湖南省长郡中学2020届高三下学期第四次适应性考试数学(文)试题 Word版含答案
绝密★启用前长郡中学2020届高三适应性考试（四）数学（文科）试卷本试题卷共8页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已如集合2|1,A x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭{3,2,1,1,2,3}B =---，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,1,2,3}--B ．{2,1}--C ．{1,1,2,3}-D ．{3,2}--2．已知i 为虚数单位，复数122i()i,i z z a a -==+∈R ．若12z z >，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞3．函数||2x a y +=在区间(1,)+∞内单调递增的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a -…B ．2a -…C ．1a >-D ．2a >-4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13134S π=，则222579cos cos cos a a a ++=（ ） A ．1B ．32C ．52D ．25．函数1()2||cos2||)2f x x x =-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知某组合体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图的直观图如图2（粗线部分）所示，其中四边形A B C D ''''为平行四边形，B C x '''∥轴，O '为边A B ''的中点，则平行四边形A B C D ''''的面积为（ ）A ．42B ．82C ．16D ．87．已知函数2()|ln(1)|f x x x =+-，若19log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.21.8c f =，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<8．如图，抛物线21:2(0)C y px p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA u u u r在OF u u u r方向上的投影为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89．已知实数,x y 满足约束条件|2|y x mx y m ≥-⎧⎨-+≥⎩，其中01m <<，若222x y y ++的最大值为40，则m =（ ） A ．2 B ．3 C ．12 D ．1310．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到．图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”（如图2），如此继续．若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A ．116B ．164C 2D 2 11．定义“互倒函数”为对于定义域内每一个x ，都有1()f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，已知函数()f x 是定义在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“互倒函数”，且当[1,2]x ∈时，211()2f x x =+，若函数2[()]1y f f x a =--（其中0a ≥）恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．120,4⎧⎪⎡⎫⋃⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．120,4⎧⎪⎡⎤⋃⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭12．数列{}n a 满足1cos 2n n n a n a π+=⋅+，则数列{}n a 的前40项和为（ ）A ．40213-B ．4122-C ．()404213- D ．()402213-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．从某班,,,,A B C D E 五人中随机选取两人参加学校的问卷调查，则,A B 两人中至少有一人被选中的概率为________．14．甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏，方法如下：第一步：先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子（如图所示），甲从中记下某个棋子的坐标：第二步：甲分别告诉其他三人：告诉乙棋子的横坐标，告诉丙棋子的纵坐标，告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等；第三步：由乙、丙、丁依次回答，对话如下：“乙先说我无法确定，丙接着说我也无法确定，最后丁说我知道”．则甲记下的棋子的坐标为________．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，M 在第一象限，线段MF 交双曲线于点N ，如果12MN NF =u u u u r u u u r，则双曲线的离心率等于________．16．已知H 为ABC △的垂心，且CH xCB yCA =+u u u r u u u r u u u r ，AH mAB nAC =+u u u u r u u u r u u u r，31x y +=，41m n +=，则B =________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形ABCD 区域为生活区，AC 为横穿村庄的一条道路，ADE △区域为休闲公园，200BC m =，60ACB AED ∠=∠=︒，ABC △20057．（Ⅰ）求道路AC 的长；（Ⅱ）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值．18．已知鲜切花A 的质量等级按照花枝长度L 进行划分，划分标准如下表所示． 花枝长度/L cm 30L <3045L ≤<45L ≥鲜花等级三级二级一级某鲜切花加工企业分别从甲、乙两个种植基地购进鲜切花A ，现从两个种植基地购进的鲜切花A 中分别随机抽取30个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示．（Ⅰ）根据茎叶图比较两个种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值及分散程度（不要求计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若从等级为三级的样品中随机选取2个进行新产品试加工，求选取的2个全部来自乙种植基地的概率；（Ⅲ）根据该加工企业的加工和销售记录，了解到来自甲种植基地的鲜切花A 的加工产品的单件利润为4元；来自乙种植基地的鲜切花A 的加工产品的单件成本为10元，销售率（某等级产品的销量与产量的比值）及单价如下表所示．三级花加工产品 二级花加工产品 一级花加工产品销售率 25 23 89 单价/（元/件）121620由于鲜切花A 加工产品的保鲜特点，未售出的产品均可按原售价的50%处理完毕．用样本估计总体，如果仅从单件产品的利润的角度考虑，该鲜切花加工企业应该从哪个种植基地购进鲜切花A ？19．如图1，在长方形ABCD 中，122AB BC ==，E ，F 分别为AD 、BC 的中点，G 为ED 的中点，点H 在线段AF 上，且满足AH AF λ=．将正方形ABFE 沿EF 折起，使得直线EF 与平面ABCD 间的距离为1，得到如图2所示的三棱柱AED BFC -． （1）求证：AF ⊥平面BED ： （l ）若三棱锥G HFC -的体积为2，求λ的值．20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，点(0,1)M 在椭圆E 上，过点(2,0)N 2的直线恰好与椭圆E 有且仅有一个公共点． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设点P 为椭圆E 的长轴上的一个动点，过点P 作斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，是否存在常数k ，使2221||,,||2a PA PB +成等差数列？若存在，求出k 的值：若不存在，请说明理由．21．己知函数2()22(1)x x f x ae a e =++． （Ⅰ）当12a =-时，求()f x 的极值；（Ⅱ）当(0,)a ∈+∞时，函数()f x 的图象与函数4x y e x =+的图象有唯一的交点，求a 的取值集合．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡把所选题号涂黑。
22．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆1C 的极坐标方程为24(cos sin )p p θθ=+，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ．（Ⅰ）求圆1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线2C 的参数方程为22||x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线2C 与圆1C 交于,A B 两点，求圆1C 夹在,A B 两点间的劣弧AB 的长． 23．选修4—5：不等式选讲 已知函数()|21||5|f x x x =-++． （Ⅰ）求不等式()7f x >的解集；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为32m +．求证：,(0,)p q ∀∈+∞，11m p q p q +≥+恒成立．长郡中学2020届高三适应性考试（四）文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．71014．(5,5) 15 16．45°三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）500m ；（Ⅱ）600m ．18．解：（Ⅰ）由茎叶图可以看出，乙种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A 的花枝长度相对于乙种植基地来说更为集中． （Ⅱ）310； （Ⅲ）来自乙种植基地的鲜切花A 的加工产品的单件平均利润为1881011804.88105153309⎛⎫⨯-+⨯+⨯≈ ⎪⎝⎭（元）． 因为4.884>，所以该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A ． 19．解：（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）12λ=．20．解：（Ⅰ）椭圆E 的标准方程为2212x y +=；（Ⅱ）存在满足条件的常数k ，且k =．21．解：（Ⅰ）函数()f x 的极大值是2(ln 2)ln 2111(ln 2)424f e e ---=-+=-+=，无极小值；（Ⅱ）a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭．22．解：（Ⅰ）圆1C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=；（Ⅱ）圆1C 夹在,A B 两点间的劣弧AB 的长为124π⨯⨯．23．解：（Ⅰ）不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或1}x >；（Ⅱ）证明略．。
湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第四次适应性考试数学(理)试题 Word版含解析
长郡中学2020届高三适应性考试（四）数学（理科）试卷本试题卷共8页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381xB x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）A. {}2B. {}0,2C. {}0,2,4D. {}2,4【答案】B 【解析】∵集合{}2|20A x x x =-≤ ∴{}02A x x =≤≤ ∵集合{}|1381xB x =<< ∴{}04A x x =<< ∴{}04A B x x ⋃=≤< ∵集合{}|2,C x x n n N ==∈∴{}()0,2A B C ⋃⋂= 故选B.2.要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某酒厂从某白酒生产线上抽取40瓶进行塑化剂检测：③某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况.适合采用的抽样方法依次为（ ） A. ①用简单随机抽样：②③均用系统抽样 B. ①用抽签法；②③均用系统抽样C. ①用抽签法：②用分层抽样：③用系统抽样D. ①用随机数表法；②用系统抽样；③用分层抽样 【答案】D 【解析】 【分析】根据系统抽样､分层抽样､抽签法和随机数表法的各自特点,分析各项调查的具体情况,即可得出对应的抽样方法.【详解】对于①,所收集的数据没有明显差异,且数量较少,应用抽签法; 对于②,所收集的数据没有明显差异,且数量较多,应用系统抽样; 对于③,所收集的数据差异明显,应用分层抽样; 故选:D.【点睛】本题考查抽样方法的判断与应用问题,属于基础题.3.已知i 是虚数单位，复数122,2z i z i =+=-，给出下列命题：21121:p z z z ⋅=；122:z p z 的虚部为45i ；132:z p z 在复平面内对应的点位于第四象限；1423:5z p z -是纯虚数.其中是假命题的为（ ） A. 24,p p B. 123,,p p pC. 34,p pD. 23,p p【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算出12z z ⋅和12z z ,再根据复数的基本概念判断四个命题的真假.【详解】复数122,2z i z i =+=-,则命题1p 中,12(2)(2)5z z i i ⋅=+-=,215z =,故1p 是真命题;命题2p 中,()()()212223434222555i z i i i z i i i +++====+--+,则12z z 的虚部为45,故2p 是假命题;命题3p 中,123455z i z =+在复平面内对应的点为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,其位于第一象限,故3p 是假命题;命题4p 中,123455z i z -=是纯虚数,故4p 是真命题; 因此,上述命题是假命题的为23,p p , 故选:D.【点睛】本题主要考查复数的基本概念及其运算,难度不大,属于基础题.4.皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学界做出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p 是质数，且,a p 互质，那么a 的(1)p -次方除以p 的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集{}2,3,4,5,6中任取两个数，其中一个作为p ，另一个作为a ，则所取两个数不符合费马小定理的概率为（ ） A.1120B.35C.920D.25【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将符合费马小定理的基本事件列举出来,再计算出总的基本事件,最后利用古典概型概率计算公式计算即可.【详解】所取两个数符合费马小定理时, 因为p 是质数,所以p 可能为:2,3,5; 又,a p 互质,所以,p a 可能的情况共9种,列举如下:()()()()()()()()()2,3,2,5,3,2,3,4,3,5,5,2,5,3,5,4,5,6;在数集{}2,3,4,5,6中任取两个数,共有2520A =种情况,因此,所取两个数不符合费马小定理的概率为209112020P -==, 故选:A.【点睛】本题主要考查古典概型概率的计算,考查学生的分析理解能力,难度不大.5.已知某几何体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图水平放置的直观图如图②中粗线部分所示，其中其中四边形A B C D ''''为平行四边形，244B C A B O A ''''''===，则该几何体的体积为（ ）A. 168+πB. 816π+C. 1616π+D. 88π+【答案】A 【解析】 【分析】先利用直观图还原俯视图,再结合正视图和侧视图还原几何体,最后利用体积计算公式计算几何体体积.【详解】根据直观图还原可知,俯视图是边长为4的正方形,结合正视图和侧视图可知,该几何体后半部分为长方体,前半部分为半个圆柱, 长方体的边长分别为2,2,4,则其体积为22416⨯⨯=, 半个圆柱的底面半径为2,高为4,则其体积为14482ππ⋅⋅⋅=, 因此,该几何体的体积为:168+π, 故选:A.【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的体积,考查直观图的还原,需要学生具备一定的空间想象及思维能力.6.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为20%，若A 分得奖金1000元，则B ，C 所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为( ) A. 20%，14580元 B. 10%，14580元 C. 20%，10800元D. 10%，10800元【答案】B 【解析】 【分析】设“衰分比”为q ，甲获得的奖金为1a ，联立方程解得10.1,20000q a ==，得到答案. 【详解】设“衰分比”为q，甲获得的奖金为1a ，则()()()23111111168780a a q a q a q +-+-+-=.()211136200a a q +-=，解得10.1,20000q a ==，故()31114580a q -=.故选：B .【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7.在二项式8(ax 的展开式中，所有项的系数之和记为S ，第r 项的系数记为r P ，若893S P =，则a b 的值为（ ） A. 2 B. 4-C. 2或2-D. 2或4-【答案】D 【解析】在8ax ⎛+ ⎝中，令x=1,所以8(),S a b =+又其通项公式为818(),r r r r T C ax -+=即 388218,r r r r r T C a b x--+=所以8888898,P C a b b -==因此依题有8888()(1)3,a b a b b+=+= 13,2-4.a ab b∴+=±∴=或故选D. 8.已知()cos()0,||,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭R 两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，将()f x 的图象向左平移m 个单位得到一个奇函数，则m 的最小正值是（ ） A .12πB.2π C.3π D.512π 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知22T π=,从而求出,T ω,再将最小值代入解析式求出ϕ,从而得到()f x ,进而根据平移变换得到平移后的解析式,再利用奇偶性求出m ,即可得出结论. 【详解】因为()cos()f x x =+ωϕ两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π, 所以22T T ππ=⇒=, 所以22Tπω==,即()cos(2)f x x ϕ=+ 又当23x π=时,函数()f x 取得最小值, 所以24()cos()133f ππϕ=+=-, 则42()2()33k k Z k k Z ππϕππϕπ+=+∈⇒=-+∈, 又||2ϕπ<,所以3πϕ=-,所以()cos(2)3f x x π=-,设将()f x 的图象向左平移m 个单位得到()g x ,则()cos(22)3g x x m π=+-,因为()g x 是一个奇函数, 所以2(21)()32m k k Z ππ-=-∈,即()212k m k Z ππ=-∈, 所以当1k =时,m 的最小正值是512π, 故选:D.【点睛】本题综合考查了三角函数的图象性质及平移变换,需要学生对基础知识掌握牢固且灵活运用,属于中档题.9.设函数()y f x =和()y f x =-，若两函数在区间[,]m n 上的单调性相同，则把区间[,]m n 叫做()y f x =的“稳定区间”.已知区间[1,2019]为函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的取值范围是（ ）A. [2,1]--B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. [1,2]【答案】C【分析】分析题意可知,函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2xy a =+在区间[1,2019]上同增或者同减,则根据同增和同减两种情况对函数进行分情况讨论即可.【详解】函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,函数2xy =在R 上单调递增,若区间[1,2019]为函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”,则函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2xy a =+在区间[1,2019]上同增或者同减,①若两函数在区间[1,2019]上单调递增,则10220x x a a ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≥⎩在区间[1,2019]上恒成立,即11122a a ⎧⎛⎫≤-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≥-⎩, 所以122a -≤≤-; ②若两函数区间[1,2019]上单调递减,则10220x x a a ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+≤⎩在区间[1,2019]上恒成立,即20192019122a a ⎧⎛⎫≥-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤-⎩,不等式无解;综上所述:12,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦,故选:C.【点睛】本题主要考查指数函数单调性的综合应用,考查学生的分析理解能力,属于中档题.10.已知双曲线2221(0)x y a a -=>，抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线的右焦点F 重合，其准线与双曲线交于点(),0,2M M N y MF FQ >=，点R 在x 轴上.若||||RN RQ -最大，则点R 的坐标为（ ）A. (6,0)B. (8,0)C. (9,0)D. (10,0)【解析】【分析】先利用22231caa c⎧=⎪⎨⎪+=⎩求出,a c,从而得到双曲线与抛物线方程,再联立双曲线与抛物线准线方程求出,M N点的坐标,进而求出点Q,而三点共线时||||RN RQ-最大,据此即可求出答案. 【详解】因为双曲线2221(0)xy aa-=>的离心率为23,即23ca=,又221a c+=,所以3,2a c==,即(20)F，,因此抛物线的准线方程为2x=-,联立22133(2,),(2,)32xyM Nx⎧-=⎪⇒---⎨⎪=-⎩,设(,)Q x y,由2MF FQ=可得()()2(2)223(4,)36020xQy⎧--=-⎪⇒-⎨-=-⎪⎩,结合下图可知,当R点运动到R',即,,N Q R三点共线时,||||RN RQ-最大,设此时(,0)R r',则有//NQ QR',即33363610424rr-+=⇒=+-,因此(10,0)R,故选:D.【点睛】本题综合考查了双曲线与抛物线的性质应用,结合了向量､共线等相关知识,对学生综合运用知识能力要求较高.11.若01x <<，则22ln3111,,3x x x x e e+++的大小关系是（ ） A.221ln 3113x xx x ee +++>>B.2211ln 313x xx x e e +++>> C. 22ln 31113x x x x e e+++>> D. 22ln 31113x x x x e e+++>> 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数1()xx f x e+=,则原题可变为比较()()()2ln3,,f f x f x 的大小关系,然后对()f x 求导,利用导数研究其单调性,再利用单调性比较函数值的大小关系即可. 【详解】设1()xx f x e +=,则()x xf x e -'=,令()00f x x '>⇒<,令()00f x x '<⇒>, 则()f x 在(,0)-∞上单调递增,在(0,)+∞上单调递减, 若01x <<,则201ln3x x <<<<, 因此()()()2ln3f x f x f >>,即2211ln 313x xx x e e +++>>, 故选:B.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性,再利用单调性比较函数值的大小,解题关键是依据题中条件,构造对应的函数.12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,,a E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点,G H ，设,[0,]BG x x a =∈.给出以下四个命题： ①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为2a ；③四棱锥1C EGFH -的体积为36a ；④点1B 到平面EGFH 的距离的最大值为3. 其中命题正确的序号为（ ）A. ②③④B. ②③C. ①②④D. ③④【答案】A 【解析】 【分析】由两平面所成角的余弦公式即面积射影公式,计算可得所求最大值,可判断①;由四边形EGFH 为菱形,计算面积,考虑GH 的最小值,可判断②;由棱锥的等体积法,计算可判断③;由等体积法和函数的性质可判断④.【详解】对于①,由面面平行的性质定理可得//EG FH ,//EH GF , 可得四边形EGFH 为平行四边形,又直角梯形CBGF 和直角梯形ABGE 全等,可得EG FG =, 即有四边形EGFH 为菱形,且GH EF ⊥, 平面EGFH 在底面上的射影为四边形ABCD , 设平面EGFH 与平面ABCD 所成角为θ, 由面积射影公式可得22cos 122ABCD EGFH Sa a S a GHθ===,23a GHa ,6cos 1θ,可得平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值不为45︒,故①错误; 23a GH a ,可得菱形EGFH 的面积的最小值为21222a a a =,故②正确;对于③,因为四棱锥1C EGFH -的体积为11311112223226C EGF E GFC V V V a a a a --===⋅⋅⋅⋅⋅=,故③正确;对于④,1111()32B EFG E B FG V V a a x a --==⋅-⋅,(0)x a ,设1B 到平面EGFH 的距离为d ,可得11132B EFG V d -=⋅所以d =(其中)t a x =-, 当0x =即t a =时,d取得最大值3,故④正确. 故选:C.【点睛】本题考查空间立体几何中的面面位置关系以及空间几何体的体积公式,题目将立体几何问题和函数进行结合,综合性较强,对学生分析和解题能力要求较高. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,2)a =，(,1)b k =，且2a b +与向量a 的夹角为90°，则向量a 在向量b 方向上的投影为________.【解析】 【分析】由题可知()20a b a +⋅=,依据数量积的坐标公式可求出k ,即求出向量b ,从而得到向量a 在向量b 方向上的投影为cos ,a b a a b b⋅⋅<>=.【详解】因为向量(1,2)a =,(,1)b k =, 则2(2,5)a b k +=+,又2a b +与向量a 的夹角为90°, 所以()20a b a +⋅=,即2100k ++=, 解得12k =-,即(12,1)b =-,因此向量a 在向量b方向上的投影为cos ,145a ba ab b⋅⋅<>===,故答案为. 【点睛】本题综合考查了数量积的坐标运算及投影的求法,难度不大.14.设222:(,,0)p x y r x y r+≤∈>R；1:40(,)xq x y x yx y≥⎧⎪+-≤∈⎨⎪-≤⎩R，若p是q的必要不充分条件，则r的取值范围为________.【答案】[10,)+∞【解析】【分析】设p表示的是集合A,q表示的是集合B,则依据题意有B A,再在坐标中作出对应图象,结合图象即可得出结论.【详解】设p表示的是集合A,q表示的是集合B,若p是q的必要不充分条件,则B A,在坐标轴中作出满足q的可行域,如下图阴影部分所示:由1(1,3)40xAx y=⎧⇒⎨+-=⎩,则结合上图可知,点A应在圆222(0)x y r r+=>内部或者圆上,即210r≥,解得10r≥,故答案为:10,)+∞.【点睛】本题综合考查了充分必要条件的基本应用,结合了圆,可行域等相关知识,考查了学生数形结合方法的运用,属于中档题.15.正整数数列{}n a满足11,231,n nnn na aaa a+⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，已知64a=，{}n a的前6项和的最大值为S ，把1a 的所有可能取值从小到大排成一个新数列{}n b ，{}n b 所有项和为T ，则S T -=________.【答案】62 【解析】 【分析】根据分段数列和64a =,倒过来依次分析{}n a 的前5项,即可求出S 和T ,从而求出答案.【详解】正整数数列{}n a 满足11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数,且64a =,所以54a =或1, 再依次分析4321,,,a a a a , 则可得{}n a 的前6项分别为: 128,64,32,16,8,4; 或21,64,32,16,8,4; 或20,10,5,16,8,4; 或3,10,5,16,8,4; 或16,8,4,2,1,4; 或2,1,4,2,1,4;因此12864321684252S =+++++=,23162021128190T =+++++=,62S T -=,故答案为:62【点睛】本题考查分段数列的运用,考查学生的计算推理能力,有一定难度.16.母线长为的圆锥内有一球O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入__________个． 【答案】10 【解析】由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高为3，如图所示：设球O 半径为R ，由∠OCB=30°，可得OC=2R ，故OA=OC=2R ，所以R+2R=3∴R=1，OC=2，故得EC=1.设小球半径为r ，同理可得2O C r '=,故31r =，所以小球半径为13r =，且'43OO =.这时O '到直线AO 的距离为423sin603︒=．这些小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为233的圆M 上，如图所示：H 为相邻两球切点，12M M ，分别为相邻两球球心，设∠1H θM M =，则13sin θ6r M M ==， tan θ11=，由三角函数的性质可知sin θθtan θ<<， 3θ11<<32θ11<<211π232ππθ<<211π1110π=>， 2231211ππ，故可得能放入小球个数最多为10故答案为10点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，3116a =，1218a a -=，数列{}n b 满足13b =-，且11n b ++与1n b -的等差中项是n a . （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若(1)n n n c b =-，{}n c 的前n 项和为n S ，求2n S .【答案】（1）1122n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）2211234nnS n ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)设数列{}n a 的公比为(0)q q >,利用3116a =和1218a a -=列式解出1,a q ,从而得到112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭,再利用11n b ++与1n b -的等差中项是n a ,列式化简得到1n b +n b -122n⎛⎫=- ⎪⎝⎭,最后利用累加法即可得出答案;(2)结合(1)中结论可知,n 为奇数时有1122nn n c c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,据此列式求和即可求出2n S . 【详解】(1)数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,设其公比为(0)q q >, 因为3116a =,1218a a -=,所以21111111641182a q a a a q q ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩,因此112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭,又数列{}n b 满足13b =-,且11n b ++与1n b -的等差中项是n a ,所以11n b ++1n b +-1122n +⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,即1n b +n b -122n⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 所以:11122n n n b b --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,212122n n n b b ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,……232122b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,21122b b -=-, 上述累加可得22111111112(1)3222222n n n n b b n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++--=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,所以1122n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭;(2)(1)n n n c b =-,若n 为奇数,则11111(1)(1)22nnn n n n n n n c c b b b b ++++⎛⎫+=-+-=-=- ⎪⎝⎭,所以21234212n n n S c c c c c c -=++++++()()()1234212n n c c c c c c -=++++++13211112+2+2222n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1321111++2222n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111242114nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--211234nn ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦即2211234nnS n ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题综合考查等差､等比数列的性质应用,考查数列求和,属于中档题.18.以昆明、玉溪为中心的滇中地区，冬无严寒、夏无酷暑，世界上主要的鲜切花品种在这里都能实现周年规模化生产.某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理.根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工6箱.（1）若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且被6位不同的顾客购买.现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少？（2）该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量t （单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）：①估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少？②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求x 的取值范围. 【答案】（1）815；（2）①21天：②x 的取值范围为*[33,70],x ∈N . 【解析】 【分析】(1)利用列举法列举出基本事件和满足条件的基本事件,再根据古典概型概率公式计算即可得结论;(2)①由70x y +=可得满足题意的天数为:703021100⨯=天;②根据购进5箱的平均利润>购进6箱的平均利润,列出不等式求解即可.【详解】(1)设这6位顾客是A ,B ,C ,D ,E ,F ,其中3点以前购买的顾客是A ,B ,C ,D ,3点以后购买的顾客是E ,F , 从这6位顾客中任选2位有15种选法:(,)A B ,(A,C),(,)A D ,(,)A E ,(,)A F ,(,)B C ,(,)B D ,(,)B E ,(,)B F ,(,)C D ,(,)C E ,(,)C F ,(,)D E ,(,)D F ,(,)E F ,其中恰好一位是以2000元价格购买的顾客,另一位是以1200元价格购买的顾客的有8种:(,)A E ,(,)A F ,(,)B E ,(,)B F ,(C ,)E ,(,)C F ,(,)D E ,(D ,)F ,根据古典概型的概率公式可得815P =; (2)①依题意有30100x y ++=,70x y ∴+=,所以估计接下来的一个月(30天)内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是703021100⨯=天; ②批发店毎天在购进4箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:42000450032000⨯-⨯⨯=元; 批发店毎天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:3070(420001120055003)(5200055003)2260100100⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=元; 批发店毎天在购进6箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:3070(420002120065003)(520001120065003)(6200065003)100100100x x -⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 4202230(70)25208x x x =++-=-;若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大, 则226025208x >-,解得32.5x >, 所以x 的取值范围范围为*[33,70],x ∈N .【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式的应用,考查了平均值的计算,属中档题. 19.如图1所示，在矩形ABCD中，AB =2BC =，M 为CD 中点，将DAM △沿AM 折起，使点D 到点P 处，且平面PAM ⊥平面ABCM ，如图2所示.（1）求证：PB AM ⊥：（2）在棱PB 上取点N ，使平面AMN ⊥平面PAB ，求平面CMN 与AMN 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）余弦值为3485. 【解析】 【分析】(1)在矩形ABCD 中,连接BD 交AM于点Q ,则由tan tan DBA MAD ∠=∠可推出DBA MAD ∠=∠,因此有2DAQ π∠=,故在翻折后的四棱锥中,有,PQ AM BQ AM ⊥⊥,据此推出AM ⊥平面PBQ ,从而有PB AM ⊥;(2)以点Q 为原点,,,QA QB QP 方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系,再过点M 作MH AN ⊥于点H ,由平面AMN ⊥平面PAB 可推出MH ⊥平面PAB ,即有MH PB ⊥,结合PB AM ⊥,可知PB ⊥平面AMN ,即PB AN ⊥,设(01)PN PB λλ=≤≤,再结合0PB AN ⋅=可求出4383(0,,)N ,最后再利用空间向量法求二面角的余弦值即可. 【详解】(1)在矩形ABCD 中,连接BD 交AM 于点Q ,由题知22AB =2AD =,2DM =所以2tan tan DBA MAD ∠=∠=,即DBA MAD ∠=∠, 又2DBA BDA π∠+∠=,所以2MAD BDA π∠+∠=,所以2DAQ π∠=,即,DQ AM BQ AM ⊥⊥,故在翻折后的四棱锥中,有,PQ AM BQ AM ⊥⊥, 又PQBQ Q =,所以AM ⊥平面PBQ ,又PB ⊂平面PBQ ,所以PB AM ⊥;(2)如图所示,以点Q 为原点,,,QA QB QP 方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系,在矩ABCD 中,经计算可得264323AQ BQ DQ ===, 因此26432623236(((A B C P M , 过点M 作MH AN ⊥于点H , 因为平面AMN ⊥平面PAB ,平面AMN 平面PAB AN =,所以MH ⊥平面PAB ,所以MH PB ⊥, 又由(1)知PB AM ⊥,且MH AM M ⊥=, 所以PB ⊥平面AMN ,所以PB AN ⊥,即有0PB AN ⋅=,因为点N 在PB 上,设(01)PN PB λλ=≤≤,则4323(1)N λ⎛- ⎝⎭,由0PB AN ⋅=解得15λ=,即N , 设平面CMN 的一个法向量为(,,)n x y z =,62326(,,0),(CM CN =-=, 由00CM n CN n⎧⋅=⎨⋅=⎩0y x y z ⎧=⎪⎪⇒-=,令712,4y x z =⇒==-,即7(2,1,)4n =-,又平面AMN的一个法向量为PB =,所以4cos ,97PB n +<>==,所以平面CMN 与AMN . 【点睛】本题主要考查空间中的线线､线面及面面垂直关系,考查空间向量法求二面角的余弦值,需要学生具备一定的空间思维及计算能力,有一定难度.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点()1,0F ，A ，B ，C 是椭圆上任意三点，A ，B 关于原点对称且满足12AC BC k k ⋅=-. （1）求椭圆E 的方程.（2）若斜率为k 的直线与圆：221x y +=相切，与椭圆E 相交于不同的两点P 、Q ，求PQ ≥时，求k 的取值范围. 【答案】（1）2212x y +=； （2）(),2,⎡-∞+∞⎣.【解析】 【分析】（1）由题意设出A ，B ，C 的坐标，代入椭圆方程作差可得a 与b 的关系，结合右焦点坐标解得a ，b 即可.（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及根与系数的关系将PQ 用k 与m 表示，再利用直线与圆相切得到k ，m 的关系，代入表达式，得到关于k 的不等式，解得k 的范围即可．【详解】（1）由题可设(),A A A x y ，(),A A B x y --，(),C C C x y ，所以2222222211A AC C x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()220A C A C A C A C x x x x y y y y a b -+-++=，()()()()22A C A C A C A C y y y y b x x x x a -+⇒⋅=--+.即()()()()2212A C A C AC BC A C A C y y y y b k k x x x x a-+⋅=⋅=-=--+，所以222a b =，又1c =，222a b c =+，所以22a =，21b =，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线方程为y kx m =+，交椭圆于点()11,P x y ，()22,Q x y .联立方程()22222,12422012y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ ()228210k m ∆=+->，得2221k m +>， 122412km x x k +=+，21222212m x x k-=+. 所以PQ ====，因为直线y kx m =+与圆221x y +=相切，所以1d m ==⇒=，即221m k =+，代入2221k m +>，得0k ≠.所以PQ ===因为PQ ≥，所以5≥， 化简得()()42222603202k k k k k+-≥⇔+-≥⇒≥，或23k ≤-（舍）.所以k ≥k ≤故k的取值范围为(),-∞⋃+∞.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，弦长公式，涉及直线与圆相切的充要条件、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21.已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()'()(2)(0)g x f x ax a x a =+-+>，试研究函数()g x 的极值情况；（2）记函数()()x xF x f x e =-在区间(1,2)内的零点为0x ，记()min (),x x m x f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不等实根1212,()x x x x <，证明：1202x x x +>.【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）由()()22ln 1g x ax a x x =-+++求出()'g x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0g x >求得x 的范围，可得函数()g x 增区间，()'0g x <求得x 的范围，可得函数()g x 的减区间，根据单调性可得函数()g x 的极值情况；（2）先证明()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增，根据零点存在性定理， 存在()01,2x ∈，使得()()00000x x F x f x e =-=，可得以()00,1,x xlnx x x m x x x x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，要证1202x x x +>，只需证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<，记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e--=-<<，其中()00h x =，利用导数可证明()h x 单调递增，故当01x x <<时，()()00h x h x <=，即可得01011122ln x x x xx x e --<，进而可得结果.试题解析：（1）由题意，得()'ln 1f x x =+， 故()()22ln 1g x ax a x x =-+++，故()()()()2111'22x ax g x ax a x x--=-++=， 0,0x a >>.令()'0g x =，得1211,2x x a == ①当02a <<时，112a >，()1'002g x x >⇐<<或1x a>；()11'02g x x a<⇐<<,所以()g x 在12x =处取极大值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在1x a =处取极小值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.②当2a =时，112a =，()'0g x ≥恒成立，所以不存在极值； ③当2a >时，112a <，()1'00g x x a >⇐<<或12x >；()11'02g x x a <⇐<<,所以()g x 在1x a =处取极大值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在12x =处取极小值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.综上，当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值ln24a --，在1x a =处取极小值1ln a a--；当2a =时，不存在极值；2a >时，()g x 在1x a =处取极大值1ln a a --，在12x =处取极小值ln24a--.（2）()ln x xF x x x e =-，定义域为()0,x ∈+∞，()1'1ln x x F x x e-=++，而()1,2x ∈，故()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增 又()110F e =-<，()2222ln20F e=->， 且()F x 在区间()1,2内的图象连续不断，故根据零点存在性定理，有()F x 在区间()1,2内有且仅有唯一零点. 所以存在()01,2x ∈，使得()()0000x x F x f x e=-=， 且当01x x <<时，()xx f x e <； 当0x x >时，()xx f x e >， 所以()00,1,xxlnx x x m x x x x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当01x x <<时，()ln m x x x =， 由()'1ln 0m x x =+>得()m x 单调递增； 当当0x x >时，()xxm x e =， 由()1'0xxm x e -=<得()m x 单调递减； 若()m x n =在区间()1,+∞内有两个不等实根12,x x （12x x <）则()()10201,,,x x x x ∈∈+∞. 要证1202x x x +>，即证2012x x x >-又0102x x x ->，而()m x 在区间()0,x +∞内单调递减， 故可证()()2012m x m x x <-， 又由()()12m x m x =， 即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<记()00022ln ,1x x x xh x x x x x e --=-<<，其中()00h x =记()t t t e φ=，则()1't tt eφ-=，当()0,1t ∈时，()'0t φ>； 当()1,t ∈+∞时，()'0t φ<， 故()max 1t eφ=而()0t φ>，故()10t eφ<<， 而021x x ->，所以002210x x x x e e---<-<， 因此()00022211'1ln 10x x x x x x h x x e e e---=++->->，即()h x 单调递增，故当01x x <<时，()()00h x h x <=， 即01011122ln x x x x x x e--<，故1202x x x +>，得证. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将直线621=0x y --上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13倍得到直线l '.（1）求直线l '的普通方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l '的距离的最小值及此时点P 的坐标. 【答案】（1）直线l '的普通方程为7x y -=； （2）点P 到直线l '的距离的最小值为2，此时点P 的坐标为(3,1)-. 【解析】 【分析】(1)设直线l '上的点为(,)x y '',再将123x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩代入方程621=0x y --即可得到直线l '的方程;(2)利用点到直线的距离公式,结合三角函数即可求出距离的最小值,进而得出点P 的坐标. 【详解】(1)设直线l '上的点为(,)x y '',由题可知212133x x x x y y y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨''⎨='⎪=⎩'⎪⎩, 又621=0x y --,所以33210x y ''--=,即70x y ''--=, 因此直线l '的普通方程为:70x y --=;(2)点,2sin )P αα到直线l '的距离d ==, 所以当2()6k k Z παπ=-+∈时,min 2d ==,此时(3,1)P -. 【点睛】本题主要考查伸缩变换以及参数方程的应用,考查学生的运算及思维转换能力,难度不大.23.已知函数()|21||5|f x x x =-++. （1）求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为32m，求证：,(0,)p q ∀∈+∞，11m p q p q +≥+恒成立.【答案】（1）{|1x x <-或1}x >：（2）证明见解析 【解析】【分析】(1)对x 的取值范围进行分情况讨论,再求解不等式即可;(2)根据解析式求出()f x 的最小值,从而得到m ,再利用分析法证明不等式即可.【详解】(1)()|21||5|f x x x =-++=34,516,52134,2x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，若()7f x >,则有5347x x <-⎧⎨-->⎩或15267x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-+>⎩或12347x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩,解得5x <-或51x -≤<-或1x >,因此不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或1}x >;(2)由函数()f x 的解析式可知,()f x 在1(,)2-∞上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增, 因此min 1113()()4222f x f m m ===+⇒=, 因此要求证:,(0,)p q ∀∈+∞,114p q p q+≥+恒成立, 即证4p q pq p q+≥+恒成立, 即证()24p q pq +≥恒成立, 即证2220p q pq +-≥恒成立,而对,(0,)p q ∀∈+∞,222p q pq +-=2()0p q -≥恒成立,因此,原不等式得证.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式,考查不等式的证明,难度不大.。
湖南省长郡中学2020届高三下学期第四次适应性考试数学(文)试题
绝密★启用前长郡中学2020届高三适应性考试（四）数学（文科）试卷本试题卷共8页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已如集合2|1,A x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭{3,2,1,1,2,3}B =---，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,1,2,3}--B ．{2,1}--C ．{1,1,2,3}-D ．{3,2}--2．已知i 为虚数单位，复数122i()i,i z z a a -==+∈R ．若12z z >，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞3．函数||2x a y +=在区间(1,)+∞内单调递增的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a -…B ．2a -…C ．1a >-D ．2a >-4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13134S π=，则222579cos cos cos a a a ++=（ ） A ．1B ．32 C ．52D ．25．函数1()2||cos2||)2f x x x =-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知某组合体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图的直观图如图2（粗线部分）所示，其中四边形A B C D ''''为平行四边形，B C x '''∥轴，O '为边A B ''的中点，则平行四边形A B C D ''''的面积为（ ）A ．B ．C ．16D ．87．已知函数()|)|f x x =-，若19log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.21.8c f =，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<8．如图，抛物线21:2(0)C y px p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA u u u r 在OF u u u r方向上的投影为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89．已知实数,x y 满足约束条件|2|0y x mx y m ≥-⎧⎨-+≥⎩，其中01m <<，若222x y y ++的最大值为40，则m =（ ）A ．2B C ．12 D ．1310．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到．图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”（如图2），如此继续．若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A ．116B ．164C ．128D ．3211．定义“互倒函数”为对于定义域内每一个x ，都有1()f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，已知函数()f x 是定义在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“互倒函数”，且当[1,2]x ∈时，211()2f x x =+，若函数2[()]1y f f x a =--（其中0a ≥）恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,4⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭12．数列{}n a 满足1cos 2n n n a n a π+=⋅+，则数列{}n a 的前40项和为（ ）A ．40213-B ．4122-C ．()404213- D ．()402213-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020长郡中学高考适应性考试文科数学四模试卷
2
p q pq
文科数学试题 （第 7 页，共 8 页）
◎
文科数学试题 （第 8 页，共 8 页）
（Ⅱ）若三棱锥 G﹣HFC 的体积为 2 ，求 的值． 6
E
G
D
A
E
G
D
A
H
H
F
C
B
F
CB
图1
图2
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 E : x2 y2 a2 b2
1（a＞b＞0），点 M（0，1）在椭圆 E 上，过点 N（2，0）作斜率为
2 2
的直线恰好与椭圆 E 有且仅有一个公共点． （Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程； （Ⅱ）设点 P 为椭圆 E 的长轴上的一个动点，过点 P 作斜率为 k（k≠0）的直线交椭圆 E 于不同
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答 题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
ABCD 区域为生活区，AC 为横穿村庄的一条道路， ADE 区域为休闲公园，BC＝200 m，∠ACB
＝∠AED＝60°， ABC 的外接圆直径为 200 57 m． 3
（Ⅰ）求道路 AC 的长； （Ⅱ）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长
的最大值．
D E
中分别随机抽取 30 个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示．
甲种植基地
乙种植基地
12
湖南省长郡中学2020届高三下学期第四次适应性考试数学(理)试题 Word版含答案
绝密★启用前长郡中学2020届高三适应性考试（四）数学（理科）试卷本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟． 注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{|2,}C x x n n ==∈N ，则()A B C ⋃⋂=（ ） A ．{0,2,4}B ．{2,4}C ．{0,2}D ．{2}2．要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某酒厂从某白酒生产线上抽取40瓶进行塑化剂检测：③某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况．适合采用的抽样方法依次为（ ） A ．①用简单随机抽样：②③均用系统抽样 B ．①用抽签法；②③均用系统抽样C ．①用抽签法：②用分层抽样：③用系统抽样D ．①用随机数表法；②用系统抽样；③用分层抽样3．已知i 是虚数单位，复数122,2z i z i =+=-，给出下列命题：21121:p z z z ⋅=；122:z p z 的虚部为45i ；132:z p z 在复平面内对应的点位于第四象限；1423:5z p z -是纯虚数．其中是假命题的为（ ） A ．24,p pB ．123,,p p pC ．34,p pD ．23,p p4．皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学界做出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p 是质数，且,a p 互质，那么a 的(1)p -次方除以p 的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理．依此定理若在数集{}2,3,4,5,6中任取两个数，其中一个作为p ，另一个作为a ，则所取两个数不符合费马小定理的概率为（ ） A ．1120 B ．35C ．920D ．255．已知某几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图水平放置的直观图如图2中粗线部分所示，其中其中四边形A B C D ''''为平行四边形，244B C A B O A ''''''===，则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．816π+C ．1616π+D ．88π+6．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：已知,,A B C 三人分配奖金的衰分比为20%，若A 分得奖金1000元，则,B C 所分得奖金分别为800元、640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的衰分比分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则衰分比与丁所获得的奖金分别为（ ） A ．20%，14580元B ．10%，14580元C ．20%，10800元D ．10%，10800元7．在二项式8ax x ⎛+ ⎝的展开式中，所有项的系数之和记为S ，第r 项的系数记为r P ，若893S P =，则ab 的值为（ ） A ．2或-4B ．2C ．2或-2D ．-48．已知()cos()0,||,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭R 两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，将()f x 的图象向左平移m 个单位得到一个奇函数，则m 的最小正值是（ ） A ．12πB ．2π C ．3π D ．512π 9．设函数()y f x =和()y f x =-，若两函数在区间[,]m n 上的单调性相同，则把区间[,]m n 叫做()y f x =的“稳定区间”．已知区间[1,2019]为函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,1]--B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．[1,2]10．已知双曲线2221(0)x y a a-=>22(0)y px p =>的焦点与双曲线的右焦点F 重合，其准线与双曲线交于点(),0,2M M N y MF FQ >=u u u u r u u u r，点R 在x 轴上．若||||RN RQ -最大，则点R 的坐标为（ ）A ．(6,0)B ．(8,0)C ．(9,0)D ．(10,0)11．若01x <<，则22ln3111,,3x x x x e e+++的大小关系是（ ）A ．221ln 3113x xx x ee +++>>B ．2211ln 313x xx x e e +++>>C ．22ln 31113x x x x e e+++>>D ．22ln 31113x x x x e e+++>>12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,,a E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点,G H ，设,[0,]BG x x a =∈． 给出以下四个命题：①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为2a ； ③四棱锥1C EGFH -的体积为；④点1B 到平面EGFH 其中命题正确的序号为（ ）A ．②③④B ．②③C ．①②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,2)a =r ，(,1)b k =r ，且2a b +r r 与向量a r 的夹角为90°，则向量a r 在向量b r方向上的投影为________.14．设222:(,,0)p x y r x y r +≤∈>R ；1:40(,)0x q x y x y x y ≥⎧⎪+-≤∈⎨⎪-≤⎩R ，若p 是q 的必要不充分条件，则r 的取值范围为________.15．正整数数列{}n a 满足11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶函数是奇函数，已知64a =，{}n a 的前6项和的最大值为S ，把1a 的所有可能取值从小到大排成一个新数列{}n b ，{}n b 所有项和为T ，则S T -=________.16．母线长为233O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入_______个． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【附加15套高考模拟试卷】湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第四次月考试卷数学(文)试题含答案
湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期第四次月考试卷数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有下列说法：①若某商品的销售量y （件）关于销售价格x （元/件）的线性回归方程为$5350y x =-+，当销售价格为10元时，销售量一定为300件；②线性回归直线y bx a =+$$$一定过样本点中心(,)x y；③若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1；④在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关；⑤在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，2R 越接近于1，表示回归的效果越好；其中正确的结论有几个（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()()12,2311,2f x x f x x x ⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩，则函数g （x ）＝xf （x ）﹣1的零点的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为P ，则四面体P AEF -的高为A ．13B ．23C ．34 D ．14．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．405．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()f x x =.函数|1|()(13)x g x e x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图所示，已知四棱锥P ABCD -的高为3，底面ABCD 为正方形，PA PB PC PD ===且6AB =，则四棱锥P ABCD -外接球的半径为( )A ．32 B ． 2C ．3D ．37．若抛物线216x y =上一点()00,x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ）A ．12 B ．2 C ．1D ．28．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n n n A +=B +，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．已知点()4,3P -在角ϕ的终边上，函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>图象上与y 轴最近的两个对称中心间的距离为2π，则8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7210 B ．7210- C ．210 D ．210- 10．已知是定义在上的奇函数，且；当时，，则（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．211．在ABC △中，点,M N 满足2AM MC =uuu r uuu r ，BN NC =uuu r uuu r，若MN xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，则x y +的值为（ ）A ．13B ．12C ．23 D ．3412．函数()()sin 2cos xf x x xππ=-≤≤+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长沙市长郡中学2024届高考适应考试(四)数学试题
试卷第61 页，共33 页
(1)证明：直线 BE / / 平面 PAD；
(2)若平面 PBD ^ 平面 ABCD，求直线 AB 与平面 PCD 所成角的正弦值．
18．已知双曲线 C1 ：
x2 a2
-
y2 b2
= 1(a > 0,b > 0) 的渐近线为 y = ±
3 2
x
，右焦点
F
到渐近线的
距离为
设正方体棱长为1， PD = x ，a 与图中鳖臑截面面积为S ，则点 P 从点 D 移动到点 C 的过
程中， S 关于 x 的函数图象大致是（ ）
试卷第21 页，共33 页
A．
B．
C．
D．
8．已知a ,
b
Î ( 0, p
)
，且
tan a
=
cos 2b -1 sin 2b
=
2
，则 cos (a
-
b
位为 π ，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ） 2
试卷第11 页，共33 页
A． y = sin x
B． y = cos x
C． y = - sin x
D． y = - cos x
5．已知各项均为正数的等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 = 14, a3 = 8 ，则 a7 + a11 的值
附：
c
2
=
(a
+
b)
n(ad - bc)2
(c + d)(a +c)
(b
+
d
)
.
a 0.10.050.0205.0100.005.001 xa 2.7036.8451.0264.6375.81709.828
【附加15套高考模拟试卷】湖南省2020届高三四校联考数学(文)试题含答案
1(0 b 2) ，左、右焦点分别为 F1, F2 ，过 F1 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点，若
| BF2 | | AF2 | 的最大值为 5，则 b 的值是（
）
3 A．1 B． 2 C． 2 D． 3
3．将函数 f x sin 2x 的图象向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位，得到 g x 的图象.若 6
17．（12 分）在 ABC 中，设 a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，记 ABC 的面积为 S ，且
cos B 4
2S AB AC ．求角 A 的大小；若 c 7 ，
5 ，求 a 的值．
18．（12 分）为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了 A 、 B 两种不同型号的节排器，规定性能质量评
k
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
k2
（参考方式：
a
n ad bc2 bc d a cb
d
，其中
n
成立的概率为( )．
A． B． C． D． 9．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A． 4 3 B． 2 3 C． 4 2π D． 2 2 10．已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，l 为准线，点 P 为抛物线上一点，且在第一象限， PA l ，垂足为
A ，若直线 AF 的斜率为 3 ，则点 A 到 PF 的距离为（ ）
14．已知函数 f x mx2 m 3 x 1 的值域是0, ，则实数 m 的取值范围是
.
15．曲线
y
3ln
x
1 x
在点
(1,
1)
处的切线的斜率为__________．
16．已知数列 an 前 n 项和为 Sn ,若 Sn 2an 2n ,则 Sn = _________.
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次高考适应性考试数学(理)试卷及解析
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次高考适应性考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)本试题卷共8页,23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5、考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =-≤,{}|1381x B x =<<,{}|2,C x x n n N ==∈,则()A B C ⋃⋂=（ ）A. {}2B. {}0,2C. {}0,2,4D. {}2,4【答案】B【解析】 ∵集合{}2|20A x x x =-≤ ∴{}02A x x =≤≤∵集合{}|1381x B x =<< ∴{}04A x x =<< ∴{}04A B x x ⋃=≤<∵集合{}|2,C x x n n N ==∈∴{}()0,2A B C ⋃⋂=故选B.2.要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某酒厂从某白酒生产线上抽取40瓶进行塑化剂检测：③某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况.适合采用的抽样方法依次为（ ）A. ①用简单随机抽样：②③均用系统抽样B. ①用抽签法；②③均用系统抽样C. ①用抽签法：②用分层抽样：③用系统抽样D. ①用随机数表法；②用系统抽样；③用分层抽样【答案】D【解析】根据系统抽样､分层抽样､抽签法和随机数表法的各自特点,分析各项调查的具体情况,即可得出对应的抽样方法.【详解】对于①,所收集的数据没有明显差异,且数量较少,应用抽签法;对于②,所收集的数据没有明显差异,且数量较多,应用系统抽样;对于③,所收集的数据差异明显,应用分层抽样;故选:D.3.已知i 是虚数单位,复数122,2z i z i =+=-,给出下列命题：21121:p z z z ⋅=；122:z p z 的虚部为45i ；132:z p z 在复平面内对应的点位于第四象限；1423:5z p z -是纯虚数.其中是假命题的为（ ） A. 24,p pB. 123,,p p pC. 34,p pD. 23,p p【答案】D【解析】 利用复数的运算法则计算出12z z ⋅和12z z ,再根据复数的基本概念判断四个命题的真假. 【详解】复数122,2z i z i =+=-, 则命题1p 中,12(2)(2)5z z i i ⋅=+-=,215z =,故1p 是真命题;。
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期第四次适应性考试数学(理)试题及答案
长郡中学2020届高三适应性考试（四）数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）A. {}2B. {}0,2C. {}0,2,4D. {}2,42.要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某酒厂从某白酒生产线上抽取40瓶进行塑化剂检测：③某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况.适合采用的抽样方法依次为（ ） A. ①用简单随机抽样：②③均用系统抽样 B. ①用抽签法；②③均用系统抽样C. ①用抽签法：②用分层抽样：③用系统抽样D. ①用随机数表法；②用系统抽样；③用分层抽样3.已知i 是虚数单位，复数122,2z i z i =+=-，给出下列命题：21121:p z z z ⋅=；122:z p z 的虚部为45i ；132:z p z 在复平面内对应的点位于第四象限；1423:5z p z -是纯虚数.其中是假命题的为（ ） A 24,p pB. 123,,p p pC. 34,p pD. 23,p p4.皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学界做出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p 是质数，且,a p 互质，那么a(1)p -次方除以p 的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集{}2,3,4,5,6中任取两个数，其中一个作为p ，另一个作为a ，则所取两个数不符合费马小定理的概率为（ ） A.1120B.35C.920D.255.已知某几何体正视图和侧视图如图①所示，其俯视图水平放置的直观图如图②中粗线部分所示，其中其中四边形A B C D ''''为平行四边形，244B C A B O A ''''''===，则该几何体的体积为（ ）.的A. 168+πB. 816π+C. 1616π+D. 88π+6.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知A ，B ，C 三人分配奖金的衰分比为20%，若A 分得奖金1000元，则B ，C 所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为( ) A. 20%，14580元 B. 10%，14580元 C. 20%，10800元 D. 10%，10800元7.在二项式8(ax+的展开式中，所有项的系数之和记为S ，第r 项的系数记为r P ，若893S P =，则ab的值为（ ） A. 2B. 4-C. 2或2-D. 2或4-8.已知()cos()0,||,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭R 两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，将()f x 的图象向左平移m 个单位得到一个奇函数，则m 的最小正值是（ ） A.12πB.2π C.3π D.512π 9.设函数()y f x =和()y f x =-，若两函数在区间[,]m n 上的单调性相同，则把区间[,]m n 叫做()y f x =的“稳定区间”.已知区间[1,2019]为函数12xy a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的取值范围是（ ）A. [2,1]--B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. [1,2]10.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的离心率为3，抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线的右焦点F重合，其准线与双曲线交于点(),0,2M M N y MF FQ >=u u u u r u u u r，点R 在x 轴上.若||||RN RQ -最大，则点R 的坐标为（ ） A. (6,0)B. (8,0)C. (9,0)D. (10,0)11.若01x <<，则22ln3111,,3x x x x e e+++的大小关系是（ ） A.221ln 3113x xx x ee +++>>B.2211ln 313x xx x e e +++>> C.22ln 31113x x x x e e+++>> D.22ln 31113x x x x e e+++>> 12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,,a E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点,G H ，设,[0,]BG x x a =∈.给出以下四个命题： ①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为2a ；③四棱锥1C EGFH -的体积为36a ；④点1B 到平面EGFH. 其中命题正确的序号为（ ）A. ②③④B. ②③C. ①②④D. ③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,2)a =r ，(,1)b k =r ，且2a b +r r与向量a r 的夹角为90°，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为________.14.设222:(,,0)p x y r x y r +≤∈>R ；1:40(,)0x q x y x y x y ≥⎧⎪+-≤∈⎨⎪-≤⎩R ，若p 是q 的必要不充分条件，则r的取值范围为________.15.正整数数列{}n a 满足11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，已知64a =，{}n a 的前6项和的最大值为S ，把1a 的所有可能取值从小到大排成一个新数列{}n b ，{}n b 所有项和为T ，则S T -=________. 16.母线长为圆锥内有一球O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入__________个．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，3116a =，1218a a -=，数列{}n b 满足13b =-，且11n b ++与1n b -的等差中项是n a .（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若(1)n n n c b =-，{}n c 的前n 项和为n S ，求2n S .18.以昆明、玉溪为中心的滇中地区，冬无严寒、夏无酷暑，世界上主要的鲜切花品种在这里都能实现周年规模化生产.某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理.根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工6箱.（1）若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且被6位不同的顾客购买.现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少？（2）该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量t （单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）：的①估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少？ ②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求x 的取值范围. 19.如图1所示，在矩形ABCD中，AB =2BC =，M 为CD 中点，将DAM △沿AM 折起，使点D 到点P 处，且平面PAM ⊥平面ABCM ，如图2所示.（1）求证：PB AM ⊥：（2）在棱PB 上取点N ，使平面AMN ⊥平面PAB ，求平面CMN 与AMN 所成锐二面角的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点()1,0F ，A ，B ，C 是椭圆上任意三点，A ，B 关于原点对称且满足12AC BC k k ⋅=-. （1）求椭圆E 的方程. （2）若斜率为k 直线与圆：221x y +=相切，与椭圆E 相交于不同的两点P 、Q，求PQ ≥时，求k 的取值范围.21.已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()'()(2)(0)g x f x ax a x a =+-+>，试研究函数()g x 的极值情况；（2）记函数()()x xF x f x e =-在区间(1,2)内的零点为0x ，记()min (),x x m x f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不等实根1212,()x x x x <，证明：1202x x x +>.的请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将直线621=0x y --上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13倍得到直线l '. （1）求直线l '的普通方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l '的距离的最小值及此时点P 的坐标. 23.已知函数()|21||5|f x x x =-++. （1）求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为32m +，求证：,(0,)p q ∀∈+∞，11m p q p q +≥+恒成立.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.D3.D4.A5.A6.B7.D8.D9.C10.D11.B12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.14. )+∞15.6216. 10三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)数列{}n a是各项均为正数的等比数列,设其公比为(0)q q>,因为31 16a=,121 8a a-=,所以21111111641182a q aa a q q⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩,因此112nna+⎛⎫= ⎪⎝⎭,又数列{}n b 满足13b =-,且11n b ++与1n b -的等差中项是n a , 所以11n b ++1n b +-1122n +⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭,即1n b +n b -122n⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 所以:11122n n n b b --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,212122n n n b b ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,……232122b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,21122b b -=-, 上述累加可得22111111112(1)3222222n n n n b b n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++--=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ,所以1122n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭;(2)(1)n n n c b =-,若n 为奇数,则11111(1)(1)22nnn n n n n n n c c b b b b ++++⎛⎫+=-+-=-=- ⎪⎝⎭,所以21234212n n n S c c c c c c -=++++++L()()()1234212n n c c c c c c -=++++++L13211112+2+2222n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 1321111++2222n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L111242114nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--211234nn ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦即2211234nn S n ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 18.(1)设这6位顾客是A ,B ,C ,D ,E ,F ,其中3点以前购买的顾客是A ,B ,C ,D ,3点以后购买的顾客是E ,F , 从这6位顾客中任选2位有15种选法:(,)A B ,(A,C),(,)A D ,(,)A E ,(,)A F ,(,)B C ,(,)B D ,(,)B E ,(,)B F ,(,)C D ,(,)C E ,(,)C F ,(,)D E ,(,)D F ,(,)E F ,其中恰好一位是以2000元价格购买的顾客,另一位是以1200元价格购买的顾客的有8种:(,)A E ,(,)A F ,(,)B E ,(,)B F ,(C ,)E ,(,)C F ,(,)D E ,(D ,)F ,根据古典概型的概率公式可得815P =; (2)①依题意有30100x y ++=70x y ∴+=,所以估计接下来的一个月(30天)内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是703021100⨯=天;②批发店毎天在购进4箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:42000450032000⨯-⨯⨯=元; 批发店毎天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:3070(420001120055003)(5200055003)2260100100⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=元; 批发店毎天在购进6箱数量的玫瑰时所获得的平均利润为:3070(420002120065003)(520001120065003)(6200065003)100100100x x -⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 4202230(70)25208x x x =++-=-;若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大, 则226025208x >-,解得32.5x >, 所以x 的取值范围范围为*[33,70],x ∈N .,19.(1)在矩形ABCD 中,连接BD 交AM 于点Q ,由题知AB =2AD =,DM =所以tan tan DBA MAD ∠=∠=即DBA MAD ∠=∠, 又2DBA BDA π∠+∠=,所以2MAD BDA π∠+∠=,所以2DAQ π∠=,即,DQ AM BQ AM ⊥⊥,故在翻折后的四棱锥中,有,PQ AM BQ AM ⊥⊥, 又PQ BQ Q =I ,所以AM ⊥平面PBQ , 又PB ⊂平面PBQ ,所以PB AM ⊥;(2)如图所示,以点Q 为原点,,,QA QB QP u u u r u u u r u u u r方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系,在矩ABCD 中,经计算可得AQ BQ DQ ===,因此(,0,0),(0,((0,0,(333333A B C P M --, 过点M 作MH AN ⊥于点H ,因为平面AMN ⊥平面PAB ,平面AMN I 平面PAB AN =, 所以MH ⊥平面PAB ,所以MH PB ⊥, 又由(1)知PB AM ⊥,且MH AM M ⊥=, 所以PB ⊥平面AMN ,所以PB AN ⊥,即有0PB AN ⋅=u u u r u u u r,因为点N 在PB 上,设(01)PN PB λλ=≤≤u u u r u u u r ,则)0,,33N λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 由0PB AN ⋅=u u u r u u u r解得15λ=,即(0,1515N , 设平面CMN 的一个法向量为(,,)n x y z =r,(,(333515CM CN =-=-u u u u r u u u r ,由00CM n CN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u uvv 003515x y x y z ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪-+=⎪⎩,令714y x z =⇒==-,即7)4n =-r ,又平面AMN的一个法向量为(0,,33PB =-u u u r ,所以cos ,PB n <>==u u u r r 所以平面CMN 与AMN. 20.（1）由题可设(),A A A x y ，(),A A B x y --，(),C C C x y ，所以2222222211A AC C x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()220A C A C A C A C x x x x y y y y a b -+-++=，()()()()22A C A C A C A C y y y y b x x x x a -+⇒⋅=--+.即()()()()2212A C A C AC BC A C A C y y y y b k k x x x x a-+⋅=⋅=-=--+，所以222a b =，又1c =，222a b c =+，所以22a =，21b =，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线方程为y kx m =+，交椭圆于点()11,P x y ，()22,Q x y .联立方程()22222,12422012y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ ()228210k m ∆=+->，得2221k m +>， 122412km x x k +=+，21222212m x x k-=+. 所以PQ =====因为直线y kx m =+与圆221x y +=相切，所以1d m ==⇒=，即221m k =+，代入2221k m +>，得0k ≠.所以PQ ===因为5PQ ≥，所以≥， 化简得()()42222603202k k k k k+-≥⇔+-≥⇒≥，或23k ≤-（舍）.所以k ≥k ≤故k 的取值范围为(),-∞⋃+∞.21.（1）由题意，得()'ln 1f x x =+， 故()()22ln 1g x ax a x x =-+++，故()()()()2111'22x ax g x ax a x x--=-++=， 0,0x a >>.令()'0g x =，得1211,2x x a == ①当02a <<时，112a >，()1'002g x x >⇐<<或1x a>；()11'02g x x a<⇐<<,所以()g x 在12x =处取极大值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 在1x a =处取极小值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.②当2a =时，112a =，()'0g x ≥恒成立，所以不存在极值； ③当2a >时，112a <，()1'00g x x a >⇐<<或12x >；()11'02g x x a <⇐<<,所以()g x 在1x a =处取极大值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在12x =处取极小值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.综上，当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值ln24a --，在1x a =处取极小值1ln a a --；当2a =时，不存在极值；2a >时，()g x 在1x a =处取极大值1ln a a --，在12x =处取极小值ln24a--.（2）()ln x xF x x x e =-，定义域为()0,x ∈+∞， ()1'1ln x x F x x e-=++，而()1,2x ∈，故()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增 又()110F e =-<，()2222ln20F e=->， 且()F x 在区间()1,2内的图象连续不断，故根据零点存在性定理，有()F x 在区间()1,2内有且仅有唯一零点. 所以存在()01,2x ∈，使得()()0000x x F x f x e =-=， 且当01x x <<时，()xx f x e <； 当0x x >时，()x x f x e>， 所以()00,1,xxlnx x x m x x x x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当01x x <<时，()ln m x x x =， 由()'1ln 0m x x =+>得()m x 单调递增； 当当0x x >时，()xxm x e =， 由()1'0x xm x e-=<得()m x 单调递减； 若()m x n =在区间()1,+∞内有两个不等实根12,x x （12x x <） 则()()10201,,,x x x x ∈∈+∞. 要证1202x x x +>，即证2012x x x >-又0102x x x ->，而()m x 在区间()0,x +∞内单调递减， 故可证()()2012m x m x x <-， 又由()()12m x m x =， 即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<记()00022ln ,1x x x xh x x x x x e --=-<<，其中()00h x =记()t t t e φ=，则()1't tt eφ-=，当()0,1t ∈时，()'0t φ>； 当()1,t ∈+∞时，()'0t φ<， 故()max 1t eφ=而()0t φ>，故()10t eφ<<， 而021x x ->，所以002210x x x x e e---<-<， 因此()00022211'1ln 10x x x x x x h x x e e e---=++->->，即()h x 单调递增，故当01x x <<时，()()00h x h x <=， 即01011122ln x x x x x x e--<，故1202x x x +>，得证. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号涂黑.22.(1)设直线l '上点为(,)x y '',由题可知212133x x x x y y y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨''⎨='⎪=⎩'⎪⎩, 又621=0x y --,所以33210x y ''--=,即70x y ''--=, 因此直线l '的普通方程为:70x y --=;(2)点,2sin )P αα到直线l '的距离d ==, 所以当2()6k k Z παπ=-+∈时,min 2d ==,此时(3,1)P -. 的23.(1)()|21||5|f x x x =-++=34,516,52134,2x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，若()7f x >,则有5347x x <-⎧⎨-->⎩或15267x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-+>⎩或12347x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩,解得5x <-或51x -≤<-或1x >,因此不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或1}x >;(2)由函数()f x 的解析式可知,()f x 在1(,)2-∞上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增, 因此min 1113()()4222f x f m m ===+⇒=, 因此要求证:,(0,)p q ∀∈+∞,114p q p q+≥+恒成立, 即证4p q pq p q+≥+恒成立, 即证()24p q pq +≥恒成立, 即证2220p q pq +-≥恒成立,而对,(0,)p q ∀∈+∞,222p q pq +-=2()0p q -≥恒成立,因此,原不等式得证.。