2014各地高考模拟分类汇编(三角函数)
2014年全国高考数学理科(三角函数部分)解析汇编
= sin(x + ϕ) cosϕ + cos(x + ϕ)sinϕ ∴ f (x) = sin(x + ϕ) cosϕ − cos(x + ϕ) sinϕ
= sin[(x + ϕ) −ϕ] = sin x
为
解：由正弦定理 a = b = c = 2R 化简题式得： sin A sin B sin C
∵b−c = 1 a 4
∴b = 3a，c = 1 a
4
2
由余弦定理得：
cos A =
b2
+ c2
− a2
=
9 a2 16
+
1 a2 4
− a2
=−1
2bc
2⋅3a⋅1 a
4
42
= 1 cos x sin x − 3 cos2 x + 3
2
2
4
= 1 sin 2x − 3 (2 cos2 x −1)
= 43.612 + 352 − 2 × 43.61× 35× cos 38.12o ≈26.93 米
【天津市·第 12 题】在△ABC 中，内角 A，B，C 所
对的边分别是 a，b，c，已知 b-c= 1 a，2sinB=3sinC， 4
则 cosA 的值为
解：由正弦定理和 2sinB=3sinC 得： c = 2 b 3
解：由
tan α
=
1+ sin β cos β
得：
sin α cosα
=
1+ sin β cos β
即 sinα cos β − cosα sin β = cosα
∴ sin(α
−β)
(完整word版)2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：三角函数(解析版),推荐文档
数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.C3 三角函数的图象与性质 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-25．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像 ，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B [解析] T ＝2π2＝π.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝2cos3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sinx ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32. 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55× ⎝⎛⎭⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3 310.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2xπ－1.令t ＝π－x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）.由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.C8 解三角形18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°sin 45°×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 .17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，。
2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数三角恒等变换)
2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数三角恒等变换）、选择题：考点；L 函数的求值.3. （2014福建文）将函数y =s in x 的图象向左平移 一个单位，得到函数y =f x 的函数图象，则2下列说法正确的是 （ ）A. y f x 是奇函数B. y = f x 的周期是二C. 3y = f x 的图象关于直线x =—对称D. y = f x 的图象关于点i - —,0对称I 2 .丿 【答案】D【解析】将函数，二血盂的團象向左平移兰牛单位，学科■馮到函数^=sin （x + -） = oo S x I 222. （2014安徽理） 设函数 f (x)(xw :R)满足 f (x + 江)=f (x) +sinx.当0兰x c23叭则f ( )—( )61 爲1A.-B. 一C.0D.--22223兀 17兀23兀 11兀 11兀 17兀f(- —)二 f ( ) +sin -f( ) +sin +sin解析： 有题意 6 66 6 6 65兀 511兀 171111-f( )+si n -+si n +si=0 +— —— +—=—6 66 6 2 2 2 22$— ~ = k n +, k € Z ，即 X ^2 + ^8， " Z ,又 $ >0,所以 需n =.时，f(x)=0.1. （2014 对称，则安徽文）若将函数 :的最小正值是（ A. — B. 8-C. 4f （x ） =sin2x • cos2x 的图像向右平移 「个单位，所得图像关于 y 轴 ） 3 二D.1. C ［解析］方法一: sin 2x + n 4f(x)= \.；2sin 2x + 4的图像向右平移 0个单位，得到y=J 2± 1，即 sin 2 $ - — = ± ,-2©的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin 才-2因为y- cos（-^）= 0- y = /1 X I的医：关于点f-y f1?' J对称* 选D4. （2014辽宁文、理）将函数y =3sin （2 x • ^）的图象向右平移 ？个单位长度，所得图象对应的 函数（ ）5. (2014全国大纲文)已知角的终边经过点(-4,3)，则COS 〉=()43 34 A. - B. - C .D .5 555【答案】D 【解析】r 4试题分折；由题意可知v=3・” 一 • WiUAuos 4=—二-—故选r 5育网6. (2014 全国大纲理)设 a =sin33 ,b =cos55 ,c=tan35 ,贝U ( ) A . a b cB . b c aC . c b aD . cab【答案】c.【解析】T a - sin 33； b - cos 55°=™35^c = ten l - ^flJ ~ > sin35°..\ 0 a> 扛故选 C. cos 35° 【肴点】1 ■三角函数基本关系式(商关系 Z 二角函数的匸调性.7.（2014全国新课标I 文）若tan 一「：• 0， A. sinx 、0 B . cosx 、0【答案】：C正确的结论只有sin 2- 0.圆O 的半径为1，A 是圆上的定点, ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为 距离表示为x 的函数f （x ），则y= f （x ）在［0,二］上的图像大致为A .在区间［12 .Ji］上单调递减 B .在区间 C .在区间［-,］上单调递减6 3 【答案】B 【解析】n扌巴 y = 3s in( 2x+ —) = 3sin 2(x+3n n n n nD .在区间 ［一，上单调递增12 12［-…「］上单调递增6 3n 的周期T = 人2第选B冗一个增区间为卜4-彳 --n ］；右移丿后,4 62C. sin 2一：八 0D. cos2x【解析】：由ta n - 0可得：k —： k—(k Z),故2^ 22 k 二二(k Z)，28. （2014全国新课标I 理）如图, 边为射线OA ，终边为射线OPP 是圆上的动点，角 M ，将点M 到直线 x 的始 OP 的.I H=cos ： =sin I - 丿 12位 71Q 31.，即2，选B2 2【解析】：由y =cosx 是偶函数可知y 二cos 2x = cos2x ，最小正周期为二，即①正确； 】最小正周期为二,即③正6JI11. （2014陕西文）函数f （x ）二COS （2x •）的最小正周期是（ ）4A. B.二 C.2二D.42【答案】 B2 n 2 n【解析】；T= 二 =n ,.••选B2 | 2Rt. QMP 中, =cosxs in x1=—sin 2x , 21f (x) =— sin 2x2/Ty> A /p0』9. （2014全国新课标I 理）设圧三R nA 32【答案】：E【解析】：••• tan ：■1 亠 sin(0,?) —(0--)，且 七…占，则2 2 2sin" = “引“卩 sin a cos P = cosa + cosa sin PCOS J cos :'H A JI兀,_—：：：:• —— ：:：—,0 ::: — - :■ 10.（2014全国新课标I 文 —兀③ y = cos （2x）,④ y 6 A.①②③ B.①③④【答案】：A）在函数① y = cos 12x |，② y =| cos x |JI-tan （2x-）中，最小正周期为 二的所有函数为4 C.②④D.①③y =| cosx |的最小正周期也是■:,即②也正确；y=cosl2x •—确；y 七怙-―）的最小正周期为^-,即④不正确.4即正确答案为①②③,【解析】：如图:OM 字M MD= =OP 过 M 作 MD 丄OP 于D ，贝y PM= sinx , OM=COSX , cosx 対in x1D在12. （2014陕西理）函数f（X）=COS（2x —）的最小正周期是（）6A. —B.二C.2 二D.4'：2【答案】B【解析】；T = 2 n= 2 n= n,A选B|s I 213、（2014四川文）为了得到函数y二si n（x，1）的图象，只需把函数y二si nx的图象上所有的点（）A、向左平行移动1个单位长度B、向右平行移动1个单位长度C、向左平行移动二个单位长度D、向右平行移动二个单位长度3、解：•••由y=sinx到y=sin （x+1 ）,只是横坐标由x变为x+1 ,•••要得到函数y=sin （x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度.故选：A14. （2014四川理）为了得到函数y=sin（2x 7）的图象，只需把函数y=sin 2x的图象上所有的占八、、1 1A•向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动'个单位长度2 2C.向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度【答案】A1【解析】因为y =sin（2x 1^sin[2（x •）]，故可由函数y二sin 2x的图象上所有的点向左平2行移动1个单位长度得到215. （2014天津文）已知函数f（x） = 3 sin ■ x cos x^ 0）, R.在曲线y=f（x）与直线y =1的交点中，若相邻交点距离的最小值为"，则f （x）的最小正周期为（）3兀2兀A. B. C.二D. 2■:2 3【答案】C【解析】T f （x ）= 2sin +— | = 1 ,• sin x +—| = 一，• co x1+ —= 一+ 2k^ , e Z 或I 6丿I 6丿2 6 6兀5兀2兀•冬：一——:2k/：,k^ Z，则• ■ X2 -为 2 k2 -心二，又•••相邻交点距离的最小值6 6 3为，•• - 2, T 二二.316. （2014浙江文、理）为了得到函数y二sin 3x • cos3x的图象，可以将函数y - 2sin3x的图象（）。
2014年高考三角函数汇总
2014年高考三角函数汇总(辽宁卷)9.将函数)32sin(3π+=x y 的图像向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ）A.在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡127,12ππ上单调递减B.在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡127,12ππ上单调递增 C.在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ上单调递减 D.在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ上单调递增 (浙江卷)4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 （四川卷）为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点（ ）A.向左平行移动21个单位长度B.向右平行移动21个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度 D.向右平行移动1个单位长度（大纲）若函数x a x x f sin 2cos )(+=在区间)2,6(ππ是减函数，则a 的取值范围是__________（安徽卷）11.若将函数的图象)42sin()(π+=x x f 向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值（天津卷）15.已知函数R x x x x x f ∈+-+⋅=,43cos 3)3sin(cos )(2π （I ）求)(x f 的最小正周期；（II ）求)(x f 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的最大值和最小值.（山东卷）已知向量),2(sin ),2cos ,(n x b x m a ==,函数b a x f ⋅=)(，且)(x f y =图象过点.2-32)3,12(），和点（ππ （I ）求m,n 的值；（II ）将)(x f y =的图像向左平移)0(πϕϕ<<个单位得到函数)(x g y =的图象，若)(x g y =图象上各最高点到点（3,1）的距离最小值为1，求)(x g y =的单调递增区间.(江苏卷)15.已知.55sin ),,2(=∈αππα （1）求)4sin(απ+的值； （2）求)265cos(απ-的值.(湖北卷)17.某实验室一天的温度（单位℃）随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：[).24,0,12sin 12cos 310)(∈--=t t t t f ππ （I ）求实验室这一天的最大温差；（II ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？（江西卷）16.已知函数),2cos()sin()(θθ+++=x a x x f 其中)2,2(,ππθ-∈∈R a . (1)若4,2πθ==a 时，求)(x f 在区间[]π,0上的最大值与最小值； (2)若的值求θππ,,1)(,0)2(a f f ==.(福建卷)16.已知函数.21)cos (sin cos )(-+=x x x x f （I ）若的值；求且)(,22sin ,20ααπαf =<< （II ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间.（广东卷）已知函数.23)125(,),4sin()(=∈+=ππf R x x A x f 且 （1）求A 的值；（2）若),2,0(,23)()(πθθθ∈=-+f f 求).43(θπ-f（四川卷）16.已知函数).43sin()(π+=x x f （I ）求)(x f 的单调递增区间；（II ）若α是第二象限角，,2cos )4cos(54)3(απαα+=f 求ααsin cos -的值.(重庆卷)17.已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图象关于直线3π=x 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （I ）求的值；和ϕω（II ）若.)23(cos ),326(43)2(的值求παπαπα+<<=f。
2014年全国各地高考试题分类汇编(文数)4----三角函数(全Word,精心排版)
2014年全国各地高考试题分类汇编（文数）三角函数（2014安徽文数）7．若将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．4π C ．83π D ．43π【解析】由()πsin 2cos 224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭知()f x 图像的对称轴方程为()ππ28k x k =+∈Z ，因此在y 轴左侧且离y 轴最近的对称轴方程为3π8x =-．依题意结合图像知，ϕ的最小正值为3π8，故选C ．（2015大纲文数）2．已知角α的终边经过点(43)-，，则cos α=（ ）A ．45 B ．35 C ．35- D ．45-【解析】由三角函数定义知4cos 5α==-．故选D ． （2015大纲文数）14．函数cos22sin y x x =+的最大值为 ．【解析】221312sin 2sin 2sin 22y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，因为1sin 1x-剟，所以当1sin 2x =时，max 32y =． （2014北京文数）12．在ABC △中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = ． 【解析】由余弦定理知2222212cos 1221244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，故2c =；由22sin cos 1C C +=，1cos 4C =，sin 0C >知sin C ==sin sin a c A C =知1sin 4sin 28a C A c === （2014福建文数）7．将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图像关于点02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 【解析】将sin y x =函数的图像向左平移π2个单位，得到函数()y f x =的图像，则()πsin cos 2y f x x x ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．此函数为偶函数，周期为2π．由于πππcos cos 0222f ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图像关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选D ．（2014福建文数）14．在ABC △中，60,2,A AC BC ===AB 等于 ．【解析】由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，即2342A B A B =+-，即2210A B A B -+=．所以1AB =．（2014湖北文数）13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 已知π6A =，a =1，b =，则B= ． 【解析】由sin sin a b A B =得1πsin 6=sin B =．又因为b a >，所以π3B =或2π3． （2014江西文数）5．在ABC △中，内角,A B C ,所对的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ） A ．19-B ．13C ．1D ．72【解析】由正弦定理知，222222222sin sin 221sin B A b a b A a a --==-，又知32a b =，所以23a b =，故222222711429b b a b -=-=，故选D ． （2014辽宁文数）11．将函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ） A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【解析】将π3sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移π2个单位长度后得到ππ2π3sin 23sin 2233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，当π7π1212x 剟时，π2ππ2232x --剟，所以2π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选B ． （2014山东文数）12．函数22cos y x x =+的最小正周期为 ．【解析】2cos 21112cos 22cos 2222x y x x x x x +=+=+=++=π1sin 262x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以该函数的最小正周期为π．（2014陕西文数）2．函数()πcos 2+4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 【解析】2π2ππ2T ω===．故选B ． （2014四川文数）3．为了得到函数()sin 1y x =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所有的点（ ） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度【解析】根据平移法则“左加右减”可知，将函数sin y x =的图像上所有的点向左平移移动1个单位长度即可得到函数()sin 1y x =+的图像．故选A ．（2014四川文数）8．如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A．)2401m B．)1801m C．)1201m D．)301m【解析】如图，30ACD ∠=，75ABD ∠=，60AD =m ，在Rt ACD △中，60tan tan 30AD CD =ACD ==∠m ，在Rt ABD △中，(60602tan tan 75AD BD =ABD ===∠m，所以()6021201BC CD BD =-=-=m ．故选C ．°（2014天津文数）8．已知函数()()cos 0,.f x x x x ωωω=+>∈R 在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π【解析】因为()cos f x x x ωω=+π=2sin 6x ω⎛⎫+⎪⎝⎭，所以可以将曲线2sin y x =向左平移π6个单位，再将所有点横坐标变为原来的1ω倍得到．曲线()y f x =与直线1y =的交点横坐标即为方程π2sin 16x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭的解．由图像变换原理知，又1sin 2x =相邻实数距离的最小值为5ππ2π663-=，5πππ663ωω-=，即2ω=，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．故选C ． 本题也可用推理法处理，令1ππ2π66x k ω+=+，k ∈Z ，得12πx k ω=⋅，k ∈Z ，再令2π5π2π66x k ω+=+，k ∈Z ，得22π2π3x k ωω=+⋅，k ∈Z ．则12min 2ππ33x x ω-==，解得2ω=，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．故选C ．（2014新课标1文数）2．若0tan >α，则（ ）A ．0sin >αB ．0cos >αC ．02sin >αD ．02cos >α【解析】由tan 0α>得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 22sin cos ααα=知sin 20α>，C 正确；α取π3时，2211cos 22cos 121022αα⎛⎫=-=⨯-=-< ⎪⎝⎭，D 错．故选C ． （2014新课标1文数）7．在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 【解析】①cos2cos2y x x ==，最小正周期为π；②由cos y x =图像知的最小正周期为π；③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==；④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期π2T =．因此选A ． （2014新课标1文数）16．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =________m ．【解析】在Rt ABC △中，45CAB ∠=，100BC =m ，所以AC =m ．在A M C △中，75MAC ∠=，60MCA ∠=，从而45AMC ∠=，由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM=，因此AM =m ．在Rt MNA△中，AM =m ，60MAN ∠=，由sin 60MN AM =得150MN ==m ，故填150． （2014新课标2文数）14．函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为 ． 【解析】()()sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos f x x x x x x ϕϕϕϕϕ=+-=+-=()sin cos cos sin sin 1x x x ϕϕϕ-=-…，所以()max 1f x =．（2014浙江文数）4．为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数y x 的图像（ ） A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π4个单位【解析】因为ππsin3cos333412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将y x =的图像向右平移π12个单位即可得到πcos 312y x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故选A ． （2014重庆文数）13．将函数()()sin 022f x x ωφωφππ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭，≤图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______． 【解析】π62π1πsin sin sin 626y x y x y x ⎛⎫⎛⎫=−→=+−−−−−−−→=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向左平移个纵坐标不变单位长度横坐标变为原来的倍，即()1π=sin 26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以ππππ=sin =sin 61264f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2014安徽文数）16．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，ABC △cos A 与a 的值．解：由三角形面积公式，得131sin 2A ⨯⨯⋅=sin 3A =． 因为22sin cos 1A A +=，所以1cos 3A ===±． ①当1cos 3A =时，由余弦定理得2222212cos 3121383a b c ab A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = ②当1cos 3A =-时，由余弦定理得2222212cos 31213123a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以a =． （2014北京文数）16．（本小题满分13分）函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图像如图所示． （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值；（2）求()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）()f x 的最小正周期为π．007π36x y =⋅=． （2）因为ππ,212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以π5π2,066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦．于是，当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0； 当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．（2015大纲文数）18．（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知13cos 2cos tan 3a C c A A ==，，求B ．解：由题设和正弦定理得3sin cos 2sin cos A C C A =．故3tan cos 2sin A C C =，因为1tan 3A =，所以cos 2sin C C =， 1tan 2C =．所以()()tan tan tan tan 180tan 1tan tan 1A CB AC A C A C +⎡⎤=-+=-+==-⎣⎦⋅-，即135B =． （2014福建文数）18．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+．（1）求5()4f π的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．解法一：（1）5π5π5π5ππππ2cos sin cos 2cos sin cos 4444444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2=．（2）因为()2π2sin cos 2cos sin 2cos 21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以2ππ2T ==．由πππ2π22π242k x k -++剟，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -+剟，k ∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．解法二：()2π2sin cos 2cos sin 2cos 21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭．（1）5π11ππ112444f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭． （2）2ππ2T ==．由πππ2π22π242k x k -++剟，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -+剟，k ∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2014广东文数）16．（本小题满分12分）已知函数()πsin ,3f x A x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，且5π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求A 的值；（2）若()()ff θθ--=π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求π6f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：（1）由5π12f ⎛⎫⎪⎝⎭5ππ3πsin sin 31234A A A A ⎛⎫+=⇒=⇒=⇒= ⎪⎝⎭．（2）由()()ff θθ--=ππ3sin 3sin 33θθ⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即ππ3sin 3sin 33θθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6sin cos 3θ=3sin θ=sin 3θ=因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos θ=．所以ππππ3sin 3sin 3cos 6632f θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2014湖北文数）18．（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈．（1）求实验室这一天上午8时的温度；（2）求实验室这一天最大温差．解：（1）()ππ8108sin 81212f ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2π10sin 33=-110102⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故实验室上午8时的温度为10C ．（2）因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．又024t <…，所以πππ7π31233t +<…，ππ1sin 1123t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟．当2t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当14t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．于是，()f t 在[)0,24上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12C ，最低温度为8C ，最大温差为4C ．（2014湖南文数）19．（本小题满分13分）如图所示，在平面四边形ABCD中，2123DA AB DE EC EA ADC π⊥===∠=，，，，3BEC π∠=．（1）求CED ∠sin 的值；（2）求BE 的长．解：（1）在CDE △1sin DCE =∠，且2sin sin 3CDE π∠==，1sin DCE =∠，得sin DCE ∠==． 2sin sin 3CED DCE π⎛⎫∠=π--∠ ⎪⎝⎭sin 3DCE π⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 33DCE DCE ππ=∠-∠1214=-⨯28=7=． （2）sin sin 3AEB CED π⎛⎫∠=π--∠ ⎪⎝⎭sin 3CED 2π⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 33CED CED 2π2π=∠-∠12=+=．2cos BE AEB ===∠（2014江西文数）16．（本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中a ∈R ，()0θ∈π，．（1）求θ，a 的值；（2）若2452f ααπ⎛⎫⎛⎫=-∈π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，求sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．AED CB解：（1）因为()()()22cos cos 2f x a x x θ=++是奇函数，而212cos y a x =+为偶函数，所以()1cos 2y x θ=+为奇函数，又()0,πθ∈，则π2θ=， 所以()()2sin 22cos f x x a x =-⋅+，由π04f ⎛⎫=⎪⎝⎭得()10a -+=，即1a =-． （2）由（1）得，()1sin 42f x x =-，因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即4sin 5α=，又π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，从而3cos 5α=-，所以有πππsin sin cos cos sin 333ααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭． （2014辽宁文数）17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值． 解：（1）由2BA BC ⋅=uu r uu u r 得cos 2c a B ⋅=．又1cos 3B =，所以6ac =．由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+．又3b =，所以2292213a c +=+⨯=． 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩，得2a =，3c =或3a =，2c =．因为a c >，所以3a =，2c =．（2）在ABC △中，sin 3B ==．由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=． 因为a b c =>，所以C为锐角，因此7cos 9C ==．于是()1723cos cos cos sin sin 3927B C B C B C -=+=⨯=． （2014山东文数）17．（本小题满分12分）ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知π3,cos 2a A B A ===+．（1）求b 的值；（2）求ABC △的面积． 解：（1）在ABC △中，由题意知，sin A ==因为π2B A =+，所以πsin sin cos 2B A A ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭3sin sin a B b A === （2）由π2B A =+得πcos cos sin 2B A A ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭πA B C ++=，得()πC A B =-+．所以()()sin sin πsin C A B A B =-+=+=⎡⎤⎣⎦1sin cos cos sin 3A B A B ⎛+=+= ⎝⎭．因此ABC △的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=． （2014四川文数）17．（本小题满分12分）已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos sin αα-的值．解：（1）因为函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．由πππ2π32π242k x k -+++剟，k ∈Z ，得π2ππ2π43123k k x -++剟，k ∈Z ． 所以函数()f x 的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （2）由已知，有()22π4πsin cos cos sin 454αααα⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22ππ4ππsin cos cos sin cos cos sin sin cos sin 44544αααααα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 即()()2ππ4sin coscos sin cos sin sin cos 445αααααα+=-+．当sin cos 0αα+=时，由α是第二象限角，知3π2π4k α=+，k ∈Z ．此时cos sin αα-=． 当sin cos 0αα+≠时，有()25cos sin 4αα-=．由α是第二象限角，知cos sin 0αα-<，此时cos sin αα-=．综上所述，cos sin αα-=或 （2014天津文数）16．（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin =．（1）求A cos 的值；（2）求πcos 26A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．解：（1）在ABC △中，由sin sin b cB C=，及sin B C =，可得b =．又由a c -=，有2a c =．所以，222222cos 2bc a A ab +-===11 （2）在ABC △中，由cos 4A =，可得sin 4A =．于是，21cos 22cos 14A A =-=-，sin 22sin cos A A A =⋅=．所以，πππcos 2cos 2cos sin 2sin 666A A A ⎛⎫-=⋅+= ⎪⎝⎭ （2014新课标2文数）17．（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1AB =，3BC =，2CD DA ==．（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积．解：（1）由题设及余弦定理得2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-，① 2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-⋅=+．② 由①，②得1cos 2C =，故60C =，BD = （2）四边形ABCD 的面积1111sin sin 1232sin 60232222S AB DA A BC CD C ⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ （2014浙江文数）18．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 22A B A B -+=． （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC △的面积为6，求边长c 的值．解：（1）由已知得()21cos 4sin sin 2A B A B --+=+⎡⎤⎣⎦，化简得2cos cos 2sin sin A B A B -+=()cos 2A B +=-3π4A B +=，从而π4C =． （2）因为1sin 2ABC S ab C =△，由6ABC S =△，4b =，π4C =，得a = 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得c =（2014重庆文数）18．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且8=++c b a ．（1）若522a b ==，，求C c o s 的值；（2）若C A B B A s i n 22c o s s i n 2c o s s i n 22=+，且ABC △的面积C S sin 29=，求a 和b 的值． 解：（1）由题意可知()782c a b =-+=．由余弦定理得222222572122cos 525222a b c C ab ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯． （2）由22sin cos sin cos 2sin 22B A A B C +=可得：1cos 1cos sin sin 2sin 22B A A BC ++⋅+⋅=， 化简得sin sin cos sin sin cos 4sin A A B B B A C +++=．因为()sin cos cos sin sin sin A B A B A B C +=+=， 所以sin sin 3sin A B C +=．由正弦定理可知3a b c +=．又因为8a b c ++=，所以6a b +=．由于19sin sin 22S ab C C ==，所以9ab =，从而2690a a -+=，解得3a =，3b =．。
【5年高考3年模拟】(新课标版)2014年高考数学真题分类汇编 4.4 三角函数的综合应用 理
§4.4 三角函数的综合应用考点三角函数的综合应用1.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角, f=coscos 2α,求cos α-sin α的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,k∈Z.由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得-+≤x≤+,k∈Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),所以sin αcos+cos αsin=(cos2α-sin2α).即sin α+cos α=(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.此时,cos α-sin α=-.当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=.由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-.综上所述,cos α-sin α=-或-.2.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f=,求cos的值.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….由-≤φ<得k=0,所以φ=-=-.(2)由(1)得f=sin=,所以sin=.由<α<得0<α-<,所以cos===.因此cos=sin α=sin=sincos+cossin=×+×=.3.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? 解析(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.(2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin>11,即sin<-.又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温.。
【5年高考3年模拟】(新课标版)2014年高考数学真题分类汇编 4.2 三角函数的图象与性质 理
§4.2 三角函数的图象与性质考点一三角函数的图象及其变换1.(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=cos 3x的图象( )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位答案 C2.(2014四川,3,5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度答案 A3.(2014辽宁,9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增答案 B考点二三角函数的性质及其应用4.(2014陕西,2,5分)函数f(x)=cos的最小正周期是( )A. B.π C.2π D.4π答案 B5.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.答案π6.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos x·sin-cos2x+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=cos x·-cos2x+=sin x·cos x-cos2x+=sin 2x-(1+cos 2x)+=sin 2x-cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-, f=-, f=,所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.7.(2014福建,16,13分)已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-.(1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析解法一:(1)因为0<α<,sin α=,所以cos α=.所以f(α)=×-=.(2)因为f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.解法二: f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+-=sin 2x+cos 2x=sin.(1)因为0<α<,sin α=,所以α=,从而f(α)=sin=sin=.(2)T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.考点三y=Asin(ωx+φ)的图象和性质的综合应用8.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.答案9.(2014山东,16,12分)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点和点.(1)求m,n的值;(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.解析(1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.因为y=f(x)的图象经过点和,所以即解得m=,n=1.(2)由(1)知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin.由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin.设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g(x)得sin=1,因为0<φ<π,所以φ=.因此g(x)=2sin=2cos 2x.由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ,k∈Z,所以函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z.。
2014年全国个省市高考理科数学分类汇编：三角函数
一、选择题 1、（新课标全国卷Ⅰ）8题 设)2,0(πα∈，)2,0(πβ∈，且ββαcos sin 1tan +=，则（ ） A.23πβα=- B. 22πβα=- C. 23πβα=+ D. 22πβα=+2、（新课标全国卷Ⅱ）4题 钝角三角形ABC 的面积是21，2,1==BC AB ,则=AC ( ) A.5 B.5 C.2 D. 12'、（新课标全国卷Ⅱ）12题设函数mx x f πsin 3)(=.若存在)(x f 的极值点0x 满足[]22020)(m x f x <+，则m 的取值范围是（ ）A.),6()6,(+∞⋃--∞B. ),4()4,(+∞⋃--∞C. ),2()2,(+∞⋃--∞D. ),1()1,(+∞⋃--∞ 3、（大纲卷-广西卷）3题设︒=33sin a ，︒=55cos b ，︒=55tan c ，则（ ） A.c b a >> B.a c b >> C.a b c >> D. b a c >> 4、（安徽卷）6题设函数))((R x x f ∈满足x x f x f s i n )()(+=+π.当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D. 21- 5、(湖南卷)9题已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且0)(320=⎰dx x f π，则函数)(x f 的图像的一条对称轴是（ ）A.65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x 6、（四川卷）3题为了得到函数x y x y 2sin )12sin(=+=的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）A.向左平行移动21个单位长度 B. 向右平行移动21个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度 D. 向右平行移动1个单位长度7、（浙江卷）4题 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3cos 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B. 向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D. 向左平移12π个单位8、（陕西卷）2题 函数)62cos()(π-=x x f 的最小正周期是（ ）A.2πB.πC. π2D. π4 9、（辽宁卷）9题将函数)32sin(π+=x y 的图像向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ）A.在区间]127,12[ππ上单调递减B. 在区间]127,12[ππ上单调递增 C. 在区间]3,6[ππ-上单调递减 D. 在区间]3,6[ππ-上单调递增二、填空题1、（新课标全国卷Ⅰ）16题已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2=a ，且C b c B A b s i n )()s i n )(s i n 2(-=-+,则△ABC 面积的最大值为 .2、（新课标全国卷Ⅱ）14题函数)cos(sin 2)2sin()(ϕϕϕ+-+=x x x f 的最大值为 . 3、（大纲卷-广西卷）16题若函数x a x x f sin 2cos )(+=在区间)2,6(ππ是减函数，则a 的取值范围是 .4、（安徽卷）11题 若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 . 5、（广东卷）12题在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知,2cos cos b B c C b =+则=ba. 6、（四川卷）13题如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为67°,30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m.C(用四舍五入法将结果精确到个位，参考数据： 7、（陕西卷）13题 设20πθ<<，向量)1,(cos ),cos ,2(sin θθθ==，若//，则=θtan .8(山东卷)12题在 △ABC 中，已知A tan =⋅,当6π=A 时，△ABC 的面积为 .9、（福建卷）12题在 △ABC 中，60=A ，32,4==BC AC ,则△ABC 的面积为 . 10、（天津卷）12题△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知C B a c b sin 3sin 2,41==-,则A cos 的值为 . 11、（江苏卷）5题已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y （πϕ<≤0），它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 . 12、（江苏卷）14题若△ABC 的内角满足,sin 2sin 2sin C B A =+则C cos 的最小值是 . 三、解答题 1、（新课标全国卷Ⅰ）未考 2、（新课标全国卷Ⅱ）未考 3、（大纲卷-广西卷）17题共10分△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知31tan ,cos 2cos 3==A A c C a ,求B . 4、（安徽卷）16题12分设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3=b ，1=c ，B A 2=. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求)4sin(π+A 的值.5、（广东卷）16题12分已知函数,),4sin()(R x x A x f ∈+=π且23)125(=πf . (1) 求A 的值； (2) 若),2,0(,23)()(πϑθθ∈=-+f f 求)43(ϑπ-f . 6、（广东卷）18题12分如图，在平面四边形ABCD 中，7,2,1===AC CD AD .（Ⅰ）求CAD ∠cos 的值； （Ⅱ）若621sin ,147cos =∠-=∠CBA BAD ,求BC 的长. BD7、（四川卷）16题12分 已知函数)43sin()(π+=x x f .（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）若α是第二象限角，,2cos )4cos(54)3(απαα+=f 求ααsin cos -的值. 8、（浙江卷）18题14分在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b a ≠，3=c ，B B A A B A cos sin 3cos sin 3cos cos 22-=-.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若54sin =A ，求△ABC 的面积. 9、（湖北卷）17题11分某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系： )24,0[,12sin12cos310)(∈--=t t t t f ππ.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在那段时间实验室需要降温？ 10、（陕西卷）16题12分△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .（Ⅰ）若a 、b 、c 成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+; （Ⅱ）若a 、b 、c 成等比数列，求B cos 的最小值. 11、（江西卷）16题12分已知函数)2cos()sin()(θϑ+++=x a x x f ，其中R a ∈,)2,2(ππϑ-∈.（Ⅰ）当4,2πθ==a 时，求)(x f 在区间],0[π上的最大值与最小值；（Ⅱ）若)2(πf =0,1)(=πf ，求a ，θ的值.12、（重庆卷）17题共13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）8分 已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. （Ⅰ）求ϖ和ϕ的值； （Ⅱ）若43)2(=αf （326παπ<<），求)23cos(πα+的值. 13、（山东卷）16题12分已知向量),,2(sin ),2cos ,(n x x m ==函数x f ⋅=)(，且)(x f y =的图像过点（3,12π）和点（2,32-π）. （Ⅰ）求n m ,的值（Ⅱ）将)(x f y =的图像向左平移ϕ（0<ϕ<π）个单位后得到函数)(x g y =的图像，若)(x g y =的图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1，求)(x g y =的单调递增区间.14、（福建卷）16题13分已知函数21)cos (sin cos )(-+=x x x x f . （Ⅰ）若20πα<<，且22sin =α，求)(αf ； （Ⅱ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间. 15、（北京卷）15题13分 如图，在△ABC 中，8,3==∠AB B π,点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD . （Ⅰ）求BAD ∠sin ; （Ⅱ）求BD ,AC 的长.F16、(天津卷)15题13分 已知函数R x x x x x f ∈+-+⋅=,43cos 3)3sin(cos )(2π. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在闭区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值. 17、（辽宁卷）17题12分在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a >c .已知.3,31c o s ,2===⋅b B 求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）)cos(C B -的值. 18、（江苏卷）15题14分 已知),2(ππα∈，55sin =α. （1） 求)4sin(απ+的值；（2） 求)265cos(απ-的值.。
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1．函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为（ ） A ．πB ．34πC ．2πD ．4π2、已知ABC ∆中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若ABC ∆的面积为S,且()222,tan S a b c C =+-则等于（ ）A ．34B ．43C ．43-D ．34-3、若,(,),tan cot ,2παβπαβ∈<且那么必有（ ）A ．2παβ+<B ．32αβπ+<C ．αβ>D ．αβ<4.直线1l 与2l 相交于点A ，动点B 、C 分别在直线1l 与2l 上且异于点A ，若AB 与AC 的夹角为60，BC = ，则ABC ∆的外接圆的面积为 A. 2π B. 4π C. 8πD. 12π5、设()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图1所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则)1(f 的值为A ．23-B ．26-C ．3 D ． 3- 6.设向量cos 1,1)a θθ=++ ，(1,1)b = ，2[,]33ππθ∈，m 是向量a 在向量b 方向上的投影，则m 的最大值是A.B. 4C. D. 37.=（ ）其中,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A. sin θ－cos θB. cos θ－sin θC. ±（sin θ－cos θ）D. sin θ+cos θ7．直角坐标系中坐标原点O 关于直线l:2tan 10x a y +-=的对称点为A （1,1），则tan 2a 的值为A ．43-B ．43C ．1D ．459．已知函数sin()y A x k ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（ ） A ．4sin(4)6y x π=+B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10．若函数()sin 2(0,0)f x A x A ωω=>>在x = 1处取得最大值，则(1)f x +的奇偶性为 A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数11.设,,a b c 分别ABC △是的三个内角,,A B C所对的边，若1,3060A a b ==则是B =的（ ）A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件； 12．已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=时取最小值，则函数3()4y f x π=-是（ ） A ．偶函数且图像关于点(,0)π对称 B ．偶函数且图像关于点3(,0)2π对称C ．奇函数且图像关于点3(,0)2π对称 D ．奇函数且图像关于点(,0)π对称 13.若f (x )a sin x b =+(a ，b 为常数)的最大值是3，最小值是-5，则ab的值为(A)、-4 (B)、4或-4 (C)、14-（D ）、1414．函数)0(sin 3>=ωωx y 在区间],0[π恰有2个零点，则ω的取值范围为( B) A ．1≥ω B ．21<≤ω C ．31<≤ω D ．3<ω 15、函数sin()(0)2y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,则tan APB ∠_________.已知三角形的一边长为4,所对角为60°,则另两边长之积的最大值等于______.16．在ΔABC 中，22sin 2A A =，sin()2cos sin B C B C -=，则ACAB__________。
17.已知524cos ,53sin +-=+-=m mx m m x ，且3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则=x tan 18. ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若(2)cos cos 0a c B b C +⋅+⋅=，则B 的值为____________. 19.已知函数()cos sin f x x x =，给出下列四个结论： ①若12()()f x f x =-，则12x x =-；②()f x 的最小正周期是2π；③()f x 在区间[,]44ππ-上是增函数；④()f x 的图象关于直线34x π=对称．其中正确的结论是 . 4．若sin(2)cos(2)y x x αα=+++为奇函数，则最小正数α的值为 .43πα=14．矩形ABCD 中，AB x ⊥轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数sin (,0)y a ax a R a =∈≠的一个完整周期图象，则当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为 .15．已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin )a b ααββ==，若向量a b 与的夹角为60︒，则直线1cos sin 02x y αα-+=与圆221(cos )(sin )2x y ββ-++=的位置关系是 .18．如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 、P 在单位圆上，且34(,)55B -，,(0)AOB AOP αθθπ∠=∠=<<，OQ OA OP =+ ，四边形OAQP 的面积为S. Ⅰ）求cos sin αα+；Ⅱ）求OA OQ S ⋅+的最大值及此时θ的值θ0.16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =5，b =4，cos(A －B )=3231． (Ⅰ) 求sin B 的值； (Ⅱ) 求cos C 的值．16.已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边，且满足03sin 2=-b B a ．⑴求角A 的大小；⑵当A ∠为锐角时，求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=6sin sin 3πC B y 的值域．18. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，8AC AB ⋅=，4a =．(I)求bc 的最大值及A 的取值范围；(II)求函数22()()2cos 4f A A A π=++3、已知函数2()cossin (0,0)2222x x x f x ωϕωϕωϕπωϕ+++=+><<.其图象的两个相邻对称中心的距离为2π,且过点(,1)3π.(I) 函数()f x 的达式; (Ⅱ)在△ABC 中.a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,a =,ABC S ∆=,角C 为锐角.且满7()2126C f π-=,求c 的值. 4、已知函数),0(sin )6cos()6cos()(R x x x x x f ∈>--++=ωωπωπω的最小正周期为π2.(I)求函数)(x f 的对称轴方程;(II)若36)(=θf ,求)23cos(θπ+的值. 5、已知()s i n ,,3,c o s ,2.334x x m A A n f x m n f π⎛⎫⎫⎛⎫===⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭且(1)求A 的值;(II)设α、()()30780,,3,3,cos 21725f fπβαπβπαβ⎡⎤⎛⎫∈+=-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭求的值. 6、已知函数22x xf (x )cossin =.(I)若[22]x ,ππ∈-,求函数f (x )的单调减区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,若24233f (A ),sin B C,a π-===求△ABC 的面积.7、若函数2()22cos f x x x m =++在区间[0,]2π上的最大值为2,将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移6π个单位,得到函数()g x 的图象.(1)求函数()f x 解析式;(2)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,又8(),225g A b π-==,△ABC 的面积等于3,求边长a 的值, 18.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c，已知cos 2C =.（I ）求cos C 的值；（II ）若cos cos 2a Bb A +=，求ABC ∆面积的最大值. 8、已知平面向量 a =(cosϕ,sin ϕ),b=(cosx,sinx),c=(sin ϕ,-cos ϕ),其中0<ϕ<π,且函数f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx 的图像过点(6π,1).(1)求ϕ的值;(2)先将函数y=f(x)的图像向左平移12π个单位,然后将得到函数图像上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数y=g(x)在[0,2π]上的最大值和最小值.9、设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位,得)(x g y =的图象,求x x g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.10、已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+-> ,其最小正周期为.2π(I)求()f x 的表达式; (II)将函数()f x 的图象向右平移8π个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,若关于x 的方程()0g x k +=,在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.11、在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知4A =π,sin()sin()44b Cc B a ---=ππ.(Ⅰ)求B 和C ;(Ⅱ)若a =求△ABC 的面积.12、ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且sin sin sin sin a A b B c C B +=+(I)求角C;(II)求cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值.13、在△ABC 中,已知A=4π,cos B =.(I)求cosC 的值; (Ⅱ)若为AB 的中点,求CD 的长.14、已知函数()sin f x x ω= (0)ω>在区间[0,]3π上单调递增,在区间2[,]33ππ上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足ACB A CB cos cos cos 34sin sin sin --=+ω.(Ⅰ)证明:a c b 2=+;(Ⅱ)若c b =,设θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==,求四边形OACB 面积的最大值.15、已知向量,cos ),(sin ,cos ),4444x x x x==m n 函数()f x =⋅m n .(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间;(Ⅱ)在锐角ABC 中,,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且满足1cos ,2a C cb +=求(2)f B 的取值范围.16、函数())cos()cos 44f x x x x x ππ=+-+.(I)求()f x 的最小正周期和最大值;(Ⅱ)在给出的坐标系中画出函数()y f x =在[]0,π上的图象,并说明()y f x =的图象是由sin 2y x =的图象怎样变换得到的.15．已知函数)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2πϕϕπϕϕ<<+-+=x x x f ，其图象过点21,6(π；（1）求ϕ的值；（2）将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的最大值和最小值。