高中数学 函数的定义域与值域教案 新人教版
高一数学 函数的定义域和值域教案必修一
诚西郊市崇武区沿街学校高一数学必修1函数的定义域和值域
教学目的
知识与技能
（1）继续理解函数的概念和记号以及域函数概念相关的定义域、函数值、值域的概念。
（2）掌握两个函数是同一函数的条件。
（3）会求简单函数的定义域和值域。
过程与方法
（1）通过对函数的概念的学习，初步探究客观世界中各种运动域数量间的互相依赖关系。
（2）使学生掌握求函数是=式的值得方法。
（3）培养批判思维才能、自我调控才能、交流与才能。
情感、态度与价值观
（1）懂得变化、联络、制约的辩证唯物主意观点。
（2）学会全面的观察、分析、研究问题。
重点难点
重点：符号“y=f(x)〞的含义。
难点：符号“y=f(x)〞的含义。
教法学法：讨论研究
教学用具：多媒体教学过程
板书设计
教学反思。
人教版数学高二-新课标 《函数的概念》 教学设计
1.2.1 函数的概念（第一课时）课 型：新授课 教学目标：（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的三要素；（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、问题链接：1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。
表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、合作探究展示： 探究一：函数的概念：思考1：（课本P 15）给出三个实例：A ．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-。
B ．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。
（见课本P 15图）C ．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。
（见课本P 16表）讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B → 函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。
高中数学函数的定义域教案新人教A版必修
课题：函数的定义域目标：掌握函数的定义域的求法：①使式子有意义；②复合函数的定义域重，难点：函数的定义域的求法教学过程：一函数的定义域：①基本知识：函数的定义域_________取值集合，函数的值域取决于函数的_______和_______，研究函数问题应注意定义域优先的原则。
②求函数的定义域的主要依据：分式的分母_______________，偶次方根的被开方数____________；对数函数的真数__________;对数、指数函数的底数必须大于零且______.二、例题讲解：1、使式子有意义的x的集合例1、求下列函数的定义域∴定义域是空集，函数是虚设的函数(2)由函数式可得∴函数的定义域是{x|x=-1}，定义域是一个孤立的点(-1，0)的横坐标(3)∵x2-4≠0∴x≠±2∴函数定义域为(-∞，-2)∪(-2，+2)∪(2，+∞)(4)从函数式可知，x应满足的条件为∴函数的定义域为2、复合函数的定义域的求法：例2、设f(x)的定义域为[0，2]，求函数f(x+a)+f(x-a)(a＞0)的定义域．解：∵f(x)定义域为[0，2]所以f(x+a)+f(x-a)中x应满足又∵a＞0，若2-a≥a，则a≤1即0＜a≤1时，f(x+a)+f(x-a)的定义域为{x|a≤x≤2-a}当a＞1时，x∈评注求f(x)的定义域就是求使函数f(x)有意义的x的取值范围，定义域表示法有：不等式法，集合法，区间表示法等．三、课堂练习：1、求定义域（1）x y 11111++=（2）2322---=x x x y（3）y=24++x x (4) y=)13(log 28+-x a x(a>0且a ≠1) 2、若函数y=aax ax 12+-的定义域为_R ，则a 的范围是____________________。
3、函数f(x)=xx x -+0)1(的定义域为____________________4、已知f （x ）的定义域为[-1，2]，那么函数f(x+1)+f(x 2-1) 的定义域为_____________________.5、 知f （x ）的定义域为[0，1]，那么函数f(x 2) 的定义域为_____________________.6、 知f （x ）的定义域为[0，1]，求函数F(x)=f(x+a)+f(x-a)(-1/2<a ≤0) 的定义域。
函数的定义域与值域教案
函数的定义域与值域教学设计课题:函数的定义域和值域学科:数学授课教师: 数理19.4胡家华教材:高中必修1第一章第2节一、教学目标:1、知识目标:了解函数定义域和值域的定义，熟悉掌握简单函数定文域和值域的求法，会求抽象函数的定义域2、能力目标提高学生对函数工定义域、值域及相关问题的解题能力和运算能力，使学生准确而快速地求出函数定义域和值域3、情感目标通过由易到难的知识点层层递进和对各类题解题思路解法的不断运用掌握来提高学生的信心，二、教学重难点:求函数的定义域和值域，求抽象函数的定义域三、教学方法1.通过知识回顾引出新课，用学生熟悉的知识快速将学生的思绪从课间带回到课堂上来，同时也便于同学们更快的接受新知识，理解新概念。
2.通过提问和互动，使学生集中注意力，跟上老师的思路在思考和回答的过程中更好的理解和掌握新知识。
3.通过竞赛式随堂练习题，促进学生积极思考问题在解题的过程中不断巩固新知，并且让学生主动回答问题，加深同学的印象，同时提升学生的自信心。
四、教学过程1.知识回顾函数的概念：设A、B为非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称 f：A B为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f（x），x∈A（其中X叫做函数的：自变量y叫做函数的函数值）2．新课引入定义域的概念：使函数有意义的自变量的取值范围，叫做函数的定义域。
值域的概念：函数值的集合，就叫做值域（明确“域”即集合，求函数的定义域值域时要表示成集合的形式）思考：上述函数y=f（x）的定义域是多少？f 那么值域呢？是否为B ？讨论得出，定义域为A ，值域不一定为B例: A B A C通过这个例子得出；f ：A →B ，也可以表示成 ： f ：A →C即：函数：定义域 值域进而得出结论：（同时更好的理解定义域与值域的概率）函数的三要素：定义域、对应关系、值域俩个函数相等即：俩个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致。
函数及定义域、值域求法教案
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生学校年级高一次数第次科目数学教师侯忠职日期时段
课题函数及定义域、值域求法
教学重点1、理解并掌握函数和映射的概念和它们的异同点
2、理解定义域的概念，会求一些函数的定义域
3、理解值域的概念，会求一些函数的值域
教学难点1、函数与映射的异同点
2、求解函数的定义域和值域
教学目标1、掌握函数与映射的异同点
2、掌握函数定义域和值域的求法
教学步骤及教学内容一、教学衔接：
1、检查学生的作业，及时指点；
2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。
二、内容讲解：
知识点一：函数与映射
知识点二：函数的定义域
知识点三：函数的值域
拓展提升：高考真题
三、课堂总结与反思：
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
四、作业布置：
复习教案所讲知识点，完成教案上的作业
管理人员签字：日期：年月日
作业布置1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
见教案
课
堂
小
结
家长签字：日期：年月日。
统编人教A版数学高中必修第一册《3.1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计
1＋x
所以所求函数的值域为(－1,1].
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
1.定义
3.1.1 函数的概念
例1 例2
例3 例4
例5
2.区间
七、作业
课本 67 页练习、72 页 1-5
本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的
题型三
区间
例 3 已知集合 A={x|5-x≥0},集合 B={x||x|-3≠0},则 A∩B 用区间可表示为
.
【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]
【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.
∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.
∴A∩B={x|x<-3 或-3<x<3 或 3<x≤5},
.
x＋1
x＋1
x＋1
6
∵
4
≠0，∴y≠3，
x＋1
3x－1
∴y＝
的值域为{y|y∈R 且 y≠3}．
x＋1
12 15
2
2
④(换元法)设 t＝ x－1，则 t≥0 且 x＝t ＋1，所以 y＝2(t ＋1)－t＝2 t－ ＋ ，由 t≥0，再结合函
4 8
15
数的图象(如图)，可得函数的值域为 ，＋∞.
1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=
√x
x
x
,g(x)=x-1;
x
②f(x)= ,g(x)= ;
√x
2
③f(x)=√(x + 3) ,g(x)=x+3;
人教A版(2019)高中数学必修第一册第三章3.1函数的基本概念教案
函数的基本概念教学目标：1.理解函数的概念，掌握函数三要素及求法.2.掌握函数解析式的求法，以及同一函数的判断标准.3.学会转化与化归、数形结合思想.问题导入：1．函数的定义：一般地，设A,B 是非空的实数集，如果对于A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 与之对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈.注：判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A ，B 必须是非空实数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应；(3)A 中任何一个元素在B 中的对应元素必须唯一．2．函数三要素：定义域、值域、对应关系 .定义域：x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域.值域：函数值的集合{}f (x )|x ∈A 叫做函数的值域同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数. 注：函数定义域及值域的求法总结（1）常见函数求定义域：①分式函数中分母不为0；①偶次根式函数被开方式大于等于0；①对数函数的定义域大于0.（2）抽象函数求定义域：①已知原函数)(x f 的定义域为()b a ,，求复合函数()[]x g f 的定义域：只需解不等式b x g a <<)(，不等式的解集即为所求函数定义域.①已知复合函数()[]x g f 的定义域为()b a ,，求原函数)(x f 的定义域：只需根据b x a <<求出)(x g 的值域，即得原函数)(x f 的定义域.（3）求值域的常规方法ⓐ观察法：一些简单函数，通过观察法求值域.ⓑ配方法：“二次函数类”用配方法求值域.ⓒ换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且ac ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数也可以用换元法代换求值域.ⓓ分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋b (a ≠0)的函数可用此法求值域.ⓔ单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.ⓕ数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围. 3. 求函数解析式的方法（1）待定系数法：当函数的类型已知时，可设出函数解析式，根据条件列出方程（组），进而求得函数的解析式.（2）配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式.（3）换元法：已知)]([x g f y =，求)(x f 的解析式：令)(x g t =，并写出t 的取值范围，用t 表示x ，再将用t 表示的x 回代入原式，求出解析式.（4）方程组法：已知关于f (x )与）（xf 1或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．4.分段函数的概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数被称为分段函数. 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是同一个函数.注：(1)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.(2) 分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先确定自变量的取值属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的.知识点1：函数定义[例1] 下列图象中，可作为函数图象的是________．(填序号)[对点演练1]下列对应关系式中是A 到B 的函数的是( )A ．A ⊆R ，B ⊆R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{1,2}，f ：x →y ＝|x |＋1C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1知识点2：求函数的定义域和值域[例2] 下列选项中能表示同一个函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2[例3] 求下列函数的定义域．(1) y ＝2x －1－7x ；(2) y ＝(x ＋1)0x ＋2；(3) y ＝4－x 2＋1x.[例4] 求下列函数的定义域：（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域.（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域. （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域.[例5]求下列函数的值域．（1）y ＝x 2＋2x (x ∈[0，3])；(2) y ＝1－x 21＋x 2； (3)3254)(-+-=x x x f[对点演练2]1. 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？(1) f (x )＝|x |，φ(t )＝t 2；(2) y ＝1＋x ·1－x ，y ＝1－x 2；(3) y ＝(3－x )2，y ＝x －3.[2,2]-2(1)y f x =-(24)y f x =+[0,1]f （x)f （x)[1,2]-2(1)(1)y f x f x =+--2. 求下列函数的定义域．(1) y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2) y ＝2x 2－3x －2＋14－x. 3.已知函数)(x f y =的定义域是]2,0[，那么)1lg(1)()(2++=x x f x g 的定义域是？ 4. 求下列函数的值域(1)f(x)＝x －3x ＋1；(2)f(x)＝x 2－x x 2－x ＋1. (3)f(x)＝x 2－1x 2＋1；(4)f(x)＝1x －x 2.知识点3：求函数解析式[例6]待定系数：若)(x f 是一次函数，[()]94f f x x =+，则)(x f = _________________.[例7].配凑：函数2(1)f x x -=，则函数()f x =[例8].换元：已知2(1)2f x x x +=+，求函数)(x f 的解析式为 .[例9] 方程组：已知函数()f x 满足()2()f x f x x --=-，则()f x ＝________.[对点演练3]1.若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为________．2.若，，则（ ）A ．9B ．17C ．2D ．3()43f x x =-()()21g x f x -=()2g =3.已知函数2)1(2-=x x f ，则f (x )＝________. 4.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2)1(xf ·x －1，则f (x )＝________．知识点4：分段函数[例10]. 已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝x ，令φ(x )＝min{f (x )，g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者)． (1)分别用图象法和解析式表示φ(x )；(2)求函数φ(x )的定义域，值域．[对点演练4]2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈(0，1]，则函数f (x )的图象是()习题演练：1．下列四种说法中，不正确的一个是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )23.下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝3x 3C ．y ＝x 2D ．y ＝x 2x3. 函数y ＝6－x|x |－4的定义域用区间表示为________．4. 若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()5．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2.(1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，)32(f 的值； (3)当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值．6.函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域为________．7.已知函数()2y f x =-定义域是[]0,4，则()11f x y x +=-的定义域是 .8. 求下列函数的值域：(1)y ＝3x ＋1x －2； (2)y ＝52x 2－4x ＋3； (3)y ＝x ＋41－x9.已知)(x f 是一次函数且满足()())(,1721213x f x x f x f 求+=--+.10. 若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2x 2－3xB ．g (x )＝3x 2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x 11. 已知函数()f x 满足()2()f x f x x --=-，则()f x ＝________.12. 定义在)1,1(-内的函数)(x f 满足)1lg()()(2+=--x x f x f ，求函数)(x f 的解析式.13.已知f (x )满足2f (x )＋)1(xf ＝3x ，则f (x )的解析式为 .14.已知1)f x =+，求函数)(x f 的解析式.15.已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝________．。
函数的定义域和值域教案
函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。
三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。
（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。
比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。
2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。
（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。
- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。
（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。
- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。
3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。
请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。
（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。
福建省高中数学新人教版必修一教案：1.2.1 函数的概念
三维目标构建〖知识与技能〗1、掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域,并会求一些简单函数的定义域和值域。
2、了解区间的意义,并进行区间、不等式与数轴表示的相互转化。
〖过程与方法〗进一步体会集合与对应关系在刻画函数概念中的作用,明确函数定义域在三要素中的地位与作用。
〖情感、态度、价值观〗培养学生分析、解决问题的能力,养成良好的学习习惯。
教学重、难点〖重点〗熟练掌握一次、二次函数与反比例函数的定义域和值域。
〖难点〗含字母参数与抽象函数的定义域的求解。
教学过程设计一、复习引入1、函数的概念：设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,则就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作：A x x f y ∈=),(。
练习1：已知2()1f x x =+,求(1),(1),(1),(21)f f f a f x --+。
2、函数的三要素：定义域、对应法则、值域。
二、核心内容整合1、区间的概念：设a ,b 是两个实数,而且a <b ,我们规定：〔1〕满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间,表示为[a ,b ]；〔2〕满足不等式a <x <b 的实数x 的集合叫做开区间,表示为〔a ,b 〕；〔3〕满足不等式a ≤x <b 或a <x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间,表示为[a ,b >或<a ,b ]。
实数集R 可以用区间表示为〔-∞,+∞〕,"∞"读作"无穷大"。
满足x ≥ a ,x >a ,x ≤b ,x <b 的实数的集合分别表示为[a ,+∞>、<a ,+∞>、<-∞,b ]、<-∞,b >。
注意：① 区间是一种表示连续性的数集；② 定义域、值域经常用区间表示；③ 用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点。
【教案】1.2.1 第2课时 函数的定义域与值域-《新课程同步进阶(人教A版必修一》第一章集合与函数概念
第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1}C ．{x |1≤x <2或x >2}D ．{x |1<x <2或x >2}解析：要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，x －1≠0，解得1<x <2或x >2，所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}．故选D.知识点三 函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指其函数值的集合：{f (x )|x ∈A }；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y ＝x 2，x ∈{0,1,2，－1}，函数y ＝x 2的值域是什么？提示：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．类型一 函数相等的判断[例1] 下列各组函数： ①f (x )＝x 2－xx ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [答案] ③⑤[解析] ①不同，定义域不同，f (x )定义域为{x |x ≠0}，g (x )定义域为R .②不同，对应法则不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f (x )≥0，g (x )∈R .⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f (x )＝6x ，g (x )＝63x 3； (2)f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3；(3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.解：(1)g (x )＝63x 3＝6x ，它与f (x )＝6x 定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数． (2)f (x )＝x 2－9x －3＝x ＋3(x ≠3)，它与g (x )＝x ＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．类型二 函数的定义域 命题视角1：求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)0|x |－x .[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－x ＋1x ＋5；(2)y ＝31－1－x.解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋5≠0，解得x ≤1且x ≠－5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠－5}．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． (2)已知函数f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f (x )的定义域．[分析] 在对应关系相同的情况下， f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同，据此可解答该题．[解] (1)由已知f (x )的定义域是[－1,4]， 即－1≤x ≤4.故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32.∴f (2x ＋1)的定义域是⎣⎡⎦⎤－1，32. (2)由已知f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，即f (2x ＋1)中，应有－1≤x ≤4，∴－1≤2x ＋1≤9. ∴f (x )的定义域是[－1,9]．因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ，所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]，要求f (x )的定义域，就是求x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( B )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．类型三 求函数的值域[例4] 求下列函数的值域． (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2.[解] (1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)． (2)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴2x ＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2.∵x ∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y ＝5x －14x ＋2＝54(4x ＋2)－1－1044x ＋2＝54(4x ＋2)－1444x ＋2＝54－72(4x ＋2).∵72(4x ＋2)≠0，∴y ≠54，∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}； (2)y ＝xx ＋1；(3)y ＝x 2－4x ，x ∈[1,4]． 解：(1)∵y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}， ∴y ∈{1,3,7,9}．(2)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0， ∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(3)配方，得y ＝(x －2)2－4. ∵x ∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域为( A ) A ．[－1,2)∪(2，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.故选A.2．函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1} C ．{2,3}D ．{2,5}解析：∵0<x ≤2且x ∈N *， ∴x ＝1或x ＝2. ∴f (1)＝2，f (2)＝5， 故函数的值域为{2,5}．3．若函数f (x )与g (x )＝32－x －2是相等的函数，则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x －2≠0，∴x ≠6，又x －2≥0，∴x ≥2，∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 故f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，则函数f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 解析：因为f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 所以－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0.所以f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1； (2)y ＝5x ＋4x －1；(3)y ＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (2)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝(t －12)2－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．学习至此，请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂 复合函数与抽象函数开讲啦 1.复合函数的概念如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t ＝g (x )叫做内层函数，y ＝f (t )叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围．(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围，而不是φ(x )的范围．(3)f (t )，f (φ(x ))，f (h (x ))三个函数中的t ，φ(x )，h (x )在对应关系f 下的范围相同． [典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )(m >0)的定义域． [解] ∵f (x )的定义域为[0,1]，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤1＋m .当1－m ＝m ，即m ＝12时，x ＝12；当1－m >m ，即0<m <12时，如图1，m ≤x ≤1－m .当1－m <m ，即m >12时，如图2，x ∈∅.综上所述，当0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]；当m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当m >12时，函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112. 解析：∵函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，即函数f (x )的定义域为[－1,8]．由－1≤2x －3≤8，解得1≤x ≤112.故函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112.。
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函数的定义域与值域
例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.
A. 1,x
y y x ==
B. 11,y x y
+C.
,y x y ==
2||,y x y == 解：
变式训练1：下列函数中，与函数
y=x 相同的函数是 （ ） A.y=
x
x 2
x
)
2x
D.y=x 2lo g 2
解：
变式训练2：下列是映射的是………………………………………（ ）
(A)1、
2、
3 (B)1、
2、5 (C)1、
3、5 (D)1、2、3、5 变式训练3：下面哪一个图形可以作为函数的图象……………………（ ）
(A) (B) (C) (D)
变式训练4：如果（x ，y ）在映射f 下的象为（x ＋y ，x －y ），那么（1，2）的原象是…………（ ） (A )（－23，21） (B) （23，－21） (C) （－23，－21) (D) （23，2
1
）
例2.给出下列两个条件：（1）f(x +1)=x+2x
(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式
解：（1）令t=x +1,∴t≥1，x=（t-1）
2
则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2
-1,x∈［1，
（2）设f(x)=ax
2
∴f(x+2)=a(x+2)2
+b(x+2)+c
则f(x+2)-
∴⎩⎨
⎧=+=2244
4b a a ，
⎩⎨
⎧-==1
1b a ，又f(0)=3⇒c=3,∴f(x)=x 2
-
变式训练2：（1）已知f （12+x
）=lgx ，求f （x ）；
（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ）
； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x
1
）=3x ，求f （x
）
解：(1)令
x
2+1=t ，则x=12
-t ，
∴f（t ）=lg
12
-t ，∴f（x ）=lg 1
2-
x
（2）设f （x ）=ax+b ，则
3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7. （3）2f （x ）+f （
x
1
）=3x ，
①
把①中的x 换成
x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x
3
①×2-②得3f （x ）=6x-
x 3，∴f（x ）=2x-x
1
.
变式训练3：求满足下列条件的函数解析式： ⑴2
1)11(x x
x f -=+ ⑵)(,14))((x f x x f f -=是一次函数.
例3、已知函数f(x)=⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.
0,1,0,
1,0,2x x
x x x
（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值.
解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f(1)=12
=1,f(-1)=-,11
1
=-f [])1(-f =f(1)=1.
变式训练：⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2
x x x x x x x f ，那么f (f (－2))= ；如果f (a)=3，那么实数
a= .
例4、求下列函数的定义域： （1）y=
x
x x -+||)1(0 (2)y=
23
2
53
1
x x -+-;
1
·1-+x x
解：（1）由题意得,0
||0
1
⎩⎨⎧>-≠+x x x 化简得,||1⎩⎨
⎧>-≠x x x 即.01
⎩
⎨
⎧<-≠x x 故函数的定义域为{x|x ＜0且x≠-
（2）由题意可得,05032
2⎩⎨⎧≥-≠-x x 解得.553
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-±≠x x
故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3
（3）要使函数有意义，必须有
,0
10
1⎩⎨
⎧≥-≥+x x 即,11⎩⎨⎧≥-≥x x ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）
例5、设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域
（1）y=f(3x); (2)y=f(
x
1
(3)y=f()
3
1()31-++x f x (4)y=f(x+a)+f(x-
例6、若函数f （x ）=2
1
x 2
-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值
解：∵f（x ）=2
1(x-1)2
+a-2
1.
∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间. ∴f（x ）min =f （1）=a-2
1=1 ① f （x ）max =f （b ）=2
1b 2
-b+a=b ②
由①②解得⎪⎩
⎪⎨⎧
==.3,
23b a。