2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在数列中，，，则的值为A. B. C. 5 D. 以上都不对2.向量，，若的夹角为钝角，则t的范围是A. B.C. 且D.3.在中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，若，则的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”“钱”是古代的一种重量单位这个问题中，甲所得为A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱5.已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为A. 1B.C. 2D.6.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，若，则的外接圆面积为A. B. C. D.7.已知数列中，且单调递增，则k的取值范围是A. B. C. D.8.在中，已知，，，如果有两组解，则x的取值范围是A. B. C. D.9.一艘海轮从A处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东的方向直线航行，20分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察此灯塔，其方向是南偏东，在B处观察，灯塔在其正东方向，那么两点间的距离是A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里10.，，，点C在内，且，设、，则等于A. B. 3 C. D.11.若等差数列的公差，前n项和为，若，都有，则A. B. C. D.12.给定两个单位向量，，且，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，，则的最小值为A. B. C. D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.下列命题中正确的有______填序号两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若，则；若，则A，B，C，D四点构成平行四边形；在平行四边形ABCD中，一定有；若，，则；若，，则14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则______．15.设是数列的前n项和，且，，______．16.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，的面积为，则当的值最小时的周长为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知，，是同一平面内的三个向量，其中．若，且，求的坐标；若，且与垂直，求与的夹角．18.在中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且．求角B的大小；若，，求的面积．19.设为等差数列的前n项和，，．求数列的通项公式：求的最大值及此时n的值．20.已知向量，且．求及；若，求的最大值和最小值．21.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．求角A的大小；若，求的取值范围．22.已知数列各项均为正数，为其前n项的和，且，，成等差数列．写出、、的值，并猜想数列的通项公式；证明中的猜想；设，为数列的前n项和，求．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，，，，，则，即，即数列是周期为3的周期数列，，，故选：B．根据数列递推关系，求出数列具备周期性，利用数列的周期性进行求解即可．本题主要考查递推数列的应用，利用条件推出数列的周期性是解决本题的关键．2.答案：C解析：解：；与的夹角为钝角；，且不平行；；，且．故选：C．可先求出，根据，的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出t的范围即可．考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，向量坐标的数量积运算，以及平行向量的坐标关系．3.答案：D解析：【分析】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用，属于基础题．由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得，从而可得或或舍去．【解答】解：，，由正弦定理得：，，，，或，或或舍去，故选：D．4.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的应用，是基础题．依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，由题意求得，结合，求得，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，则由题意可知，，即，又，，则．故选B．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，考查向量垂直，属基础题．先根据向量垂直，得到，再根据投影公式即可求出．【解答】解：平面向量是非零向量，，，，即，即，向量在向量方向上的投影为．故选B．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用余弦定理可求cos B的值，结合B的范围可求B的值，利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径即可计算得解的外接圆面积．【解答】解：，若，，可得：，，由，可得：，设的外接圆半径为R，由正弦定理可得：，解得，可得的外接圆面积为．故选D．7.答案：B解析：解：数列中，且单调递增对于恒成立即对于恒成立对于恒成立，即故选：B．该题需注意变量n的特殊性，根据函数的单调性可得对于恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n的取值是解题的关键，属于易错题．8.答案：A解析：解：在中，当时，三角形ABC有两组解，所以，，，如果三角形ABC有两组解，那么x应满足，即．故选：A．有两组解，所以，代入数据，求出x的范围．本题是基础题，考查三角形的应用，计算能力，注意基本知识的应用，是解题的关键，常考题型．9.答案：C解析：解：根据题意画出图形，如图所示；易知在中，海里，，，根据正弦定理得，解得海里．故选：C．由题意画出图形，利用正弦定理直接求解即可．本题考查了正弦定理的实际应用问题，关键是转化出条件，是基础题．10.答案：B解析：解：法一：如图所示：，设，则．．法二：如图所示，建立直角坐标系．则，，，，．故选：B．将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C在内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．11.答案：D解析：解：等差数列的公差，，都有，，，．故选：D．由，都有，可得，，，再根据等差数列的性质即可判断．本题考查等差数列的性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：给定两个单位向量，，且，则，建立如图所示的坐标系，则，，即，设，，则，因为，则，，所以，因为，，，，所以有最小值．故选：B．建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值求解，可得答案．本题考查平面向量基本定理，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．13.答案：解析：解：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故不正确；，由于与方向不确定，所以与不一定相等，故不正确；，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以不正确；在平行四边形ABCD中，，，所以一定有，所以正确；显然正确；零向量与任一向量平行，故，时，若，则与不一定平行，故不正确．故答案为：．根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案．本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题．14.答案：解析：解：由余弦定理可得，的面积为，又因为，所以，由可得．故答案为：由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：解析：解：，，，数列是首项为1，公差为1的等差数列，，，，故答案为：．利用数列的递推式得到，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，从而求出结果．本题主要考查了数列的递推式，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查当三角形两边和最小时三角形周长的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．推导出，由余弦定理求出，由的面积为，求出，当且仅当时，取最小值，由此能求出当的值最小时的周长．【解答】解：在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，因为，由正弦定理可得：，，，解得，的面积为，，解得，，由对勾函数的性质可知，当时，，此时，当的值最小时的周长为：．故答案为：．17.答案：解：设，，，，解得或，或．与垂直，，即，，，与的夹角为．解析：设，根据条件列方程组解出即可；令求出，代入夹角公式计算．本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量平行与垂直，属于中档题．18.答案：解：由正弦定理得：，，，将上式代入得，即，即，，，，即，，，为三角形的内角，．将，，代入余弦定理得：，即即，，．解析：根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sin A不为0，得到cos B的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；由中得到角B的度数求出sin B和cos B的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，及cos B的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出的面积，把ac与sin B的值代入即可求出值．本题主要考查正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．属于中档题．19.答案：解：设的公差为d，由可得，由，可得，所以，所以；由，解得，所以当时，有最大值，此时最大值为．解析：根据已知条件列出关于，d的方程组，求解出，d即可求出通项公式；利用对应为递减等差数列，根据确定出n的取值，从而的最大值以及取最大值时n的值都可求．本题考查等差数列通项公式以及前n项和的综合应用，难度较易．其中第二问还可以先将的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出的最大值以及取最大值时n的值，属于基础题．20.答案：解：，，，，．由知：，，，，，解析：利用已知条件通过向量的数量积化简求解，通过向量的模化简求解即可．利用的结果，利用两角和与差的三角函数化简，通过x的范围求解相位的范围，借助三角函数的有界性求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，两角和与差的三角函数以及三角函数的有界性的应用，考查计算能力．21.答案：解：，，，，B，C为锐角，可得：，，，可得：，又，可得：．当时，，由题意得，．由，得，，，为锐角三角形，，，，的取值范围是．解析：利用三角函数恒等变换的应用可求，结合角的范围及三角形内角和定理即可求出角A的大小．先求得，根据B、C都是锐角求出B的范围，由正弦定理得到，，根据及B的范围，利用正弦函数的性质即可得到的范围．本题考查三角函数恒等变换的应用及正弦定理在解三角形中的综合应用，其中判断的取值范围是本题的难点，属于中档题．22.答案：解：依题意，由，，成等差数列，可得．当时，，解得舍去，或，当时，，解得舍去，或，当时，，解得舍去，或，，，，猜想：数列的通项公式，．证明：当时，满足猜想，当时，由，可得，化简整理，得，，则，，即，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即猜想成立．解：由知，，故数列是以8为首项，为公差的等差数列．令，，即，解得，令，，即，解得，当时，；当时，，当时，，当时，，综上所述，可得．解析：本题第题由，，成等差数列，可得，然后依次将、2、3代入表达式进行计算可得、、的值，并由此可猜想出数列的通项公式；第题可应用公式证明中的猜想；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式并进行转化可发现数列是以8为首项，为公差的等差数列，然后对数列的正负性进行分析可得数列的通项公式，即当时，，；当时，，然后根据分和两种情况分别求和，根据等差数列的求和公式可计算出的表达式，最后综合可得结果．本题主要考查运用归纳猜想再加以证明的方法求得数列的通项公式，以及绝对值数列的求和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论思想，等差数列的判别及求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属综合性较强的中档题．。
湖北省部分重点中学(武汉1中、3中、6中、11中等六校)2018-2019学年高一下学期期末联考数学试题
湖北省部分重点中学2018-2019学年度下学期期末联考高一数学试卷答案命题学校：武汉六中命题教师：曹淑红审题教师：邬婕考试时间：2019年6月26日上午9：00-11：00 试卷满分：150分1-5．DBDBC 6-10. CDBAB 11-12. CB 13. 14 . 15. 16.三、解答题17．（10分）求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．【答案】表面积为68π，体积为由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．在直角梯形ABCD中，过D点作，垂足为E，如图：在中，,所以可计算出：S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为68π ；…………………… 5分由圆台的体积半球的体积,故所求几何体的体积为…………………… 10分18．（12分）数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）当时，.∵适合上式，∴.…………………… 4分（2）由（1），令，得，∵，∴，即当时，，当时，，①当时，，此时，∴的前项和.②当时，，此时，由，得数列的前项和.由①②得数列的前项和为. ……………………12分19．（12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求直线C1B与平面ACC1A1所成的角的余弦值（3）设为线段上任意一点，在BC 1D 内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CEDM ，并说明理由．试题解析：（1）证明：如图，连接交于点，连接．显然点为的中点．∵是中点， ∴．∵平面，⊄1AB 平面，∴直线平面． …… …… …… …… 4分（2）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，各个侧面均是边长为的正方形，且CC 1AC ，CC 1BCCC 1ACB ， CC 1BDD 为线段AC 的中点， BDCAAC 与C 1C 相交于点CB C 1∴在面11A ACC 上的射影为D C 1即为直线C 1B 与平面ACC 1A 1所成的角中 AC=1，同理：=== …… …… …… …… 8分（3）在D BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使DM CE ⊥此时点E 是在线段D C 1上．证明如下：过C 作CE D C 1⊥交线段D C 1于E ，由（2）可知⊥BD 平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ，所以CE BD ⊥． 又1CE C D ⊥，所以CE ⊥平面D BC 1．又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ． …… …… …… …… 12分20．（12分）已知数列中，2）（1）求数列的通项公式；（2）设 ,求的通项公式及其前n 项和T n 。
湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案
湖北省武汉市部分重点高中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题含答案B.g(x)x 1x1C.h(x)x2 1D.k(x)x 210.已知函数f(x)x33x22x，g(x)ax2bx c，若f(x)g(x)2，则aA.1B.1C.2D. 211.已知函数f(x)x22x1，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x2B.x22x3C.x23x2D.x23x 312.已知函数f(x)x2x2，g(x)x1，则f(g(x))A.x22x3B.x22x3C.x22x3D.x22x 3武汉市部分重点中学2020-2021学年度上学期期中联考高一数学试卷1.函数 $f(x)=\frac{3x^2}{1-x}-\frac{2}{3x+1}$ 的定义域是A。
$(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$B。
$(-\infty,-1)\cup(-1,1)$C。
$[-1,1]$D。
$(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3},\infty)$2.集合 $A=\{xy=2(2-x)\}$，$B=\{yy=2x,x>1\}$，则$A\cap B$=A。
$[0,2]$B。
$(1,2]$C。
$[1,2]$D。
$(1,+\infty)$3.已知命题 $p:\forall x>0,\ (x+1)e^x>1$，则命题 $p$ 的否定为A。
$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$B。
$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$C。
$\exists x>0,\ (x+1)e^x\leq 1$D。
$\exists x\leq 0,\ (x+1)e^x\leq 1$4.设 $a=0.6^{0.6}$，$b=0.6^{1.2}$，$c=1.2^{0.6}$，则$a$，$b$，$c$ 的大小关系是A。
$a<b<c$B。
湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)
武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线在轴上的截距为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B320x y --=y 2-2323-1:1l y x =-(0,1)-512π2l 2l 13()3()P A P B =()P B =1613235612π2π沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（ ）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点．现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，四面体的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体的体积为，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）2πP 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭22121:10504C x x y y -+-+=(,0)T t x P T x C t 1527,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABCD αAOPQ V 'V V'1418116127A ．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B ．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则C ．若，则是锐角D ．若对空间中任意一点，有，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（ ）A ．设A ，B 是两个随机事件，且，，若，则A ，B 是相互独立事件B ．若，，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足D ．若事件A ，B 相互独立，，，则11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ）A ．点的轨迹的方程是B ．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线与点的轨迹相离D ．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C ，D ，则四边形面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，，，，，，P 为所确定的平面内一点，设的最大值是以为自变量的函数，记作．若，则{,,}a b c 23m a c =+ ,,}a b m 〈α(2,1,0)A (1,3,1)B -(2,2,1)C -(1,,)n u t =α2u t +=0a b ⋅> ,a b <>O 111362OM OA OB OC =++1()2P A =1()3P B =1()6P AB =()0P A >()0P B >()()()()P ABC P A P B P C =()0.4P A =()0.2P B =()0.44P AB AB = (1)λλ≠P (2,0)A (6,0)B P ||1||3PA PB =P τP τ2230x y x +-=(1,1)N P τ220x y -+=P τ3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭M :270l x -+=M P τECMD 1y =+y x b =+b (0,0,0)O (0,,3)A a (3,0,)B a (,3,0)C a 33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC △||PO PD -a ()f a 03a <<()f a的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C的概率分别是，，．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知的顶点，边AB 上的中线CD 所在直线方程为，边AC 上的高线BE 所在直线方程为．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC 上分别有一点和且，，其中．（1）求证：，，共面；（2）若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）点轨迹记为曲线，若曲线与轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线上的动点，直线121418ABC △(4,2)A 7250x y +-=40x y +-=BCD △111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =1AC M N AM k AC = BN k BC =01k ≤≤MN a c||||||2a b c ===13AB =160BAC BB C ∠=∠=︒P 1BB 1B 1PC 11ACC A xOy (1,0)A -(7,0)B -P ||2||PB PA =P P C C x :17l x =MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量，定义“F 变换”：，其中，，，．记，．（1）若，求及；（2）证明：对于任意，必存在，使得经过次F 变换后，有；（3）已知，，将再经过次F 变换后，最小，求的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．13．1415．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率为；（2）设事件，，，表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．（2）设事件，，，表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．则“两次射击得分之和为8分”为事件，且事件，，互斥，，，所以两次射击得分之和为8分的概率．()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ()1F k k a a +=1k k k x x y +=-1k k k y y z +=-1k k k z z x +=-k k k k a x y z = k k k k a x y z =++0(2,3,1)a =2a 2a 0a *k ∈N 0a k 0k a = 1(,2,)()a p q q p =≥ 12024a = 1am m a m 5361)+1111()12488P D =---=111()()()884P C D P C P D =+=+= 14i A i B i C i D i 1,2=i A i B i C i D i 1,2=()()()121221B B AC A C 12B B 12AC21A C ()121114416P B B =⨯=()()12211112816P AC P A C ==⨯=()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦16．解：（1）因为，所以设直线AC 的方程为：，将代入得，所以直线AC 的方程为：，联立AC ，CD 所在直线方程：，解得，设，因为为AB 的中点，所以，因为在直线BE 上，在CD 上，所以，，解得，，所以，，所以BC 所在直线的方程为：，即．（2）由（1）知点到直线BC 的距离为：，又，所以．17．（1）证明：因为，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．（2）取BC 的中点为，在中，，由余弦定理可得，所以，依题意，均为正三角形，所以，，又，平面，平面，AC BE ⊥0x y m -+=(4,2)A 2m =-20x y --=207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩(1,1)C -()00,B x y D 0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭()00,B x y D 0040x y +-=0042725022x y ++⨯+⨯-=06x =-010y =(6,10)B -10(1)11617BC k --==---111(1)7y x +=--11740x y +-=(1,6)D -d ==||BC ==12722BCD S ==△1AM k AC kb kc ==+()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- MN a cO 1AOB △1AO B O ==13AB =11cos 2AOB ∠==-12π3AOB ∠=ABC △1B BC △BC AO ⊥1BC B O ⊥1B O AO O = 1B O ⊂1B AO AO ⊂1B AO所以平面，因为平面，所以平面平面，所以在平面内作，则平面，以OA ，OC ，Oz 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，设是平面的一个法向量，，，则，即，取得，依题意可知，则．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．18．解：（1）设动点坐标，因为动点满足，且，，化简可得，，即，BC ⊥1AOB BC ⊂ABC 1AOB ⊥ABC 1AOB Oz OA ⊥Oz ⊥ABC x y z 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1,0)B -A (0,1,0)C 132C ⎛⎫⎪⎝⎭132A ⎫⎪⎭(,,)n x y z =11ACC A (AC =132AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 03202y x y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩1z =(3,1)n =- 123BP BB =11112323713,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎫=+=+=--+⨯=--⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ 1PC 11ACC A θ1119sin cos ,13||n C PC P n n C Pθ⋅====⋅ 1PC 11ACC A 913(,)P x y P ||2||PB PA =(1,0)A -(7,0)B -=222150x y x +--=22(1)16x y -+=所以点的轨迹方程为．（2）曲线中，令，可得，解得或，可知，，当直线EF 为斜率为0时，即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为，，，联立消去可得：，化简可得；由韦达定理可得，因为，，，，所以EM ，FN 的斜率为，，又点在曲线上，所以，可得，所以，所以EM ，FN 的方程为，，令可得，化简可得；，又，在直线上，可得，，所以，P 22(1)16x y -+=22:(1)16C x y -+=0y =2(1)16x -=3x =-5x =(3,0)M -(5,0)N ||||EK FK +x ny t =+()11,E x y ()22,F x y 22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩x 22(1)16ny t y +-+=()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()11,E x y ()22,F x y (3,0)M -(5,0)N 113EM y k x =+225FN y k x =-()11,E x y C ()2211116x y -+=()()()22111116135y x x x =--=+-111153EM y x k x y -==+115(3)x y x y -=+22(5)5yy x x =--17x =()1212205125Q x y y y x -==-()()121235550y y x x +--=()11,E x y ()22,F x y x ny t =+11x ny t =+22x ny t =+()()121235550y y ny t ny t ++-+-=化简可得；，又，代入可得，化简可得，，，所以或，当时EF 为，必过，不合题意，当时EF 为，必过，又为圆的弦长，所以当直径MN 时弦长最小，此时半径，圆心到直线EF 的距离为，综上，的最小值．19．解：（1）因为，，，所以，，（2）设假设对，，则，，均不为0；所以，即，因为，，所以，与矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意，经过若干次F 变换后，必存在，使得．（3）设，因为，所以有或，当时，可得，三式相加得()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=(5)(816)0t t --=2t =5t =5t =5x ny =+(5,0)2t =2x ny =+(2,0)||EF EF ⊥||EF 4r =211-=||8EF ===<||EF 0(2,3,1)a = 1(1,2,1)a = 2(1,1,0)a =21100a =⨯⨯= 21102a =++={}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == N k ∀∈10k a +≠1k x +1k y +1k z +12k k M M ++>123M M M >>> *(1,2)k M k ∈=N 112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ 121M M +≤-120M M +>0aK N *∈0K a = ()0000,,a x y z = 1(,2,)()a p q q p =≥000x y z ≤≤000x y z ≥≥000x y z ≥≥0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩2q p -=又因为，可得，；当时，也可得，，所以；设的三个分量为这三个数，当时，的三个分量为，2，m 这三个数，所以；当时，的三个分量为2，2，4，则的三个分量为0，2，2，的三个分量为2，0，2，所以；所以，由，可得，；因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以的三个分量只能是2，2，4三个数，的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当时，；当时，，所以的最小值为505．12024a =1010p =1012q =000x y z ≤≤1010p =1012q =1(1010,2,1012)a =k a()*2,,2m m m +∈N 2m >1k a +2m -14k k a a +=- 2m =k a 1k a + 2k a +124k k a a ++=== 12024a = 5058a = 5064a =1(1010,2,1012)a = k a505a 506a505m <18m a +≥ 505m ≥14m a +=m。
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学(武汉六中等)高一(下)期末数学试卷及答案
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一（下）期末数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．﹣B．1C．﹣或﹣1D．﹣12．（5分）下列命题中正确的个数为（）①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同；②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；③△ABC中，若B＞90°，则•＜0；④四边形ABCD是平行四边形，则必有＝．A．0个B．1个C．2个D．3个3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若＝，b2﹣a2＝ac，则cos C等于（）A．B．C．D．4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n ＝（）A．﹣1B．1C．0D．25．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（）A．25B．35C．42D．506．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系中不可能的是（）A．相交B．相切C．过圆心D．相离7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣，0）B．[﹣2，0）C．[﹣，0）D．[﹣1，0）8．（5分）已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+29．（5分）下列说法正确有（）①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞．A．①④B．②④C．③④D．④10．（5分）已知{a n}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是（）A．4B．5C．6D．711．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（）A．4﹣2B．2﹣C．﹣1D．12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tan A的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线l：x﹣y sin+1＝0的斜率为．14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若⊥（2+），则λ＝．15．（5分）设等差数列{a n}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{na n}的前n项和记为S n，则S6的值为．16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos＝b sin A，则B＝，若a≥c＝2，则a的取值范围是．三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值．18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且＝3，设＝t，AP与BE相交于F．（1）试用，表示；（2）求•的取值范围．19．（12分）设等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n（a n﹣n）}的前n项和S n．20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线P A、PB的方程；（2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0；（2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求的最小值．22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上．（1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积；（2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（）A．﹣B．1C．﹣或﹣1D．﹣1【分析】根据直线的截距相等，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：显然直线不过（0，0），截距不是0，故直线可化为：+＝1，若直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则＝，解得：a＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查对应思想，是一道常规题．2．（5分）下列命题中正确的个数为（）①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同；②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；③△ABC中，若B＞90°，则•＜0；④四边形ABCD是平行四边形，则必有＝．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据向量的相等以向量的平行和向量的共线即可判断．【解答】解：对于①，＝λ（λ∈R），那么与方向相同或相反，故①错误，对于②，非零向量与共线，则A，B，C，D四点共线或AB与CD平行，故②错误，对于③，△ABC中，若B＞90°，则•＜0，故③正确，对于④，四边形ABCD是平行四边形，则必有＝，故④正确．故选：C．【点评】本题考查向量的相等，向量的平行，关键是掌握共线的条件，属于基础题．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若＝，b2﹣a2＝ac，则cos C等于（）A．B．C．D．【分析】解：由已知利用正弦定理可得c＝a，结合已知b2﹣a2＝ac，可求得b＝2a，进而根据余弦定理可求cos C的值．【解答】解：∵＝，∴由正弦定理可得：＝，即c＝a，又∵b2﹣a2＝ac，∴b2﹣a2＝3a2，可得b＝2a，∴cos C＝＝＝，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n ＝（）A．﹣1B．1C．0D．2【分析】由两圆的公共弦垂直于两圆圆心的连线，再由两直线斜率的关系列式可得m+n 的值．【解答】解：∵两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），且两圆的圆心都在直线x+y ＝0上，∴MN垂直直线x+y＝0，则MN的斜率k＝，得m+n＝0．故选：C．【点评】本题主要考查圆与圆相交的性质，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．5．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（）A．25B．35C．42D．50【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则a（1+x）2＝a．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点．【解答】解：设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则a（1+x）2＝a．解得x＝≈0.414≈42%．∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．故选：C．【点评】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系中不可能的是（）A．相交B．相切C．过圆心D．相离【分析】由直线系方程可得直线过圆上的定点，由此可得直线l与圆C不可能相离．【解答】解：由直线l：mx﹣y﹣m+＝0，得m（x﹣1）﹣y+＝0，由，得，可得直线l过定点A（1，）．圆C：（x﹣2）2+y2＝4的圆心C（2，0），半径r＝2．∵|CA|＝，∴A在圆C上，∴直线l与圆C不可能相离，故选：D．【点评】本题考查直线与圆位置关系，训练了直线系方程的应用，是基础题．7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（）A．（﹣，0）B．[﹣2，0）C．[﹣，0）D．[﹣1，0）【分析】对|﹣|＝2两边平方后，结合•＝||•||cos进行化简可得+||•||+＝4；由基本不等式的性质知，+≥2||•||，于是推出0＜||•||，再结合平面向量数量积即可得解．【解答】解：∵|﹣|＝2，∴﹣2•+＝4，∴﹣2||•||cos+＝4，即+||•||+＝4，由基本不等式的性质可知，+≥2||•||，∴0＜||•||，∴•＝||•||cos＝||•||∈[，0）．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量数量积运算，还涉及利用基本不等式的性质求最值，对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．（5分）已知x＞1，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值为（）A．9B．10C．11D．7+2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，又y＞0，且+＝1，∴x+2y＝（x﹣1）+2y+1＝[（x﹣1）+2y]（+）+1＝6++≥6+2＝10，当且仅当＝，即x＝4，y＝3时等号成立，故x+2y的最小值为10．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．9．（5分）下列说法正确有（）①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞．A．①④B．②④C．③④D．④【分析】对于①②，可根据条件取特殊值判断；对于③④，可直接利用不等式的基本性质判断．【解答】解：①由|a|＞b，取a＝0，b＝﹣2，则a2＞b2不成立，故①错误；②由a＞b，c＞d，取a＝c＝0，b＝d＝﹣1，则a﹣c＞b﹣d不成立，故②错误；③∵a＜b＜0，c＜d＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，∴ac＞bd，故③正确；④由a＞b＞0，得，∵c＜0，∴，故④正确．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．10．（5分）已知{a n}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是（）A．4B．5C．6D．7【分析】先求出首项和公比，得出{a n}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论．【解答】解：∵{a n}为等比数列，a1a3a5＝27＝，a2a4a6＝＝，∴a3＝3，a4＝，∴q＝＝，a1＝12，a5＝a4•q＝＜1．故{a n}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，以T n表示{a n}的前n项积，则使得T n达到最大值的n是4，故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．11．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（）A．4﹣2B．2﹣C．﹣1D．【分析】由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1：2，可推出圆心到直线的距离为1，即，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab的最小值，再求出+的最大值．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0化成标准形式为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，其中圆心为（1，1），半径为2．设直线与圆交于A、B两点，圆心为C，因为直线把圆的周长分为1：2，所以∠ACB＝×360°＝120°，所以圆心C（1，1）到直线ax+by﹣2＝0的距离为1，即，因为a，b＞1，所以ab﹣2（a+b）+2＝0，由基本不等式的性质可知，ab+2＝2（a+b）≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，此时有ab≥，所以+＝＝＝+≤+＝2﹣．所以+的最大值为2﹣．故选：B．【点评】本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tan A的取值范围是（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．[2，+∞）【分析】由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式、同角的商数关系，化简可得tan A＝3tan B，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan A＞0，tan C ＞0，解不等式可得所求范围．【解答】解：由a2＝b2+c2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，则b2+c2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得c＝4b cos A，由正弦定理可得：sin C＝4sin B cos A，可得sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＝4sin B cos A，化为3sin B cos A＝sin A cos B，在锐角△ABC中，cos A≠0，cos B≠0，则tan A＝3tan B，又tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣，由tan A＞0，tan C＞0，可得1﹣tan2A＜0，解得tan A＞，故选：B．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）直线l：x﹣y sin+1＝0的斜率为．【分析】求出sin，把直线方程变形，再由直线的一般方程求斜率公式得答案．【解答】解：由直线l：x﹣y sin+1＝0，得x﹣，即2x﹣．则该直线的斜率k＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，考查由直线方程求直线的斜率，是基础题．14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若⊥（2+），则λ＝﹣1．【分析】根据条件求出，然后由，得到，再求出λ的值．【解答】解：，，且，∴，∴λ＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）设等差数列{a n}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{na n}的前n项和记为S n，则S6的值为14．【分析】等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，可得a n，na n，计算可得所求和．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，由a4+a6＝4，a82﹣a22＝48，可得2a1+8d＝4，6d•（2a1+8d）＝48，解得a1＝﹣6，d＝2，可得a n＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8，na n＝2（n2﹣4n），则S6＝2[（12+22+32+42+52+62）﹣4（1+2+3+4+5+6）]＝2×（1+4+9+16+25+36﹣4×21）＝14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos＝b sin A，则B＝，若a≥c＝2，则a的取值范围是（1，4）．【分析】①由正弦定理＝，可推出sin A cos＝sin B sin A，再结合二倍角公式和B的取值范围即可得解；②由正弦定理＝，知a＝，再根据三角形的内角和与正弦的两角和公式可将其化简为；然后由A、C∈（0，），可求得C∈（，），即tan C ＞，将其代入化简后的式子即可得解．【解答】解：①由正弦定理知，＝，∵a cos＝b sin A，∴sin A cos＝sin B sin A，∵sin A≠0，∴cos＝sin B＝2sin cos，∵锐角△ABC，∴B∈（0，），∈（0，），∴cos≠0，sin＝，∴B＝．②由正弦定理知，＝，∴a＝＝＝＝，∵锐角△ABC，∴A、C∈（0，），∵A+C＝π﹣B＝，∴A＝﹣C∈（0，），即C∈（，），∴C∈（，），tan C＞，∴a＝∈（1，4）．故答案为：；（1，4）．【点评】本题考查解三角形和三角函数的综合运用，涉及正弦定理、二倍角公式、正弦的两角和公式以及正切函数的图象与性质，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值．【分析】（1）由题意利用点斜式设出直线的方程，求出斜率k的值，可得结论．（2）先求出直线在坐标轴上的截距，再由题意利用基本不等式求得△AOB面积最小值．【解答】解：（1）直线l过点P（﹣1，2），若直线l在两坐标轴上截距和为零，设直线l的方程为y﹣2＝k（x+1），即kx﹣y+2+k＝0．则它在两坐标轴上截距分别为﹣1﹣和k+2，由题意，﹣1﹣+k+2＝0，∴k＝﹣2 或k＝1，直线l的方程为2x+y＝0 或x﹣y+3＝0．（2）设直线l的斜率k＞0，则直线l：kx﹣y+2﹣k＝0与两坐标轴交点分别为A（﹣1，0）、B（0，k+2），求△AOB面积为S＝|﹣1|•|k+2|＝＝+2+≥2+2＝4，当且仅当k＝2时，等号成立，故△AOB面积最小值为4．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线在坐标轴上的截距，基本不等式的应用，属于中档题．18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且＝3，设＝t，AP与BE相交于F．（1）试用，表示；（2）求•的取值范围．【分析】（1）由＝t，可推出＝+t，而＝﹣，代入化简整理即可得解；（2）由＝3，知＝﹣，再结合平面向量的数量积可推出•＝[（1﹣t）+t]•（﹣）＝（4t﹣5），而t∈[0，1]，从而求得•的取值范围．【解答】解：（1）∵＝t，∴＝+＝+t＝+t（﹣）＝（1﹣t）+t．（2）∵＝3，∴＝＝﹣，∴•＝[（1﹣t）+t]•（﹣）＝（t﹣1）+（）•+t＝4（t﹣1）+（）×2×2cos60°+t×4＝（4t﹣5）．∵P是BC边上一点，∴t∈[0，1]，∴•＝（4t﹣5）∈[，]．【点评】本题考查平面向量的线性和数量积运算，熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．（12分）设等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{n（a n﹣n）}的前n项和S n．【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得a n；（2）求得n（a n﹣n）＝n（3n﹣1﹣1），分别运用数列的分组求和、错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】解：（1）由等比数列{a n+b n}的公比为3，等差数列{a n﹣b n}的公差为2，且a1＝b1＝1，可得a n+b n＝（a1+b1）•3n﹣1＝2•3n﹣1，a n﹣b n＝（a1﹣b1）+2（n﹣1）＝2n﹣2，则a n＝n﹣1+3n﹣1，n∈N*；（2）n（a n﹣n）＝n（3n﹣1﹣1），S n＝（1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1）﹣（1+2+…+n），设T n＝1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1，3T n＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，上面两式相减可得﹣2T n＝1+31+3•32+…+3n﹣1﹣n•3n＝﹣n•3n，化为T n＝+•3n，则S n＝+•3n﹣n（n+1）．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和、错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线P A、PB的方程；（2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．【分析】（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6），由圆心到直线的距离等于半径列式求得k，则切线方程可求；（2）根据题意，设P（4﹣m，m），可得AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，求出以PO为直径的圆的方程，与圆O的方程联立，消去二次项可得直线AB的方程，再由直线系方程可得定点Q的坐标．【解答】解：（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k﹣2＝0．由，解得k＝﹣或k＝0．∴所求切线方程分别为y＝﹣2和3x+4y﹣10＝0；证明：（2）根据题意，点P为直线x+y﹣4＝0上一动点，设P（4﹣m，m），∵P A，PB是圆O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，可得以PO为直径的圆的方程为[x﹣（2﹣）]2+（y﹣）2＝（2﹣）2+（）2，即x2﹣（4﹣m）x+y2﹣my＝0，①又圆O的方程为：x2+y2＝4，②，①﹣②，得（4﹣m）x+my﹣4＝0，即m（y﹣x）+4x﹣4＝0，则该直线必过点Q（1，1）．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，考查运算求解能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0；（2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求的最小值．【分析】（1）把a＞0且a+b＝4，代入不等式，利用配方法可求得不等式的解；（2）化简变形，再利用基本不等式，即可求得最小值．【解答】解：（1）由a＞0且a+b＝4，代入不等式f（x）≥0，得ax2+4x+4﹣a≥0，化简，得（x+1）（ax﹣a+4）≥0，∴x≤﹣1或x≥1﹣，当a＞2时，1﹣＞﹣1；∴不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1﹣}；当0＜a＜2时，1﹣＜﹣1，∴不等式的解集为{x|x≤1﹣或x≥﹣1}；当a＝2时，1﹣＝﹣1，∴不等式的解集为R．（2）由f（x）的值域为[0，+∞），可得a＞0，△＝0，∴16﹣4ab＝0，可得ab＝4．＝＝（a﹣b）+≥2＝4．当且仅当a﹣b＝时，的最小值为4．【点评】本题考查二次函数不等式的解法，利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上．（1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积；（2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．【分析】（1）四边形OECF的面积S＝S OBCF﹣S△BOE；（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，过点F作FM⊥AB于点M，利用三角函数的知识可推出种植甲、乙两种蔬菜的面积S甲和S乙；设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y，可用含α的式子表示出y；令f（α）＝tanα﹣，结合正切的两角差公式和基本不等式的性质可求出f（α）取得最小值时，tanα的值，再将其代入S甲的表达式中即可得解．【解答】解：（1）由∠EOF＝60°，∠BOE＝30°，可知OF⊥OB，O为AB中点，∵AB＝2BC，∴OB＝BC，∴四边形FOBC为正方形．在Rt△BOE中，∠BOE＝30°，OB＝20米，∴BE＝，∴四边形OECF的面积为S OBCF﹣S△BOE＝平方米．（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，则∠AOF＝120°﹣α，过点F作FM⊥AB于点M，在Rt△OBE中，BE＝OB•tanα＝20tanα；在Rt△OMF中，OM＝＝，∴DF＝OA﹣OM＝20﹣．∴种植乙种蔬菜的面积S乙＝S△BOE+S ADFO＝OB•BE+（OA+DF）•AD＝×20×20tanα+×[20+20﹣]×20＝200[tanα+2﹣]，种植甲种蔬菜的面积S甲＝S矩形ABCD﹣S乙＝800﹣200[tanα+2﹣]＝200[2﹣tanα+]，设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y，则y＝3m•S甲+m•S乙＝3m×200×[2﹣tanα+]+m×200×[tanα+2﹣]，＝400m×[4﹣（tanα﹣）]．令f（α）＝tanα﹣＝tanα﹣＝，＝＝（tanα+）+﹣≥2﹣＝4﹣，当且仅当tanα+＝2，即tanα＝2﹣时，等号成立．若该空地产生的经济价值y最大，则f（α）应取得最小值，为4﹣，此时tanα＝2﹣，∴S甲＝200[2﹣tanα+]＝200×[2﹣（2﹣）﹣]＝400（﹣1）平方米．故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为400（﹣1）平方米．【点评】本题考查函数的实际应用，还涉及三角恒等变换与基本不等式的性质，选择适当的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析
数学试卷
全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共80分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在数列 中， ， ，则 的值为（ ）
【解析】
【分析】
由 ，都有 ，可得 ，再根据等差数列的性质即可判断.
【详解】 等差数列 的公差 ， ，都有 ，
，
.
故选： .
【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.
12.给定两个单位向量 ， ，且 ，点 在以 为圆心的圆弧 上运动， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题解析：（Ⅰ）由
又 所以 .
（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得 ，所以
点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
.
19.设 为等差数列 的前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的最大值及此时 的值.
【答案】（1） ；（2）当 时， 有最大值为
【解析】
【分析】
【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将 的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出 的最大值以及取最大值时 的值.
20.已知向量 ， 且 .
（1）求 及 ；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） （2） ；
【解析】
试题分析：
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用 这个结论．
湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试卷含答案
湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考高三数学试卷（答案在最后）考试时间：2024年11月11日下午14:00-16:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合201x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}220B x Nx x =∈+-≤∣，则A B = （）A.(]1,1-B.{}0,1,2C.{}0,1 D.{}1,0,1-2.已知i 为虚数单位，若()()1122z i i ++=-+，则z =（）A.1i-+ B.1i-- C.1i+ D.1i-3.已知向量a ，b 满足()3,4a = ，()2,1b =- ，则向量b 在向量a方向上的投影向量为（）A.68,2525⎛⎫⎪⎝⎭ B.(6,8)C.68,55⎛⎫⎪⎝⎭D.(4,2)4.已知角α，β满足tan 2α=，()sin 2cos sin βαβα=-，则tan β=（）A.23B.23-C.43D.43-5.已知函数()26ln 1f x x x ax =++-在区间(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围是（）A.8,⎡--⎣B.(8,--C.7,⎡--⎣D.(8,7)--6.将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）A.55B.77C.91D.1137.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（）A. B.(2π+ C.(1π+ D.(3π+8.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()1f x +是奇函数，且()()114f x g x -++=，()()24f x g x +-=，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()g x 为奇函数C.()()9136k f k g k =⎡⎤-=⎣⎦∑ D.()()9136k f k g k =⎡⎤+=⎣⎦∑二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正实数x ，y 满足2x y +=，则2291x y x y+++的可能取值为（）A.8B.9C.10D.1110.已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F ，2F .过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点.12AF F △的内心为1I ，12BF F △的内心为2I ，则下列说法正确的有（）A.双曲线的离心率为2B.直线AB 的斜率的取值范围为(),-∞+∞C.12I I 的取值范围为2,3⎡⎢⎣⎦D.2112tan3tan 22AF F AF F ∠∠=11.在正三棱锥P ABC -中，AB =PA =，三棱锥P ABC -的内切球球心为O ，顶点P 在底面ABC 的射影为Q ，且PQ 中点为M ，则下列说法正确的是（）A.三棱锥P ABC -的体积为3B.二面角M AB P --的余弦值为277C.球O 的表面积为43π D.若在此三棱锥中再放入一个球1O ，使其与三个侧面及内切球O 均相切，则球1O 的半径为39三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点(),4A a 在抛物线24y x =上，F 为抛物线的焦点，直线AF 与准线相交于点B ，则线段FB 的长度为_____.13.已知直线y ax =与曲线()xe f x x=相切，则实数a 的值为_____.14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为13，不下雨的概率均为23，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足()()*21nnn b n N =+-∈，且()1,0nn n ab b R λλλ+=-∈>.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n c 满足2n n c n a =，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求9T .16.（15分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin A B B Cc a b++=-.（1）求A ；（2）若3,0BC BD AB AD =⋅=，2AD = ，将ABC △沿AD 折成直二面角B AD C '--，求直线AB '与平面B CD '所成角的正弦值.17.（15分）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记X 为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量X 的分布列和数学期望.18.（17分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，其左顶点到点()2,1P 的距离为，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，与直线OP 交于点Q ，且2AB QB =，直线l 与x 轴，y 轴分别交于点M ，N .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当APB △的面积取最大值时，求MON △的面积.19.（17分）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO ）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果R 上的函数()f x 满足条件：①在闭区间[],a b 上连续；②在开区间(,)a b 可导；③()()f a f b =.则至少存在一个(),c a b ∈，使得()0f c '=.据此定理，请你尝试解决以下问题：（1）证明方程：()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=在(0,1)内至少有一个实根，其中a ，b ，c ，d R ∈；（2）已知函数()()()2222222xf x emx e m x m R =-----∈在区间(0,1)内有零点，求m 的取值范围.湖北省部分重点中学2025届高三第一次联考数学试卷参考答案及评分标准选择题：1234567891011CAADBCADCDABDACD填空题：12.10313.24e 14.2881解答题：15.（13分）解：（1）因为{}n a 为等比数列，所以2213a a a =，即()()()2755177λλλ-=--，化简得()()210λλ-+=.因为0λ>，得2λ=.因此()()()11122122131n n nn n n n n a b b +++⎡⎤=-=+--+-=--⎣⎦，易知{}n a 为等比数列；（2）由（1）知，()231nn c n=--.22222291293123489135T c c c ⎡⎤=++⋯+=-⨯-+-+-+-=⎣⎦ ，16.（15分）解：（1）sin sin sin sin A B B C c a b ++=-，a b b c c a b++∴=-，化简得222b c a bc +-=-.由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==-，故23A π=；（2）设BD x =，2CD x =，在ACD △中，由sin sin CD AD DAC C ∠=得22sin30sin x C=，解得1sin 2C x=.①在ABD △中，2sin sin 3AD B C BD x π⎛⎫===- ⎪⎝⎭.②由①、②得27sin ,7B x ==BD ∴=CD =，从而AB =.二面角B AD C '--为直二面角，AB AD '⊥，平面AB D ' 平面ACD AD =，AB '⊂平面AB D '，AB ∴'⊥平面ACD建立如图所示的空间直角坐标系，易知()0,0,0A，()D，()C，(B '，(AB ∴='，(B C ='，(B D '=.设平面B CD '的法向量(),,n x y z = ，则有00n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩'，即0x ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩令1y =，解得()4n =.211cos ,11n AB n AB n AB ⋅∴=''='，故直线AB '与平面B CD '所成角的正弦值为21111.17.（15分）解：（1）若两人交换的是玩具车，则概率为111224⨯=，若两人交换的是玩偶，则概率也为111224⨯=，故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为111442+=.（5分）（2）X 可取的值为0、1、2、3、4，一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为111224⨯=，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为111224⨯=，经过两次交换后()1111044464P X ==⨯⨯=，()1131331117144444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+=()13313311111117244444422222232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()1131311117344444422232P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()1111444464P X ==⨯⨯=，故随机变量X 的分布列为：X 01234P1647321732732164()1717710123426432323264E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.18.（17分）解：（1）设椭圆C 左顶点为D ，则D 坐标为(,0)a -.由PD==，解得2a =.因为椭圆C 的离心率为2c e a ==，得c =1b =.所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=；（2）设A 坐标为(),A A x y ，B 坐标为(),B B x y ，由于A 和B 为椭圆C 上两点，22221414A AB Bx y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩两式相减，得()222204A B A B x x y y -+-=，整理得222214A B A B y y x x -=--.（*）设Q 坐标为(),Q Q x y ，由2AB QB =得Q 为线段AB 的中点，2A B Q x x x +∴=，2A BQ y y y +=.由Q 在线段OP 所在直线上，且P 坐标为(2,1)，则有12OQ OP k k ==，即12Q A B OQ QA B y y y k x x x +===+.由（*）得222214A B A B A B A B A B A B y y y y y y x x x x x x -+-=⨯=--+-，故12A B AB A B y y k x x -==--.设直线l 方程为1,02y x m m =-+≠，联立直线l 与椭圆C 的方程，得221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，整理得()222210x mx m -+-=.由0>△，得m <<且0m ≠.因为直线l 与椭圆C 相交于A 和B 两点，所以2A B x x m +=，()221A B x x m =-.A B AB x ∴=-=点P 到直线l的距离为52d ==，122APB S AB d ∴==-△m <<且0m ≠.记()()()2222f m m m =--，()()()2421f m m m m =---'.由()0f m '=，及m <<0m ≠得12m =即当12m =时，APB S △取最大值.此时直线l 方程为1122y x=-+，与坐标轴交点为()1M -，10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭13522MON S OM ON ∴== △.19.（17分）证明：（1）设()()5432F x ax bx cx dx a b c d x =+++-+++，[]0,1x ∈，则()()4325432F x ax bx cx dx a b c d '=+++-+++，()F x ∴在[]0,1上连续，在(0,1)上可导.又()()010F F ==，由罗尔中值定理知：至少存在一个()00,1x ∈，使得()00F x '=成立，()432000054320ax bx cx dx a b c d ∴+++-+++=.故方程()43254320ax bx cx dx a b c d +++-+++=在(0,1)内至少有一个实根.（2）()()2222222xf x emx e m x =----- ，m R ∈在区间(0,1)内有零点，不妨设该零点为1x ，则()10f x =，()10,1x ∈.由于()()224222xf x e mx e m '=----，易知()f x '在[]10,x 和[]1,1x 上连续，且在()10,x 和()1,1x 上可导.又()()()1010f f x f ===，由罗尔中值定理可得，至少存在一个()210,x x ∈，使()20f x '=；至少存在一个()31,1x x ∈，使得()30f x '=.∴方程()()2242220x f x e mx e m '=----=在(0,1)上至少有两个不等实根2x 和3x .设()()()224222xg x f x emx e m ==--'--，()0,1x ∈，则()282x g x e m =-'.()0,1x ∈ ，()2288,8x e e ∴∈.1 当28m ≤，即4m ≤时，()()0820g x g m >=-'≥'，故()g x 在(0,1)上单调递增；方程()0g x =在(0,1)上至多有一个实根，不符合题意，舍去2 当228m e ≥，即24m e ≥时，()()21820g x g e m <=-'≤'，故()g x 在(0,1)上单调递减.方程()0g x =在(0,1)上至多有一个实根，不符合题意，舍去3 当244m e <<时，由()0g x '=得()1ln 0,124mx =∈，10,ln 24m x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，有()()0,g x g x '<单调递减；1ln ,124m x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有()()0,g x g x '>单调递增.()g x ∴在(0,1)上的最小值()min 1ln 24m g x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.注意到()221422525202g e e e e e e ⎛⎫=+-<-=-<⎪⎝⎭，则有()min 11ln 0242m g x g g ⎛⎫⎛⎫=≤< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 方程()0g x =在(0,1)上至少有两个不等实根，()()2206201220g m e g e m ⎧=+->⎪∴⎨=-+>⎪⎩，解得222622e m e -<<+.结合244m e <<，且22262 2.564e ->⨯->，222222224e e e e +<+=，故m 的取值范围为()2226,22e e -+.。
湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期中语文试题(含答案)
湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期中语文试题（含答案）湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一下学期期中语文试题一、非连续性文本阅读阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：园林命名之最高标准，张岱已明言“无有一字入俗”，这也是园林命名同现代的“主题园”的区别。
后者仅仅指出命名是表达景致的某一主题思想，而园林命名的关键却不只在于“主题”，更在于雅俗。
有人认为使用古人典故就是“不俗”了，《红楼梦》第十七回中以两处题名指出了这一观念的问题，在“由径通幽”，宝玉言之“编新不如述旧，刻古终胜雕今”，这自然是常说的“古雅”了；而在“沁芳桥”，宝玉又不喜欢别人那些“述古”的名字了。
通观全篇，其所涉用典之俗的问题大抵有三：一日陈旧，二曰犯忌，三曰“不中”。
所谓陈旧，就是用典太过俗滥，了无新意。
如众人到了潇湘馆时，论此处匾该题四字。
有人说：“淇水遗风。
”贾政道：“俗。
”又一个道：“睢国遗迹。
”贾政道：“也俗。
”二者一处用《诗经·卫风·淇奥》“瞻彼淇奥，绿竹猗猗。
有匪君子，如切如磋，如琢如磨”之典；另一处用睢园，即汉梁孝王“绿竹荫诸”的菟园之典，都同潇湘馆最点景的物“竹”有关，也算应题，为何被政老称“俗”呢？主要在于，这两个典故是文人看到“竹”最容易想到的典故，几乎已经是陈词滥调了，而由自我妙思所感知的此处景致之独特也自然不可见了。
犯忌者，多是同政事人情相悖之意。
这看似同雅俗无关，但所“雅”者，乃是寓于此间而得其遗世独立之精神；若不能意会禁忌之“度”，便是同时俗产生了冲突，难得独我之幽趣了。
一犯在违制。
如“蓼汀花淑”一景，有人拟出“秦人旧舍”，宝玉立即指出“背谬了”，桃花源之典故，本是讲“为避秦乱”而隐居的一村人，他们皆“不知有汉，无论魏晋”，这无疑暗藏着对政治的不满。
二犯在重名。
“稻香村”最初有人题名“杏花村”获得众人赞赏，贾政却向众人道：“‘杏花村’固佳，只是犯了正名，村名直待请名方可。
湖北省武汉一中等部分重点中学联考2018-2019学年高一下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析.pdf
A ．a=1， b= ， A=30 °
B ． a=1， b=2 ， c=3
C． b=c=1 ， B=45 °
D ． a=1， b=2 ， A=100 °
4．已知
4
4
，则 sin θ﹣cos θ的值为（）
A．
B．
C．
D．
5．若等差数列 {a n} 满足 a7+a 8+a9＞ 0， a7+a10＜0，则当 {a n} 的前 n 项和最大时 n 的值为（）
cos2θ﹣
2
sin θ的值代入计算
即可求出值．
解答：
解：∵
cos2θ=cos2θ﹣
sin
2
θ=
，
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求． ）
1． +1 与 ﹣1 的等差中项是（）
A ．1
B． ﹣1
C．
D． ±1
2．计算 sin77°cos47°﹣ sin13°cos43°的值等于（）
A．
B．
C．
D．
3．符合下列条件的三角形 △ABC 有且只有一个的是（）
④ 若 Sn 是等比数列 {a n} 的前 n 项和，且
n
Sn=Aq +B ；（其中
A 、B 是非零常数，
n∈N *），则
A+B 为零； ⑤ 已知 △ ABC 的三个内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a， b， c，若 a2+b2＞c2，则 △ ABC 一
定是锐角三角形．
其中正确的的个数是（）
，
A=30 °，则 c=．
15．已知数列 {a n} ， {b n} 都是等差数列， Sn， Tn 分别是它们的前 n 项和，并且
湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期期中联考地理试卷(含答案)
湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高一下学期期中联考地理试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题在甘肃省敦煌市向西约20公里处;被称为“超级镜子发电站”的首航高科敦煌100兆瓦熔盐塔式光热电站在戈壁滩上闪耀。
电站内的 1.2万多面定日镜以同心圆状围绕着260米高的吸热塔。
下图为光热电站景观图。
据此完成下面小题。
1、与武汉(114°E,30°N))相比,敦煌(95°E,40°N)太阳能资源更丰富的原因是( )①植被稀疏,反射强②沙漠广布,地面辐射强③气候干旱,晴天多④海拔高,大气的削弱作用弱A.①②B.②③C.③④D.①④2、为了保证定日镜的的聚光效率,需要定期对其进行维护的项目是( )A.镜面除尘B.地面除草C.调整角度D.检修设备3、敦煌一年中发电效率最高的月份是( )A.1月B.5月C.8月D.11月下图班公错是青藏高原西部最大的湖泊,湖面海拔4240米,长约155千米;南北宽约15千米,最窄处仅5米。
该湖水质奇特,盐度东西方向差异大且湖水透明度极高。
据此完成下面小题。
4、图示区域主要参与的水循环类型是( )A.海陆间循环B.海上内循环C.陆地内循环D.海—气循环5、班公错湖水透明度高的自然原因有( )①海拔高,水温低,浮游生物少②大风天气多,污染物质扩散快③人类活动少,污染小④冻土广布,土质坚硬,流水难以侵蚀A.①②B.②③C.③④D.①④6、下列关于班公错说法,错误的是( )A.是国际性湖泊B.东淡西咸C.无结冰期D.5~10月是最佳游览时间下图为某时刻某区域等压线分布图,据此完成下面小题。
7、图中风速最大的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁8、图中最可能是阴雨天气的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁9、下图符合甲地沿线剖面天气系统分布的是( )A.①B.②C.③D.④下图为“甲、乙两国局部简图”,甲国为澳大利亚,乙国为日本,据此完成下面小题。
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题0分，共计60分）1. 已知集合A ＝{x|4≤x <8}，B ＝{x|2<x <10}，则(∁R A)∩B ＝（ ） A.{x|4≤x <8} B.{x|2<x <8}C.{x|4<x <10}D.{x|2<x <4}∪{x|8≤x <10}2. 已知f(x)={−lg x,x >0a x +b,x ≤0 且f(0)＝2，f(−1)＝4，则f （f(−2)）＝（ ）A.−1B.2C.3D.−33. 设α是第二象限角，cos α=−35，则tan α＝（ ） A.43 B.34C.−34D.−434. 与−525∘的终边相同的角可表示为（ ） A.525∘−k ⋅360∘(k ∈Z) B.165∘+k ⋅360∘(k ∈Z) C.195∘+k ⋅360∘(k ∈Z) D.−195∘+k ⋅360∘(k ∈Z)5. 已知函数f(x)＝−x 2+4x ，x ∈[m, 5]的值域是[−5, 4]，则实数m 的取值范围是（ ） A.(−∞, −1) B.(−1, 2] C.[−1, 2] D.[2, 5)6. 已知tan (π−α)=−23，且α∈(−π, −π2)，则cos (−α)+3sin (π+α)cos (π−α)+9sin α的值为（ ）A.−15B.−37C.15D.377. 函数y =12sin 2x +sin 2x ，x ∈R 的值域是（ ） A.[−12, 32] B.[−32, 12]C.[−√22+12,√22+12]D.[−√22−12,√22−12]8. 已知0<α<π2，−π2<β<0，cos (α−β)=−513，sin α=45，则sin β＝（ ） A.725 B.−725C.5665D.−56659. 函数y ＝sin 2x +cos 2x 如何平移可以得到函数y ＝sin 2x −cos 2x 图象（ ） A.向左平移π2 B.向右平移π2C.向左平移π4D.向右平移π410. 给定两个向量a →=(3,4)，b →=(2,1)，若(a →+xb →)⊥(a →−b →)，则x 的等于（ ） A.−3 B.32C.3D.−3211. 设D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，则DA →+EB →+FC →=( ) A.12DA →B.13DA →C.14DA →D.0→12. 已知函数f(x)＝sin (2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)>f(π)，则f(x)的单调递增区间是（ ） A.[kπ−π3, kπ+π6](k ∈Z) B.[kπ, kπ+π2](k ∈Z) C.[kπ+π6, kπ+2π3](k ∈Z)D.[kπ−π2, kπ](k ∈Z)二、填空题（每小题0分，共计20分）13. 函数y =√x−4|x|−5+1log 3(x−3)的定义域为________14. 函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, φ∈[0, 2π)）的图象如图所示，则φ＝________．15. 若奇函数f(x)在其定义域R 上是减函数，且对任意的x ∈R ，不等式f(cos 2x +sin x)+f(sin x −a)≤0恒成立，则a 的最大值是________．16. 如图，O 为直线A 0A 2017外一点，若A 0，A 1，A 2，A 3，…，A 2017中任意相邻两点的距离相等，设 OA →0=a →，{OA →_{2017} = \overset{ ∖rigℎtarrow }{b}}，用a →，b →表示{OA →_{0} + OA →_{1} + ∖cdots ∖cdots + OA →_{2017}}，其结果为________．三、解答题（70分，解答题须写出解题过程）17. 已知集合A ＝{x|5x >1}，集合B ={x|log 13(x +1)>−1}．(Ⅰ)求(∁R A)∩B ；(Ⅱ)若集合C ＝{x|x <a}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．18. 化简：（1）sin 10(1+√3tan 70)；（2）已知a 为第三象限角，化简：cos α√1−sin α1+sin α+sin α√1−cos α1+cos α．19. 已知cos α=17，cos (α−β)=1314，且0<β<α<π2， （1）求tan α的值；（2）求β．20. 设f(x)=2√3sin(π−x)sin x−(sin x−cos x)2．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(π6)的值．21. 如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=A sin(ωx+2π3)(A>0, ω>0)，x∈[−4, 0]时的图象，且图象的最高点为B(−1, 2)．赛道的中间部分为长√3千米的直线跑道CD，且CD // EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DÊ．（1）求ω的值和∠DOE的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DÊ上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．22. 已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)（其中ω>0，x＝R，|φ|<π）的图象与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6, 0)，又f(2+x)＝f(2−x)，f(0)<0．（1）求这个函数解析式；（2）设关于x的方程f(x)＝k+1在[0, 8]内有两个不同根a，β，求a+β的值及k的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题0分，共计60分）1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】D12.【答案】C二、填空题（每小题0分，共计20分） 13.【答案】(4, 5)∪(5, +∞) 14. 【答案】 π4 15. 【答案】 −3 16. 【答案】 1009(a →+b →)三、解答题（70分，解答题须写出解题过程）17.【答案】（1）依题意有A ＝{x|x >0}，B ＝{x|−1<x <2}，∵ A ＝{x|x >0}，∴ ∁R A ＝{x|x ≤0}，∴ (∁R A)∩B ＝{x|−1<x ≤0}； （2）∵ B ∪C ＝C ，∴ B ⊆C ，∵ B ＝{x|−1<x <2}，C ＝{x|x <α}，∴ α≥2． 18. 【答案】sin 10(1+√3tan 70)=sin 10(1+√3sin 70cos 70)=sin 10(cos 70+√3sin 70)cos 70，=2sin 10cos 10sin 20=1；∵ a 为第三象限角，则cos α√1−sin α1+sin α+sin α√1−cos α1+cos α，＝cos α⋅√(1−sin α)21−sin 2α+sin α√(1−cos α)21−cos 2α，＝−(1−sin α)−(1−cos α)＝−2+sin α+cos α． 19. 【答案】因为cos α=17，cos (α−β)=1314，且0<β<α<π2，∴ α−β>0 所以sin α=√1−(17)2=4√37， ∴ tan α=sin αcos α=4√3717=4√3；cos (α−β)=1314，且0<β<α<π2，∴ α−β>0， α−β∈(0, π2)，∴ sin (α−β)=√1−cos 2(α−β)=√1−(1314)2=3√314， cos β＝cos [(α−(α−β)]＝cos αcos (α−β)+sin αsin (α−β) =17×1314+3√314×4√37=12，∵ 0<β<α<π2，∴ β=π3． 20. 【答案】解：(1)∵ f(x)=2√3sin (π−x)sin x −(sin x −cos x)2 =2√3sin 2x −1+sin 2x=2√3⋅1−cos 2x2−1+sin 2x=sin 2x −√3cos 2x +√3−1 =2sin (2x −π3)+√3−1，令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，k ∈Z ， 即kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ∴ 函数的增区间为[kπ−π12, kπ+5π12]，k ∈Z ．(2)把y =f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得y =2sin (x −π3)+√3−1的图象； 再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y =g(x)=2sin x +√3−1的图象， ∴ g(π6)=2sin π6+√3−1=√3．21. 【答案】由条件，得A ＝2，T4=3． ∵ T =2πω，∴ ω=π6． ∴ 曲线段FBC 的解析式为y =2sin (π6x +2π3)．当x ＝0时，y =OC =√3．又CD =√3，∴ ∠COD =π4,∠DOE =π4． 由（1），可知OD =√6．又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在弧DE 上，故OP =√6．设∠POE ＝θ，0<θ<π4，“矩形草坪”的面积为S =√6sin θ(√6cos θ−√6sin θ)=6(sin θcos θ−sin 2θ)=6(12sin2θ+12cos2θ−12)=3√2sin(2θ+π4)−3．∵0<θ<π4，故2θ+π4=π2,θ=π8,S取得最大值．22.【答案】由题意x＝2是对称轴，又f(x)的图象与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6, 0)．∴T＝4(6−2)＝16，∴ω=π8．∴sin(π8×6+φ)=0，∴3π4+φ=kπ,k∈Z，结合f(0)＝sinφ<0且|φ|<π得φ=−3π4．∴f(x)=sin(π8x−3π4)．令t=π8x−3π4，由x∈[0, 8]得t∈[−3π4,π4]．所以原题即转化为g(t)＝sin t，t∈[−3π4,π4]与y＝k+1的图象有两个不同交点的问题．作出它们的图象如下：由图可知，当y＝k+1的图象介于y＝−1和y=−√22之间时，有两个交点．故−1<k+1≤−√22，即−2<k≤−1−√22时方程有两个不同的实数根t1，t2．易知t1+t2=2×(−π2)=−π，∴π8α−3π4+π8β−3π4=−π，整理得α+β＝4．故a+β的值是4，k的取值范围为(−2, −1−√22]．。