用米勒问题求最大张角模型,米勒定理求最大角证明(可下载打印版)
高考数学知识点复习：三板斧之米勒定理
专题4三板斧之米勒定理秒杀秘籍：第一讲三板斧之米勒定理米勒定理：已知点M ，N 是AOB 的边OA 上的两个定点，点P 是边OB 上的一动点，则当且仅当三角形MPN 的外接圆与边OB 相切于点P 时，MPN Ð最大．证明：如图，设'P 是边OB 上不同于点P 的任意一点，连结','P M P N ，P N ’交圆于点C ,因为'MP N 是圆外角，MPN Ð是圆周角，易证'MP N MCN MPN ,故MPN 最大．根据切割线定理得，2OP OM ON ，即OP OM ON 于是我们有：MPN 最大等价于三角形MPN 的外接圆与边OB 相切于点P 2OP OM ON 等价于.OP OM ON 【例1】（1986•高考）如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴上给定两定点A 、B ，试在x 轴的正半轴上求一点C ，使ACB取得最大值．【解析】设点A 的坐标为()0,a ，点B 的坐标为()0,b ，0a b <<，又设所求点C 的坐标为(),0x 则tan tan tan tan 1tan tan BCO ACOACB BCO ACO BCO ACO （）Ð-ÐÐ=Ð-Ð=+行21bab a b ax x b a ab abx x x x---==£+×+，因此，当且仅当ab x x=x ab =即时等号成立.因为在02（，）p内tan y x =是增函数，所以当x ab =时，ACB Ð取最大值arctan2b a ab-，故所求点C 的坐标为,0)ab （．OC OA OB ab 时，ACB Ð最大，故点C 的坐标为)0ab ．【例2】如图，足球场长100米，宽60米，球门长7.2米，有一位左边锋欲射门，应在边AB 的何处才使射门角度最大？【解析】运用米勒定理则可知当且仅当过点P ，Q 的圆与AB 相切于点M 时，即当AM OP OQ=×()()30 3.630 3.629.78=-+»米时，PMQ Ð最大．【例3】（2004•全国试题）在直角坐标系中，给定两点， 1,4M ， 1,2N 在x 轴的正半轴上求一点P ，使MPN Ð最大，则点P 的坐标为．【解析】设直线MN 与x 轴交于点A ，根据米勒定理可知，当且仅当过点,M N 的圆与x 轴相切于点P 时，即当AP AM AN =×时，MPN Ð最大，MN 的直线方程易求得是30x y -+=，A 的坐标是()3,0-，22AN =，42AM =，4AP AM AN =×=故点P 坐标为（1，0）．1F 2F 、在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，111||:||2:1MA A F ．（1）求椭圆的方程；（2）若点P 在直线l 上运动，求12F PF 的最大值．【解析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b ，半焦距为c ，则21||a MA a c，11||A F a c 由题意，得22222()24a a a c c a a b c，2a ，3b ，1c ，故椭圆方程为22143x y．（2）法一：设0(4,)P y ，00y 设直线1PF 的斜率013y k ，直线2PF 的斜率025y k ，∵12102F PF PF M，12F PF 为锐角， 002112212002||2||15tan ||11515215||y y k k F PF k k y y．当0||15y ，即015y 时，12tan F PF 取到最大值，此时12F PF 最大，故12F PF 的最大值为15arctan15．法二：由米勒定理可得：当12F PF 取得最大值时，21215MP MF MF MP =邹=，012202||15tan 1515y F PF y．达标训练1．（2017•新课标Ⅱ）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A ，则B ．2.（2014•广东）在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b B c C b 2cos cos ，则a b．3．（2016•四川）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B Ca b c．（1）证明：sin sin sin A B C ；（2）若22265b c a bc ，求tan B ．4．（2016•新课标Ⅰ）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c ．（1）求C ；（2）若7c ABC △的面积为332，求ABC △的周长．5．（2012•新课标）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c （1）求A ；（2）若2a ，ABC △3b ，c ．6．（2011•江西）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ，已知3cos cos cos a A c B b C （1）求cos A 的值；（2）若1a ，23cos cos B C c 的值．7．（2011•山东）已知在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且cos 2cos 2cos A C c aB b．（1）求sin sin C A的值；（2）若1cos 4B ，2b ，求ABC △的面积S ．8.（2018•新课标Ⅲ）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABCS △2224a b c ，则 C （）A ．2B ．3C ．4D ．69．（2014•江西）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22()6c a b ，3C ，则ABC △的面积为（）A ．3B 932C ．332D ．3310.（2011•重庆）ABC △的角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足22()4a b c ，且 60C ，则ab 的值为（）A ．43B ．843C ．1D ．2311.（2018•石家庄模拟）在ABC △中，2AB ，6C，则BC AC 3 的最大值为（）A ．7B ．72C ．73D ．7412.（2012•湖北）设ABC △的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ．若()()a b c a b c ab ，则角C．13.（2018•北京）若ABC △2223)a c b ，且C 为钝角，则B ；ca的取值范围是．14.（2015•天津）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ABC △的面积为315，2b c ，41cosA ，则a 的值为．15.（2014•江苏）若ABC △的内角满足C B A sin 2sin 2sin ，则C cos 的最小值是．16.（2018•沈阳期中）在ABC △中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b a 2 ，则C 的取值范围是．17．（2018•重庆期末）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3B ，3 b ，则3a c 的最大值为．18．（2018•道里一模）钝角ABC △中，若43A ，||1BC ，则2|3||AB AC 的最大值为．19．（2018•常州期末）在ABC △中，已知6AC ，60A ，点D 满足2BD DC，且27AD AB 边的长为．20．（2019•衡水金卷）在ABC △中，D 在AC 边上，若3CD AD ，10cos 24ABC的中点，且2BD ，则3AB BC 的最大值是．21.（2017•新课标Ⅱ）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2BA C ．（1）求B cos ；（2）若6a c ，ABC △的面积为2，求b ．22．（2016•北京）在ABC △中，2222a c b ac ．（1）求B 的大小；（2）求C A cos cos 2 的最大值．23．（2013•江西）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (cos 3)cos 0C A A B ．（1）求角B 的大小；（2）若1a c ，求b 的取值范围．24．（2013•新课标Ⅱ）ABC △在内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C c B ．（1）求B ；（2）若2b ，求ABC △面积的最大值．25.（2018•铜山期中）已知a 、b 、c 分别是ABC △的内角A ，B ，C 对的边，3b ．（1）若56C ，ABC △32，求c ；（2）若3B，求2a c 的取值范围．26．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c ab ，1c ．（1）求角C 的大小；（2）求12b a 的最大值．27.（2019•泉州一模）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知5b ，()sin 2sin()a b A b A C ．（1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）点D 在边AB 上，2AD BD ，17CD AB ．28.（2018•商丘期末）在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos b c A a C ．（1）求角A 的大小；（2）若点D 满足2AD AC，且3BD ，求2b c 的取值范围．29．（2010•江苏）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位：)m ，如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度4h m ，仰角ABE ，ADE ．（1）该小组已经测得一组 、 的值，tan 1.24 ，tan 1.20 ，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：)m ，使 与 之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时， 最大？30．（2005•天津）某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC ，塔高80 BC （米)，山高220 OB （米)，200 OA （米)，图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为 ，1tan 2．试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角BPC 最大（不计此人的身高）？30题图130题图231.（2016•灌云县期中）如图，有一壁画，最高点A 处离地面4AO m ，最低点B 处离地面2BO m ，观赏它的C 点在过墙角O 点与地面成30 角的射线上．（1）设点C 到墙的距离为x ，当3x m 时，求tan 的值；（2）问C 点离墙多远时，视角 最大？32.（2016•遂宁期末）如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米．观察者从距离墙(1)x x 米，离地面高(12)a a 米的C 处观赏该壁画，设观赏视角ACB ．（1）若 1.5a ，问：观察者离墙多远时，视角 最大？（2）若1tan 2，当a 变化时，求x 的取值范围．33.（2005•浙江理科）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，111||:||2:1MA A F ．（1）求椭圆的方程；（2）若直线1:(||1)l x m m ，P 为1l 上的动点，使12F PF 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标（用m 表示）．。
【中考专题】角系列之最大角问题(米勒问题)
【中考专题】角系列之最大角问题（米勒问题） 问题描述1471年，德国数学家米勒(Joannes miiller )向诺德尔(Christion roder )提出这样一个问题： 如图，点A 、B 直线l 的同一侧，在直线l 上取一点P ，使得∠APB 最大，求P 点位置． 当点P 不与A 、B 共线时，作△P AB 的外接圆，当圆与直线l 相切时，∠APB 最大切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
则有PT 2=P A •PB推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 则有 PT 2=P A •PB= PC •PD【2019烟台中考】如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A （-1,0）、B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD⊥y 轴交抛物线于另一点D ，作DE ⊥x 轴，垂足为点E ，双曲线y =6x（x >0）经过点D ,连接BD .（1）求抛物线的表达式；（2）动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD 的度数最大？（请直接写出结果）（1）D 纵坐标与点C 相同，为3，代入反比例解析式，可得D 点坐标为（2,3），根据A 、D 坐标可得抛物线解析式：y =-x 2+2x +3.（2）求t 即求P 点位置.思路1：作外接圆作过点B 、D 的圆且与y 轴相切时，切点即为所求P 点，由抛物线解析式可得B 点坐标为(3,0)，结合D (2,3)，则BD 中点N 坐标为(52,32).作BD 的垂直平分线，即过N 点作BD 的垂线，利用k 1·k 2=-1，可求得垂直平分线解析式为y =13x +23. 三角形PBD 圆心记为Q ，点Q 在BD 垂直平分线上，设Q 点坐标为(m ，13m +23)根据QP =QB ，可得：m =(m -3)2+(13m +23)2 , 解得：m 1=25-615，m 2=25+615（舍） 故Q 点坐标为（25-615,9-215），P 点坐标为（0,9-215）,∴t 的值为9-215.思路2：切割线定理延长BD 交y 轴于M 点，则当MP 2=MD •MB 时，∠BPD 最大∵B (3,0)、D (2,3),∴直线BD 解析式:y =-3x +9,故直线BD 与y 轴交点M 点坐标为(0,9)MD =210,MB =310,∴MP 2=MD •MB =60,∴MP =215,∴P 点坐标为(0,9-215)故t 的值为9-215.【已知最大角求直线】如图，在平面直角坐标系中，A （1，0）、B （5，0）直线l 经过点C （-1，2），点P 是直线l 上的动点，若∠APB 的最大值为45°，求直线l 的解析式．直线l 未知,但∠APB 的最大值已知为45°，故构造△ABP 外接圆,圆心为M 点，则∠AMB =2∠APB =90°，∵A （1,0）、B （5,0），∴M 点坐标为（3,2）连接MC 、MP ，圆M 与直线CP 相切，故MP ⊥CP ，△CPM 是直角三角形∵MC =4，MP =MA =22，∴CP =22，即△CPM 是等腰直角三角形，易求P 点坐标为（1,4），又C 点坐标为（-1,2），可求直线l 的解析式为y =x +3.【最佳射门点】如图，已知足球球门宽AB 约为52米,一球员从距B 点52米的C 点（点A 、B 、C 均在球场底线上），沿着AC 成45°角的CD 方向带球。
九年级培优专题：最大视角-米勒定理
（APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的"等角点"．显然，线段AB的"等角点"有无数个，且A、B、P三点共圆．
①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；
②y轴正半轴上是否有线段AB的"等角点"？如果有，求出"等角点"的坐标；如果没有，请说明理由；
（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，求出点P的坐标.没有就算了。
最大视角———米勒定理
最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题。
答案：当以AB为弦的圆与该线相切时，切点为顶点的角最大，如左图。要不然∠APB变成圆外角，圆外角<圆周角<圆内角，如右图。
快速求法：画出示意图，然后切割线定理秒杀：OP2=OA•OB
跟踪练习：
例3.问题发现：如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是______；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是_______．
运用米勒定理简解最大角问题
运用米勒定理简解最大角问题湖北省阳新县高级中学邹生书1.米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：米勒问题：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的动点，则当在何处时，角ACB最大？对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。
米勒定理：已知点是角MON的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边相切于点时，角ACB最大。
证明：如图1，设是边上不同于点的任意一点，连结，因为角AC／B是圆外角，角ACB是圆周角，易证角AC／B小于角ACB，故角ACB最大。
图１根据切割线定理得，，即，于是我们有：角ACB最大等价于三角形ABC。
的外圆与边相切于点等价于等价于2.米勒定理在解题中的应用最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。
2.1用米勒定理确定最大视角的点的位置例1（1986年全国高考数学试题理科第五大题）如图2，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上给定两定点，试在轴的正半轴上求一点，使取得最大值。
图２分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题。
若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题。
简解：设，由米勒定理知，当且仅当时，最大，故点的坐标为。
直线与圆 视角最大问题——米勒定理
6.4 视角最大问题——米勒定理ON ．点，连结ON ，据此我们也可以确定点过，个人还是建议利用“夹角公式＋均值不等式”的套路．例 (1986全国卷理)如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A 、B ．试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值．法一 常规方法，利用夹角公式＋均值不等式设(0,)A a ，(0,)B b ，且0b a <<，设(,0)C x ，记BCA α∠=，OCB β∠=，则OCA αβ∠=+，显然02απ<<，故[]2tan()tan tan tan ()1tan()tan 1a b a b x x ab ab x x xαββααββαββ-+--=+-====++++，=，即x tanα取得最大值因此，当点C为0)时，∠ACB取得最大值法二利用米勒定理，显然，过点A、B的圆和x轴相切于点C时，∠ACB取得最大值，设OA a=，OB b=，此时2OC OA OB=，即点C的坐标为0)．例(2005天津文理)某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高80BC=(米)，塔所在的山高220OB=(米)，200OA=(米)，图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为a，1tan2a=．试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC∠最大（不计此人的身高）．解如图所示，延长P A交CO的延长线于点D，过点P作PE⊥OA于点E．易得tan100OD OAα==，AD=BPC∠最大，则必有△PBC的外接圆与直线l相切于点P，根据切割线定理：2DP DB DC=，即DP=PA=因此，sin60PE PAα===，所以当此人距水平地面60米高时，观看塔的视角BPC∠最大．例(2005浙江理)如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12F F、在x轴上，长轴12AACBPOADElα的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，11121MA A F =：：． (1) 求椭圆的方程；(2) 若直线1(1)l x m m =>：，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．略解 (1) 22143x y +=；(2)设直线1l 与x 轴的交点为H ，则点0(,)Q m y ，1m >，则212HQ HF HF =，即2(1)(1)Q y m m =---，即Q y =Q 的坐标为(,m ±，1m >．例 (2010江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H （单位：m ）.如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度4m h =，仰角ABE α∠=，ADE β∠=．(1) 该小组已测得一组αβ、的值，算出了tan 1.24α=，tan 1.20β=，请据此算出H 的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精度. 若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，αβ-最大？解 (1) 由tan tan H dh H H h BD AD d αβ⎧=⎪⎪⎨-⎪===⎪⎩得：tan tan H H h αβ=-，即tan 124m tan tan h H ααβ==-；(2)DQD2tan tan tan()()1tan tan ()1HH h hd hd d H H h H H h d H H h d d d d αβαβαβ----====≤--++-++，当且仅当d ===tan()αβ-取得最大值．又02βαπ<<<，则02αβπ<-<，因此，当d =时，αβ-最大． 背景 本题实际上也是米勒定理的应用，不过稍微有点特殊，如果选择线段BD 对应的视角∠BED 进行分析，会发现BD 是运动的，E 是固定的，无法利用米勒定理，需要另寻他径进行转化．由于视角的对边是定值，注意到BC 刚好为定值，因此，不妨选择BC 为对边，同时延长CP ，使得BP AE=，根据相对运动可知：点E 刚好在直线PQ 上运动，此时，即可利用米勒定理，当且仅当过B 、C 的圆且与PQ 相切于点E 时，∠BEC 取得最大值，故121d PE ===．例 (1) 在△ABC 中，AB =2216CA CB -=，则角C 的最大值为 ．(2) 在△ABC 中，90C ∠=︒，点M 满足3BM MC =，则sin BAM ∠的最大值是． 解 (1)法一 设角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，则c =222162b a c -==，故2222222132cos 224b a a ba b c a b C ab ab b a -+-+-⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭所以6C π≤，即角C的最大值为6π． 法二 联想到“等差幂线”，易知点C 的轨迹在一条直线上．不妨设(0)A，0)B ，(,)C x y ，代入2216CACB -=，整理得：x =此，当过点A 、B的圆E 与x =C 时，角C 最大！设x =x 轴的交点为D ，则2DB DA DC =，即DC OE =AEB 为正三角形，角C 的最大值为6π． (2)35；如图所示，当过点B 、M 的圆O 与AC 相切于点A 时，BAM ∠最大，设4BC =，BM 的中点为P ，则2CA CM CB =，即2OP AC ==，故3sin sin 5PM BAM POM OM ∠=∠==．例 已知点F 、A 分别为椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的右焦点和上顶点，点B 为椭圆右准线l 上的一动点，且△ABF 的外接圆面积的最小值是4π，则当椭圆的短轴最长时，椭圆的离心率为 ．解；设△ABF 的外接圆半径r ，则2sin sin AF a r ABF ABF==∠∠，根据米勒定理可知：当△ABF 的外接圆与右准线相切时，张角ABF ∠取得最大值，此时，r 取得最小值，亦即△ABF 的外接圆面积取得最小值．又22a r c ≥，亦即2222a r c ⎛⎫π≥π ⎪⎝⎭，当且仅当直线AB 与准线l 垂直时取得等号，故2242a c ⎛⎫π=π ⎪⎝⎭，即24a c =，进而2224(2)4b c c c =-=--+，因此，当2c =时，椭圆的短轴取得最大值为4．。
八种隐圆类最值问题,圆来如此简单(原卷版)
八种隐圆类最值问题，圆来如此简单在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。
正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。
“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏圆”。
一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！知识点梳理题型一定点定长得圆2023年湖北省鄂州市中考数学真题2023·邵阳市中考真题2023·广西南宁市二模2022·辽宁抚顺·中考真题2022·长春·中考真题题型二直角的对边是直径2023·菏泽市中考真题2022·通辽·中考真题2023·汕头市金平区一模2023·广州市天河区三模2022·成都市成华区二诊题型三对角互补得圆2023年·广元市一模题型四定弦定角得圆2023·成都市新都区二模2023·成都市金牛区二模2023·达州·中考真题题型五四点共圆题型六相切时取到最值2023·随州市中考真题2022·江苏无锡·中考真题2022扬州中考真题题型七定角定高面积最小、周长最小问题题型八米勒角（最大张角）模型徐州中考知识点梳理一、定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转，滑梯模型得到动点的轨迹为绕定点等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算二、直角的对边是直径前世：在⊙O中，AB为直径，则始终有AB所对的∠C=90°今生：若有AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则C在以AB为直径径的圆上．(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)xB三、对角互补前世：在⊙O 上任意四点A ，B ，C ，D 所围成的四边形对角互补 今生：若四边形ABCD 对角互补，则A ，B ，C ，D 四点共圆四、定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算．前世：在⊙O 中，若弦AB 长度固定则弦AB 所对的圆周角都相等(注意：弦AB 在劣弧AB 上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)今生：若有一固定线段AB 及线段AB 所对的∠C 大小固定，根据圆的知识可知C 点并不是唯一固定的点，C 在⊙O 的优弧ACB 上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C 的大小，小于90°，则C 在优弧上运动；等于90°，则C 在半圆上运动；大于90°则C 在劣弧运动)五、四点共圆模型前世:在⊙O 中，ABCD 是圆的内接四边形，则有∠1=∠2，∠3=∠4，△BPC~△APD(同理△BPA~△CPD) 今生:若四边形ABCD 中有∠1=∠2(通常情况下∠5=∠6对顶角相等，故不需要∠3=∠4，实际应用中长用∠1=∠2，∠5=∠6)则ABCD 四点(某些不能直接使用四点共圆的地区，可以通过证明两次三角形相似也可)，选填题可以直接使用六、定角定高（探照灯模型）什么叫定角定高，如右图，直线BC 外一点A ，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角。
米勒定理最大角画法原理
米勒定理最大角画法原理
米勒定理描述的是在一个给定的角度中，如何选择一个点使得与该角度相交的线段所形成的角度最大。
这个定理在数学、物理和工程学等领域有着广泛的应用。
具体来说，米勒定理的原理是这样的：假设我们有一个固定的角度，例如一个直角三角形。
现在我们要选择这个直角的顶点，使得从一个顶点出发的两条线段（例如直角三角形的两条直角边）与这个直角形成的角度最大。
根据米勒定理，这个最大的角度会出现在这两条线段相交的位置。
这个原理的证明涉及到几何学和线性代数的知识。
我们可以使用向量叉积和向量的模长来证明这个定理。
如果两条线段在某点相交并且形成最大的角度，那么这两条线段的方向向量在这个点处应该是垂直的。
这意味着它们的叉积为零，并且它们的模长相等。
通过证明这些条件只在两条线段相交时成立，我们可以证明米勒定理的正确性。
在实际应用中，米勒定理可以帮助我们优化设计、提高效率、简化问题等。
例如，在建筑设计、机械设计、电路设计等领域，我们可以通过应用米勒定理来优化设计方案，提高产品的性能和稳定性。
因此，掌握和应用米勒定理对于数学、物理和工程学等领域的研究和应用都具有重要的意义。
圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题(学生版)--初中数学专题训练
圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(阿基米德折弦模型、米勒最大张角(视角)模型、弧中点模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.阿基米德折弦模型【模型解读】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。
如下图所示，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD 。
折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。
【模型证明】方法1.:补短法如图，延长DB 至F ，使BF =BA∵M 是ABC 的中点∴∠MCA =∠MAC =∠MB C ∵M 、B 、A 、C 四点共圆∴∠MCA +∠MB A =180°∵∠MB C +∠MB F =180°∴∠MB A =∠MB F ∵MB =MB ,BF =BA∴△MB F ≌△MB A ∴∠F =∠MAB =∠MCB∴MF =MC ∵MD ⊥CF∴CD =DF =DB +BF =AB +BD 方法2.截长法如图，在CD 上截取DG =DB∵MD ⊥BG∴MB =MG ，∠M GB =∠MB C =∠MAC ∵M 是ABC 的中点∴∠MAC =∠MCA =∠MGB 即∠M GB =∠MCB +∠BCA =∠MCB +∠BMA又∠M GB =∠MCB +∠GMC∴∠BMA =∠GMC ∵MA =MC∴△MB A ≌△MGC (SAS )∴AB =GC ∴CD =CG +GD =AB +BD方法3.垂线法如图，作MH ⊥射线AB ，垂足为H 。
∵M 是ABC 的中点∴MA =MC ∵MD ⊥BC∴∠MDC =90°=∠H∵∠MAB =∠MCB ∴△MHA ≌△MDC (AAS )∴AH =CD ，MH =MD又∵MB =MB∴Rt △MHB ≌Rt △MDB (HL )∴HB =BD ∴CD =AH =AB +BH =AB +BD例1.(2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习)阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =DB +BA ．其部分证明过程如下：证明：如图2，在CD 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ，∵∠A =∠C ，∴△MAB ≌△MCG (SAS )，∴MB =MG ，⋯⋯任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，DE =7，则O 到DE 的距离是____________，O 到AC 的距离是____________，⊙O 的半径是____________．变式1.(2022秋·江苏盐城·九年级统考期中)【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ 、QN 组成折线段MQN ．若点P 在折线段MQN 上，MP =PQ +QN ，则称点P 是折线段MQN 的中点．【理解应用】(1)如图2，⊙O 的半径为2，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 是折线段POA 的中点．若∠APO =30°，则PB =______；【定理证明】(2)阿基米德折弦定理：如图3，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，点M 是ABC的中点，从M 向BC 作垂线，垂足为D ，求证：D 是折弦ABC 的中点；【变式探究】(3)如图4，若点M 是AC 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】(4)如图5，BC 是⊙O 的直径，点A 为⊙O 上一定点，点D 为⊙O 上一动点，且满足∠DAB =45°，若AB =8，BC =10，则AD =______________．变式2.(2022秋·江苏泰州·九年级统考期中)早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论．某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，AC 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ACB 是圆的一条折弦)，BC >AC ，M 是ACB的中点，过点M 作MD ⊥BC ，垂足为D ，小明通过度量AC 、CD 、DB 的长度，发现点D 平分折弦ACB ，即BD =AC +CD ．小丽和小军改变折弦的位置发现BD =AC +CD 仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明：小军采用了“截长法”(如图2)，在BD 上㵶取BE ，使得BE =AC ，⋯⋯小丽则采用了“补短法”(如图3)，延长BC 至F ，使CF =AC ，⋯⋯小明采用了“平行线法”(如图4)，过M 点作ME ∥BC ，交圆于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，⋯⋯(1)请你任选一位同学的方法，并完成证明；(2)如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，△ABC 内接于⊙O (A 、B 、C 均是格点)，点A 、D 关于BC 对称，连接BD 并延长交⊙O 于点E ，连接CE ．①请用无刻度的直尺作直线l ，使得直线l 平分△BCE 的周长；②求△BCE 的周长．变式3.(2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中)请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德(公元前287年一公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．阿拉伯Al -Binmi (973年一1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Binmi 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD =AB +BD ，过程如下：证明：如图2所示，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC ，⋯(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD ，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，则AE 的长度为_________；(3)如图4，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB =8，D 为AC上一点，∠ABD =45°，AE ⊥BD 于点E ，求△BDC 的周长．模型2.米勒最大张角(视角)模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
高三数学最大张角专题讲解
最大张角问题（米勒问题）【问题背景】1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题：在地球表面的什么位置，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？因此最大视角问题又称为“米勒问题”。
米勒定理（最大张角）：已知点A 、B 是角M ON 的边O N 上的一动点，则当且仅当三角形A B C 的外接圆与边OM 相切于点C 时，∠A C B 最大。
此时有OC ²=O B ×OA 。
请证明。
【例题】例1、【问题探究】（1）如图1，A B 是○O 的弦，直线l 与○O 相交于点M 、N 两点，M1，M 2是直线l 上异于点M ，N 的两个点，则∠A MB ,∠AM 1B ，∠AM 2B 的大小关系是____（用＞号连接）（2）如图2，A B 是○O 的弦，直线L 与○O 相切于点M ，点M 1是直线l 上异于点M 的任意一点，请在图2中画出图形，试判断∠A MB ，∠AM 1B 的大小关系，并说明理由。
（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点A （2,0），B （8,0），点P 是y 轴上的一个动点，当∠AP B 最大时，求点P 的坐标。
【解决问题】（4）某游乐园的平面图如图4所示，场所保卫人员想在线段O D 上的点M 处安装监控装置，用来监控OC 边上的AB 段，为了让监控效果达到最佳，必须要求∠A MB 最大。
已知：∠DO C=60°，O A=400米，A B=200√3米，问在线段O D 上是否存在一点M ，使得∠A MB 最大，若存在，请求出此时OM 的长和∠A MB 的度数，如果不存在，请说明理由。
N例 2.如图，在每一个四边形AB C D中，均有A D∥B C，CD⊥B C，∠AB C＝60°，A D＝8，B C＝12.(1)如图①，点M是四边形A BC D边A D上的一点，则△B MC的面积为__________；(2)如图②，点N是四边形A BC D边A D上的任意一点，请你求出△B NC周长的最小值；(3)如图③，在四边形A BC D的边A D上，是否存在一点P，使得co s∠BP C的值最小？若存在，求出此时c os∠B PC的值；若不存在，请说明理由．5.如图，矩形A BC D中,AB=3，B C=4，E为B C的中点，点P是B D上的一个动点，当∠E P C最大时，请求出△A PD的面积。
圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型(学生版)-2024年中考数学
圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(米勒最大视角(张角)模型、定角定高(探照灯)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。
实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。
而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
模型1.米勒最大张角(视角)模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。
【模型证明】如图1，设C'是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC'B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC'B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC'D中，∠ADB=∠AC D+∠DAC ∴∠ADB>∠AC D又∵∠ACB=∠ADB∴∠ACB>∠AC D【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
1(2023·广东珠海·九年级统考期末)如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好()A.甲B.乙C.丙D.丁2(2023·四川宜宾·校考二模)如图，已知点A 、B 的坐标分别是0,1 、0,3 ，点C 为x 轴正半轴上一动点，当∠ACB 最大时，点C 的坐标是()A.2,0B.3,0C.2,0D.1,03(2023·江苏南京·九年级统考期中)如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =8，M 是CD 的中点，点P 是BC 上一个动点，若∠DPM 的度数最大，则BP =．4(2023·陕西西安·校考模拟预测)足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB 的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD 上行进时，当存在一点Q ，使得∠CQA =∠ABQ (此时也有∠DQB =∠QAB )时，恰好能使球门AB 的张角∠AQB 达到最大值，故可以称点Q 为直线CD 上的最佳射门点．(1)如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，Q1，Q2，Q3为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点；(2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB=3a，BD=a．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示a，若此时守DQ的长度并求出tan∠AQB的值；②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为54门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．(结果用含a的代数式表示)5(2023上·北京东城·九年级校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1,1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为90°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1,2)，直线l:y=kx+b(k>0)经过点D( -23+1,0)，若直线关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=3x+1关于⊙C的“视角"大于120°，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．3模型2. 定角定高模型(探照灯模型)定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值(定高)，∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。