数值分析分章复习(第一章误差)
武汉大学数值分析分章复习(误差)
101
故假设 x 具有 p 位有效数字，则应成立：
| xx| 1 1 1 101 p 101 p | x| 4 2 8
令 101 p 10 3
1 8
由条件
104 | xx| 103 , 可得： p lg( ) 3.09691 8 | x|
可见当取 4 位有效数字时，近似数可达精度要求
因为
1 999 dx
0
1
3
1
0
10、数值计算中，影响算法优劣的主要因素有哪些？ 解：数值计算中算法的优劣主要从算法的可靠性、稳定性、准确性、时间和空间复杂性 几个方面考虑。一个算法如果有可靠的理论分析，且计算复杂性好，这样的算法就是好算法
8、分析下面 Matlab 程序所描述的数学表达式，并给出运行结果
a=[1 2 3 4]; n=length(a); t=a(n); x=10; for i=n:-1:2 t=x*t+a(i-1); end
解：程序实现了秦九韶算法的多项式求值，即 p (10) 103 2 102 3 10 4 9、对于积分 I n
101
1 1 103 101 4 2 2
| e x | 0.00008128
可见 x 具有 4 位有效数字
4、要使 20 的近似值的相对误差小于 0.1%，至少要取多少位有效数字 解：记精确值 x
20 ，近似数 x , 注意到 x 20 4.47
0.447
故得递推式： I n 2997 I n 1
3 n
I0 3ln x 999 999
注意到实际计算中初值 I 0 总有误差，设初值 I 0 的近似值为 I 0 （ I 0 I 0 0 ）
数值分析复习
Chap 1 数值计算中的误差
误差 误差限 有效数字 用微分计算函数值误差 计算方法的数值稳定性
误差 误差限 有效数字
设 x是准确值，x是 x的近似值
1) 定义 1.1： 称 e(x) x x 为 x的绝对误差(简称误差)。
2) 定义 1.2：若 | x x | ，则称 是 x 的误差限。
y
er ( y)
e(xy) ye(x) xe( y)
e
x y
1 y
e(x)
x y2
e( y)
er (xy) er (x) er ( y)
er
x y
er
(x)
er
(
y)
例1.10 , 例1.11, 题1.5
计算方法的数值稳定性
1) 求根公式的数值稳定性 2) 递推法的数值稳定性
敛的.
定理 4.4：若(x)在 x (x)的根 x*邻近有连续的 1阶导数，
且 | (x*) | 1, 则当(x*) 0 时迭代公式(4.5)为线性收敛 . 若 (x)在 x*邻近有连续的 2 阶导数，则当(x*) 0,(x*) 0 时迭代公式(4.5)为平方收敛 .
例4.4, 例4.5, 例4.6, 题4.2, 题4.3, 题4.5
3次Hermite插值基函数 (插值基函数的性质)
0 t t 12 1 2t , 1 t t2 3 2t , 0 t t t 12 , 1 t t2 t 1
插值余项
R3 (x) f (x) P3(x)
f
(4) (
4!
)
(x
x0
)2
(
x
x1 ) 2
,
x [x0 ,x1]
混合型Hermite插值
数值分析复习提纲(修改完)
第一章 绪论【考点1】绝对误差概念。
近似数的绝对误差（误差）：()a =x a E -，如果()δa E ≤则称δ为a 的绝对误差限（误差限）。
【考点2】相对误差限的概念。
近似数a 的相对误差：()()/x a x =a E r -，实际运算()()/a a x a E r -=，a r /δδ=。
【考点3】有效数字定义。
设*x 的近似值a 可表示为n m a a .a a= 21010⨯±，m 为整数，其中1a 是1到9中的一个整数，n a a 2为0到9中的任意整数，若使()n m a||=|x a |E -*⨯≤-1021成立，则a 称近似*x 有位有效数字。
例：设256010002560,00256702.×=.a .=x -*=，则4-10×21=0.00005a -x ≤*。
因为，2-m=所以2n=，a 有2位有效数字。
若257.01000257.02⨯==-a ，则5102100000500000030-≤×=..=x-a ，因为2-=m ，所以3=n ，a 有3位有效数字。
例：设000018.x=，则00008.a=具有五位有效数字。
41021000010-≤×.=x-a ，因为1=m ，所以5=n ，即a 具有五位有效数字。
例：若3587.64=x *是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。
410×0.358764=x *，即4=m ，6=n ，0.005=1021x -x 6-4⨯≤*【考点4】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到末位，有几位就称该近似数有几位有效数字。
【考点5】有效数字与相对误差的关系。
设x 的近似数为n m a a .a ×a= 21010±，)(a 01≠如果a 具有n 位有效数字，则的相对误差限为()111021--≤n r ×a δ，反之，若a 的相对误差限为()()1110121--+≤n r ×a δ，则a 至少具有n 位有效数字。
数值分析主要知识点
第三章
非线性方程的数值解法
二分法的思想以及其中对分次数的计算；
不动点迭代法、迭代格式的收敛性判定方法、
误差估计式；
Newton迭代法及其收敛性; 割线法迭代格式；
迭代加速方法。
第四章
线性方程组的直接解法
Gauss消去法与列主元素Gauss消去法； 三角分解（LU）法； 平方根方法（Cholesky分解）； 向量与矩阵范数； 条件数与病态方程组求解。
第五章
曲线拟合与最小二乘问题
拟合与插值的异同点、矛盾方程组的最小二乘解； 满秩分解、法方程组、可化为线性拟合的非线性拟合；
（极小）最小二乘解的存在唯一性、广义逆与极小
最小二乘解;
GS与MGS正交化与最小二乘解；
Householder正交化与最小二乘解。
第六章代法与Gauss-Seidel迭代法及其收敛性；
SOR迭代法及其收敛的必要条件、最佳松弛因子； 解非线性方程组的Newton迭代法与拟Newton思想。
第七章
最优化方法与共轭梯度法
与方程组等价的变分问题、线性寻查（线搜索）法；
最速下降法； 解线性方程组的共轭梯度法。
写、不得打印、不得复印，纸上签有姓名和学号；
可以携带计算器（考试期间不允许互借）。
《数值分析》复习主要知识点 第一章
绪论 基本概念：误差的分类（截断误差、舍入误差）、 绝对误差和相对误差、有效数字;
数值稳定性; 误差分析的原则：1）尽量避免相近的数相减，2）
尽量避免绝对值小的数做除数，3）防止大数吃小数， 4）先化简再计算，5）选用数值稳定的算法;
浮点数系统特征（四个整数表征）。
第八章
数值微分与数值积分
数值分析复习课1-2-3
( 2)
总复习
3. 用平方根法解方程组
2 2 x1 10 4 2 2 3 x2 5 2 3 14 4 x3
1 1 x (a ) y , 1 2x 1 x 2x2 (b) y ; (1 2 x )(1 x ) 2 (a ) y , 1 1 x x x x x
(b) y 1 1 x x ; x x
总复习
第二、三章
线性方程组的高斯消去法与高斯主元素法： 完全主元素法和列主素法。 选主元素消去法是数值稳定的方法，且一般 具有较高精度，是目前解中、小 型稠密矩阵方 程组（计算机内存能够存放 A的全部元素）或 带状方程组可靠而有效的方法。 三角分解法：解三对角矩阵方程组（A的对 角元占优）的追赶法，解对称正定矩阵方程组的 平方根法都是三角分解法，且都是数值稳定的方 法，这些方法不选主元素，也具有较高的精度。
总复习
利用函数的泰勒展开估算误差是一种误差估 计的一般方法。 为了防止误差传播、积累带来的危害，以提 高计算的稳定性，在计算中应注意以下几点： 1.选用稳定性好的计算公式； 2.简化计算步骤和公式，设法减少运算次数； 3.合理安排运算顺序，避免“大数”淹没“小 数”； 多个数相加时其绝对值小者先加；多个数相乘 时，其有效位数多者先乘； 4.避免两相近数相减； 5.避免绝对值太小的数作为除数。
* T （0）
(0,0,0) .
T
总复习
8.用SOR方法（分别取 1.0， 0.9， 1.1） 解方程组
0 x1 0 4 1 0 1 0 1 4 1 0 1 0 5 x2 0 0 1 x 3 0 0 1 4 1 0 0 4 1 0 x4 6 0 1 0 1 4 1 x5 2 0 1 0 1 4 0 x6 6
(整理)《数值分析》期末复习纲要.
《数值分析》期末复习纲要 第一章 数值计算中的误差分析主要内容(一)误差分析 1、误差的基本概念：（1）绝对误差：设x 是精确值， *x 是其近似值，则称()E x x x*=-是近似值*x 的绝对误差，简称误差。
特点：可正可负，带量纲。
（2）相对误差：称()r x x E x x *-=是近似值*x 的相对误差，若精确值x 未知，则定义()r x x E x x **-=。
注: 由四舍五入得到的近似值,误差不超过最末位的半个单位(准确到最末位)。
2、有效数字的概念：P6;3、算法的数值稳定性：数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。
数值不稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中得不到有效控制，以至于因误差的过度增长而使计算结果的精度大大降低。
P11：例子(二)算法设计的基本准则P11-15 应用实例：课堂练习，作业基本要求1、掌握误差、有效数字等基本概念2、熟记算法设计准则，并能依据算法设计准则构造或选择计算公式。
（参见课堂练习、作业）第二章 线性代数方程组的数值解法直接法：不计初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，经过有限步四则运算求得方程组的精确解。
迭代法：先给出方程组解的某一初始值，然后按照一定的迭代法则（公式）进行迭代，经过有限次迭代，求得满足精度要求的方程组的近似解。
主要内容（一）直接法的基本模式：高斯顺序消去法基本思想：按照各方程的自然排列顺序（不交换方程），通过按列消去各未知元，将方程组化为同解的三角形方程组来求解求解过程：⎩⎨⎧回代过程消元过程应用实例：课堂例题；练习 （二）高斯列主元消去法基本思想：按列消元，但每次按列消元之前，先选取参与消元的 方程首列系数，选取绝对值最大者，通过交换方程，使之成为主元，再进行消元。
(每一步消元之前先按列选取主元) 应用实例：课堂例题，作业(三)迭代法基本原理：（1）将原方程组b Ax =改写成如下等价形式：f Bx x += （2）构造相应的迭代公式：f Bx x m m +=-)1()(（3）任取一初始向量)0(x代入上述迭代公式，经迭代得到向量序列{}Tm n m m m x x x x ),,,()()(2)(1)( =，如果该向量序列{})(m x 收敛于某一向量Tn x x x x ),,,(21****= ，即),,2,1(lim )(n i x x i m i m ==*∞→Tn x x x x ),,,(21****= 即为原方程组的解。
数值分析第一章1.1误差
即
f * * f * * e ( z ) ( ) e ( x) ( ) e ( y ) x y
*
(1)
函数近似值 z* 的相对误差
e* ( z ) f * x * f * y * e ( z ) * ( ) * er ( x) ( ) * er ( y ) x z y z z
得到一个精度很高的近似值。
四、避免“大数除以小数”
由二元函数的误差传播规律式知
y e x x e y x e y y2
可知，当 y 相对
x e* x 小时， y
会很大。
五、 防止大数“吃掉”小数 由于计算机采用浮点制，在数值运算中，如果 数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可
因而实际计算的递推公式是：
I 5I
* n
* n 1
1 n
n 1, 2, , 20
（
I I0 e0
* 0
(2）
误差 e0 是怎么传递的
（1）-（2）得
* * I n I n 5(I n1 I n1 )
n 1, 2,, 20
递推得到
I n I (5) e0
z f ( x, y)
时，
用 z* f ( x , y ) 作为函数 z f ( x, y) 的近似值，
于是函数近似值 z* 的绝对误差
f * f * e ( z) z z f ( x, y) f ( x , y ) ( ) ( x x ) ( ) ( y y ) x y
e* (v) V V * 2(v)
绝对误差可以刻画近似值的准确程度。
2、相对误差与相对误差限 若 x 的近似值 x* 的绝对误差为
数值分析期末复习
《数值分析》期末复习提纲第一章数值分析中的误差(一) 考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
误差的定性分析(二)复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
4. 避免误差危害的若干原则第二章插值法(一) 考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数。
(二)复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。
2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。
3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。
4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。
第三章函数逼近(一) 考核知识点函数逼近的基本概念，内积，范数，勒让德与切比雪夫正交多项式，最佳一次一致逼近，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法（二）复习要求1. 熟练掌握内积，范数等基本概念。
2. 熟练掌握勒让德与切比雪夫正交多项式的性质。
3. 掌握用多项式做最佳平方逼近的方法。
4. 最小二乘法及其计算方法。
第四章数值积分与数值微分(一) 考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿―科特斯求积公式，牛顿―科特斯系数及其性质，(复合)梯形求积公式，(复合)Simpson求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯―勒让德求积公式；(二) 复习要求1. 熟练掌握数值积分和代数精度等基本概念。
2. 熟练掌握牛顿−科特斯求积公式和科特斯系数的性质。
熟练掌握并推导(复合)梯形求积公式和(复合)Simpson求积公式。
3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。
会用高斯−勒让德求积公式求定积分的近似值。
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数值分析分章复习
第一章 引论
要点：误差基本概念
误差分类：截断误差；舍入误差。
误差量化：绝对误差；相对误差；有效数字
设计数值计算方法应注重的原则：
注重算法稳定性；减少运算量；避免相近数相减；避免绝对值小的数作分母
复习题：
1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，
试估计由这些数据计算21x x ，21x x +的绝对误差限
解：记126.1025, 80.115x x ==%%
则有1123241110, | 102|||2x x x x --≤⨯-≤⨯-%% 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤--%%%%%%%%%
341180.11610
6.1010252
20.007057-==⨯⨯+≤⨯⨯ 1212112243|()|||11|10100.0005522|x x x x x x x x --≤≤⨯+⨯=+-+-+-%%%% 2、已知2.153是2.1542的近似数，问该近似数有几位有效数字？
它的绝对误差和相对误差各是多少？
解：记精确值12.15420.2154102x =⨯=，近似值 2.153x =%
因为130.00121102
x x -≤⨯-=%，故近似数有3位有效数字 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182, 那末x 具有多少位有效数字
解：10.271828182810e =⨯L
314||0.0000811110102228e x --≤⨯=⨯-=L 可见x 具有4位有效数字
4、的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取多少位有效数字
解：记精确值x =x %, 注意到14.44770.410x ==⨯=L L 故假设x %具有p 位有效数字，则应成立：11111101||042||8
p p x x x --≤⨯⨯=⨯-%
令131
10108p --⨯≤
由条件 3||10||x x x -≤-%, 可得：410lg() 3.096891p ≥=L
可见当取4位有效数字时，近似数可达精度要求
5、设准确值=x 3002，以=*x 006666.0作为x 的近似值，其有效数字多少
解：2*0.666160x -⨯=，6523*111||0.6601010262x x ----⨯≤⨯=⨯-=L 可见近似值具有3位有效数字
6、设280=Y 按递推公式100
7831-=-n n Y Y 计算到100Y ，若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?
解：记计算值为n
Y %
则有10
10028n n Y Y Y -⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 和 1027.98210028n n Y Y Y -⎧=-⎪⎨⎪=⎩%%%
相减得：11127.982)100
n n n n Y Y Y Y ---=--%% 依此类推，有
22227.982)100
n n n n Y Y Y Y ---=--=%%L
0027.982)27.982)100100
n n Y Y =--=-%
故1310000||27.9821|102
Y Y --=≤⨯%
7、当1>>a 时，为使计算)1ln(a a -+更精确，应如何变形
解：按原计算式计算出现相近数相减的现象，会造成有效数字损失
计算时应变形为=≈ 8、分析下面Matlab 程序所描述的数学表达式，并给出运行结果
解：程序实现了秦九韶算法的多项式求值，即 32
103(10)102104p ⨯+⨯++= 9、对于积分⎰=+=1
0,2,1,0,999
3Λn dx x x I n n 。
（1）试给出递推计算式
（2）分析递推式的数值稳定性；
（3）给出初始值0I 的估计。
解：111111100033(999)299732997999999n n n n n n n x x x x I dx dx x dx I x x ----+-=
==-++⎰⎰⎰ 故得递推式：132997n n I I n -=-+
100310003ln 999999I dx x ==+⎰ 注意到实际计算中初值0I 总有误差，设初值0I 的近似值为0I %（00
0I I ε-=≠%） 所以实际计算递推为10032997n n I I n I I ε
-⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩%%% 故有 1100
||2997||2997)||2997)|((|n n n n n n I I I I I I ε--=-=-=-=%%L % 可见该递推是不稳定的
因为 1110003331999999999dx dx dx x <<++⎰⎰⎰
所以可取 0133()0.00300221000999I ≈+≈
10、数值计算中，影响算法优劣的主要因素有哪些？
解：数值计算中算法的优劣主要从算法的可靠性、稳定性、准确性、时间和空间复杂性几个方面考虑。
一个算法如果有可靠的理论分析，且计算复杂性好，这样的算法就是好算法。