《含绝对值的函数图象的画法及其应用》
含绝对值的函数图象的画法及其应用
一、三点作图法
三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。
步骤是：①先画出V 型图顶点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点；
③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数
)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。
例1. 作出下列各函数的图象。
（1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。
解：（1）顶点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-121，，两点（0，0），（1，0）。
其图象如图1所示。
图1
（2）顶点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-121，，两点（－1，0），（0，0）。
其图象如图2所示。
图2
注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。
函数图象关于直线a
b x -=对称。
二、翻转作图法
翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。
步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数)(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象；③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。
例2. 作出下列各函数的图象。
（1）|1|||-=x y ；（2）|32|2--=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。
解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。
图4就是要画的函数图象。
图3 图4
（2）先作出322--=x x y 的图象，如图5。
把图5中x 轴下方的图象翻上去，得到图6。
图6就是要画的函数图象。
图5 图6
（3）先作出)3lg(+=x y 的图象，如图7。
把图7中x 轴下方的图象翻上去，得到图8。
图8就是要画的函数图象。
图6 图7
三、分段函数作图法
分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。
例3. 作出下列函数的图象。
（1）1||22+-=x x y ；（2）|1||1|-++=x x y ；（3）|32|2--=x x y 。
解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+-=+-=)
0(12)0(121||2222x x x x x x x x y 图9就是所要画的函数图象。
（2）⎪⎩⎪⎨⎧><<--≤-=-++=)
1(2)11(2
)1(2|1||1|x x x x x x x y 图10就是所要画的函数图象。
（3）|32|2--=x x y
⎪⎩⎪⎨⎧<--++-≥----=)
032(32)032(322222x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧<<-++-≥-≤--=)
31(32)31(3222x x x x x x x 或 图11就是所要画的函数图象。
图9 图10 图11
注：分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。
三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第（3）小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一试。
四、应用
把数化为形是“数形结合”思想。
利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之效，简洁明快之感。
1. 求函数值域。
例4. 求函数|1||1|-++=x x y 的值域。
解：由图10知函数的值域为)2[∞+，。
2. 求函数的单调区间。
例5. 求函数|32|2--=x x y 的单调递增区间。
解：由图6知函数单调递增区间为［－1，1］ )3[∞+，。
3. 求方程解的个数。
例6. 求方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 解的个数。
解：方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 解的个数就是函数1||22+-=x x y 的图象与函数|)3lg(|+=x y 的图象在同一坐标系中交点的个数。
由图12知两个函数图象有5个交点，所以方程|)3lg(|1||22+=+-x x x 有5个解。
绝对值函数图像的画法
For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use首先要从简单的绝对值函数画起。
2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。
或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去然后再着手于复杂的图像的画法。
221121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。
（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。
最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。
122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerzie llen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
绝对值函数图像的画法
首先要从简单的绝对值函数画起。
2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。
或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去
然后再着手于复杂的图像的画法。
22
1121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。
（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。
最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。
122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
含绝对值的函数
含绝对值的函数知识定位灵活的掌握含有绝对值的函数，主要包括图像画法、函数解析式、与分段函数之间的联系。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用知识梳理1、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象：)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。
所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。
所以可用三点定其型。
三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。
2.用“两点定形法”作双绝对值差式函数b x a x x f ---=)(的图象（1）当a<b 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+<-=---=)()(2)()(b x a b b x a ba x a x ba b x a x x f ，可见其图象是由两端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。
（2）当a>b 时同理。
据此，可以点))(,()),(,(b f b a f a 确定函数b x a x x f ---=)(的图象3.用“多点定形法”作多绝对值函数)()(212211i i i a a a a x m a x m a x m x f <<<-++-+-= 的图象因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+++-++++<≤+++-+---+<++++----=)()()()()()()()()()(221121212211211221121i i i i i i i i i i a x a m a m a m x m m m a x a a m a m a m x m m m a x a m a m a m x m m m x f可知其图象是由i 个顶点i A A A 21、、、 决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代数式的零点决定，中间由1-i 条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。
绝对值函数图像的画法
最先要从简朴的千万于值函数绘起.之阳早格格创做 2-=x y ：是一条以()0,2为拐面的合线.
大概者不妨明白为将曲线2-=x y 正在x 轴底下的部分沿x 轴翻合上去 而后再发端于搀纯的图像的绘法.
22
1121-++=x x y ，先单独绘出二个千万于值的图像，再合到所有.（叠加后曲线的斜率分歧）
其中-2战4由二个千万于值为整算的，3为由x=-2战x=4算得的y 值. 末尾，最搀纯的二次函数中的千万于值的绘法.
122--=x x y ，很隐然千万于值是将x 形成正数，由前里的图像可知
a x y -=的图像总会闭于a x =轴对于称，故x y 21-=闭于
y 轴对于称，又122-=x y 也闭于y 轴对于称，所以图像合并起去便简单多了.。
含绝对值函数图像处理之我见
含绝对值函数图像处理之我见作者：喻国标来源：《学生周报·教师版》2013年第16期高中数学的函数作图中，常出现函数的自变量或因变量带有绝对值符号的函数，对于此类函数图像的作法不仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨，本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。
一、含绝对值函数的六种类型：已知函数y=f（x），x∈R，x叫做函数的自变量；y叫做函数的应变量（函数值）。
①对自变量x取绝对值：y=f（x），x∈R；②对应变量y取绝对值：y=f（x），x∈R；③对x，y全都取绝对值：y=f（x），x∈R；④对整个函数取绝对值：y=f（x），x∈R；⑤对x，f（x）都取绝对值：y=f（x），x∈R；⑥部分自变量取绝对值：y=f（x，x），x∈R。
二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：①对自变量x取绝对值y=f（x），x∈R；：【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R；，设（x，y）是函数图象上任意一点，则该点与点（-x，y）关于y轴对称。
因为点（x，y）与（-x，y）都在函数y=f（x）上，所以其函数图象关于y轴对称。
【作图步骤：】（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）保留x>0时函数y=f（x）的图象；（3）当x【作图展示：】作函数y=f（x）=2x-2的图像②对应变量y取绝对值：y=f（x），x∈R；【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R，设（x，y）是函数图象上任意一点，则该点与点（x，-y）关于x轴对称。
因为点（x，y）与（-x，y）都在函数y=f（x）上，所以其函数图象关于x轴对称。
【作图步骤：】（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）保留y>0时函数y=f（x）的图象；（3）当y【作图展示：】作函数y=f（x）=2x-2的图象③对x，y全都取绝对值：y=f（x），x∈R；【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R，设（x，y）是函数图象上任意一点，它与点（x，-y）关于x 轴对称、与点（x，-y）关于 y轴对称且与点（-x，-y）关于原点对称。
对称性应用(一)——含绝对值函数的图象
对称性应用（一）——含绝对值函数的图象熊明军 在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。
图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。
函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。
本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。
一、含绝对值的函数常见情况的分类：已知函数()R x x f y ∈=,，x 叫做函数的自变量；y 叫做函数的应变量（函数值）。
①对自变量x 取绝对值：()R x x f y ∈=,；②对应变量y 取绝对值：()R x x f y ∈=,； ③对y x ,全都取绝对值：()R x x f y ∈=,；④对整个函数取绝对值：()R x x f y ∈=,； ⑤对()x f x ,都取绝对值：()R x x f y ∈=,；⑥部分自变量取绝对值：()R x x x f y ∈=,,。
二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：①对自变量x 取绝对值：()R x x f y ∈=,【特征分析：】 已知函数()R x x f y ∈=,，设()y x ,是函数图象上任意一点，则该点与点()y x ,-关于y 轴对称。
因为点()y x ,与()y x ,-都在函数()x f y =上，所以其函数图象关于y 轴对称。
【作图步骤：】（1）作出函数()x f y =的图象；（2）保留0>x 时函数()x f y =的图象；（3）当0<x 时，利用对称性作出（2）中图象关于y 轴对称后的图象。
【作图展示：】作函数()22-==xx f y 的图象→【特征分析：】 已知函数()R x x f y ∈=,，设()y x ,是函数图象上任意一点，则该点与点()y x -,关于x 轴对称。
因为点()y x ,与()y x -,都在函数()x f y =上，所以其函数图象关于x 轴对称。
26.7 含绝对值符号的函数+雷刚
第五节 含绝对值符号的函数26.7 含绝对值符号的函数1.形如)(x f y =的函数试一试 如何作出函数21+=x y 的图像？ 根据绝对值的定义，函数21+=x y 可以表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=021021x x x x y ，， （1）作当x ≥0时，21+=x y 的图像，即图26.7.1中的射线AC ； （2）作当x >0时，21+-=x y 的图像，即图26.7.1的射线AB ； （3）图26.7.1中的折线BAC 即为函数21+=x y 的图像。
由上面我们可以看出，对于函数)(x f y =，当自变量x 取值互为相反数时，所得到的函数值相等，即)()(x f x f -=，因此函数)(x f =图像就是函数)(x f y =（x ≥0）的图像与)0)((<-=x x f y 的图像的全部，并且函数)(x f 的图像关于y 轴对称。
例1 作函数3412--=x x y 的图像解 因为222x x x ==，所以3412--=x x y 是)(x f y =类型的函数 （1）作出当x ≥0时，3412--=x x y 的图像，这是一个开口向上的抛物线在y 轴右边的部分。
由03412=--x x 可以得知，抛物线与x 轴的交点为（2-，0）和（6，0），与y 轴的交点为（0，－3）.抛物线的顶点坐标为（2，－4），如图26.7.2所示，曲线ABC 就是当x ≥0时，3412--=x x y 的图像； （2）以y 轴为对称轴，作曲线ABC 的对称图形''C AB ；（3）图中的曲线ABC B C ''即为3412--=x x y 的图像由此，我们可以发现： 画函数)(x f y =的图像的一般步骤：①先作出)0)((>=x x f y 的图像；②将)0)((>=x x f y 的图像沿y 轴翻折到y 轴左侧，就得到了函数)(x f y =的图像例2 已知方程1+=ax x ，有一个负根且无一正根，求a 的取值范围分析 可以把等号两边的式子看作是函数，从函数图像入手比较直观地解决问题 解 原方程即ax x =-1，如图26.7.3，在同一坐标系作函数1-=x y 与ax y =的图像 1-=x y 是尖点（0，－1）的“V ”字形折线，而ax y =是过原点斜率为a 的直线，如图虚线OA 是ax y =的一个极根位置，y 轴是它的另一根限位置，易见当1≥a （即直线OA 的向上的方向与x 轴正方向的夹角不小于︒45）时，OA 与1-=x y 的图像交点位于第三 象限，即方程ax x =-1有一个负根且没有正根。
绝对值函数图像的画法
首先要从简单的绝对值函数画起。
2x y ：是一条以0,2为拐点的折线。
或者可以理解为将直线
2x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去然后再着手于复杂的图像的画法。
221
121
x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。
（叠加后直线的斜率不同）
其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。
最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。
122x x y
，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y 的图像总会关于a x 轴对称，故x y 21关于y 轴对称，又122x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
函数型绝对值的图像总结
函数型绝对值的图像研究类似于y=±这种结构的函数的最值问题和值域问题，最好的方法是通过分类讨论，按照分段函数的方式画出其图像。
但是在考试中，经常有几种常考的形式。
如果我们能熟练记住这几种常考形式的函数图像，则在做题时可以做到心中有底气，且尤其在做小题时，速度会比较快。
一、差型常考形式=---，可以看成分段函数进行作图。
其图像呈现Z型特点。
下面把其类似于y x a x b图像特征总结如下：因此画该函数的图像只需要把握：（1）x取a和b时的两个点（2）顺着这两个点描出z字型即可（3）其中中间斜线与x轴的交点是a和b的中点二、和型常考形式=-+-1、基础形式：y x a x b该函数的图像为“碗状”结构，如下图因此画该函数图像，只需要把握：（1）取x=a 和x=b 两个点（2）然后根据这两个点描出碗状结构即可2、推广形式：y cx a dx b =-+-该函数的图像是“斜碗状”，直接以一个具体函数为例吧。
例如211y x x =-++的图像如下画该函数图像只需要把握：（1）分别让两个绝对值为0得到两个点（2）以这两个点为基础描出斜碗状即可三、典例例1 作草图（1）12y x x =-++（2）12y x x =+++（3）12y x x =--+（4）122y x x =-++解：如下图例2 （1）求函数31y x x =--+的最大值和最小值（2）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集为空集，求参数a 的取值范围 解析：（1）可用分段函数法画出该函数的图像，如下41221343x y x x x ≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩图像如下因此最大为4，最小-4（2）令34y x x =-+-，画出其草图如下因此必有1a ≤ 例3 已知关于x 的不等式18x x a -++≤的解集不是空集，则a 的最小值是多少 解析：令1y x x a =-++，根据其图像特征，当x=1时，y 最小为|1+a|，如下图显然必有y=8与该函数图像有交点，必有18a +≤，得到97a -≤≤，因此a 最小为-9。
寒假2作含有绝对值的一次函数的图像
作一次含有的绝对值函数的图像我们知道一次函数的图像是一条直线，若函数中含有绝对值，它的图像又会是怎样的呢？下面我们一起来进行探究。
根据绝对值的概念：正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；负数的绝对值等于它的相反数。
我们把使绝对值式子为零的字母（自变量）的值叫做绝对值的零点。
例1：作函数33--=x y 的图像。
分析：由绝对值的概念知，3-x 的零点为3=x 。
当3≥x 时，6+-=x y ；当3<x 时，x y =，将原函数分成两段。
因此，我们根据x 的取值范围，分别作出对应的图像。
解：由题可知：绝对值的零点是3=x 。
函数⎩⎨⎧+-=6x xy )3()3(≥<x x函数33--=x y 的图像为例2：作函数112++-=x x y 的图像。
分析：由012=-x ，01=+x 得零点有21,1-=x 。
当1-≤x 时，x x x y 3112-=--+-=；当211≤<-x 时，2112+-=+++-=x x x y ；当21>x 时，x x x y 3112=++-=； 解：由题可知：绝对值的零点有21,1-=x 。
可将函数分成三段。
函数⎪⎩⎪⎨⎧+--=xx xy 323 )21()211()1(>≤<--≤x x x其图像如图所示：例3：求由1-=x y 的图像与2=y 的图像围成的图形的面积。
分析：此函数含有两重绝对值，里层x 的零点是0，外层1-x 的零点是1，-1，三个零点将的x 取值分为四段。
解：由题可知：绝对值的零点有1,0,1-=x 。
可将函数分成三段。
函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+--=1111x x x x y)1()10()01()1(>≤<≤<--≤x x x x与2=y 的图像如图所示：所求面积可以看作一个等腰直角三角形挖去一个小正方形。
因此，该图形的面积为：72922213621=-=⨯⨯-⨯⨯。
作含有绝对值的一次函数的图像，首先要找出其零点；然后根据零点将函数化为分段函数；再分段画出其对应的函数图像。