《数值分析》教学大纲

《数值代数》教学大纲

(学时50+计算实习学时16) 一、课程简述

数值代数课程在本科生阶段“数学分析”和“高等代数”的基础上，进一步深入学习和理解与实际应用密切相关的矩阵的理论知识与数值算法。

“数值线性代数”是信息与计算科学、数学与应用数学专业的必修课程，讲述矩阵计算的基础知识，求解线性方程组的直接方法和古典迭代法，最小二乘问题的数值解法，矩阵特征值问题的数值算法，同时做到理论与实践相结合，设计上机实验题目，依托学院的机房开展上机实验，培养学生的实际动手能力，能够利用C++语言或MATLAB语言编写程序。

二、本科相关课程

数学分析、高等代数

三、课程内容、基本要求与学时分配

该课程的上课时间分为两部分：课堂教学及上机实验，在课堂教学方面，要求学习并掌握以下内容：

1．范数、稳定性及敏度分析 6学时

主要包括矩阵与向量的范数、矩阵三种分解（Jordan分解、Schur分解、奇异值分解）和对称阵的特征分解、两种正交变化（Householder变换、Givens变换）、浮点运算、问题的条件及算法的稳定性。

2．求解线性方程组的直接法 8学时

介绍三角形方程组的数值解法、（带选主元策略）Gauss消去法、特殊矩阵的三角分解、Gauss消去法的误差分析及迭代改进.

3．求解线性方程组的古典迭代法 8学时

介绍迭代法的基础知识、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、SOR迭代法及其收敛性定理以及各种迭代法的加速.

4．Krylov子空间迭代法 6学时

最速下降法、共轭梯度法、GMRES及其收敛性

5．特征值问题的计算 12学时

主要介绍幂法与反幂法，Rayleigh商迭代，同时迭代法，上Hessenberg化，QR算法与双重步位移的隐式QR算法，计算对称特征值问题的算法主要有：Jacobi迭代，二分法，分而治之法，对称QR算法等。

6．最小二乘问题 6学时

Household变换、Givens变换、QR分解、正则化方法

7. 奇异值分解 4学时

奇异值分解算法、收敛性定理

在上机实验方面，要求学习并掌握以下内容：

1．MATLAB或C++基础 4学时

介绍MATLAB或C++的一些基本知识，重点掌握一些基本的操作命令，为程序的编写打下一定的基础.

2．主要算法的程序实现及数值实验 12学时

通过实例讲述如何利用C++语言及MATLAB语言将数值算法具体实现.设计与课程内容相关的具体实际问题，指导学生利用上述两种编程语言实现。

三、课程使用的教材和主要参考书

使用教材：

1.Lloyd N. Trefethen and David Bau, III, NUMERICAL LINEAR ALGEBRA, SIAM, 1997.

主要参考书：

1、《矩阵计算》 (第3版)，戈卢布，范洛恩著，袁亚湘等译，人民邮电出版社。

2、《数值线性代数》，徐树方，高立，张平文著，北京大学出版社。

3、《矩阵计算的理论与方法》，徐树方，北京大学出版社。

4、J. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.

5、Nicholas J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM, Second edition,

2002.

6、《数值分析》（上册），冯果忱、黄明游等，高等教育出版社，2007年。

7、Nicholas J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, SIAM, 2008.

教学大纲制订者：于波、程明松、董波

审订者：于波

数学科学学院计算科学研究所

《数值逼近》教学大纲

(学时40+计算实习学时16)一、课程简述

《数值逼近与计算几何》是我院本科生的一门专业必修课，此课程体系是计算数学、科学工程计算、计算几何、计算机图形学等诸多方向的理论基础和方法的依据。为进行科学计算的本科生讲授基本理论和方法。在本科生阶段学习“线性代数”、“高等数学”、“微分几何”等课程的基础上，通过本课程体系内容的学习，建立宽广的、深厚的、前沿的数值逼近与计算几何的理论与算法基础。本课程主要讲述各种数值逼近与计算几何的基本理论和方法，包括一致逼近及最佳平方逼近、多项式插值及样条插值、曲线拟合、数值积分等内容。

二、本科相关课程

数学分析、高等代数、空间解析几何

三、课程内容

1．Weierstrass定理

Weierstrass第一定理、Weierstrass第二定理、Bernstein多项式基本性质

2. 最佳一致逼近

Borel存在定理、最佳逼近定理、Tchebyshev最小零偏差多项式及其应用

3. 多项式插值方法

Lagrange插值公式、Newton插值公式、插值余项、有限差分计算、等距结点上的插值公式、两点三次Hermite插值

4．平方逼近

最小二乘法、平方逼近、直交函数系、直交多项式的性质、几种特殊的直交多项式

5. 数值积分

数值积分的一般概念、Newton-Cotes 公式、Romberg 方法、Euler-Maclaurin公式、Gauss型求积公式、Gauss 公式和Mehler公式、三角精度与周期函数的求积公式、奇异积分的计算

6. 样条逼近方法

样条函数及其基本性质、B-样条及性质（等距B样条）、三次样条插值

四、课程使用的教材和主要参考书

教材：王仁宏，数值逼近，高等教育出版社出版，1999

参考书：王仁宏，李崇君，朱春钢，计算几何教程，2008

教学大纲制订者：刘秀平、朱春钢

审订者：刘秀平

数学科学学院计算科学研究所