如何对抽样误差进行估计和校正，以及如何运用假设检验方法来确定样本的显著性。
一、抽样误差的估计和校正在随机抽样的过程中，我们从总体中选择一部分样本，并对这些样本进行测量或观察。
但由于样本数量的有限性，样本结果可能无法完全准确地代表总体。
因此，通过计算估计统计分析结果的精确性，以及根据样本中不确定性的大小，对样本估计结果进行校正。
抽样误差有两个主要来源：随机误差和系统误差。
随机误差是由于偶然因素而引起的误差，例如样本的选择不够随机或测量误差。
系统误差是由于测量设备、样本选择方法或操作员错误等系统因素引起的误差。
在统计分析中，通常会计算抽样误差和置信区间。
抽样误差是指结果（例如平均值、比例、标准差等）与总体参数之间的差异。
置信区间是指给定的置信水平下，总体参数可能位于的概率区间。
例如，95%的置信区间表示，在95%的情况下，总体参数位于该范围内。
二、假设检验的基本原理假设检验是一种统计推断方法，用于检验样本数据是否支持某个关于总体的假设。
我们通常将总体参数的假设表示为零假设（H0），并检验是否有足够的证据来拒绝该假设。
如果拒绝H0，则我们可以接受备择假设（H1），即总体参数与H0不同。
假设检验分为以下步骤：1. 确定零假设和备择假设2. 选择适当的检验统计量3. 确定统计显著性水平（通常为0.05或0.01）4. 计算检验统计量的观察值5. 计算零假设条件下检验统计量的概率，即p值6. 根据p值和显著性水平，做出决策如果p值小于显著性水平，则拒绝H0，接受H1。
如果p值大于显著性水平，则无法拒绝H0，即无法得到足够的证据来接受H1。
三、练习题以下是一些关于抽样误差和假设检验的练习题，供读者参考。
1. 对于一个总体，样本大小为100，平均值为20，标准差为5，估计总体平均值的95%置信区间。
第四章抽样误差与假设检验
分布的界值
t分布的界值
t分布界值示意图，表示阴影的面积
习题
一、名词解释
1.抽样误差 2.均数标准误 3.置信区间
习题
3.σ未知且n较小时，按t分布计算总 体均数的可信区间
双侧 1 可信区间为：
X t 2， SX
思考
总体均数可信区间与 参考值范围的区别和联系？
第三节 t 分布
X ~ N,(标,准正2 )态分布与U统计量
U X ~ N (0,1) n
实际研究中未知，用样本的标准差S作为
的一个近似值(估计值)代替，得到变换后的 统计量并记为
4.30
154.1-
94
9.40
13.70
154.7-
191
19.10
32.80
155.3-
255
25.50
58.30
155.9-
216
21.60
79.90
156.5-
116
11.60
91.50
157.1-
63
6.30
97.80
157.7-
20
2.00
99.80
158.3-158.9
2
0.20
100.00
注意区别：
SX
SX n
S 和S X
和 X
第二节 总体均数的估计
参数的估计
点估计：将样本统计量作为 总体参数的估计
区间估计：按预先给定的概率确定 一个包含未知总体参数的范围，称 为参数的可信区间或置信区间 (confidence interval,CI)