(完整版)第五章有心力场中的运动

p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
上节讨论的二体问题是多体问题中唯一可导出解析积分 的最简单情况。三体问题，即三个相互以万有引力吸引的质 点运动，不存在解析积分。
若三体问题中有一体质量m远小于另外两体的质量m1，m2， 以至于它对后两者运动的影响可以忽略不计，则可以认为m1， m2作为独立的二体运动，只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的三体问题称为限制性三体问题。考虑 地球和月球引力共同作用的航天器运动就是典型的限制性三 体问题。
可以看出e在轨道面内且与速度方向垂直。在近地点e与e
方向一致，在远地点e与e方向相反，在其它位置e与e有夹角。
由此可以得出结论：在近地点或远地点施加冲量对改变偏 心率有最好的效果。
在近地点，e与e一致，使e增
加，轨道椭圆更扁。相反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球卫星的 发射过程设计为先进入近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道(称为霍曼转 移轨道)，然后在远地点施加冲量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
1. 万有引力场
F
G
mme r2
(r r
)
G 6.67 1011m3/kg s2，万有引力常数。
V (r) G mme r
两质点组成的系统，无外力作用，仅在
两者的万有引力作用下的运动，称为二体问题。
将地球和航天器均视作均值球体，根据上例的分析，可以 质量集中于球心的质点me和m分别表示地球和航天器。由于
a，a2
m1 m1 m2
a，
由于m1，m2和O三点保持共线，因此
以a，a1，a2为半径的三种圆运动有相
同的周期T0。从式(5.2.32)导出
T0 2
a3 2
a13
1
2
a23
2
2. 万有引力场势函数
以O为原点建立动坐标系(Oxyz)，令轴x沿m1，m2的连线， 轴z沿轨道平面的法线。m1，m2在x轴上的坐标分别为a1和 a2。 此坐标系随m1，m2的圆轨道运动而绕z轴匀速转动，角速度为：
设航天器射入轨道的起始位置和速度为
r0和v0，两者垂直。则积分常数E，L为：
E v02
2 r0
L r0v0
e 1 ( v0 )2 vc
p
r0
(
v0 vc
)2
vc r0 (圆速度)
抛物线速度vp 2 r0 2vc
在质点m上作用冲量，使速度产生突变，则轨道根数发生 改变，质点m转移至另一轨道。
r
2. 动力学方程与初积分
由上节mr F (r) r 0知， r
二体问题的动力学方程为：
r
r3
r
0
(5.2.5)
此方程为二阶矢量微分方程，
可化为三个二阶标量微分方程组，
应有六个积分常数。如图所示。
我们不直接使用积分的方法
求解此问题，而是使用初积分与
直接积分相结合的方法来求解。
二体问题的能量积分和面积积分可由上节得出：
r2 L (5.1.9)
质点的矢径扫过的面积为：
dA 1 r 2d
2
A 1 r 2 1 L
2
2
因此，动量矩积分又称为面积积分。
将能量积分也用极坐标表示：
1 (r2 r 22 ) 1 V (r) E
2
m
(5.1.12)
(5.1.9)与(5.1.12)组成封闭方程组，可用来求解此类问题。
§5-2 二体问题
的运动是以m1为焦点的开普勒运动，而m1和m2相对质心O的运动
也分别是以O为焦点的开普勒运动。由于月球轨道的偏心率极小，
e 0.055，可以认为这三种开普勒运动都是圆运动。
因此，m1，m2和O三点的距离 均保持恒定，即
r1 a1，r2 a2，r a1 a2 a，且有
a1
m2 m1 m2
若三体问题中有一体质量m远小于另外两体的质量m1，m2， 以至于它对后两者运动的影响可以忽略不计，则可以认为m1， m2作为独立的二体运动，只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的三体问题称为限制性三体问题。考虑 地球和月球引力共同作用的航天器运动就是典型的限制性三 体问题。
1. 地月轨道
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目录 第五章 有心力场中的运动
§5-1 有心力场的普遍性质 §5-2 二体问题 §5-3 限制性三体问题
2-2
有心力场是自然界中最普遍的力场。天体或航天器的 运动可简化为质心运动和绕质心的转动，即轨道运动和姿 态运动。忽略轨道运动和姿态运动的耦合作用，可分别独 立研究这两种运动。
椭圆长半轴：a
1 2
(r
r
)
p 1 e2
椭圆短半轴：b a2 (ae)2 a 1 e2
近地点速度：vπ v(0) vmax
远地点速度：vα v( ) vmin
p
(1
e)
p
(1
e)
当e 0时，轨道为圆形，r r r a b p，此时速度
称为圆速度vC，矢径的角速度C：
三个质点m，m1，m2分别表示航天器，地球，月球，满足 m m1，m m2。m1，m2组成二体系统各自绕系统的质心O作 开普勒运动。与上节不同，O与m1不重合。
设m1到m2的矢径为：
r r2 r1
r
(1
m1 m2
)r1
(1
m2 m1
)r2
则m2受到的引力F为：(r) r
1 m d (v v) F(r) 1 d (r r) 0
2 dt
r 2 dt
d (1 mv2 ) F (r)r 0 dt 2
1 v2 1 V (r) E 2m
称为能量积分（守恒）
V (r) r F (r)dr， 称为势能
3. 面积积分
mr F (r) r 0 r
r v 0
vC
r
C
vC r
r3
为了积分时间积分，引入椭圆中心坐标系，如图所示。
x a cos y b sin
r cos x ae a(cos e)
r sin y a 1 e2 sin
上式平方和得以 为自变量的
轨道方程：
r a(1 e cos )
cos cos e 1 e cos
椭圆轨道与双曲线轨道的根本区别在于：前者有界而后者
无界。与E 0对应的抛物线轨道介于两种类型轨道之间的临界 情形，对应的速度称为抛物线速度或逃逸速度，记作vp
vp
2
r
将速度v分解为周向速度v 和径向速度vr。 由动量矩积分得：
v
r
L r
L p
(1 e cos )
(1 e cos )
p
则vr
m1，m2系统对质点m的万有引力F可利用势函数V的梯度表示为： F (V i V j) x y
在
轨道与赤道平面相交的两个交点中，
对应于航天器上升的交点称为升交
点，记作N，ON与OX 0的夹角称 为升交点赤经，轨道面与赤道面的
倾角i称为轨道面倾角。与i是确定
轨道面的空间方位的两个独立的广义坐标。
由偏心率矢量e可确定角，
称为近地点幅角。
偏心率矢量e与矢径r点积：
r e r ( 1 v L 1 r)
设冲量沿速度v方向，引起速度增量v，引起速率增量v，
v v0v，其中v0为速度v方向单位矢量。引起偏心率矢量e变化
e，利用偏心率公式e 1 (v L r)：
r
e 1 [v L v (r v )] 1 [v0 L v0 L] 2 v0 L
v v
v
e e v 2v v0 L v
r
2
L r re cos
从而导出极坐标形式的轨道方程：
r p
1 e cos
2
式中参数p L 称为半轴参数。
此轨道方程显然是以O为焦点，且相对于e为对称轴的圆锥曲线。
e 1 椭圆 e 1 抛物线 e 1 双曲线
将轨道方程代人动量矩积分并分离变量，得到
p3 d dt (1 cos )2
t
me＞＞m，可足够精确地认为系统的质心O与地球的球心Oe重合。 二体问题简化为只需研究质点m在静止的地球万有引力作用下 的运动。
me 5.9761024 kg， Gme 3.986105 km3/s2 称为地球引力参数
F (r)
G
mme r2
m
r2
mg
地球表面处g 9.82m / s2。
V (r) m
c
2
T0
a3
1
a13
2
a23
只讨论质点m在m1，m2的轨道面
(x, y)内运动的简单情形。
质点m在m1，m2的共同引力场内 的势函数V等于m1，m2各自引力 场势函数的代数和。
V m( 1 2 ) 1 2
V m( 1 2 ) 1 2