【人教版】六年级数学上册--圆的面积公式的推导
复习:
o d
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圆所围成平面部分的大小叫
做圆的面积。
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讨 论：
1、“近似长方形”的长与圆的周长有什么关系？
2、“近似长方形”的宽与圆的半径有什么关系？
结论
“近似长方形”的长等于圆周长的一半 “近似长方形”的宽等于 圆的半径
这节课快结束了，你还想说点什么？
（1）半径2分米 （2）直径10厘米
3、判断对错：
（1）直径是2厘米的圆，它的面积12.56 平方厘米。 （ ×） （2）两个圆的周长相等，面积也一定相 等 。 （ √） （3）圆的半径越大，圆所占的面积也越 大。 （√ ） （4）圆的半径扩大3倍，它的面积扩大6 倍。 （ ×）
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－C =π r
2 r
S=π r.r=πr2
圆的面积计算公式是：
S=π r 2
圆形花坛的直径是 面积。 （口头列式）
3.14×1 2=3.14(平方厘米) 3.14×(4÷2) 2 = 12.56 (平方厘米)
根据下面所给的条件，求圆 的面积。
人教版六年级数学上册第五单元《圆的面积》复习课件
计算下面各圆的周长和面积。
r = 3 cm
C = 2×3.14×3
= 18.84（cm）
S = 3.14×32
= 28.26（cm2）
公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10m，它 能喷灌的面积是多少？
S = πr2
= 3.14×102 = 3.14×100 = 314（m2）
提 升 点 2 寻找隐含条件求圆的面积
5．(易错题)如图，正方形的面积是18 cm2，这个圆 的面积是多少平方厘米？
3.14×18＝56.52(cm2) 答：这个圆的面积是56.52 cm2。
点拨：正方形的面积是18 cm2，且由图可知正 方形的边长等于圆的半径，所以圆的面积是 3.14×18＝56.52(cm2)。
7．明明发现，将一个圆转化成梯形也可以推导出 圆的面积公式。如图，计算圆的面积。
7.85÷156＝25.12(cm) 3．14×(25.12÷3.14÷2)2＝50.24(cm2) 答：圆的面积是50.24 cm2。
点拨：根据圆的面积公式推导过程可知，把一个 圆平均分成16份，沿半径剪开后，拼成一个近似
.
8cm
3.14×(122 - 82) = 3.14×(144 - 64) = 3.14×80 = 251.2（cm²） 答：圆环的面积是251.2cm2。
右图中的铜钱直径28mm，中间的正方形边长为6mm。 这个铜钱的面积是多少？
r = 28÷2 = 14（mm） 3.14×142 - 62
= 3.14×196 - 36 = 615.44 - 36 = 579.44（mm²） 答：这个铜钱的面积是579.44mm2。
3分线的长度 = 2×3.14×6.75÷2 + 1.575×2 = 21.195 + 3.15 = 24.345 ≈ 24.35（m） 答：3分线的长度是24.35m。
人教版六年级上册数学五、六单元知识点详细梳理附五六单元测试卷及答案详解
人教版六年级上册数学五、六单元知识点详细梳理附五六单元测试卷及答案详解第五单元圆的认识一、认识圆形1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等。
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。
所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7、在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的1/2。
用字母表示为：d=2r或r=d/28、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10、只有1条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是：长方形；只有3条对称轴的图形是：等边三角形；只有4条对称轴的图形是：正方形;有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
11、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。
二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母C 表示。
2、圆周率实验：（滚动法）在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，得到圆的周长。
或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长（测绳法）。
发现，圆周长与它直径的比值（圆周长除以直径）是一个固定数即３倍多一点，我们把它叫做圆周率用字母π表示。
3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π表示。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
六年级数学上册教案-5.3 圆的面积公式的推导71-人教版
圆的面积教学设计教学内容：圆的面积。
教学目标：1. 通过操作，引导学生推导出圆面积的计算公式，并能运用公式解答一些简单的实际问题。
2. 激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。
3. 渗透转化的数学思想和极限思想。
教学重点：正确计算圆的面积。
教学难点：圆面积公式的推导。
学情分析：本课是在学生掌握了面积的含义及长方形、正方形等平面图形面积的计算方法，认识了圆，会计算圆的周长的基础上进行教学的，教学时要注意遵循学生的认识规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生的生活经验和已有的知识出发。
学法指导：教学本课时，重点引导学生提出将圆割拼成已学过的图形，组织学生动手操作，让学生主动参与知识形成的过程，从而培养学生的创新意识、实践能力，并发展学生的空间观念。
教具准备：多媒体课件，圆片。
学具准备：把圆片分成十六等分，并按课本图所示，剪拼并贴成近似长方形。
教学设计：一、复习旧知，导入新课1. 前面我们学习了圆、圆的周长。
如果圆的半径用r表示，周长怎样表示？（2πr）周长的一半怎样表示？（πr）2. 课件：出示一块圆形的桌布。
如果要给这块桌布的边缝上花边，是求什么？（圆形桌布的周长）3．课件：出示一块圆形的镜框。
如果要镜框配一块玻璃，至少需要多大？是求什么？（圆的面积）谁能指出这个圆的面积？谁能概括一下什么是圆的面积？请同学们用手摸出学具圆的面积。
3. 提问：如果圆的半径是2分米，你能猜猜这块玻璃到底有多大？（同学们纷纷地猜测，有的学生可能说这个圆面小于所在的正方形面积）这块圆形玻璃有多大，就是要求圆形的面积，这节课我们一起来研究怎样计算圆的面积。
（板书课题：圆的面积）二、动手操作，探索新知1. 回忆平行四边形、三角形、梯形面积计算公式推导过程。
（1）以前我们学习了平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。
请同学们回想一下，这些图形的面积计算公式是怎样推导出来的？（学生回答，师用课件演示。
人教版六年级上册数学 圆的面积公式的推导及应用金品课件
一 二、情探景究导新入知
正确解答：
3.14×R2-3.14×r2 =3.14×(R2-r2) =3.14×10
=31.4(平方厘米)
三、学以致用
（1）圆的半径扩大5倍, 圆的面积也扩大5倍。（× ） （2）半径是2厘米的圆，周长和面积相等。（× ） （3）一个圆的面积是3米。（×）
（4）圆的直径扩大到原来的10倍，圆
1.圆的周长公式是什么？ C=πd 或 C=2πr
2.我们研究过哪些平面图形的面积？它们的计算公 式各是什么？
长方形：（长+宽）×2 正方形：变成×4 平行四边形：低×高 三角形：低×高÷2 梯形：（上底+下底）×高÷2
一、情景导入
怎样计算一个圆 的面积呢？
能不能和学过的图形联系起来呢？ 绿色圃中小学教育网 如果知道了圆的半径，可以计算 出图中圆内外的两个正方形的面 积，圆的面积介于这两个正方形 面积之间。
左图：（2r）²－3.14×r²＝0.86r²
1
右图：3.14×r²－（ 2 ×2r×r）×2＝1.14r²
当r＝1 m时，和前面的结 果完全一致。
答：左图中正方形与圆之间的面积是0.86 m²，右图中圆与正方形 之间的面积是1.14 m²。
一 二、情探景究导新入知
如图,大、小两个正方形的 边长分别是大、小两个圆的半 径。阴影部分的面积是10平方 厘米。求圆环的面积。
=12.56（平方米）
三、学以致用
喷水头转动一周可 以浇灌多大面积的农 田？
半径是5米的圆的面积是多少？
S ＝πr 2
3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.50(平方米)
答：喷水头转动一周可以浇灌的面积是78.50平方米。
对应练习
人教版六年级数学上册第五单元《圆的面积公式的推导及应用》课件
四 等 分
八 等 分
十 六 等 分
三 十 二 等 分
以拼成的近似平行四边形为例： 圆面8等分时： 圆面16等分时： 圆面32等分时：
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
从上图中可以看出圆的半径是r，长 方形的宽近似( 圆的半径 )，长近似于 ( 圆周长的一半 )。
因为长方形的面积＝( 长 )×(宽 )， 所以圆面积＝(πr)×( r )＝(πr²)。 如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是 ： S＝πr²。
(2)一个圆的周长是12.56m，它的面积是多少平方米？
12.56÷3.14＝4(m) 3.14×(4 ÷ 2)2 ＝3.14×4 ＝12.56(m2) 答：它的面积是12.56 m²。
(3)将一只羊拴在草地的木桩上，绳子的长度是4米。这只羊最 多可以吃到多少平方米的草？
3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24(m2) 答：这只羊最多可以吃到50.24 m²的草。
9.42÷3.14＝3(dm) 34×3.14×32 ＝21.195(dm2) 答：阴影部分的面积是 21.195 dm2。
6．如图，从三块面积相等的正方形钢板上分别割 下大小不同的圆形钢片，请问三块钢板剩余部分 的面积相等吗？
解：设三块正方形钢板的边长为12a cm， 则第一块钢板剩余部分的面积为 12a×12a－3.14×(6a)2＝30.96a2(cm2)； 第二块钢板剩余部分的面积为 12a×12a－3.14×(3a)2×4＝30.96a2(cm2)； 第三块钢板剩余部分的面积为 12a×12a－3.14×(2a)2×9＝30.96a2(cm2)。 答：三块钢板剩余部分的面积相等。
1．(1)把一张圆形纸片分成若干(偶数)等份，拼成一 个近似的长方形。如下图。
人教版小学数学六年级上册 圆的面积公式推导教学设计 名师教学教案 教学设计反思
《圆的面积公式推导》敎學设计【敎材分析】圆的面积是六年级上册第五单元的内容,本单元是在學生掌握了直线图形的周长和面积,并且对圆已有初步认识的基础上进行學习的。
从认识圆入手,到圆的周长和面积,与直线图形的學习顺序是一致的。
但是,學习圆是从學习直线图形到學习曲线图形,无论是内容本身,还是研究问题的方法都有所变化。
敎材通过对圆的研究,使學生初步认识研究曲线图形的基本方法——“化曲为直”、“化圆为方”,同时也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。
在敎學时,主要让學生用转化的思想进行操作、观察和比较,推导圆的面积计算公式,为今后进一步學习打下基础。
在本单元中,本节内容安排在“认识圆,圆的周长”之后,这样可以让學生借鉴在學习圆周长时的经验来研究圆的面积；有利于让學生感悟學习平面图形的规律和方法。
本节课为圆的面积第一课时:圆的面积公式推导。
【學情分析】學生对圆的特征以及圆的周长计算方法已基本掌握,但对于像圆这样的曲线图形的面积,學生是第一次接触,如何把圆转化成直线图形具有一定的难度。
本节课我以培养學生的实践能力、探索能力和创新精神为目标。
在敎學过程中,我培养學生初步感知和运用转化的方法,引导學生通过观察、比较、操作、概括等行为来解决新问题,通过一系列活动,培养學生动手、动脑的能力。
在敎學过程中,我根据本班學生实际學习能力将其分为3类并分配不同动手操作任务：A类： A组學生前三位配有助听器,理解能力较好,平时敎學中数學思维能力较强；B类：B组學生数學思维能力较弱,在平时敎學中没有体现出数學优势；C类：C组學生學习主动性差,學习能力尚未达到六年级知识水平,其中有两位智力发育较缓。
【敎學内容】人敎版数學六上第五单元第一课时：圆的面积公式推导（第67页）新授【敎學目标】A组：1、理解和掌握圆面积的计算公式,能应用公式解决实际问题。
2、进一步培养學生合作探究、分析概括,以及迁移类推的能力。
3、通过演示、操作,进一步让學生体验到数學来源于生活,又服务于生活的理念；唤起學生學习数學的兴趣,使全体學生积极参与探索,在参与中体验成功的乐趣。
5.3圆的面积公式的推导(教案)- 六年级上册数学 人教版
五、结束语：
好了，本堂课就讲到这里，再见。
六、计算题：
1.当圆规两脚间的距离是3cm时，计算出的圆的面积是多少cm²？
2.一个圆形花坛的周长25.12m,这个花坛的面积是多少m²？
答案：
1.解：3.14x3²= 28.26（cm²）
3、通过演示、操作，进一步让学生体验到数学来源于生活，又服务于生活的理念;唤起学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与探索，在参与中体验成功的乐趣。
教学内容
教学重点：
掌握圆的面积公式，能正确计算。
教学难点：
理解圆的面积公式的推导过程。
教学过程
一、情境引入：
圆，它是由曲线构成的，所以是曲线图形。
如何求圆的面积呢？
三、圆的面积公式：
仔细观察发现，长方形的长是圆的周长的一半，长方形的宽是圆的半径。因为长方形的面积等于长乘以宽，所以圆的面积就等于圆的周长的一半乘以圆的半径。如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，则圆的面积计算公式就是：S=πr2
四、圆的面积公式的应用：
运用圆的面积公式，我们来做一道例题：一个圆的周长是62.8米，它的面积是多少平方米？
2.解：先求半径 25.12÷(2x3.14)= 4（m）
再求面积3.14x4²= 50.24（m²）
3.解：（20÷2）²×3.14 = 314（平方厘米）
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
5.3圆的面积公式的推导（教案）
六年级上册数学 人教版
学科
数学
年级
六年级
2023-2024年小学数学六年级上册期末考点复习 第五单元《圆》(人教版含详解)
期末知识大串讲人教版数学六年级上册期末章节考点复习讲义第五单元圆知识点01：圆的认识1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。
圆有无数条对称轴。
3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
4. 在同圆或等圆中，r=d 或d=2r 。
知识点02：圆的周长及圆周率的意义1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。
2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。
我们把它叫做圆周率，用字母π表示。
3.圆的周长的计算公式：C=πd ，C=2πr知识点03：圆的面积公式的推导及应用1.圆的面积计算公式是 ：S ＝πr ²2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。
3.圆环面积的计算方法：S ＝πR2－πr ²或S ＝π(R －r)²。
4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。
如果圆的半径为r ，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r ²。
5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。
如果圆的半径为r ，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r ²。
知识点04：扇形的认识1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；2.顶点在圆心的角叫做圆心角；3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。
考点01：圆的认识1．（2018秋•朝阳区校级期中）圆的周长是直径的（ ）倍A ．3.14B ．3.1415926C ．3D ．π【思路引导】根据圆的周长公式，求出周长和直径的关系。
12【完整解答】解：C＝πd＝π所以圆的周长是直径的π倍。
故选：D。
2．（2015秋•龙泉驿区校级期中）在一个长10cm，宽5cm的长方形中画一个最大的圆，它的半径是（）cm．A．10 B．5 C．2.5 D．1.5【思路引导】根据题意可知：在这个长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据同圆中直径是半径的2倍，半径是直径的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．【完整解答】解：5×（厘米），答：它的半径是2.5厘米．故选：C。
人教版-数学-六年级上册-《圆的面积》知识讲解 推导圆的面积计算公式
推导圆的面积计算公式
导入新知怎样计算一个圆的面积呢？（教材67页）
过程讲解
1．探究测量圆的面积的方法
由于圆是曲线图形，而用以为单位面积的正方形不能直接测量出圆的面积，所以可以用剪拼法把圆转化成学过的图形，通过计算来求面积。
2．转化方法
在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些接近于等腰三角形的小纸片拼成学过的图形来进行推导。
3．转化成长方形，推导圆的面积计算公式
(l)转化演示。
发现：把圆平均分成的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就越接近于一个长方形。
(2)探究拼成的近似的长方形的长和宽与圆的周长、半径之间的关系。
(3)推导公式。
归纳总结
如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式是：。
拓展提高
1．把圆转化成三角形或者梯形，都可以推导出圆的面积计算公式。
转化演示如下：
2．如果一个圆的半径（直径或周长）扩大到原来的若干倍，则面积扩大到该倍数的平方倍。
例如：圆的半径扩大到原来的5倍，则面积扩大到原来的52倍，即25倍。
3．如果一个圆的半径（直径或周长）缩小到原来的几分之几，则面积就缩小到原来的几分
之几的平方。
例如：圆的半径缩小到原来的1
5，则面积就缩小到原来的（
1
5）2，即
1
25。
圆的面积——计算公式的推导 教学设计 六年级上册数学人教版
《圆的面积计算公式的推导》教学设计教材分析：教材首先是提出圆面积的概念，接着提出如何把圆转化成已学过的图形来计算面积的问题。
把未知的问题转化成已知的问题，是常用的数学思想和方法。
让学生用这种数学思想和方法来解决新的比较复杂的问题。
采用实验的办法，把圆平均分成若干份，再拼成一个近似的长方形，然后由长方形的面积公式推导出圆面积计算公式。
教学目标：1、学生通过观察、操作、分析和讨论，推导出圆的面积公式，并能够正确的计算简单圆的面积。
2、渗透转化思想；初步了解极限思想。
培养学生观察、比较、分析、综合能力及动手操作能力。
3、培养学生合作意识。
4、领会事物之间是联系和发展的辩证唯物主义观念以及透过现象看本质的辩证思维方法。
教学重点：1、利用转化思想进行面积公式的推导。
2、运用公式能够正确的进行简单计算。
教学难点：1、极限思想（曲变直）的理解。
2、运用转化思想进行面积公式推导。
设计意图：为了体现出学生是学习的主体的思想，让学生利用学具模型进行探究、进行转化的实验、让他们在实验的过程中能亲自体验到成功的乐趣，体验到学习数学的快乐，从而培养学生的数学情感。
端正学习数学的态度，培养价值观。
学具： 1个圆形的学具纸片、剪刀教学过程：一、复习准备：1、课前谈话2、回忆一下：研究平行四边形的面积公式时时怎样推导的？三角形面积计算公式又是怎样推导的？二、探讨新知（一）、渗透极限思想：（1）圆的面积公式能否用割补的方法进行推导？过程：将一个圆分别平均分成2等份、4等份、8等份、16等份，32等份别罗列排好。
请学生观察图。
（2）思考：随着等分份数的不断增加，你有什么发现吗？A：随着等分份数的不断增加，曲线越来越直。
B：随着等分份数的不断增加，每一小份越来越接近三角形。
C:如果我把这个圆我无限等份下去，会怎样？（曲线最终变成了直线）（二）、推导面积公式。
1、推导公式：（1）你想把圆转化成近似的平行四边形，随着等分份数越来越多，就越来越接近长方形。