两圆一线和两线一圆

关于等腰三角形和直角三角形的存在性问题
一、关联知识：
1、已知M )(11y x ，、N )(22y x ，；则
① MN 的中点坐标为)22(
2121y y x x ++，；② MN 的距离为221221)()(y y x x -+-
二、方法与技巧：
（一）关于等腰三角形存在性的问题（两圆一线）：
已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；
（二）关于直角三角形存在性的问题（两线一圆）：
已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；
三、例题精讲：
例题一：如图，抛物线c bx ax y ++=2
经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴；
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

例题二：如图，抛物线c bx ax y ++=2经过点A （-3，0），B （1，0），C （0，-3）：
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
1、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片．点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC=4，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ．现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点．
（1）求点G 的坐标；
（2）求折痕EF 所在直线的解析式；
（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P ，F ，G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2、如图，抛物线233384
y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．
1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：
分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；
2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：
分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；
六、课后作业：
如图，已知抛物线32
++=bx ax y （0≠a ）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求△BCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个符合条件的点P （简要说明理由）并写出其中一个点的坐标；若不存在这样的点P ，请简要说明理由。

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