《平面向量的坐标表示》ppt课件
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《平面向量的坐标表示》课件
解析
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ = (1,5)， = (4, −1)， = (−5, −4)，
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
2.3.4平面向量共线的坐标表示课件人教新课标
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以 x＝－3.
例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
(x1, y1), (x2 , y2 ) 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
M
解：（1）
1 OP 2 (OP1 OP2 )
x1 y2 x2 y1 0
即时自测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝(－1，0)与 b＝(1，0)的夹角是 0°.( × ) (2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，则xx12＝yy21.( × ) (3)a＝(－2，3)，b＝(4，6)共线.( × )
判断向量(或三点)共线的三个步骤
1．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C
点的纵坐标为 6，则 C 点的横坐标为( )
A．－3
B．9
C．－9
D．3
解析：选 A.设 C(x，6)，
因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C，
又A→B＝(－2，－4)，A→C＝(x＋3，0)，
a (x, y)
若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则 AB (x2 x1, y2 y1).
3.平面向量共线定理： a//
b
b
0
a
b
2.3.4平面向量共线的坐标表示
a 1.
向量 与非零向量 唯一一个实数 ,
b使平得 行(a共 线)当b且(仅b当有0)
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的充要条件?
例 3 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且 |A→P|＝2|P→B|，求点 P 的坐标．
平面向量的基本定理及坐标表示课件
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线． → → (2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb 且 A、B、C 三点共线，求 m 的值．
解析： (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)． a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b 与 a＋2b 共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 1 即 2k－4＋5＝0，得 k＝－ . 2
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → (2)∵CA＝(－2，－4)，BC＝(1,1)， → → → → → ∴MN＝CN－CM＝－2BC－3CA ＝(－2，－2)－(－6，－12)＝(4,10)． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， → → 则CM＝(x1－3，y1－2)，CN＝(x2－3，y2－2)， → → → → ∵CM＝3CA，CN＝－2BC， ∴(x1－3，y1－2)＝(－6，－12)．
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → → → 1 解析： ∵2DC＝AB，∴2DC＝e2，∴DC＝ e2. 2 → → → → 又∵BC＝BA＋AD＋DC， → 1 1 ∴BC＝－e2＋e1＋2e2＝e1－2e2. → → → → 又由MN＝MA＋AB＋BN得 → 1→ → 1→ MN＝2DA＋AB＋2BC 1 3 1 1 ＝－ e1＋e2＋ e1－2e2＝ e2. 2 2 4
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
(x2－3，y2－2)＝(－2，－2)，
x1－3＝－6 x2－3＝－2 ∴ ， ， y1－2＝－12 y2－2＝－2 x1＝－3 x2＝1 ∴ ， ， y1＝－10 y2＝0
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示PPT课件(人教版)
[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
6.3平面向量及运算的坐标表示课件(人教版)
（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关。（ ） （4）向量（2，3）与向量（-4，-6）同向。（ ）
【提示】（1）×。对于同一个向量，无论位置在哪里， 坐标都一样。 （2）√。根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终 点与始点坐标之差等于终点坐标。 （3）×。根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两 向量的顺序有关。
2
线，则C的坐标可以是（ ）
A.（-9，1） B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1）
【思维·引】设出点C的坐标，因为A，B，C三点共线， 写出向量 AB,AC（或 BC），由向量共线的条件结合选项 求解。
【解析】选C。设点C的坐标是（x，y），
【内化·悟】 1.由共线的坐标条件求参数的解题步骤是怎样的？ 提示：（1）分别写出共线的两个向量的坐标。 （2）通过共线条件列出方程（组）。 （3）解方程（组）求出参数。
2.如何判断共线的向量u与v是同向还是反向？ 提示：写成u=λv的情势，若λ>0，同向，若λ<0，反向。
角度3 三点共线问题 【典例】已知A（1，-3），B (8，1 )，且A，B，C三点共
量 AB共线的单位向量是（ ）
A.(3， 4) C.(6，8)
B.( 3，4 ) 55
D.( 4， 3 ) 55
【思维·引】利用向量共线的坐标表示判断。 【解析】选B。因为AB =（7，-3）-（4，1）=（3，-4）， 由向量共线的条件可知，A，B，C选项中的向量均与AB共 线，但A，C中向量不是单位向量。
因为A（0，1），AC=（-3，-3），
所以
x y
3, 1 3,
解得
x y
3, 2,
所以点C的坐标为（-3，-2）。又B（3，2），所以BC=（-
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
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运用知识 强化练习
判断下列各组向量是否共线：
(1) a＝(2,3)， b＝(1, 3 )； 2
(2) a＝(1, −1) ， b＝(−2,2)； (3) a＝(2, 1) ， b＝(−1,2)．
略．
自我反思 目标检测
1 向量坐标的概念？
2 任为意一i, 般y起轴地的点，单的设位平向向面量量直为的角j，坐坐则标标对系于表中从，示原x轴？点的出单发位的向任量意
第七章 平面向量
7.2 平面向量的坐标表示
创设情境 兴趣导入
设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，
uuur OA 为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）．则
uuuur
uuur
OM 2i，ON 3j．
由平行四边形法则知 uuur uuuur uuur OA OM ON 2i 3 j．
(3)A(4,0), B(0, 3)．
uuur
uuur
(1) AB (2,4), BA (2,4)；
uuur
uuur
(2) AB (1,1), BA (1,1)；
uuur
uuur
(3) AB (4,3), BA (4,3)．
运用知识 强化练习
uuur uuur 3．已知A，B两点坐标，求 AB，BA 的坐标及模．
x1y2 x2 y1 0 由此得到，对非零向量a、 b，设 a (x1, y1),b (x2, y2 ),
当 0 时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0． （7．9）
巩固知识 典型例题
例4 设 a (1,3),b (2,，6)判断向量a、 b是否共线．
解 由于 3×2−1×6＝0， 故由公式（7．9）知，a ∥ b ， 即向量a、 b共线．
点的坐标是相同的．
图7－19
巩固知识 典型例题
例2
已知点 P(2, 1)，Q(3, 2)
，求
uuur uuur PQ，QP
的坐标．
解
uuur PQ (3, 2) (2, 1) (1,3),
uuur QP (2, 1) (3, 2) (1, 3)．
运用知识 强化练习
uuur
1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i与j的线性
(3) 3 a－2 a＝3 (1, −2)－2 (−2,3)＝(3,−6)－(−4,6)＝(7, −12)．
运用知识 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)； （3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
uuur
组合表示向量OA．
uuur
OA 2，3
=-2i 3 j．
2． 设向量 a 3i 4 j,写出向量e的坐标．
a 3， 4．
运用知识 强化练习
uuur uuur 已知A，B两点的坐标，求 AB，BA 的坐标．
(1) A(5,3), B(3, 1);
(2) A(1, 2), B(2,1);
略.
创设情境 兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考 探索新知
设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b ，有 x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
图7－17
动脑思考 探索新知
设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， uuuur
(1) 设点 M (x, y)，则 OM xi + yj（如图7－18(1)）；
(2) 设点 A(x1, y1)，B(x2, y2 ) （如图 7－18(2)），则
uuur uuur uuur AB OB OA (x2i + y2 j) (x1i + y1 j)
叫做向量a的坐标，记作 a (x, y)．
巩固知识 典型例题
例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示 向量a、b, 并写出它们的坐标．
解 因为
a＝
uuuur OM
＋uMuuAr
＝5i＋3j
，
所以
a (5,3)，
可以看到，从原
点出发同的理向可量得，其坐b (4,3).
标在数值上与向量终
（7.6） （7.7）
a ( x1, y1)
（7.8）
巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) －3 a，
(3) 3 a－2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
向量a都有唯一一对实数x、y，使得 a xi yj． 有序实数对 (x, y)叫做向量a的坐标，记作 a (x, y)．
.
向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去 原点到起点的向量的坐标.
自我反思 目标检测
3 共线向量的坐标表示？
对非零向量a、 b，设 a (x1, y1), b (x2 , y2 ),
(x2 x1)i ( y2 y1) j．
y M(x,y)
j Oi
图7－18(1)
y
A
B 向量的坐标等
j
于原点到终点的
向量的坐标减去
x
O
i
原点到起点xLeabharlann 的向量的坐标．图7－18(2)
动脑思考 探索新知
由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对 有序实数 (x, y)， 使得 a xi yj ．有序实数对 (x, y)
(1) A (5,3)， B (3，−1)； (2) A (1,2)， B (2，1)； (3) A (4,0)， B (0，−3)．
略．
创设情境 兴趣导入
观察图7－20，向量OuuAur (5,3)
uuur OP (3,0)
uuuur uuur uuur OM OA OP (8,3)
图7－20 可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．
动脑思考 探索新知
设平面直角坐标系中，a (x1, y1)，b (x2 , y2 )，则
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
(x1 x2 )i ( y1 y2 ) j
所以
a b (x1 x2, y1 y2 )
类似可以得到
a b (x1 x2, y1 y2 )