二次函数y=ax^2的图像与性质
y ax 2
y=ax2 抛物线 y=-ax2 （0，0） （0，0） 顶点坐标 在同一坐标系内，抛物线 y=x2与抛物线 在同一坐标系内，抛物线 y=x2与抛物线 y轴 y轴 对称轴 2的位置有什么关系？ 2 y= -x 如果在同一坐标系内 y= -x 的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内 2与 2与y= 2的图象，怎样画才简便？ 画函数 y=ax y= -ax2的图象，怎样画才简便？ 在 x轴的上方（除顶点外） 画函数y=ax -ax 位置 在x轴的下方（除顶点外） 答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称， 开口方向 向上 向下 又关于原点对称。只要画出 y=ax2与y= -ax2中的一条抛物线，
驶向胜利 的彼岸
3
3
y=-2x2
( 3 ,6) ( 3 ,6)
练习二、若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，3）。
（1）则a的值是
（2）对称轴是 （3）顶点坐标是 抛物线在x轴的
；
，开口 。 。
，顶点是抛物线上的 方（除顶点外）。
驶向胜利 的彼岸
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线.
2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点.
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向 下,顶点是抛物线的最高点.
y x2
列表 描点 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
连线
y x
2
画出下列函数的图象。在P29
1 2 (1) y x 2 1 2 (2) y x 2
y x2
y
1 2 x 2
y x2
y
1 2 x 2
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2, 所求函数解析式为 y= -2x2. （2）因为 4 2(1) 2 ，所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上。 （3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所以纵坐标为-6的点有两个， 它们分别是 ( 3,6)与( 3,6)
这条抛物线关于y轴 对称，y轴就是它的 这条抛物线关于 对称轴。 y轴 对称，y轴就是它的 对称轴与抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 对称轴。 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点。
y ax 2
1、观察右图， 并完成填空。
二次函数y=ax2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
另一条可利用关于x轴对称或关于原点对称来画。
极值
当x=0时，最小值为0。 当x=0时，最大值为0。
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像 经过点(-2,-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、 开口方向与位置
练习一、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
22.2 二次函数的图像(1)
回顾知识: 一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么。 正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点 的直线。 二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么。 一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线。
二次函数y=ax² + bx+c（a ≠ 0） 其图象又是什么呢？。
2 二次函数y=ax 的图像
x
y=x2 y= - x2 ...
... ...
-2 -1.5 4 2.25 -4 -2.25
-1 -0.5 1
0
0.5 0.25 -0.25
பைடு நூலகம்
1 1 -1
1.5 2.25
2
...
0.25 0 -1 -0.25 0
4 -2.25 -4
... ...
函数图象画法
描点法
注意：列表时自变量 取值要均匀和对称。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
y=ax平方的图像性质 ppt课件
9
各点，就得到y = x2 的图象．
6
3
ppt课件
－3
3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地， 二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
线有什么共同点和不同点．
的图象，并考虑这些抛物
你画出的图象与图中相同吗？
ppt课件
8
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
4 ·· ··－8x·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··
y 2x2 · －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
··
··
·
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于y轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
－4 －2 －2 －4
－6
ppt课件
－8
y x2
24
y1x 2
y 2x2 9
．巩固练习
抛物线 y 2 x 2 ，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而
3
增大 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 减小．
9 6 3
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0， 0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质(教案)
一、教学内容
本节课选自九年级数学教材《二次函数》章节中的22.1.2节，主要围绕二次函数y=ax^2的图象和性质展开教学。教学内容如下：
1.二次函数y=ax^2的图象特点：了解a的取值对图象开口方向、宽窄的影响；
2.二次函数y=ax^2的顶点：掌握顶点的坐标公式，理解其几何意义；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.教学方法的多样化。在本节课中，我主要采用了讲授、讨论和实践等教学方法。但从教学效果来看，部分学生对知识点的掌握程度仍有待提高。为了提高教学效果，我将在今后的教学中尝试更多元化的教学方法，如小组竞赛、游戏互动等，激发学生的学习兴趣和积极性。
举例：通过分析a的取值，让学生理解函数最大值（或最小值）的出现规律，并能应用于实际问题。
2.教学难点
（1）对二次函数图象的直观想象能力，尤其是对顶点、对称轴的理解；
举例：部分学生对顶点的概念理解不深，教师可以通过绘制图象、实际操作等方式，帮助学生建立顶点的直观认识。
（2）理解二次函数y=ax^2增减性的变化规律，尤其是对称轴两侧的增减性；
4.培养学生的数学运算能力，让学生熟练掌握二次函数的性质，运用公式进行计算，提高解题效率；
5.培养学生的数据分析素养，通过研究二次函数的增减性、最值等问题，使学生能够对数据进行分析和判断，为实际问题提供依据。
二次函数 y=ax2的图象及其性质ppt课件
x轴
______对称.
如果已知y=ax2 (a≠0)的图象，可通过
2的图象.
翻折
_________更方便地得到y=－ax
上
当a＞0时，抛物线开口向___；
当a＜0时，抛物线开口向___.
下
y
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=2x2
1 2 3 4 5
x
y=-2x2
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象
第1课时 二次函数 y=ax²的图象及其性质
学习目标
知识与技能 ：能够利用描点法画函数y=ax2的图象。
过程与方法 ：
①经历二次函数y=ax2图象的作法。
②探索二次函数y=ax2性质，获得利用图象研究函数性质的经验。
重点：会画函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=ax2
0 时， y 随x 的增大而减小
当 x=0 时， y 最大值 =0
16
探究新知
例1 已知二次函数y=ax2 (a≠0)的图象经过点(－2，－3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式.
解：把点(－2，－3)的坐标代入y=ax2 ，
得－3=a(－2)2，
解得 a=－
.
所以这个二次函数的表达式是y=－
0.5x2的图象，它们的共同特点是( D )
A．都关于x轴对称，抛物线开口向上
B．都关于原点对称，顶点都是原点
C．都关于y轴对称，抛物线开口向下
D．都关于y轴对称，顶点都是原点
24
二次函数y=ax^2的图象和性质课件
(3) 连线
还记得如何用 描点法画一个函数 的图像吗?
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y),再 用平滑曲线顺次连接各 点,就得到y=x2的图像.
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
请画函数y=－x2的图像
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 y= － x -7 -8 -9 -10
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都 是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在 y y 空中所经过的路线. o x 这样的曲线叫做抛物线.
当x=0时,最大值为0
画出函数y=x2、y=2x2、y=
1 2
x2的图象：
顶点坐标
y=2x2
y=x2 y= 2 x2
1
a>0，开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同
只是开口 大小不同 二次项系数越大， 开口越小 顶点都是原点(0,0)
画出函数y=-x2、y=-2x2、y=-
1 2
x2的图象：
是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.
第5讲 二次函数y=ax^2(a≠0)的图象与性质(基础课程讲义例题练习含答案)
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值y=ax 2a ＞0向上 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下 （0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象 （1）0a >（2）0a <j xOy()0y ax c c =+>cjyxOc()0y ax c c =+<j yxOcj y xOc2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质1．(2014秋•青海校级月考）二次函数y=ax 2与直线y=2x ﹣1的图象交于点P （1，m ） （1）求a ，m 的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时该表达式y 随x 的增大而增大？ （3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴． 【思路点拨】（1）把点P （1，m ）分别代入二次函数y=ax 2与直线y=2x ﹣1即可求出未知数的值； （2）把a 代入二次函数y=ax 2与即可求出二次函数表达式； 根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值． （3）根据二次函数的性质直接写出即可．【答案与解析】解：（1）点P （1，m ）在y=2x ﹣1的图象上∴m=2×1﹣1=1代入y=ax 2 ∴a=1（2）二次函数表达式：y=x 2因为函数y=x 2的开口向上，对称轴为y 轴，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大； （3）y=x 2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性． 举一反三：【变式1】二次函数2y ax =与22y x =-的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a = ． 【答案】2.【变式2】（•山西模拟）抛物线y=﹣x 2不具有的性质是（ ）．A.开口向上B. 对称轴是y 轴C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D. 最高点是原点 【答案】A.2．已知y=(m+1)x 2m m+是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式.【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数y=ax 2（a≠0）的图象性质来解答. 【答案与解析】由题意，2210m m m ⎧+=⎨+⎩＞，解得m=1，∴二次函数的解析式为：y=22x .【总结升华】本题中二次函数还应该有m+1≠0的限制条件，但当10m +＞时，一定存在m+1≠0，所以就不再考虑了.类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质3．求下列抛物线的解析式： （1）与抛物线2132y x =-+形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线．【思路点拨】抛物线形状相同则||a 相同，再由开口方向可确定a 的符号，由顶点坐标可确定c 的值，从而确定抛物线的解析式2y ax c =+． 【答案与解析】（1）由于待求抛物线2132y x =-+形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为12， 又顶点坐标是（0，-5），故常数项5k =-，所以所求抛物线为2152y x =-． （2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为21y ax =+，又∵该抛物线过点（3，-2），∴912a +=-，解得13a =-． ∴所求抛物线为2113y x =-+． 【总结升华】本题考察函数2(0)y ax c a =+≠的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式.4．在同一直角坐标系中，画出2y x =-和21y x =-+的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线21y x =-+向________平移________个单位得到抛物线2y x =-；(2)抛物线21y x =-+开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线21y x =-+，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________．【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答. 【答案与解析】函数2y x =-与21y x =-+的图象如图所示：(1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1. 【总结升华】本例题把函数21y x =-+与函数2y x =-的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数2(0)y ax c a =+≠与2(0)y ax a =≠的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．2(0)y ax c a =+≠可以看作是把2(0)y ax a =≠的图象向上(0)k >或向下(0)k <平移||k 个单位得到的． 举一反三：【变式】函数23y x =可以由231y x =-怎样平移得到？【答案】向上平移1个单位.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1.关于函数y=2x 的图象,则下列判断中正确的是( ) A.若a 、b 互为相反数,则x=a 与x=b 的函数值相等； B.对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应； C.对任一个实数y,有两个x 和它对应； D.对任意实数x,都有y ＞0.2.下列函数中，开口向上的是（ ）A.23y x =- B.212y x =-C. 2y x =-D.216y x = 3.把抛物线2y x =向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为( )．A ．21y x =+ B ．2(1)y x =+ C ．21y x =- D ．2(1)y x =-4.下列函数中，当x ＜0时，y 值随x 值的增大而增大的是（ ）A.25y x = B.212y x =-C. 2y x =D.213y x = 5.在同一坐标系中，作出22y x =，22y x =-，212y x =的图象，它们的共同点是（ ）．A ．关于y 轴对称，抛物线的开口向上B ．关于y 轴对称，抛物线的开口向下C ．关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点D ．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 6.（•黄陂区校级模拟）抛物线y=2x 2+1的对称轴是（ ） A ．直线x=B ． 直线x=﹣C ． y 轴D ． x 轴二、填空题7.已知抛物线的解析式为y ＝-3x 2，它的开口向________，对称轴为________，顶点坐标是________， 当x ＞0时，y 随x 的增大而________．8.若函数y ＝ax 2过点(2，9)，则a ＝________．9.已知抛物线y ＝x 2上有一点A ，A 点的横坐标是-1，过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于另一点B ，则△AOB 的面积为________．10．（•巴中模拟）对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是 ． 11.函数2y x =，212y x =、23y x =的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．12.若对于任意实数x ，二次函数21x a y ）（+=的值总是非负数，则a 的取值范围是____________． 三、解答题13．已知2(2)mmy m x +=+是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．(1)求m 的值；(2)画出函数的图象． 14. 已知抛物线2y ax =经过A （-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B （-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15．（春·牙克石市校级月考）函数y=ax 2(a ≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)． (1)求a 和b 的值；(2)求抛物线y=ax 2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x 取何值时，y 随x 的增大而增大?(4)求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A. 2．【答案】D ；【解析】开口方向由二次项系数a 决定，a ＞0，抛物线开口向上；a ＜0，抛物线开口向下. 3．【答案】A ； 【解析】由抛物线2y x =的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为21y x =+． 4．【答案】B ；【解析】根据抛物线2(0)y ax a =≠的图象的性质，当a ＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y 值随x 值的增大而增大，所以答案为B. 5.【答案】C ；【解析】y ＝2x 2，y ＝-2x 2，212y x =的图象都是关于y 轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)． 6.【答案】C ；【解析】∵抛物线y=2x 2+1中一次项系数为0， ∴抛物线的对称轴是y 轴． 故选C ．二、填空题 7．【答案】下 ； y 轴； (0，0)； 减小； 8．【答案】94； 【解析】将点(2，9)代入解析式中求a. 9．【答案】 1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则1121122AOB A S AB y ==⨯⨯=△.10．【答案】43-； 【解析】当x=1时，y=ax 2=a ；当x=2时，y=ax 2=4a ，所以a ﹣4a=4，解得a=43-．故答案为：43-. 11．【答案】23y x =，2y x =，212y x =． 【解析】先比较12，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y ＝3x 2，y ＝x 2，212y x =． 12．【答案】a ＞-1；【解析】二次函数21x a y ）（+=的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1＞0. 三、解答题 13.【解析】解：(1)∵2(2)mmy m x +=+为二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴ 2220m m m ⎧+=⎨+>⎩，∴ 122m m m ==-⎧⎨>-⎩或，∴m=1.(2)由(1)得这个二次函数解析式为23y x =，自变量x 的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．14.【解析】解：（1）∵抛物线2y ax =经过A （-2，-8），∴-8=4a ，∴a=-2，抛物线的解析式为：22y x =-.（2）当x=-1时，y=-2()21⨯-=-2≠-4，∴点B （-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即226x -=-，得3x =∴此抛物线上纵坐标为-6-6）和（-6）. 15.【解析】解：（1）将x=1，y=b 代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1)．将x=1，y=-1代入y=ax 2，得a=-1，所以a=-1，b=-1．(2)抛物线的解析式为y=-x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y 轴)． (3)当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(4)设直线y=- 2与抛物线y=-x 2相交于A 、B 两点，抛物线顶点为O(0，0)．由22y y x =-⎧⎨=-⎩,，得112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴A(，-2)，，-2)．∴，高=|-2|=2．∴122AOBS =⨯=。
二次函数的图像和性质——y=ax^2的图像 (共14张PPT)
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1 已知二次函数 y ＝ m －1 xm2 ＋ m 的图像开口向下．
（1）求m的值和函数表达式．
解：（1）由题意知：m－1＜0且m²＋m＝2，则m＝－2．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2 已知二次函数y＝ax²(a≠0)的图像经过点（2，3）． 求：（1）a的值和写出解析式．
列表时自变量要 均匀和对称！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2 画出y＝－x2图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...
5.2 二次函数的图像和性质(1)
请在直角坐标系中画出函数
y＝
1 2
x2
和
y＝2 x2
、
初中数学 九年级(下册)
5.2 二次函数的图像和性质（1）
5.2 二次函数的图像和性质(1)
画函数图像步骤：列表 描点 连线 研究函数性质方法：数形结合 二次函数的图像是怎样的？ 试着画一画吧！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1 画出函数y＝x2的图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
（2）确定图像的开口方向．
解：（1）将（2，3）代入y＝ax²（a≠0），得a＝0.75； （2）抛物线y＝0.75x²，开口向上．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
本节课我们学习了什么？
抛物 y轴 线
向上 向下
（0,0） 最低点
（0,0） 最高点
5.2 二次函数的图像和性质(2)
分别说出下列函数图像的开口方向、顶 点坐标、对称轴：
人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质》说课稿1
人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《22.1.2二次函数y=ax^2 的图象和性质》这一节，是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的图象和性质的基础上，进一步引导学生学习二次函数的图象和性质。
通过这一节的学习，使学生能够掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，以及掌握二次函数的性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的图象和性质有了初步的了解。
但是，二次函数相对于一次函数来说，图象和性质更加复杂，需要学生有一定的抽象思维能力。
此外，学生可能对二次函数的图象和性质在实际问题中的应用还不够清晰，需要教师在教学中进行引导和启发。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的图象特征，掌握二次函数的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探究二次函数的图象和性质。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的一般形式，二次函数的图象特征，二次函数的性质。
2.教学难点：二次函数的图象和性质在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究，提高学生的参与度和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示二次函数的图象和性质，使抽象的知识更加直观形象。
同时，利用练习题和案例，帮助学生巩固所学知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数的图象和性质，引出二次函数的一般形式，激发学生的学习兴趣。
2.探究二次函数的图象特征：让学生观察二次函数的图象，引导学生发现二次函数的顶点、开口方向等特征。
3.探究二次函数的性质：通过小组讨论，让学生归纳出二次函数的增减性、对称性等性质。
九下数学课件二次函数y=ax^2的图像与性质 (课件)
中物理
第5章 二次函数
5.2.1 二次函数y＝ax^2的
图像与性质
1.掌握利用描点法作出y=x2 的图像，并能根据图像认识
和理解二次函数y=x2的性质．
2.理解a对二次函数图像的影响，能说出y=ax2图像的开
口方向、对称轴和顶点坐标．
3.掌握二次函数y=ax2的性质，会指出最值与增减性.
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对
称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点．
知识点二 二次函数图像的特征
1 2
1 2
2
【例2】函数 y＝ x 和 y＝2 x 、y＝ x 和 y＝ 2 x 2 的
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对
点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以
计算简单、描点方便为原则.
【归纳总结】用描点法画函数y=ax2（a ≠ 0）的图像的一般步骤
(2)描点：
一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，
一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速
准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.
4
能力提升
1 2
(2)将y＝1代入y＝ x ，得x＝±2，∴
4
点M、N的坐标分别为(－2，1)、
(2，1)，此时MN＝2－(－2)＝4.∵ △PMN是等边三角形，∴ 点P在y轴上，
且PM＝4.∴ PF＝ 42 − 22 ＝2 3.∵ 点F(0，1)，∴ 点P的坐标为
人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2