最新人教中考总复习知识点专题二次根式
专题训练(一)
► 技巧六 巧用倒数法比较大小
13．设 a＝ 3－ 2，b＝2－ 3，c＝ 5－2，则 a，b，
c 的大小关系是( A )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞b＞a
D．b＞c＞a
[解析] A 因为( 3－ 2)( 3＋ 2)＝1，所以 a＝ 3－ 2＝
1
1
1
3＋ 2.同理，b＝2＋ 3，c＝ 5＋2.当分子相同时，分母大的分数
专题训练(一)
2．当 a＜12且 a≠0 时，化简： 4a22a－2－4aa＋1＝__－__1a____．
（2a－1）2 |2a－1| [解析] 原式＝ a（2a－1） ＝a（2a－1）.
当 a＜12时，2a－1＜0，所以|2a－1|＝1－2a.
1－2a
1
所以原式＝a（2a－1）＝－a.
专题训练(一)
[解析] 因为 x＋y＝ 11，xy＝14[( 11)2－( 7)2]＝1， 所以 x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝( 11)2－3＝8.
专题训练(一)
12．已知 a＝2＋ 3，b＝2－ 3，则(a＋ 2)2(b＋ 2)2＝ __41_＋__2_4___2__．
[解析] 因为 a＋b＝(2＋ 3)＋(2－ 3)＝4， ab＝(2＋ 3)(2－ 3)＝4－3＝1， 所以原式＝[(a＋ 2)(b＋ 2)]2＝[ab＋ 2(a＋b)＋2]2＝(3＋4
第十六章 二次根式
专题训练(一)
第十六章 二次根式
专题训练(一)
二次根式化简求值的六种技巧
专题训练(一)
► 技巧一 利用二次根式的性质 a2＝|a|化简
1．已知 a＝2－ 3，则 a2－2a＋1的值为( B )
A．1－ 3
B. 3－1
C．3－ 3
D. 3－3
[解析] B a2－2a＋1＝|a－1|. 因为 a－1＝(2－ 3)－1＝1－ 3＜0， 所以|a－1|＝－(1－ 3)＝ 3－1.故选 B.
A．－a b
B．a －b
C．－a －b
D．a b
[解析] A 由 ab＜0，可知 a，b 异号且 a≠0，b≠0.又因为 a2≥ 0，且 a2b≥0，所以 a＜0，b>0.
所以原式＝－a b.
专题训练(一)
6．化简：(1) （－5）2×（－3）2＝__1_5_____；
(2) (3)
（ 2.－251a62b）＝×_3_2（a__－_b_4_9_）；＝___2_8____；
的值反而小，所以 a＞b＞c.故选 A.
谢 谢 观 看！
解：由三角形三边关系定理，得 2＜c＜8. 所以原式＝ （c－2）2－ （12c－4）2＝c－2－(4－12c)＝32c－6.
[解析] 由三角形三边关系定理可得 2＜c＜8，将这两个二次根式 的被开方数分解因式，就可以利用二次根式的性质化简了．
专题训练(一)
► 技巧二 逆用二次根式乘除法法则化简
5．当 ab＜0 时，化简 a2b的结果是( A )
9a3 3a
(5)原式＝ 4 ＝ 2
a.
专题训练(一)
► 技巧三 利用隐含条件求值
7．已知实数 a 满足 （2019－a）2＋ a－2020＝a， 则a2－ 0119＝__2_0_2_0___．
[解析] 依题意可知 a－2020≥0，即 a≥2020. 所 以 （2019－a）2 ＋ a－2020 ＝ a 可 转 化 为 a － 2019 ＋ a－2020＝a，即 a－2020＝2019. 所以 a＝20192＋2020.所以a20－119＝2019220＋192019＝2020.
专题训练(一)
8．已知 x＋y＝－10，xy＝8，求 xy＋ yx的值．
解：依题意可知 x＜0，y＜0.
x2
y2 －x －y －（x＋y）
所以原式＝ xy＋ xy＝ xy＋ xy＝
xy .
因为 x＋y＝－10，xy＝8，
－（－10） 5 2
所以原式＝
8 ＝2.
专题训练(一)
► 技巧四 巧用乘法公式计算
9．计算：(1)(－4－ 15)(4－ 15)； 解：原式＝(－ 15)2－42＝15－16＝－1. (2)(2 6＋3 2)(3 2－2 6)；
解：原式＝(3 2)2－(2 6)2＝18－24＝－6.
专题训练(一) (3)(2 3＋ 6)(2－ 2)；
解：原式＝ 3(2＋ 2)(2－ 2)＝ 3×(4－2)＝2 3.
A．－30 6
B．－18 6－2
C．0
D．10 6
[解析] C 原式＝(x－5)2－24.
当 x＝5－2 6时，x－5＝－2 6，
所以原式＝(－2 6)2－24＝24－24＝0.
故选 C.
专题训练(一)
11．已知 x＝12( 11＋ 7)，y＝12( 11－ 7)，则 x2－xy＋y2 ＝__8______．
3．当 a＜－8 时，化简：| （a＋4）2－4|＝_－__a_－__8__．
[解析] 当 a＜－8 时，a＋4＜－4＜0，a＋8＜0， 所以|a＋4|＝－(a＋4)，|a＋8|＝－(a＋8)， 所以原式＝|－(a＋4)－4|＝|－a－8|＝|a＋8|＝－(a＋8)Leabharlann ＝－a－8.专题训练(一)
4．已知三角形两边的长分别为 3 和 5，第三边长为 c， 化简： c2－4c＋4－ 14c2－4c＋16.
(4)( 15＋4)2019( 15－4)2020. 解 ： 原 式 ＝ ( 15 ＋ 4)2019( 15 － 4)2019( 15 － 4) ＝ [( 15 ＋ 4)( 15－4)]2019( 15－4)＝4－ 15.
专题训练(一)
► 技巧五 巧用整体思想进行计算
10．已知 x＝5－2 6，则 x2－10x＋1 的值为( C )
(4)
－－295＝___53_____；(5)
3a 94a3＝__2____a__．
专题训练(一)
[解析] (1)原式＝ （－5）2× （－3）2＝5×3＝15.
(2)原式＝ 16×49＝ 16× 49＝4×7＝28.
(3)原式＝ 2.25· a2· b＝1.5a· b＝32a b.
(4)原式＝ 295＝ 295＝53.
2025年中考数学考点分类专题归纳之二次根式
2025年中考数学考点分类专题归纳二次根式知识点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式. 备注：二次根式a 有意义的条件是0a ≥ ，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质；；.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.备注：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.知识点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：备注：⋅= . （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd-⨯-≠-⨯- .（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)492.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.1．（2024•达州）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣22．（2024•绥化）若y有意义，则x的取值范围是（）A．x且x≠0 B．x C．x D．x≠03．（2024•兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（2024•无锡）下列等式正确的是（）A．（）2＝3 B． 3 C． 3 D．（）2＝﹣35．（2024•盘锦）若式子有意义，则x的取值范围是_______．6．（2024•绵阳）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．7．（2024•临安区）下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6＝a2B．（x+y）2＝x2+y2C．D．8．（2024•郴州）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a﹣2C．32D．（a+2）（a﹣2）＝a2+4 9．（2024•孝感）下列计算正确的是（）A．a﹣2÷a5B．（a+b）2＝a2+b2C．22D．（a3）2＝a510．（2024•德阳）下列计算或运算中，正确的是（）A．2B．C．623D．﹣3 11．（2024•陇南）使得代数式有意义的x的取值范围是_____．12．（2024•巴中）已知|sinA|0，那么∠A+∠B＝_____．13．（2024•广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a___．14．（2024•山西）计算：（31）（31）＝____．15．（2024•镇江）计算：___．16．（2024•烟台）与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝___．17．（2024•哈尔滨）计算610的结果是__ ．18．（2024•武汉）计算的结果是__________.19．（2024•盘锦）计算：_ _．20．（2024•滨州）观察下列各式：1，1，1，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为__ ．21．（2024•莱芜）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是___．22．（2024•大连）计算：（2）22﹣223．（2024•陕西）计算：（）×（）+|1|+（5﹣2π）0。
专题04二次根式的核心知识点精讲(讲义)(原卷版)中考数学一轮复习
专题04 二次根式的核心知识点精讲1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠21．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2B．2C．4D．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A．B．3C．2D．92.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．44．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝．2．（2023•山西）计算：的结果为．3．（2023•兰州）计算：．4．（2023•陕西）计算：．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≠3C．x≤3D．x≥3 4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A．B．C．±D．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2B．4C．2+4D．2﹣410．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为．12．（2023春•固镇县月考）计算＝．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞43．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0B．4C．2D．不能确定4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．55．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n＝．7．（2023春•中江县月考）已知的值是．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7 4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．36．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9.（2022•武汉）计算的结果是．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．11．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．12．（2022•泰安）计算：•﹣3＝．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．。
2024年中考数学总复习考点梳理第一章第二节二次根式
2020 18
2
根式乘法 /
求值
(一)
、②平方差公式
题(公式)
据
分式化简
解答题 ①分解因式、
2019 18
2
根式除法 2
/
/
求值
(一)
②通分、③约分
第二节 二次根式
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考情析
类型
分
计算考查 分母有
年份 题号 题型
化简结合知识点
值
形式 理化
溯源教材
教材改 编维度
分式化简
解答题 ①分解因式、②
2018 18
(2) 17－3的值在相邻的整数____1____和___2_____之间；
(3)与 15最接近的整数为____4____．
思维导图
相关概念 性质
二次根式的 相关概念 及性质
加减法 乘法 除法
二次根式 的运算
二次根式
无理数 的估值
第二节 二次根式
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教材知识逐点过
考点 1 二次根式的相关概念及性质(6年2考) 1. 二次根式定义：形如 a (a≥0)的式子； 2. 有意义的条件：被开方数_大__于__或__等__于__0_____；
【温馨提示】牢记常见的无理数的近似值： 2 ≈1.414， 3≈1.732， 5 ≈2.236，π≈3.142， 5 1 ≈0.618
2
第二节 二次根式
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广东近6年真题
命题点 1 二次根式的相关概念及性质(6年2考)
1. (2020广东5题3分)若式子 2 x 4 在实数范围内有意义，则x
2. ( a )2＝a(a__≥__0____)；
运算和应用等知识均
性质 3. a2 ＝|a|＝
人教版数学中考知识点梳理-二次根式
第4讲二次根式青海一中李清
一、知识清单梳理
【素材积累】
1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经人死后，和上帝喝茶。
帝认为他太能说了，会打扰天堂的幽静，于是旧把他打入了地狱。
刚过了一个星期，阎王旧满头大汗找上门来说：上帝呀，赶紧把他弄走吧!上帝问：怎么回事?阎王说：地狱的小。
2、机会往往伪装成困难美国名校芝加哥大学的一位教授到访北大时曾提到：芝加哥大学对学生的基本要求是做困难的事。
因为一个人要想有所成旧，旧必须做那些困难的事。
只有做困难的事，才能推动社会发展进步。
二次根式的有关概念和性质
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a-C ．32a-D ．23a -例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B．1C ．7D ．±1练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．B ．1C ．2D ．5例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C．x ＞2D ．x ≠2练习1．（2022·全国·九年级专题练习）函数y =x 的取值范围是（ ）A ．x ≥2B ．x ＞﹣2C ．x ≤2D ．x ＜2练习2．（2022·全国·九年级专题练习）函数y 中自变量x 的取值范围是（）◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
初中数学知识点之二次根式
初中数学知识点之二次根式在初中复习时，特别对章节复习或总复习时，将统领知识的数学思想方法概括出来，增强我们对数学思想方法的运用意识。
下面是作者给大家带来的初中数学知识点之二次根式，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学：二次根式的3个基本性质1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为-√a;最简情势中被开方数不能有分母存在。
2.零的平方根是零，即√0=0。
3.负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是√ai。
二次根式一样地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根;当a小于0时，√a的值为纯虚数(在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根)。
判定一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地视察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再视察。
负根号二究竟是不是二次根式负的根号2是二次根式。
形如√a的代数式都叫做二次根式，负的根号2(-√2)的情势是二次根式的表现情势，其中的负号表明这个代数式是负值，负的根号2(-√2)即表示为一个负值的二次根式。
中考数学：判定式子是不是二次根式形如√a(a≥0)的代数式叫做二次根式。
注意，被开方数不为完全平方数。
当a 0时，根号a表示a的算术平方根，因此根号a 当a=0时，根号a表示0的算术平方根，因此根号a=0。
最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一样步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。
中考数学：二次根式二次根式作为“式子”模块的最后一个章节，一样都是紧随着实数这一章下来的。
2024年中考重点之二次根式的基本概念与性质
2024年中考重点之二次根式的基本概念与性质二次根式，也称为平方根，是数学中一种重要的概念。
在2024年中考中，二次根式将是一个重点考点。
本文将对二次根式的基本概念和性质进行详细的阐述，帮助同学们更好地理解和掌握这个知识点。
一、基本概念1. 什么是二次根式二次根式指的是形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
√a表示求a的平方根。
当a≥0时，二次根式有唯一的实数解；当a<0时，二次根式没有实数解。
例如，√9=3，√16=4，√(-1)在实数范围内没有解。
2. 平方根的运算性质（1）非负实数的平方根是唯一的。
即对于非负实数a和b，当a=b²（b≥0）时，b是a的平方根。
（2）若a≥0，b≥0，则√(ab)=√a × √b。
（3）若a≥0，b≥0，则√(a/b)=√a / √b（b≠0）。
（4）若a≥0，b≥0，则√a ± √b不能再进行有理化简。
二、性质和定理1. 二次根式的大小关系对于非负实数a和b，有以下性质：（1）若a<b，则√a<√b。
（2）若a>0，则√a>0。
（3）若a<0，则√a不存在。
2. 二次根式的化简（1）约分与有理化分母当二次根式的被开方数含有平方数因子时，可以进行有理化分母的操作。
例如，√(12)=√(4×3)=√4 × √3=2√3。
（2）分解因式当二次根式的被开方数可以分解成平方数的乘积时，可以进行分解因式的操作。
例如，√(16×25)=√(4²×5²)=4×5=20。
3. 基本运算法则（1）加减法两个二次根式相加或相减时，要求被开方数和指数相同。
例如，√3 + √3 = 2√3，√5 - √2 = √5 - √2。
（2）乘法两个二次根式相乘时，可以利用二次根式的乘法法则进行计算。
例如，√3 × √5 = √(3×5) = √15。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
新人教版九年级数学(上)——二次根式总复习
第一部分：知识回顾知识点1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
知识点2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
知识点3.同类二次根式二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
知识点4.二次根式的性质（1）（a）2=a（a≥0）；（2）知识点5.二次根式的运算a（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；二次根式总复习⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：①ab =b a •（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=b a ba b a1.,则x 的取值范围是（ ）A.x >-5B.x <-5C.x ≠-5D.x ≥-52.若，则的取值范围是（）A．B．C．D．3.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数8-的结果是（）4.计算2A.6B.6C.2D.25.下列根式中属最简二次根式的是（）6.下列各式中与是同类二次根式的是（）A．2B．C．D．7.已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是( )A.5B.6C.7D.8 8.如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N9.如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 10.2x -x 的取值范围是11.中，自变量的取值范围是12.在根式)(2,4,26,27,21,3222y x x a xy +中,最简二次根式有_________13.化简：（1=___； （2=_____； （3____；（40,0)x y ≥≥=____； （5）_______420=-。
（5=_______14.233与12中较大的是_____15.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为16.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---17.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．18.已知1x y -++3x -=0，求x y 的值。
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式(含答案)
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式知识点讲解1、二次根式的定义 一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的基本性质①2a =(a ≥0)； a = (a ≥0)； a = (a 取全体实数)。
3、二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①ab b a =⋅； ②b a ab ⋅= (a ≥0， b ≥0)。
(2)二次根式的除法：= = (a ≥0， b ＞0)。
4、最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
专题练习一、选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√8C ．√13D ．√0.22．若二次根式√x +2有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．x >−2B ．x ≥−2C ．x <−2D ．x ≥23．化简√(−3)2的结果是（ ）A ．−3B ．±3C ．3D ．94．估计(√27−√6)÷√3的值应在（ ）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间5．下列计算错误的是（ ）A ．3√2−√2=3B ．√60÷√5=2√3C ．√25a +√9a =8√aD ．√14×√7=7√26．若 x =√m −√n,y =√m +√n ，则 xy 的值是( ）.A ．2√mB ．m −nC ．m +nD ．2√n 7．计算：√12×√13−√8÷√2的结果是（ ） A ．2 B ．0 C ．-2 D ．−√28．用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD (如图)，它的面积是 48， 已知长方形的一边长 AE =3√3， 图中空白部分是一个正方形，则这个小正方形的周长为( )A ．2√3B ．4√3C ．8√3D ．16√3二、填空题9．化简√3= 10．若√a +√3=3√3，则a = ． 11．计算(2√2+1)(2√2−1)的结果等于 ．12．若二次根式√x+3x 有意义，则x 的取值范围为 ．13．当m ＝ 时，二次根式√m −2取到最小值．三、解答题14．计算 （1）√16÷√2−√13×√6； （2）32√4x +2√x 9−x √1x +4√x4．15．已知2x =+2y =（1）试求22x y +的值； （2）试求x y y x-的值． 16．某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为√162m ，宽AB 为√128m （即图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m ，宽为(√13−1)m ，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？17．已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x2+y2−xy的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．√33 10．1211．712．x ≥−3且x ≠013．214．解：（1）原式=√16÷2−√13×6＝2√2−√2=√2；（2）原式＝3√x +23√x −√x +2√x=143√x ．15．（1）解：∵2x =， 2y =∴x+y=22+，xy=(22+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵2x =+，2y =-∴x+y=22+，x-y=((2222--=+=xy=(22=1∴()()22x y x yx y x yy x xy xy+---====16．（1）解：长方形ABCD的周长=2(√162+√128)=2(9√2+8√2)=34√2(m)，答：长方形ABCD的周长是34√2m；（2）解：购买地砖需要花费=50[9√2×8√2−(√13+1)(√13−1)]=50(144−13+1)=50×132=6600（元）答：购买地砖需要花费6600元．17．（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴xy=(2−√3)(2+√3)=4−3=1，(x−y)2=(2−√3−2−√3)2=(−2√3)2=12，∴x2+y2−xy=(x−y)2+xy=12+1=13；（2）解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴2+√3的整数部分是3，∴b=3，∵1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∴2−√3的整数部分是0，小数部分=2−√3−0=2−√3，∴a=2−√3，∴ax−by=(2−√3)(2−√3)−3(2+√3)=7−4√3+6−3√3=13−7√3，∴ax−by的值为13−7√3．）解：①(30x -2)x -②0020x x -22))(2)x -，又232x -+30x -+代数式当2x =时，代数式。