上海市奉贤中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题
2020-2021学年上海市奉贤区奉贤中学高一数学理测试题含解析
2020-2021学年上海市奉贤区奉贤中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则的值是（）A．6 B．5 C．D．参考答案：A=，则的值是6故选A2. 若向量a与b的夹角为，，则向量a的模为A.2 B．4 C.6 D．12参考答案：C略3. 下列函数中，值域为(0,+)的是（▲）A.y=B.C.D.参考答案：D略4. 已知角α的终边在射线y=﹣上，那么sinα等于( )A．B．C．D．参考答案：A【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】在角α的终边上任意取一点（﹣1，），利用任意角的三角函数的定义求得结果．【解答】解：∵角α的终边在射线y=﹣上，∴在角α的终边上任意取一点（﹣1，），则x=﹣1，y=，r=2，∴sinα==，故选：A．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，任意角的概念，考查计算能力，是基础题．5. 已知数列，则是它的()A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项参考答案：B6. 已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f （﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．画出f（x）在[﹣1，1]上的图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）在区间[﹣3，3]上的图象，即可得出交点个数．【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）=在区间[﹣3，3]上的图象，其交点个数为6个．故选：B．7. 若，则等于（）A． B． C． D．参考答案：B解析：8. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A． m B． m C． m D． m参考答案：A【考点】解三角形的实际应用．【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB 【解答】解：由正弦定理得，∴，故A，B两点的距离为50m，故选A9. 若集合，则中元素的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：A略10. 下列各式中，其值为的是A. B. C. D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数y=﹣lg（x+1）的定义域为．参考答案：{x|x≥1}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质结合对数函数的性质得不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x≥1，故答案为：{x|x≥1}．12. 函数y=sin2x+2cosx在R上的值域是．参考答案：[﹣2，2]【考点】函数的值域．【分析】根据同角三角函数关系，将函数的解析式化为y=1﹣cos2x+2cosx，结合函数的cosx为[﹣1，1]，将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，结合余弦函数及二次函数的性质，即可得到答案．【解答】解：y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2，∵cosx∈[﹣1，1]，cosx﹣1∈[﹣2，0]，∴﹣（cosx﹣1）2∈[﹣4，0]，∴﹣（cosx﹣1）2+2∈[﹣2，2]．∴y∈[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查的知识点是正弦函数的定义域和值域，考查二次函数在定区间上的最值问题，是解答本题的关键．13. 设是定义在区间D上的函数，对于区间D的非空子集I，若存在常数，满足：对任意的，都存在，使得，则称常数m是函数在I上的“和谐数”。
上海市南洋中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷(Word版含答案)
2020-2021年上海市南洋中学高一上第一次月考一. 填空题1. 集合{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{2,3,4,5}T =，则T =2. 若集合{|430,}A x x x =-<∈R ，2{|1,}B y y y ==∈R ，则AB =3. 集合2{|2}M y y x ==-+，{|N x y ==，则MN = 4. 已知集合2{|280}A x x x =--=，{|10}B x mx =+=，若AB A =，则m 的值是 5. 不等式20x x-≥的解集是 6. 已知集合2{|560,}A x x x x =-+>∈R ，{|2222,}B x a x a x =-+<<+∈R ，若AB =R ，则实数a 的取值范围是7. 设集合[21,35]A a a =+-，[3,22]B =，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为8. 已知关于x 的不等式12x x a+<+的解集为P ，若1P ∉，则实数a 的取值范围为 9. 如果1322x <<是不等式||1x a -<成立的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是 10. 若关于x 的不等式2043x a x x -≥-+的解集为(1,](3,)a +∞，则实数a 的取值范围是 11. 若关于x 的不等式22(1)(1)10m x m x -+-+>的解集是R ，则实数m 的取值范围是12. 设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2()(ax b x +-+56)0x +<的解集为二. 选择题13. 下面六个关系式：①{}a ∅⊂；②{}a a ⊂；③{}{}a a ⊆；④{}{,}a a b ∈；⑤{,,}a a b c ∈；⑥{,}a b ∅∈； 其中正确的是（ ）A . ①③⑤B . ①②③C . ③⑤⑥D . ②④⑤14. 设x ∈R ，则“1x >”是“2x x >”的（ ）A . 既不充分也不必要条件B . 充要条件C . 充分不必要条件D . 必要不充分条件15. 如果,,a b c ∈R 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（ ）A . ab ac >B . ()0c b a ->C . 22cb ab <D . ()0ac a c -<16. 设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，21{|0}Q x x x b =++>，22{|20}Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A . 对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B . 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C . 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D . 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三. 解答题17. 解下列关于x 的不等式|21||2|1x x -+->.18. 已知10a -<<，21A a =+，21B a =-，11C a=+，试比较A 、B 、C 的大小并 证明.19. 已知a b ≠，U =R ，集合2{|(1)0}A x x a x a =+-->，{|()()0}B x x a x b =++>，2{|230}M x x x =--≤.（1）若B M =，求a 、b 的值；（2）若11b a -<<<，求A B .20. 已知集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+<，2{|0}(1)x a B x x a -=<-+. （1）当2a =时，求A B ；（2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围.21. 设S 是实数集R 的真子集，且满足下列两个条件：①1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-； （1）若2S ∈，则S 中一定还有哪两个数？（2）集合S 中能否只有一个元素？说明理由；（3）是否存在实数a ，使集合S 是无限集？若存在请写出一个a 及相应的集合S ，若不存在请说明理由.参考答案一. 填空题1. {1678}，，，2. {1}-3. 1[,2]34. 0或12或14 5. [2,)(,0)+∞-∞ 6. 1[,2]27. (,9]-∞ 8. [1,0]- 9. 13[,]22 10. (1,3) 11. 3(,1]5- 12. (1,1)(6,)-+∞二. 选择题13. A 14. C 15. C 16. B三. 解答题17. 解集为R .18. B A C <<.19.（1）1a =，3b =-或3a =-，1b =；（2）{|AB x x a =<-或1}x >. 20.（1）{|25}A B x x =<<；1[1,][2,3]2--. 21.（1）1-和12；（2）不可能只有一个元素；（3）不存在，11111a a a -=--，111a a a =--.。
2021-2022学年上海市奉贤区奉城高级中学高一(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)
2021-2022学年上海市奉贤区奉城高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）一、填空题1．集合{1，2，3}的真子集的个数为．2．关于x的不等式ax＞﹣3，当a＜0时的解集为．3．已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝4}，B＝{（x，y）|x+y＝5}，则A∩B＝．4．“x≥1且y≥1“的否定形式为．5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2≤4，x∈Z}集合B＝{x|x＞﹣}，则∁U B∩A＝．6．不等式x（3﹣x）≤0的解集为．7．已知集合A＝{y|y＝x2+1}，B＝{y|y＝﹣2x2﹣2}，则A∪B＝．8．若a∈[12，60]，b∈[16，36]，则a﹣b的取值范围是．9．已知集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝（2，+∞），若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是．10．不等式≥0的解集为．11．已知集合A＝{x|ax2+4x+4＝0}，A中至少有一个元素，则a的取值范围是．二、选择题13．图中的阴影表示的集合中是（）A．A∩∁U B B．B∩∁U A C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）14．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形15．设a和b都是非零实数，则不等式a＞b和同时成立的充要条件是（）A．a＞b B．a＞b＞0C．a＞0＞b D．0＞a＞b16．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．（a﹣b）c2≥0B．ac≥bc C．a+b≥b﹣c D．三、解答题17．解不等式组．18．若某服装公司生产的衬衫每件定价80元，在某城市年销售8万件．现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售额金额的r%（即每销售100元销售额收取r元），为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提到元．但提价后每年的销量会减少0.62r万件．求r的取值范围，以确保代理商每年收取的代理费不少于16万元．19．设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+4＝0}，若A∪B＝A，求a的取值范围．20．已知集合A＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，集合B＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}．判断集合A与集合B 的包含关系，并证明你的结论．21．若a是实数，探究关于x的不等式≥a的解集．参考答案一、填空题1．集合{1，2，3}的真子集的个数为7．【分析】集合{1，2，3}的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集．解：集合的真子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，∅．共有7个．故答案为7．2．关于x的不等式ax＞﹣3，当a＜0时的解集为（﹣∞，﹣）．【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．解：不等式ax＞﹣3，当a＜0时，解得x＜﹣，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣）．故答案为：（﹣∞，﹣）．3．已知集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝4}，B＝{（x，y）|x+y＝5}，则A∩B＝{（3，2）}．【分析】根据交集的定义求方程组的解即可．解：集合A＝{（x，y）|2x﹣y＝4}，B＝{（x，y）|x+y＝5}，所以A∩B＝{（x，y）|}＝{（x，y）|}＝{（3，2）}．故答案为：{（3，2）}．4．“x≥1且y≥1“的否定形式为x＜1或y＜1．【分析】根据题意，由复合命题的否定方法分析可得答案．解：根据题意，“x≥1且y≥1“是p∧q形式的命题，其否定形式为x＜1或y＜1；故答案为：x＜1或y＜1．5．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2≤4，x∈Z}集合B＝{x|x＞﹣}，则∁U B∩A＝{﹣2，﹣1}．【分析】先求出集合A，然后由集合补集与交集的定义求解即可．解：集合A＝{x|x2≤4，x∈Z}＝{x|﹣2≤x≤2，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，又集合B＝{x|x＞﹣}，则∁U B＝{x|x≤﹣}，所以∁U B∩A＝{﹣2，﹣1}．故答案为：{﹣2，﹣1}．6．不等式x（3﹣x）≤0的解集为{x|x≤0或x≥3}．【分析】不等式化为x（x﹣3）≥0，求出解集即可．解：不等式x（3﹣x）≤0可化为x（x﹣3）≥0，解得x≤0或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤0或x≥3}．故答案为：{x|x≤0或x≥3}．7．已知集合A＝{y|y＝x2+1}，B＝{y|y＝﹣2x2﹣2}，则A∪B＝（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．【分析】求函数的值域得出集合A、B，再根据并集的定义求A∪B．解：集合A＝{y|y＝x2+1}＝{y|y≥1}，B＝{y|y＝﹣2x2﹣2}＝{y|y≤﹣2}，则A∪B＝{y|y≤﹣2或y≥1}＝（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．8．若a∈[12，60]，b∈[16，36]，则a﹣b的取值范围是[﹣24，44]．【分析】根据题意，求出﹣b的取值范围，进而分析可得答案．解：根据题意，b∈[16，36]，则﹣b∈[﹣36，﹣16]，又由a∈[12，60]，则a﹣b∈[﹣24，44]，故答案为：[﹣24，44]．9．已知集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝（2，+∞），若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）．【分析】由集合交集以及空集的定义求解即可．解：集合A＝{x|2a≤x≤a+3}，B＝（2，+∞），又A∩B＝∅，当A＝∅时，则2a＞a+3，解得a＞3；当A≠∅时，则a+3≤2，解得a≤﹣1．综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）10．不等式≥0的解集为[1，2）∪（2，+∞）．【分析】结合x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0对已知不等式进行转化即可求解．解：因为x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0所以≥0可转化为x﹣1≥0且x≠2，故不等式的解集[1，2）∪（2，+∞）．故答案为：[1，2）∪（2，+∞）．11．已知集合A＝{x|ax2+4x+4＝0}，A中至少有一个元素，则a的取值范围是（﹣∞，1]．【分析】集合A＝{x|ax2+4x+4＝0}中至少有一个元素可化为方程ax2+4x+4＝0有解，分类讨论即可．解：∵集合A＝{x|ax2+4x+4＝0}中至少有一个元素，∴方程ax2+4x+4＝0有解，①当a＝0时，方程可化为4x+4＝0，有解；②当a≠0时，△＝16﹣16a≥0，解得，a≤1且a≠0，综上所述，a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．二、选择题13．图中的阴影表示的集合中是（）A．A∩∁U B B．B∩∁U A C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）【分析】阴影表示的集合元素在B中但不在A中，进而得到答案．解：由已知可的韦恩图，可得：阴影表示的集合中是B∩∁U A，故选：B．14．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】利用集合元素的互异性求解．解：因为集合中任何两个元素都不相等，所以这个三角形的任意两边都不相等，所以这个三角形一定不可能是等腰三角形，故选：D．15．设a和b都是非零实数，则不等式a＞b和同时成立的充要条件是（）A．a＞b B．a＞b＞0C．a＞0＞b D．0＞a＞b【分析】根据不等式a＞b和同时成立，可得把不等式a＞b的两边同时除以ab，不等式变号，故有a＞0＞b．解：设a和b都是非零实数，∵不等式a＞b和同时成立，∴把不等式a＞b的两边同时除以ab，不等式变号为，∴a、b异号，∴a＞0＞b，故选：C．16．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．（a﹣b）c2≥0B．ac≥bc C．a+b≥b﹣c D．【分析】直接利用不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．解：对于A：由于a＞b，所以a﹣b＞0，则（a﹣b）c2≥0，故A正确；对于B：当a＝2，b＝﹣1，c＝﹣2，所以ac＜bc，故B错误；对于C，由于a和c没有关系，所以C错误；对于D：由于a＞b，所以a﹣b＞0，当c＝0时，所以不成立，故D错误．故选：A．三、解答题17．解不等式组．【分析】分别结合分式不等式及二次不等式的求法进行求解即可．解：由得≤0，即，转化为，解得x＜0或x≥3，由x2﹣2x﹣8≤0得（x﹣4）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤4，所以原不等式组的解集[﹣2，0）∪[3，4]．18．若某服装公司生产的衬衫每件定价80元，在某城市年销售8万件．现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降低管理和营销成本．已知代理商要收取的代理费为总销售额金额的r%（即每销售100元销售额收取r元），为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提到元．但提价后每年的销量会减少0.62r万件．求r的取值范围，以确保代理商每年收取的代理费不少于16万元．【分析】由已知中该衬衫每件价格要提高到才能保证公司利润，由于提价每年将少销售0.62r万件，由此可以计算出年销售额，再由代销费为销售金额的r%，代入可得代理商收取的年代理费f关于r的函数解析式，再根据代理商每年收取的代理费不小于16万元，构造一个关于r的不等式，解不等式可得r的取值范围．解：根据题意，代理商每年可销售8﹣0.62r万件衬衫，每件衬衫的价格为元，因此年销售额为（8−0.62r）万元，所以代理商收取的年代理费f为f＝（8−0.62r）r%，其中0＜r＜，（写为0≤r≤也可以）依题意，得（8−0.62r）r%≥16⇒31r2﹣410r+1000≤0，注意到0＜r＜100（0≤r≤100），解得≤r≤10，因此所求r的取值范围是[，10]．19．设集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+4＝0}，若A∪B＝A，求a的取值范围．【分析】由A∪B＝A，得B⊆A，然后分B＝∅，单元素集合，双元素集合求解a的取值范围．解：∵A∪B＝A，∴B⊆A，又A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|x2﹣ax+4＝0}，当（﹣a）2﹣16＜0，即﹣4＜a＜4时，B＝∅，满足B⊆A；当a＝﹣4时，（﹣a）2﹣16＝0，B＝{﹣2}，不合题意；当a＝4时，（﹣a）2﹣16＝0，B＝{2}，满足B⊆A；当（﹣a）2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4时，要使B⊆A，只有B＝{1，2}，此时1×2＝2≠4，a∈∅．综上，满足A∪B＝A的实数a的取值范围是（﹣4，4]．20．已知集合A＝{x|x＝4n+1，n∈Z}，集合B＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}．判断集合A与集合B 的包含关系，并证明你的结论．【分析】可判断A⊂B，集合A中元素的特征化出集合B中元素的特征即可．解：可判断A⊂B，证明如下：集合A＝{x|x＝4n+1，n∈Z}＝{x|x＝2（2n+1）﹣1，n∈Z}，∵n∈Z，∴2n+1∈Z，∴A⊆B，又∵﹣1∈B，﹣1∉A，∴A⊂B．21．若a是实数，探究关于x的不等式≥a的解集．【分析】先进行移项，通分化简进行转化，然后结合二次不等式对a进行分类讨论进行求解即可．解：由已知得≥0，整理得≥0，所以，即，当a＜0时，解得x＞0或x≤，当a＝0时，解不等式得x＞0，当a＞0时，解不等式得0＜x≤，综上，当a＜0时，解集{x|x＞0或x≤}，当a＝0时，解集{x|x＞0}，当a＞0时，解集{x|0＜x≤}．。
2020-2021学年上海市上海中学高一上学期12月月考数学试卷含详解
2020学年高一阶段检测二（数学）一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.设全集U =R ，集合{1,2,3,4}A =，{23}B xx =≤<∣，则A B = ___________2.幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =______.3.不等式2(2)03x x x +≥-的解集为________．4.已知“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________5.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()32xf x x b =++，则()1f -=________．6.若a的小数部分，则()2log 21a a +的值是________．7.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，若2212126x x x x +=-15，则k 的值为________8.若函数()()211f x mx m x =+--在区间[1,)-+∞上是严格单调函数，则实数m 的取值范围是________．9.若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________．10.已知{||1|}A x x a =-≤，若A 只有1个整数元素，则实数a 的取值范围是________11.设a R ∈，若关于x 的不等式2236x x a a --+<-有解，则a 的取值范围是________．12.已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13.已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，2a b q f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A.q r p =<B.q r p=> C.p r q =< D.p r q=>15.若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（）A.a b a b-<-B.a b a b -<+C.a b a b +>-D.a b a b +<-16.关于函数()1x f x x =-，给出以下四个命题：（1）当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值；（2）方程()(0)f x kx b k =+≠一定有实数解；（3）如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；（4）()y f x =是偶函数且有最小值．其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.4三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知函数()|2|f x x a a=-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.18.设0a >，0b >，且11a b a b+=+.证明：(1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．19.已知函数()33xxf x a -=-⋅，其中a 为实常数.（1）若()07f =，解关于x 的方程()5f x =；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.20.小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？21.已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =.（1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f x g x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.2020学年高一阶段检测二（数学）一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.设全集U =R ，集合{1,2,3,4}A =，{23}B xx =≤<∣，则A B = ___________【答案】{1,3,4}【分析】根据集合交补含义可得.【详解】因为{23}B xx =≤<∣，()[),23,B =-∞+∞ ，{}134A B = ，，.故答案为:{1,3,4}【点睛】此题为基础题，考查集合的运算.2.幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =______.【答案】13【分析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得()3f 的值.【详解】幂函数()af x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入可得122a =解得1a =-所以幂函数解析式为()1f x x -=则()11333f -==故答案为:13【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.3.不等式2(2)03x x x +≥-的解集为________．【答案】{}(,2]0(3,)-∞-+∞ 【分析】由分式不等式的解法，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩求解即可.【详解】由题意，有2(2)(3)030x x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得2x -≤或0x =或3x >，∴解集为{}(,2]0(3,)-∞-+∞ .故答案为：{}(,2]0(3,)-∞-+∞ .4.已知“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是________【答案】[]3,2--【分析】先由一元二次不等式以及绝对值不等式的解法化简，再结合必要非充分条件的性质，列出不等式，得出答案.【详解】由|23|1x +<得1231x -<+<，解得21x -<<-由2(22)(2)0x a x a a -+++≤得(2)()0x a x a ---≤，解得2a x a ≤≤+因为“2(22)(2)0x a x a a -+++≤”是“231x +<”的必要非充分条件所以221a a ≤-⎧⎨+≥-⎩，解得32a --≤≤故答案为：[]3,2--5.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()32xf x x b =++，则()1f -=________．【答案】2-【分析】由R 上的奇函数，有(0)0f =求参数b ，进而求()1f ，又()1(1)f f -=-即可求值.【详解】由()f x 为R 上的奇函数，有(0)0f =，∴根据函数解析式，有0(0)020f b =++=，即1b =-，∴()321xf x x =+-，则()311212f =+-=，∴()1(1)2f f -=-=-.故答案为：2-.6.若a的小数部分，则()2log 21a a +的值是________．【答案】1-【分析】由题意知35(1,2)4+=，即可得514a =，代入对数式，应用对数运算的性质求值即可.35(1,2)4+=∈，知：3551144a=-=，即122a-=，51212a++==∴()251log2112aa-+==-=-.故答案为：1-.7.已知关于x的方程221(1)104x k x k-+++=有两个实数根1x、2x，若2212126x x x x+=-15，则k的值为________【答案】4【分析】将2212126x x x x+=-15，变形为()21212815x x x x+=-，根据方程221(1)104x k x k-+++=有两个实数根1x、2x，得到212121+1,14x x k x x k=+⋅=+，再代入上式求解.【详解】因为方程221(1)104x k x k-+++=有两个实数根1x、2x，所以212121+1,14x x k x x k=+⋅=+，因为2212126x x x x+=-15，所以()21212815x x x x+=-，()221181154k k⎛⎫+=⨯+-⎪⎝⎭，即()()240k k+-=，解得4k=或2k=-（舍去）故答案为：48.若函数()()211f x mx m x=+--在区间[1,)-+∞上是严格单调函数，则实数m的取值范围是________．【答案】[]1,0-【分析】讨论0m=、0m≠，并结合二次函数的性质，列不等式求参数范围，合并不同情况的m取值即可.【详解】当0m=时，()1f x x=--在[1,)-+∞上是严格单调函数，符合题意；当0m≠时，()221(1)(24m mf x m xm m-+=+-，∴112mm-≤-，即102mm+≤，可得10m-≤<，综上，有10m-≤≤.故答案为：[]1,0-.9.若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[)0,4【分析】转化条件为无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，按照a =0、0a ≠分类，即可得解.【详解】由题意，无论x 取何值，210ax ax -+>恒成立，当a =0时，10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<，综上，[)0,4a ∈.故答案为：[)0,4.10.已知{||1|}A x x a =-≤，若A 只有1个整数元素，则实数a 的取值范围是________【答案】[0,1)【分析】解绝对值不等式得{|11}A x a x a =-≤≤+，且0a ≥，结合条件可得1A ∈，进而得011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，从而得解.【详解】由{||1|}A x x a =-≤得{|1}{|11}A x a x a x a x a =-≤-≤=-≤≤+，且0a ≥若A 只有1个整数元素，又111a a -≤≤+，所以1A ∈，所以011112a a <-≤⎧⎨≤+<⎩，解得01a ≤<.故答案为：[0,1).11.设a R ∈，若关于x 的不等式2236x x a a --+<-有解，则a 的取值范围是________．【答案】(,1)(5,)-∞+∞ 【分析】令()|2||3|f x x x =--+并得到其分段函数形式，由题设不等式有解，即2min 6()a a f x ->即可，解一元二次不等式即可求a 的范围.【详解】由235,3()|2||3|2321,32235,2x x x f x x x x x x x x x x -++=≤-⎧⎪=--+=---=---<≤⎨⎪---=->⎩，∴要使不等式2236x x a a --+<-有解，仅需2min 6()5a a f x ->=-即可，∴2650a a -+>，解得1x <或5x >.故答案为：(,1)(5,)-∞+∞ .12.已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________．【答案】710【分析】令02()5f x =，由题意知0001()41x x f x =++，可求出0x ，又22log 332[(log 3)]415f f +=+，即有023(log 3)10x f =+，进而可求()2log 3f .【详解】若02()5f x =，则0032[()]415x f f x +=+，又()f x 是定义域为R 的单调函数，∴0032415x x -=+，得01x =，又222log 3332[(log 3)[(log 3)41105f f f f +=+=+，∴023(log 3)110x f =+=，则()27log 310f =.故答案为：710.【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，以及恒等式成立，求02()5f x =时的0x 值，再利用恒等式求目标函数值.二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13.已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由增函数的定义知：12,x x I ∈且12x x <时21()()f x f x >，即可判断条件之间的充分、必要性.【详解】由()y f x =在区间I 上是严格增函数，∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件.故选：A.14.设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，2a b q f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A.q r p =<B.q r p =>C.p r q =<D.p r q=>【答案】C【分析】由对数函数，结合对数的运算性质得ln ln 1(()())22a b p f f a f b r +===+=，应用基本不等式判断q 与p 的大小关系即可.【详解】由题意，ln ln ln 22ab a b p f +====，而1ln ln (()())22a br f a f b +=+=，∴p r =，又ln(22a b a bq f ++⎛⎫==>⎪⎝⎭∴综上有：p r q =<.故选：C.15.若a b 、是满足0ab <的实数，那么下列结论中成立的是（）A.a b a b -<-B.a b a b -<+C.a b a b +>-D.a b a b +<-【答案】D 【分析】利用特殊值法判断即可.【详解】令1,2a b =-=，则3||||3a b a b -=>-=-，||||3a b a b -=+=，||1||3a b a b +=<-=，故选：D【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题.16.关于函数()1x f x x =-，给出以下四个命题：（1）当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值；（2）方程()(0)f x kx b k =+≠一定有实数解；（3）如果方程()f x m =（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；（4）()y f x =是偶函数且有最小值．其中正确的命题个数为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】由函数解析式可推出()y f x =是偶函数，在(,1)-∞-、(0,1)上单调递增，在(1,0)-、(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，即可判断各项的正误.【详解】函数()1xf x x =-是偶函数，当0x >时，()y f x =在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且()0f x ≥恒成立，可得函数草图如下：（1）当1x >时，1()111x y f x x x ===+--单调递减，当01x <<时，1()111x y f x x x ==-=----单调递增，故错误；（2）当0k >时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像一定有交点，由对称性可知，当0x <且0k <时，函数()y f x =与函数y kx b =+的图像也一定有交点，故正确；（3）当0m =时，方程()f x m =只有1个解0x =，故错误；（4）由对称性知，()y f x =有最小值(0)0f =，故正确；故选：B【点睛】关键点点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性以及值域，进而结合各项的描述判断正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用.三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞．【详解】试卷分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试卷解析：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立，所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥.①当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.所以a 的取值范围是[2,)+∞.考点：不等式选讲.18.设0a >，0b >，且11a b a b+=+.证明：(1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【详解】试卷分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.试卷解析：由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥(2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.19.已知函数()33x xf x a -=-⋅，其中a 为实常数.（1）若()07f =，解关于x 的方程()5f x =；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）1x =或3log 2（2）当1a =时，函数为奇函数，当1a =-时，函数为偶函数，当1a ≠±时，函数为非奇非偶函数，见解析【分析】（1）根据()07f =,代入可求得a 的值.即可得()f x 的解析式,进而得方程.解指数形式的二次方程,即可求得解.（2）表示出()f x -.根据奇偶性定义即可求得a 的值,即可判断奇偶性.【详解】（1）因为()07f =代入可得17a -=,解得6a =-所以()363x xf x -=+⋅则()5f x =可化为3635x x -+⋅=化简可得()235360x x -⋅+=即()()32330x x --=解得3log 2x =或1x =（2）()33x x f x a -=-⋅则()33x xf x a --=-⋅当1a =时,()33x x f x -=-,()33x x f x --=-此时()()f x f x =--,函数()f x 为奇函数当1a =-时,()33x x f x -=+,()33x x f x --=+,此时()()f x f x =-,函数()f x 为偶函数当1a ≠±时,()()f x f x =--与()()f x f x =-都不能成立,所以函数()f x 为非奇非偶函数综上可知,当1a =时,()f x 为奇函数;当1a =-时,()f x 为偶函数;当1a ≠±时,函数()f x 为非奇非偶函数.【点睛】本题考查了指数方程的解法,利用奇偶性定义判定函数奇偶性,属于基础题.20.小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：A 商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；B 商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量t （条）是售价x （元）x Z +∈（）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．（1）试写出围巾销售每日的毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？【答案】（1）2=290700y x x -+-；定价为22元或23元（2）25元【分析】（1）根据题意先求出销售量t 与售价x 之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润y （元）关于售价x （元）x Z +∈（）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．【详解】设t kx b =+，∴3010{ 2520k b k b ⋅+=⋅+=，解得2k =-，b=70，∴702t x =-．（1）21010702290700y x t x x x x =-=--=-+-（）（）（）g g ，∵9012242=+，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高．（2）设售价x（元）时总利润为z（元），∴2000200010200702z x x =---（），1002000·25352000251000035x x =--+≤-=-（（（）））（元，当1003535x x-=-时，即25x =时，取得等号，∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.【点睛】本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21.已知函数||()x a f x x -=(0)a >，且满足1()12f =.（1）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）设函数()()f xg x x =，求()g x 在区间1[,4]2上的最大值；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程222()||20x a x x a mx ---+=恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见解析(2)1=2x 时，max ()=2g x .(3)1(0,16【详解】试卷分析：（1）根据112f ⎛⎫=⎪⎝⎭确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得()()2220f x f x m -+=，设()t f x =,转化为方程方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m 的取值范围.试卷解析：(1)由112=1122a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1a =或0.因为0a >，所以1a =，所以()|1|x f x x -=.当1x >时，()11=1x f x x x -=-，任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()1221121212121111=x x x x x x f x f x x x x x ------=-()()1221221211=x x x x x x ---1212=x x x x -，因为121x x <<，则1212<0,0x x x x ->，()()120f x f x -<，所以()f x 在()1,+∞上为增函数；（2）()()2221,141==11,12x x f x x x g x x x x x x -⎧≤≤⎪-⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩，当14x ≤≤时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==---+ ⎪⎝⎭，因为1114x ≤≤，所以当11=2x 时，()max 1=4g x ；当112x ≤<时，()222111111=24x g x x x x x -⎛⎫==--- ⎪⎝⎭，因为112x ≤<时，所以112x <≤，所以当1=2x 时，()max =2g x ；综上，当1=2x 即1=2x 时，()max =2g x .（3）由（1）可知，()f x 在()1,+∞上为增函数,当()1,x ∈+∞时，()()1=10,1f x x -∈.同理可得()f x 在()0,1上为减函数，当()0,1x ∈时，()()1=10,f x x -∈+∞.方程()2221120x x x mx ---+=可化为221|1|220x x m x x---+=，即()()2220f x f x m -+=.设()t f x =,方程可化为2220t t m -+=.要使原方程有4个不同的正根，则方程2220t t m -+=在()0,1有两个不等的根12,t t ，则有211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩，解得1016m <<，所以实数m 的取值范围为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2020-2021学年上海市某校高一(上)月考数学试卷(12月份)
2020-2021学年上海市某校高一（上）月考数学试卷（12月份）一、填空题1. 已知集合A={2, 3}，B={1, 2, a}，若A⊆B，则实数a=________．【答案】3【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用子集的定义和性质直接求解．【解答】∵集合A={2, 3}，B={1, 2, a}，A⊆B，∴a=3．2. 函数y＝的定义域为________．【答案】[1, 2)∪(2, +∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数的解析式列不等式组求出函数的定义域．【解答】由函数y＝，得，解得x≥1且x≠2；所以该函数的定义域为[6, 2)∪(2．3. 已知函数，则＝________．【答案】【考点】分段函数的应用函数的求值求函数的值根据题意，由函数的解析式可得f（）＝，则有f[f（）]＝f（），进而计算可得答案．【解答】根据题意，函数，则f（）＝＝，则f[f（）]＝f（2＝，4. 已知函数y＝x2−4ax在[2, 3]上是严格增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(−∞, 1]【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】根据题意，将函数y＝x2−4ax的解析式变形，可得该函数是对称轴为x＝2a，开口向上的二次函数，结合二次函数的性质可得a的取值范围．【解答】函数y＝x2−4ax＝(x−8a)2−4a4，则对称轴为x＝2a，开口向上，若该函数在[2, 6]上是严格增函数，即a≤1，则a的取值范围为(−∞, 1]，5. 函数y=a x−1+2(a>0且a≠1)的图象过一个定点，该定点的坐标为________．【答案】(1, 3)【考点】指数函数的性质【解析】函数恒过定点即与a无关，由题意令x−1=0，解得x=1，再代入函数解析式求出f(x)的值，从而可求出定点坐标．【解答】解：令x−1=0，解得x=1，则x=1时，函数f(1)=a0+2=3，即函数图象恒过一个定点(1, 3)．故答案为：(1, 3)．2【答案】k>0或k<−4【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】根据一元二次方程与二次函数之间的关系，分别讨论k的正负得到满足已知的等价条件，从而求得k的范围．【解答】解：由题意k≠0，当k>0时，要使关于x的一元二次方程2kx2−2x−3k−2=0的两个实根x1、x2满足x1<1<x2，只要2k×12−2×1−3k−2<0解得k>−4；所以k>0；当k<0时，要使关于x的一元二次方程2kx2−2x−3k−2=0的两个实根x1、x2满足x1<1<x2，只要2k×12−2×1−3k−2>0解得k<−4，由前提得到k<−4；综上，实数k的取值范围是k>0或k<−4．故答案为：k>0或k<−4．7. 若(m+1)12<(3−2m)12，则实数m的取值范围________．【答案】−1≤m<2 3【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】根据题中不等式的结构，考察幂函数y=x 12，它在[0, +∞)上是增函数，从而建立关于m的不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：考察幂函数y=x 12，它在[0, +∞)上是增函数，∵(m+1)12<(3−2m)12，∴0≤m+1<3−2m，解得：−1≤m<23，则实数m的取值范围−1≤m<23．故答案为：−1≤m<23．8. 已知函数f(x)=√2−axa−1(a≠1)在区间(0, 1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】函数单调性的性质【解析】函数的解析式若有意义，则被开方数2−ax≥0，进而根据x∈(0, 1]恒有意义，故a≤2，分1<a≤2，0<a<1，a=0和a<0，分类讨论函数的单调性，最后综合讨论结果，可得实数a的取值范围．【解答】解：若使函数的解析式有意义须满足2−ax≥0当x∈(0, 1]时，须：2−a×0≥0，且2−a≥0得：a≤21<a≤2时，y=2−ax为减函数，a−1>0，故f(x)为减函数，符合条件0<a<1时，y=2−ax为减函数，a−1<0，故f(x)为增函数，不符合条件a=0时，f(x)为常数，不符合条件a<0时，y=2−ax为增函数，a−1<0，故f(x)为减函数，符合条件故a的取值范围是(−∞, 0)∪(1, 2]故答案为：(−∞, 0)∪(1, 2]9. 方程|a x−1|＝2a(a>0, a≠1)有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围是________．【答案】(0，）【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】方程|a x−1|＝2a(a>0且a≠1)有且仅有两个不同的实数解，等价于函数f(x)＝|a x−1|的图象和直线y＝2a有2个交点，分类画出图形，由图象可得a的范围．【解答】方程|a x−1|＝2a(a>2且a≠1)有且仅有两个不同的实数解，等价于函数f(x)＝|a x−1|的图象和直线y＝6a有2个交点．如图所示：当0<a<8和a>1时对应的图象为：由图象可得，当0<a<2时，解得0<a<，当a>1时，不合题意．故答案为：(0，）．10. 已知a、b均为正实数，且，则的最小值为________．【答案】．【考点】基本不等式及其应用【解析】由＝（）(a+）＝，展开后结合基本不等式可求．【解答】因为a、b均为正实数，且，则＝（）(a+＝，当且仅当ab＝且，即a＝时取等号，所以的最小值．11. 已知+2，则关于x 的不等式f(3x+1)+f(x)>4的解集为________．【答案】（-，+∞)【考点】奇偶性与单调性的综合【解答】设g(x)＝f(x)−2＝2020x+log2020（+x)−2020−x，∴g(−x)＝2020−x+log（−x)−2020x＝2020−x−log20202020（+x)−2020x＝−g(x)，所以g(x)为奇函数且单调递增，由f(3x+4)+f(x)>4，可得g(3x+3)+g(x)>0，所以3x+8>−x，解得x>−，即不等式的解集为（-，+∞)．12. 已知函数f(x)＝lg(x+1)的图象关于y轴对称后，再向右平移4个单位，可得到函数g(x)的图象．若对任意的x1，x2∈[0, m]，当x1>x2时，恒有f(x1)−f(x2)>g(x2)−g(x1)，则实数m的最大值是________．【答案】2【考点】函数的图象与图象的变换对数函数的图象与性质【解析】易知g(x)＝lg(5−x)，构造函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)，可将原问题可转化为ℎ(x)在[0, m]上单调递增，再根据二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数单调性的判断原则，即可得解．【解答】由题意知，g(x)＝lg[−(x−4)+1]＝lg(8−x)，令ℎ(x)＝f(x)+g(x)＝lg(x+1)+lg(5−x)＝lg[(x+6)(5−x)]，定义域为(−1，原问题可转化为ℎ(x)在[7, m]上单调递增，因为y＝(x+1)(5−x)在(−8, 2]上单调递增，5)上单调递减，所以ℎ(x)在(−2, 2]上单调递增，5)上单调递减，所以m≤6，即m的最大值为2．二、选择题已知a、b为实数，且a>b，则下列结论正确的是（）A. B.a2>b2 C.ac2>bc2 D.−a<−b【答案】D不等式的基本性质不等式的概念【解析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】若a>0>b，则，故A错误；若0>a>b时，a2<b6，故B错误；若c＝0时，ac2＝bc2，故C错误；a>b，则−a<−b．“−2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0无实根”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出一元二次方程x2+ax+1=0无实根的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若实系数一元二次方程x2+ax+1=0无实根，则△=a2−4<0，∴−2<a<2，∵−2≤a≤2，∴ “−2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0无实根的必要不充分条件．故应选A．十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n>2时，关于x、y、z的方程x n+y n＝z n没有正整数解．”历经三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁•怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理．则有（）A.存在至少一组正整数组(x、y、z)使方程x3+y3＝z3有解B.关于x、y的方程x3+y3＝1有正有理数解C.关于x与y的方程x3+y3＝1没有正有理数解D.当整数n>3时，关于x、y、z的方程x n+y n＝z n没有正实数解．【答案】C【考点】归纳推理根据已知中费马大定理可得：故p 3+q 3＝z 3，无正整数解，即(p z )3+(q z )3=1无正整数解，进而利用整体代换思想，得到答案．【解答】：“当整数n >2时，关于x 、y 、z 的方程x n +y n ＝z n 没有正整数解．”3>2，故p 3+q 3＝z 3，无正整数解，即(p z )3+(q z )3=1无正整数解，即关于x 与y 的方程 x 3+y 3＝1没有正有理数解，已知函数f(x)={|ln |x||(x ≠0)0(x =0)，则方程f 2(x)−f(x)=0的不相等的实根个数（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法根的存在性及根的个数判断【解析】方程f 2(x)−f(x)=0可解出f(x)=0或f(x)=1，方程f 2(x)−f(x)=0的不相等的实根个数即两个函数f(x)=0或f(x)=1的所有不相等的根的个数的和，根据函数f(x)的形式，求方程的根的个数的问题可以转化为求两个函数y =0，y =1的图象与函数f(x)的图象的交点个数的问题．【解答】解：方程f 2(x)−f(x)=0可解出f(x)=0或f(x)=1，方程f 2(x)−f(x)=0的不相等的实根个数即两个函数f(x)=0或f(x)=1的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数y =0，y =1的图象与函数 f(x)的图象的交点个数相同，如图，由图象，y =1的图象与函数f(x)的图象的交点个数有四个，y =0的图象与函数f(x)的图象的交点个数有三个，故方程f 2(x)−f(x)=0有七个解，应选C．三、解答题已知集合A＝{x|y＝lg(2−x−x2)}，集合B＝{y|y＝2x−1, x∈R}．（1）求A∩B；（2）若集合C＝{x|2m<x<m+1}，且A∩C＝⌀，求实数m的取值范围．【答案】∵A＝{x|2−x−x2>3}＝{x|−2<x<1}，B＝{y|y>−5}，∴A∩B＝(−1, 1)；∵C＝{x|3m<x<m+1}，且A∩C＝⌀，∴ ①C＝⌀时，2m≥m+2；②C≠⌀时，，解得m≤−8或，∴m的取值范围为：．【考点】交集及其运算【解析】（1）可求出A＝{x|−2<x<1}，B＝{y|y>−1}，然后进行交集的运算即可；（2）根据A∩C＝⌀，可讨论C是否为空集：C＝⌀时，2m≥m+1；C≠⌀时，，然后解出m的范围即可．【解答】∵A＝{x|2−x−x2>3}＝{x|−2<x<1}，B＝{y|y>−5}，∵C＝{x|3m<x<m+1}，且A∩C＝⌀，∴ ①C＝⌀时，2m≥m+2；②C≠⌀时，，解得m≤−8或，∴m的取值范围为：．已知函数f(x)＝(a∈R)．（1）当a＝1时，证明：函数f(x)在(2, +∞)上是严格减函数；（2）求不等式f(x)>1．【答案】a＝1，f(x)＝，设2<x1<x3，则f(x1)−f(x2)＝＝>3，所以f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(3, +∞)上是严格减函数；f(x)＝>1，化简得，，当a>8时，2<x<a+2，当a＝7时，x不存在，当a<0时，2+a<x<3，综上，a>0时，当a＝0时，x不存在，当a<3时，{x|2+a<x<2}．【考点】函数单调性的性质与判断【解析】（2）已知不等式化简得，，然后讨论a+2与2的大小，进行求解．【解答】a＝1，f(x)＝，设2<x1<x3，则f(x1)−f(x2)＝＝>3，所以f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(3, +∞)上是严格减函数；f(x)＝>1，化简得，，当a>8时，2<x<a+2，当a＝7时，x不存在，当a<0时，2+a<x<3，综上，a>0时，当a＝0时，x不存在，当a<3时，{x|2+a<x<2}．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100(5x+1−3x)元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【答案】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100(5x+1−3x )×2＝200(5x+1−3x)根据题意，200(5x+1−3x)≥3000，即5x2−14x−3≥0∴x≥3或x≤−15∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y＝100(5x+1−3x )×900x＝90000(−3x2+1x+5)＝9×104[−3(1x−16)2+6112]∵1≤x≤10，∴x＝6时，取得最大利润为9×104×6112=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值．【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100(5x+1−3x )×2＝200(5x+1−3x)根据题意，200(5x+1−3x)≥3000，即5x2−14x−3≥0∴x≥3或x≤−15∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y＝100(5x+1−3x )×900x＝90000(−3x2+1x+5)＝9×104[−3(1x−16)2+6112]∵1≤x≤10，∴x＝6时，取得最大利润为9×104×6112=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．已知函数f(x)＝+kx为偶函数，g(x)＝(x+a)．（1）求实数k的值；（2）若x∈[−2, 0]时，函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，求实数a的取值范围；（3）求函数y＝−4f（x）−kx+g(2x+2)在x∈[−1, 2]上的最大值与最小值之和为2020，求实数a的值．【答案】∵f(x)是偶函数，∴f(−x)＝f(x)，则log4(4−x+5)−kx＝log4(4x+6)+kx，得2kx＝log4（）−log6(4x+1)＝log74−x＝−x，得2k＝−6，得k＝-．若x∈[−2, 0]时，则f(x)>g(x)恒成立，即log4(2x+1)−x>，∴a<3log4(4x+4)−2x，设F(x)＝2log4(4x+1)−8x＝log2(4x+5)−2x＝log2(6x+1)−log22x＝log2(1+），由复合函数的单调性可知F(x)在[−2, 6]上为减函数，∴F(x)≤F(0)＝1，∴a<1，即实数a的取值范围是(−∞．函数y＝−3f（x）−kx+g(2x+2)＝-+(6x+2+a)＝−4x−4+2×2x+a＝−(2x)5+2×2x+a−1，设t＝8x，∵x∈[−1, 2]，∴，则设ℎ(t)＝−t2+8t+a−2，对称轴为t＝1，图象开口向下，∴最大值为ℎ(1)＝a，最小值为ℎ(4)＝，∴a+，解得a＝2029．【考点】函数的最值及其几何意义函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）利用函数是偶函数，建立方程进行求解即可（2）由函数f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，可得f(x)>g(x)恒成立，利用参数分离法进行求解即可；（3）利用换元法结合指数的性质，转化为一元二次函数，结合二次函数的性质求得最大值和最小值，进而可求得a的值．【解答】∵f(x)是偶函数，∴f(−x)＝f(x)，则log4(4−x+5)−kx＝log4(4x+6)+kx，得2kx＝log4（）−log6(4x+1)＝log74−x＝−x，得2k＝−6，得k＝-．若x∈[−2, 0]时，则f(x)>g(x)恒成立，即log4(2x+1)−x>，∴a<3log4(4x+4)−2x，设F(x)＝2log4(4x+1)−8x＝log2(4x+5)−2x＝log2(6x+1)−log22x＝log2(1+），由复合函数的单调性可知F(x)在[−2, 6]上为减函数，∴F(x)≤F(0)＝1，∴a<1，即实数a的取值范围是(−∞．函数y＝−3f（x）−kx+g(2x+2)＝-+(6x+2+a)＝−4x−4+2×2x+a＝−(2x)5+2×2x+a−1，设t＝8x，∵x∈[−1, 2]，∴，则设ℎ(t)＝−t2+8t+a−2，对称轴为t＝1，图象开口向下，∴最大值为ℎ(1)＝a，最小值为ℎ(4)＝，∴a+，解得a＝2029．若函数y＝f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)⋅f(x2)＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数g(x)＝2x是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域[m, n](m，n∈N，且m>1)上为“依赖函数”，求m+n的取值范围．（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”．若存在实数，使得对任意的t∈R，有不等式f(x)≥−t2+(s−t)x+8都成立，求实数s的取值范围．【答案】对于函数g(x)＝2x的定义域R内任意的x1，取x5＝−x1，则g(x1)g(x4)＝1，且由g(x)＝2x在R上单调递增，可知x5的取值唯一，故g(x)＝2x是“依赖函数”；因为m>1，f(x)＝2在[m, n]递增，即(m−1)8•(n−8)2＝1，由n>m>7，得(m−1)(n−1)＝4，故m+n＝m+＝m−1++2＝4（，（当且仅当m＝1+时“＝”成立），故m+n的取值范围是[2（+8)；因a<，故f(x)＝(x−a)5在[，2]上单调递增，从而f（）⋅f(4)＝2−a)8(4−a)2＝6，进而（，解得a＝6或a＝（舍），从而存在x∈[，4]，有不等式(x−1)5≥−t2+(s−t)x+8都成立，即t7+xt+x2−(2+s)x−6≥0恒成立，由△＝x2−5(x2−(2+s)x−5)≤0恒成立，故2+s≤（x−）max，x∈[，4]x−，4]递增，故x＝6时，y取最大值，故8+s≤，故s≤−，-]．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）利用新定义，对于函数g(x)＝2x的定义域R内任意的x1，取x2＝−x1，则g(x1)g(x2)＝1，判断g(x)＝2x是“依赖函数”；（2）因为m>1，f(x)＝(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)＝1，推出n＝，求出m+n的范围即可；（3）根据a的范围，求出a的值，求出f(x)的解析式，问题转化为t2+xt+x2−(2+s)x−7≥0恒成立，根据根的判别式得到2+s≤（x−）max，x∈[，4]，从而求出s的范围即可．【解答】对于函数g(x)＝2x的定义域R内任意的x1，取x5＝−x1，则g(x1)g(x4)＝1，且由g(x)＝2x在R上单调递增，可知x5的取值唯一，故g(x)＝2x是“依赖函数”；因为m>1，f(x)＝2在[m, n]递增，即(m−1)8•(n−8)2＝1，由n>m>7，得(m−1)(n−1)＝4，故m+n＝m+＝m−1++2＝4（，（当且仅当m＝1+时“＝”成立），故m+n的取值范围是[2（+8)；因a<，故f(x)＝(x−a)5在[，2]上单调递增，从而f（）⋅f(4)＝2−a)8(4−a)2＝6，进而（，解得a＝6或a＝（舍），从而存在x∈[，4]，有不等式(x−1)5≥−t2+(s−t)x+8都成立，即t7+xt+x2−(2+s)x−6≥0恒成立，由△＝x2−5(x2−(2+s)x−5)≤0恒成立，故2+s≤（x−）max，x∈[，4]x−，4]递增，故x＝6时，y取最大值，故8+s≤，故s≤−，-]．。
上海市奉贤中学上学期第一次月考
上海市奉贤中学高一上学期第一次月考数学试卷(集合与命题)一．填空题(3'10=30' )1. 若1{a2−a−1, a, −1}, 则a的值是2. 抛物线y=x2−3x+1的顶点在第象限3. 设全集U={x|x>−1},M={x|x>5},则C U M=4. 集合P={(x,y)|x+y= −1},Q={(x,y)|x−y=3}, 则P∩Q=5. 集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,8},(A∩B)∪C=6. 集合A={x|ax−6=0},B={x|3x2−2x=0},且AB,则实数=7. 命题“若x>1且y<−3,则x−y>4”的逆否命题是8. 由①,②,③中的两个作条件一个作结论,可构造个真命题9. 设,,,如果,那么m,n的取值范围分别是10. 已知,且则的取值范围是11. (实验班学生做)设S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当xA时,若x+1A,且x−1A则称x是A的一个孤立元素。
那么S的4元子集中,不含孤立元素的子集共有个二．选择题(4'5=20' )12. “x>y且a>b”是“ax−ay−bx+by>0”的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13. 对于集合A,B,若BA不成立,则下列理解正确的是( )A.集合B的任何一个元素都属于AB.集合B的任何一个元素都不属于AC.集合B中至少有一个元素属于AD.集合B中至少有一个元素不属于A14.设集合,,则()A.M=NB.MNC.NMD.M∩N=15. 如图I为全集,M,P,S是I的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.B.C.D.16. 设都是{x|0≤x≤1}的子集,如果b−a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度,则集合的长度的最小值是( )A.B.C. D.三．解答题(8'2+9'4=50' )17. 已知集合A={a2,a+1,−3},B={a−3,2a−1,a2+1}, 若A∩B={−3},求A∪B18. 已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2−x+r=0}.若A∩B={−1},A∪B={−1,2,3}求实数p,q,r的值.19. 已知命题p:方程x2+4x+m−1=0有两个不等的负根；命题q:方程4x2+4x+m−2=0无实根.若p,q两命题一真一假,求m的取值范围.20. 已知集合A={x|1＜x＜3},B={x|2≤x≤4}(1)请定义一种新的集合运算Δ,使AΔB={x|1＜x＜2};(2)按(1)定义的运算,分别求出集合AΔ(AΔB)和BΔ(BΔA).(3)你可以得到怎样的结论,请用如右文氏图解释你的结论21. 若集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一种分拆,并规定：当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,(1)集合A={a,b}的不同分拆种数为多少？(2)集合A={a,b,c}的不同分拆种数为多少？(3)由上述两题归纳一般的情形: 集合A={a1,a2,a3,…a n}的不同分拆种数为多少？(不必证明)22. (实验班学生做)设集合A={(x,y)|y=ax+b},B={(x,y)|y=3x2+15},C={(x,y)|x2+y2≤144},问:是否存在实数a,b使得A∩B≠ 和(a,b)C同时成立23. (附加题)设集合(1)对于给定的整数m,n,如果满足,那么集合A中有几个元素?(2)如果整数m,n最大公约数为1,问是否存在x,使得都属于A,如果存在,请写出一个,如果不存在,请说明理由上海市奉贤中学高一上学期第一次月考数学试卷答案一．填空题(3'10=30' )1、若1{a2−a−1, a, −1}, 则a的值是 22、抛物线y=x2−3x+1的顶点在第三象限3、设全集U={x|x>−1},M={x|x>5},则C U M= (−1,5]4、集合P={(x,y)|x+y= −1},Q={(x,y)|x−y=3}, 则P∩Q= {(1,−2)}5、集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,8},(A∩B)∪C= {1,3,7,8}6、集合A={x|ax−6=0},B={x|3x2−2x=0},且AB,则实数= 0或97、命题“若x>1且y<−3,则x−y>4”的逆否命题是若x−y≤4,则x≤1或y≥−38、由①,②,③中的两个作条件一个作结论,可构造 3 个真命题9、设,,,如果10、,那么m,n的取值范围分别是m>−1且n<511、已知,且则的取值范围是(实验班学生做)设S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当xA时,若x+1A,且x −1A则称x是A的一个孤立元素。
2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题 (I)
2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题 (I)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}1,2,3,4,0,1,2,3,M N ==则（ ）.A M N ⊆ .B N M ⊆ {}.1,2,3C MN = {}.1,2,3D M N =2.函数的定义域是 （ ）A.B.C.D.3．下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）.3x A y = 13.log B y x = 1.C y x =- 2.(1)D y x =+4．函数的零点所在的区间是 （ ）A.B.C.D.5．在同一直角坐标系中，当1a >时，函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭和log a y x =的大致图像（ ）y xyxyxyxDCBA1O1O1O1O11116．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ( )A.圆柱B. 圆台C.圆锥D. 棱台俯视图侧视图正视图7. 直线320x y -+=的倾斜角的大小为 （ ）A.B.C.D.8. 已知球的直径是4cm ，则它的表面积是（ ）（单位：2cm ）16.3A π 32.3B π.8C π .16D π9.圆心在轴上，并且过点和的圆的方程为 ( )A. B. C.D.10．已知直线b a ,与平面γβα,,，下列条件中能推出βα//的是（ ） A ．ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂ B ．γβγα⊥⊥且C ．b a b a //,,βα⊂⊂D ．βα⊥⊥a a 且11. 若直线x+2y+1=0与直线ax+y ﹣2=0互相垂直，那么a 的值等于（ ） A ．﹣2 B ．﹣． C.﹣D ．112．圆221:4C x y +=和222:(3)(4)49C x y -++=的位置关系是（ ）.A 相交 .B 相离 .C 内切 .D 外切二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知幂函数αx y =的图象过点)2,2(，这个函数的表达式为______.14. 已知函数，则（ ）15．直线:0l x y k ++=与圆：2)1()2(22=++-y x 相切，则k 的值为_____________. 16. 直线02=--y mx 与直线012=-+y x 平行，则m 的值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U=R ，集合A={x | x+1≥1且x ﹣3≤0}，B={x| a≤ x ≤ a+2，a ∈R}． （1）当a = 1时，求A∩B；（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，求实数a 取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数)1(log )1(log )(x x x f a a --+=其中(01)a a >≠且． （1）求函数)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （5，﹣1）， B （7，3），C （2，8）． （1）求直线AB 的方程；（2）求AB 边上高所在的直线l 的方程；20. （本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，,AB AD =点P 为的1DD 中点. (1) 若12,6,AB DD ==求三棱锥的体P ACD V -; (2) 求证：1//BD PAC 直线面; (3) 求证：1PAC BDD ⊥平面平面.P DAA 1BCC 1D 1B 121. （本小题满分12分）有一个几何体的三视图如下图所示，主视图（正视图）和左视图（侧视图）均为边长为3的等边三角形，俯视图是边长为3的正方形，求这个几何体的表面积和体积.22．（本小题满分12分）已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上．（1）求圆C的方程；（2）已知斜率为k的直线m过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线m的方程．高一年级数学试题答案1-12:CDACDB BDADAC13:x y = 14:8 15:-3或1 16：-2三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U=R ，集合A={x | x+1≥1且x ﹣3≤0}，B={x| a≤ x ≤ a+2，a ∈R}． （1）当a = 1时，求A∩B；（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，求实数a 取值范围． 解：（1）当a=1时，由题可解得A=[0，3]，B=[1，3]，… A∩B=[1，3]…（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，由得实数a 的取值范围是[0，1] 18．（本小题满分12分）已知函数)1(log )1(log )(x x x f a a --+=其中(01)a a >≠且． （1）求函数)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由； 解（1）所以所求定义域为{}11x x -<<. （2）是奇函数.19. （本小题满分12分） 【解答】解：（1）∵K AB ==2，∴直线AB 的方程是：y+1=2（x ﹣5），即2x ﹣y ﹣11=0； （2）∵AB⊥l，∴K AB •K l =﹣1，解得：K l =﹣，∴过C （2，8），斜率是﹣的直线方程是：y ﹣8=﹣（x ﹣2）， 即x+2y ﹣18=0；20. （本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，,AB AD =点P 为的1DD 中点. (1) 若12,6,AB DD ==求三棱锥的体积P ACD V -; (2) 求证：1//BD PAC 直线面; (3) 求证：1PAC BDD ⊥平面平面.P DAA 1C 1D 1B 1证明：（1）若12,6,AB DD ==则3,PD PD ACD =⊥平面，∴11232P ACD V PD AD DC -=⨯⨯⨯⨯=，……3分 （2）设AC 和BD 交于点O ，连接PO ，……4分 ∵,P O 分别是1,DD BD 的中点，∴1//PO BD ，……………………6分又PO AC ⊂平面P ，1BD AC ⊄平面P ，……7分 ∴1//BD PAC 直线面；……………8分（3）在长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD =， ∴底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，…………………………………9分 又1DD ABCD AC ABCD ⊥⊂面，面， ∴1DD AC ⊥，又1DD BD D =，…………………………………11分∴1AC BDD ⊥面，又AC AC ⊂面P ，…………………………………13分 ∴1PAC BDD ⊥平面平面.…………………………………14分21.解：该几何体为底边为3、侧面斜高为3的正四棱锥. 故这个几何体的表面积4S S S =+表侧三角形底143333272=⨯⨯⨯+⨯=正四棱锥高为22333322h =-=四棱锥（）故这个几何体的体积为1393333322V =⨯⨯⨯=四棱锥22．已知圆C 经过点A （2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x 上． （1）求圆C 的方程；（2）已知斜率为k 的直线m 过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线m 的方程． 解：（1）由题意设圆心的坐标为C （a ，﹣2a ），…（1分） ∵圆C 经过点A （2，﹣1），直线x+y=1相切， ∴=，…（3分）化简得a 2﹣2a+1=0，解得a=1，…（4分） ∴圆心C （1，﹣2），半径r=|AC|==∴圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y+2）2=2 （2）设直线m 的方程为y=kx ，俯视图左视图主视图OPDAA 1BCC 1D 1B 1由题意得解得k=，…（11分）∴直线m的方程为．【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。
2020-2021学年上海市奉贤区高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年上海市奉贤区高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为．2．（4分）若幂函数y＝x a的图象经过点（3，），则a＝．3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝．4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是．5．（4分）设a＞0，a≠1，若log a4＝2，则＝．6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝．7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝.（用a，b的代数式表示）8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品件．9．（5分）设x＞0，y＞0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是．10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是．11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a 的值为．12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（）A．log a＝log a MB．（log a M）N＝N log a MC．（log a M）÷（log a N）＝log a（M﹣N）D．log a M+log a N＝log a（M+N）14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（）A．M∩B．∩N C．∪D．M∩N15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．109316．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．（1）若a＝3，求集合P；（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．20．（16分）我们知道当a＞0时，a m+n＝a m•a n对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．（1）当m＝2时，求n的值；（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．2020-2021学年上海市奉贤区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为3．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的真子集一共有：22﹣1＝3个．故答案为：3．【点评】本题考查集合的真子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．2．（4分）若幂函数y＝x a的图象经过点（3，），则a＝．【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），构造方程求出指数的值，即可得到函数的解析式．【解答】解：设幂函数的解析式为y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），∴＝3a，解得a＝，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，属基础题．3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝．【分析】利用根与系数的关系得到x1x2＝﹣4，再对所求式子化简代入即可求出结果．【解答】解：∵方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，∴由根与系数的关系得：x1x2＝﹣4，∴（2）＝＝2﹣4＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，考查了指数幂的运算，是基础题．4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．【分析】根据“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，得到不等式组，解出即可．【解答】解：若“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则由“a≤x≤a+4”⇒“x＜﹣1或x＞5”，∴a≥5或a+4≤﹣1，解得：a≤﹣5或a≥5，故答案为：（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，属于基础题．5．（4分）设a＞0，a≠1，若log a4＝2，则＝．【分析】先把对数式化为指数式，求出a的值，再利用指数幂的运算性质化简所求式子，代入a的值即可求出结果．【解答】解：∵log a4＝2，∴a2＝4，又∵a＞0，a≠1，∴a＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了对数式与指数式的互化，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝{x|x＞1}．【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝R，∴A∩B＝{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝.（用a，b的代数式表示）【分析】利用对数的换底公式、运算法则直接求解．【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log916＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查对数式化简求值，对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品80件．【分析】确定生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+x•＝800+x2这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f（x）＝＝（x为正整数）由基本不等式，得f（x）≥2＝20当且仅当，即x＝80时，f（x）取得最小值、∴x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故答案为80【点评】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．9．（5分）设x＞0，y＞0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是1．【分析】由题意可得e x e y＝e2，即x+y＝2，x＞0，y＞0，然后结合即可求解．【解答】解：由题意可得e x e y＝e2，∴x+y＝2，x＞0，y＞0，∴＝1，当且仅当x＝y＝1时取等号，故答案为：1．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是k≠±1．【分析】根据题意可得出：方程组有解，然后可得出方程（1﹣k2）x＝k﹣k2有解，从而可得出k需满足的条件．【解答】解：∵A∩B≠∅，∴方程组有解，消y得（1﹣k2）x＝k﹣k2，∴1﹣k2≠0，即k≠±1．故答案为：k≠±1．【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a 的值为．【分析】结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，然后结合方程的根与系数关系可求．【解答】解：因为关于x的不等式组的解集为[b，a]，结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，所以，解可得，或或（舍），当a＝1，b＝﹣3时，不等式组为，解得﹣3≤x≤1且x≠﹣1不合题意；当a＝，b＝﹣1时，不等式组，解得﹣1，此时符合题意．故a＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，体现了方程与二次不等相互转化关系的应用．12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为（，）．【分析】利用基本不等式和题设求得结果即可．【解答】解：令x+y＝t，则z＝1﹣t，∵x＞y＞z，且x+y+z＝1，∴z＝1﹣t＜⇒t＞，t2＝（x+y）2＜2（x2+y2），即x2+y2＞，∵x2+y2+z2＝1，∴1＞+z2＝+（1﹣t）2，即3t2﹣4t＜0，解得：0＜t＜，综上，＜t＜，即x+y∈（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查基本不等式的应用及解不等式，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（）A．log a＝log a MB．（log a M）N＝N log a MC．（log a M）÷（log a N）＝log a（M﹣N）D．log a M+log a N＝log a（M+N）【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：由a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，知：对于A，log a＝＝log a M，故A正确；对于B，（log a M）N≠N log a M＝，故B错误；对于C，（log a M）÷（log a N）≠log a（M﹣N），故C错误；对于D，log a M+log a N＝log a MN≠log a（M+N），故D错误．故选：A．【点评】本题考查对数式化简求值、对数运算法则，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（）A．M∩B．∩N C．∪D．M∩N【分析】可以用Venn图来表示集合M，N，U，结合图形即可找出表示空集的选项．【解答】解：可用Venn图表示集合M，N，U如下：∴M∩（∁U N）＝∅，即M∩＝∅，故选：A．【点评】本题主要考查Venn图表示集合的方法，以及集合的补集和交集运算．15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．1093【分析】根据对数的性质得：3＝10lg3≈100.48，将M化为以10为底的指数形式，计算即可．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈＝1093．故选：D．【点评】本题考查了指数形式与对数形式的互化问题，是基础题．16．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】当a，b都为正偶数时，a※b＝a b＝4，a当a，b都为正奇数时，a※b＝log a b＝4，a4＝b，再由a，b∈（1，10000），能求出集合M中元素的个数．【解答】解：∵m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}，∴a，b都为正偶数时，a※b＝a b＝4，a＝2，b＝2，当a，b都为正奇数时，a※b＝log a b＝4，a4＝b，∵a，b∈（1，10000），∴a＝3，b＝81，或a＝5，b＝625，或a＝7，b＝2401，或a＝9，b＝6561，∴M＝{（2，2），（3，81），（5，625），（7，2401），（9，6561）}．∴集合M中有5个元素．故选：C．【点评】本题考查集合中元素个数的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．（1）若a＝3，求集合P；（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．【分析】（1）a＝3时，P＝{x|≥0}，由此能求出集合P．（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，根据a＞﹣1，a＝﹣1，a＜﹣1分类讨论，由此能求出集合P，求出Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|0＜x＜2}，由P∪Q＝P，得Q⊆P，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝3时，P＝{x|≥0}＝{x|≤0}＝{x|﹣1＜x≤3}，（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，当a＞﹣1时，P＝{x|﹣1＜x≤a}，当a＝﹣1时，P＝∅，当a＜﹣1时，P＝{x|a≤x＜﹣1}．∵Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，P∪Q＝P，∴Q⊆P，∴当a＞﹣1时，a＞2，当a≤﹣1时，无解，综上，当P∪Q＝P时a的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？【分析】（1）直接把y＝50代入y＝10lg，求得I得结论；（2）分别求出声音是120dB和60dB的声强度，作比得结论．【解答】解：（1）由50＝10lg，得，即I＝W/m2．故声音是50dB，相应的声强度是10﹣7W/m2；（2）设声音是120dB的声强度为I1，则120＝10lg，即，设声音是60dB的声强度为I2，则60＝10lg，即，∴．∴前者的声强度是后者的声强度的106倍．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查对数方程的求法，是基础的计算题．19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．【分析】（1）把A进行分离常数，再由x的范围求得A的值域，则结论得证，并指出等号成立的条件；（2）利用基本不等式求出B的范围，结合（1）中求得的A的范围，即可比较A与B的大小关系．【解答】证明：（1）A＝＝，∵x≥0，∴x+，8（x+）≥4，，可得＜，即A＜，当且仅当x＝0时等号成立；解：（2）B＜A，证明如下：由（1）知，A＜，B＝，当x＝0时，B＝0，当x＞0时，x2+1≥2x＞0，∴，当且仅当x＝1时取等号，∴0，而A与B中的等号不同时成立，∴B＜A．【点评】本题考查利用分离常数法与基本不等式求函数的值域，考查运算求解能力，是中档题．20．（16分）我们知道当a＞0时，a m+n＝a m•a n对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．（1）当m＝2时，求n的值；（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．【分析】（1）由题意求解关于n的方程即可确定实数n的值；（2）由题意求得2n的表达式，然后分类讨论即可证得题中的结论；（3）将m，n分离到等式的两侧，然后讨论左右两侧的值即可证得题中的结论．【解答】（1）解：当m＝2时，22+n＝22+2n，即3⋅2n＝4，∴；（2）证明：设t＝2m，由于m≤0，故t∈（0，1]，由题意可得：t⋅2n＝t+2n，当m＝0，t＝1时，上述等式明显不成立，当m≠0，t＜1时，，由于2n＞0，t＞0，t﹣1＜0，故上述等式不成立，综上可得，实数n不存在．（3）证明：由2m+n＝2m+2n可得：，当m，n均为正整数时，等式左侧为2的指数幂，故右侧也是2的指数幂，很明显只有2m﹣1＝1，m＝1 时满足题意，此时n＝1，即只有一对正整数对（1，1）使得等式成立．【点评】本题主要考查指数方程的解法，分类讨论的数学思想，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．【分析】（1）将a＝0，b＝代入|x+2|＜|ax﹣b|中，然后去绝对值解不等式即可；（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|，然后假设|x+2|，|x﹣1|均小于，得到，推出矛盾结论，从而证明原命题成立；（3）根据a＞0时，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，对|x+2|+|ax﹣b|去绝对值，然后分别得到满足条件实数a、b即可．【解答】解：（1）当a＝0，b＝时，由|x+2|＜|ax﹣b|，得|x+2|，∴，∴，∴不等式的解集为{x|}．（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|．假设|x+2|，|x﹣1|均小于，则，∴，∴x∈∅，与假设矛盾，故|x+2|，|x﹣1|中至少有一个数不小于．（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，则①当x≥﹣2，ax﹣b≥0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则，∴．②当x⩾﹣2，ax﹣b≤0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则与a＞0矛盾．③当x≤﹣2，ax﹣b≥0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则，∴，将代入中，得，要使与x≤﹣2有交集，则，∴与b≤﹣3矛盾．④当x≤﹣2，ax﹣b≤0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则与a＞0矛盾．综上，要使不等式在R上恒成立，实数a、b满足的条件为．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，利用反证法证明不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。
【月考试卷】2020-2021学年上学期高一年级数学第一次月考试卷含答案(内容：必修1)
15 ． 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 当
时，
,则 __________． 16．已知集合 A {x | ax 1 0}，且 2 A，3 A，则 a 的取值范围是
xa
_______.
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)设集合 A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a －1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数 a 的值．
18．(本小题满分 12 分)
已知集合
.
（1）若 （2的取值范围.
试卷第 3 页，总 5 页
19．(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式； (2)画出函数 f(x)的图象．
围是 ( )
A. a 0 B. a 0 C. a 10 D. a 10 9．下面四个函数：
x, x 0,
① y 3x ② y
1 x2 1
③
y
x2
2x
10
④
y
{
1
,
x
0.
.其中值域为
x
R 的函数有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10．已知函数 f x { 2x,x 0 ，若 f a f 1 0，则实数 a 的值等
A. {x|0＜x＜2}
B. {x|1＜x≤2}
C. {x|0≤x≤1，或 x≥2} D. {x|0≤x≤1，或 x＞2}
4．已知 f(x)=
,则 f[f(3)]= ( )
上海奉贤区致远高级中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题(教师版)
致远高中2020学年第一学期第一次月考高一数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 已知集合{}1A =，{}230B x x x a =++=，若A B ⊆，则实数a 的值为______．【答案】4- 【解析】 【分析】本题首先可根据A B ⊆得出1x =是方程230x x a ++=的解，然后将1x =代入方程230x x a ++=中进行计算，即可得出结果.【详解】因为{}1A =，{}230B x x x a =++=，A B ⊆，所以1x =是方程230x x a ++=的解， 即21310a +⨯+=，解得4a =-， 故答案为：4-.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数，能否根据集合的包含关系得出1x =是方程230x x a ++=的解是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题. 2. 满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,M a a a a a =的集合M 为______．（只需要写出一个满足条件的集合即可） 【答案】12{,}a a . 【解析】 分析】由交集的结果可知123,,a M a M a M ∈∈∉，结合已知条件即可的集合M . 详解】由题意知：123,,a M a M a M ∈∈∉，又{}1234,,,M a a a a ⊆， ∴当4a M ∉时，12{,}M a a =；当4a M ∈时，124{,,}M a a a =. ∴集合M 为可以为12{,}a a 或124{,,}a a a . 故答案为：12{,}a a .【点睛】本题考查了元素与集合的关系，由交集的结果判断元素与集合关系确定集合，属于简单题. 3. 设全集{},,,,U a b c d e =，集合{},,A a b c =，集合{},B c d =，则A B ⋃=______． 【答案】{}e . 【解析】 【分析】由已知得{,,,}A B a b c d ⋃=，结合全集即可求A B ⋃.【详解】由题意有，{,,,}A B a b c d ⋃=，而{},,,,U a b c d e =， ∴(){}U A B C A B e ⋃=⋃=， 故答案为：{}e .【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于简单题. 4. 已知集合(){},1P x y y x ==-，(){},1Q x y y x ==-+，则PQ =______．【答案】(){}1,0 【解析】 【分析】本题首先可以联立直线1y x =-与直线1y x =-+，解得1x =，0y =，然后根据交集的相关性质即可得出结果.【详解】联立直线1y x =-与直线1y x =-+，即11y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，因为集合(){},1P x y y x ==-，(){},1Q x y y x ==-+，所以(){}1,0P Q ⋂=， 故答案为：(){}1,0.【点睛】本题考查集合的运算，主要考查交集的相关性质，交集是指两集合中都包含的元素所组成的集合，考查计算能力，是简单题.5. 设:35x α≤<，:x m β<，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围 【答案】[5,)+∞【解析】 【分析】由题意有αβ⊆，即可求实数m 的取值范围. 【详解】α是β的充分条件，即αβ⇒， ∴αβ⊆，而[3,5)α=，(,)m β=-∞， ∴5m ≥，故实数m 的取值范围[5,)+∞.【点睛】本题考查了由充分条件求参数范围，应用了集合的包含关系，属于简单题.6. 已知等式()()2235211x x a x x c ++=+++恒成立，其中a 、c 为常数，则a c +=______．【答案】5 【解析】 【分析】本题首先可将等式转化2223523x x ax ax a c ++=+++，然后根据等式恒成立即可得出结果.【详解】因为等式()()2235211x x a x x c ++=+++恒成立， 所以2223523x x ax ax a c ++=+++恒成立，则22335a a a c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，故5a c +=， 故答案为：5.【点睛】本题考查根据等式恒成立求值，考查学生的计算能力，考查转化与化归思想，体现了基础性，是简单题.7. 设t 是实数，集合{}260M x x x =--=，{}20N y ty =-=，若N M ⊂，则符合条件的实数t 组成的集合是______． 【答案】2{1,0,}3- 【解析】 【分析】由集合的包含关系求参数值，进而得到参数的集合. 【详解】{}260{2,3}M x x x =--==-，∵N M ⊂，当0t =时，N =∅，故符合条件； 当0t ≠时，2{|}N y y t ==，即22t =-或23t=，得1t =-或23t =；∴综上得：t 组成的集合2{1,0,}3-；故答案为：2{1,0,}3-.【点睛】本题考查了利用集合的包含关系求参数值，应用了分类讨论的方法，属于简单题. 8. 若1x 、2x 是方程22210x mx m m ++--=的两个实数根，且12121x x x x +=-，则实数m 的值为______．【答案】1 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个实根，结合韦达定理、判别式0∆≥即可求m 的值. 【详解】∵方程有两个实数根，即2244(1)0m m m ∆=---≥，∴1m ≥-，由题意知：122x x m +=-，2121x x m m =--，又12121x x x x +=-，∴220m m +-=， 解得1m =或2m =-（舍去）， 即有1m =. 故答案为：1【点睛】本题考查了由一元二次方程有实根求参数，注意韦达定理和判别式的应用，属于基础题.9. 已知a 、b R ∈，用反证法证明命题：“若220a b +=，则a 、b 全为零”时的假设是______． 【答案】“若220a b +=，a 不为零或b 不为零”. 【解析】 【分析】由反证法思路，条件成立时否定原结论，然后证明与条件矛盾的结果，说明原结论成立，即可知命题的假设.【详解】命题“若220a b +=，则a 、b 全为零”，应用反证法时，假设的命题为“若220a b +=，则a不为零或b 不为零”，故答案为：a 不为零或b 不为零.【点睛】本题考查了反证法的思路，条件不变否定结论，属于简单题.10. 若不等式35x x a -+-≥对所有实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(,2]-∞ 【解析】 【分析】利用绝对值的几何意义即可求实数a 的取值范围.【详解】∵由绝对值的几何意义知：对于任意实数x 都有352x x -+-≥， ∴35x x a -+-≥对所有实数x 恒成立，则必有2a ≤， 故答案为：(,2]-∞.【点睛】本题考查了由绝对值不等式恒成立求参数范围，应用绝对值的几何意义，属于简单题.11. 不等式组2241590320x x x x ⎧-+>⎨+-≥⎩解集为______．【答案】(,1](3,)-∞-⋃+∞ 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的因式分解法分别求解集，然后求解集的交集即可.【详解】由2241590320x x x x ⎧-+>⎨+-≥⎩，可得(43)(3)0(32)(1)0x x x x -->⎧⎨-+≥⎩，解得1x ≤-或3x >，故答案为：(,1](3,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，应用了集合交集运算，属于基础题.12. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】30 【解析】【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．二、选择题（本大题共4题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 若集合{}3,,A x x m n m n Q ==-∈，则下列结论正确的是（ ） A. A Q ⊂ B. A Q ⊃C. A Q =D. A Q ⊆【答案】B 【解析】 【分析】根据集合A 的描述，讨论0n =、0n ≠时集合A 中元素所属数域，即可知正确选项. 【详解】由{}3,,A x x m n m n Q ==-∈，知： 当0n =时，A Q =；当0n ≠时，A 是含无理数的数集； ∴综上，A Q ⊃. 故选：B【点睛】本题考查了集合间的包含关系，应用了分类讨论的方法，属于简单题. 14. 若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 A. 222a b ab +> B. 2a b ab +≥C.11a b ab+> D.2b aa b+≥ 【答案】D 【解析】 试题分析：，所以A 错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B 错；同时C 错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D 正确．考点：不等式的性质15. 盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”， 由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”必要不充分条件， 故选：B【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于容易题．16. 设关于x 的不等式2420x x a +-≤和230x ax a -++≤的解集分别是A 、B ．下列说法不正确的是（ ） A. 不存在一个常数a 使得A 、B 同时为∅B. 至少存在一个常数a 使得A 、B 都是仅含有一个元素的集合C. 当A 、B 都是仅含有一个元素的集合时，总有A B ≠D. 当A 、B 都是仅含有一个元素的集合时，总有A B = 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式对应的方程判别式、函数图象情况，即可判断选项正误.【详解】对于2420x x a +-≤，有图象开口向上且8(2)a ∆=+；对于230x ax a -++≤，有图象开口向上且2412(6)(2)a a a a ∆=--=-+； ∴A 、B 同时为∅有20(6)(2)0a a a +<⎧⎨-+<⎩，即a 为空集；当2a =-时，0∆=有A 、B 中同时为仅含有一个元素的集合； 当集合只有一个元素时，{2}A =-，{1}B =-或{3}； 综上，知：A 、B 、C 都正确，D 错误. 故选：D【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集判断参数的存在性，由元素个数判断解集的关系，属于基础题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的步骤．17. （1）已知m 是实数，集合{}1,2,7A m =+，{}0,6B =．求证：“1m =-”是“{}6A B =”的充要条件．（2）设n Z ∈．证明：若2n 是奇数，则n 也是奇数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用充要条件的定义，即推出关系可证充要条件；（2）应用反证法思想，利用奇偶数的性质即可证明结论；【详解】（1）当1m =-时，{}1,2,7{1,2,6}A m =+=，则{}6A B =；若{}6AB =，则6A ∈，所以76m +=，即1m =-；综上，有：“1m =-”是“{}6AB =”的充要条件．（2）假设n 为偶数，则2n 是偶数，与题设矛盾； 故n 是奇数，得证.【点睛】本题考查了充要条件、反证法思想，结合了集合的基本关系，奇偶数性质的应用，属于基础题. 18. 已知关于x 的不等式01a xx -≥+的解集为A ，不等式11x -<的解集为B ． （1）若3a =，求A ；（2）若A B A ⋃=，求正数a 的取值范围． 【答案】（1）{|13}A x x =-<≤；（2）2a ≥； 【解析】 【分析】（1）由分式不等式的解法，求解集即可；（2）应用绝对值不等式、分式不等式解法求A ，B 的解集，再根据包含关系求a 的取值范围． 【详解】（1）3a =，则3011a x xx x --=≥++，∴(1)(3)010x x x +-≤⎧⎨+≠⎩，解得13x -<≤，即{|13}A x x =-<≤. （2）由题意，{|02}B x x =<<，由A B A ⋃=知：B A ⊆，由01a xx -≥+，有(1)()010x x a x +-≤⎧⎨+≠⎩，又0a >，∴{|1}A x x a =-<≤，要使B A ⊆则有2a ≥.【点睛】本题考查了分式不等式、绝对值不等式的解法，应用了集合的包含关系求参数，属于基础题. 19. 设集合{|24}A x x =-<<，集合22{|320}B x x ax a =-+=， （1）求使AB B =的实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使AB =∅成立？若存在．求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(1,2)-；（2）存在，(,2][4,)a ∈-∞-⋃+∞． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到B A ⊆，由此列出不等式组求解，即可得出结果； （2）根据AB =∅，得到不等式组求解，即可求出结果.【详解】（1）因为AB B =，所以B A ⊆，解不等式22320x ax a -+=得12,2x a x a ==，又{|24}A x x =-<<，所以 24224a a -<<⎧⎨-<<⎩，解得(1,2)a ∈-；（2）由（1）得方程22320x ax a -+=的解为：12,2x a x a ==， 若AB =∅，则242224a a a a ≤-≥⎧⎨≤-≥⎩或或，解得：(,2][4,)a ∈-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查由集合的交集求参数的问题，熟记集合交集的概念即可，属于常考题型.20. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （*x ∈N ）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以调高0.2%x ．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？ 【答案】（1）最多调整500名员工从事第三产业；（2）(]0,5． 【解析】 【分析】（1）根据题意可列出()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a 的范围．【详解】（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤， 即最多调整500名员工从事第三产业；（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+⎪⎝⎭x x 万元， 则311010(1000)1500500x a x x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以23500x ax -≤2110002500x x x +--， 所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x ≤++在(]0,500x ∈时恒成立，因为210004500x x+≥=， 当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立，所以5a ≤， 又0a >，所以05a <≤，所以a 的取值范围为(]0,5．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力，属于常考题.21. 已知集合{}2230A x x x =-->，{}20B x x px q =++≤． （1）若AB R =，且[)2,1A B ⋂=--，求实数p 及q 的值；（2）在（1）的条件下，若关于x 的不等式组200x px q x a ⎧++≤⎨->⎩没有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若[]3,1B =--，且关于x 的不等式；21012kx kx pq ++≤的解集为∅，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）1p =-，6q =-；（2）[)3,+∞；（3）[)0,4.【解析】【分析】（1）本题首先可通过求解2230x x -->得出{3A x x =>或}1x <-，然后根据A B R =、[)2,1A B ⋂=--得出集合{}23B x x =-≤≤，最后根据2x =-和3x =是方程20x px q ++=的解即可得出结果；（2）本题首先可结合（1）将200x px q x a ⎧++≤⎨->⎩转化为23x x a -≤≤⎧⎨>⎩，然后根据23x x a -≤≤⎧⎨>⎩没有实数解即可得出结果；（3）本题首先可根据[]3,1B =--求出4p =、3q =，然后分为0k ≠、0k =两种情况对212012k x kx ++≤进行讨论，即可得出结果. 【详解】（1）因为2230x x -->，即()()310x x -+>，解得3x >或1x <-， 所以集合{3A x x =>或}1x <-，因为A B R =，[)2,1A B ⋂=--，所以集合{}23B x x =-≤≤， 因为集合{}20B x x px q =++≤，所以2x =-和3x =是方程20x px q ++=的解，则()22220330p q p q ⎧--+=⎪⎨++=⎪⎩，解得1p =-，6q =-. （2）因为1p =-，6q =-，所以260x x --≤，即()()320x x -+≤，解得23x -≤≤，故不等式组200x px q x a ⎧++≤⎨->⎩没有实数解即23x x a -≤≤⎧⎨>⎩没有实数解，故3a ≥，实数a 的取值范围为[)3,+∞.（3）因为[]3,1B =--，所以3x =-和1x =-是方程20x px q ++=的解， 则93010p q p q -+=⎧⎨-+=⎩，解得4p =，3q =， 21012kx kx pq ++≤即212012k x kx ++≤， 因为212012k x kx ++≤的解集为∅， 所以若0k ≠，则2012412012k k k ⎧>⎪⎪⎨⎪-⨯⨯<⎪⎩，解得04k <<， 若0k =，212012k x kx ++≤即120≤，解集为∅， 综上所述，实数k 的取值范围为[)0,4.【点睛】本题考查集合与一元二次不等式的性质的综合应用，考查根据交集、并集的相关性质求集合，考查一元二次不等式的解法，考查推理能力与计算能力，考查函数方程思想，体现了综合性，是难题.。