山东大学2018-2019学年第一学期PDE期末考试(按回忆整理)

3. 判断方程
uxx + 2uxy − 3uyy = 0, (x, y) ∈ R × R+,
u|y=0 = 3x2, uy|y=0 = 0, x ∈ R,
的类型并求解.
4. 证明：对于热传导方程的Cauchy问题
ut − a2uxx = 0, (x, t) ∈ R × R+,
u|t=0 = ϕ(x), x ∈ R,
u|x=0 = u|x=l = 0, t ∈ R+,
的能量不等式
1 E(t) :=
l
u2dx ≤ E(0)eCT ,
20
其中C 为正常数.
0 ≤ t ≤ T,
若其初始资料ϕ(x) ∈ C0(R) ∩ L1(R)是偶函数，则其有界解也是偶函 数.
5. 证明：若区域Ω的边界满足内切球条件，则Ω上调和方程的Neumann内 问题的解除去一个常数外是唯一的.
6. 证明：初边值问题

ut
−
uxx
+
xux
=
0,
(x, t) ∈ (0, l) × R+,


u|t=0 = ϕ(x), x ∈ (0, l),
1
1. 求解初边值问题

ut − uxx = 0, (x, t) ∈ (0, l) × R+,


πx
u|t=0 = sin l , ut|t=0 = 0, x ∈ (0, l),



u|x=0
Baidu Nhomakorabea
=
u|x=l
=
0,
t ∈ R+.
2. 半径为ρ0的圆盘，表面绝热. 圆盘上热源分布f (x, y) = −xy，并在圆 周上保持常温0. 求圆盘稳恒状态的温度分布.