判定平行四边形五种方法
平行四边形判定方法
平行四边形判定方法
平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质。
在几何学中，我们经常需要判定一个四边形是否为平行四边形，本文将介绍几种判定平行四边形的方法。
首先，我们可以通过四边形的对边是否平行来判定它是否为平行四边形。
如果一个四边形的对边是平行的，那么它就是一个平行四边形。
这是平行四边形的最基本的判定方法，也是最直观的方法之一。
其次，我们可以通过四边形的对角线是否相等来判定它是否为平行四边形。
如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个平行四边形。
这个方法常用于菱形和正方形的判定，因为菱形和正方形都是特殊的平行四边形。
另外，我们还可以通过四边形的内角是否相等来判定它是否为平行四边形。
如果一个四边形的内角相等，那么它就是一个平行四边形。
这个方法常用于矩形和正方形的判定，因为矩形和正方形都是特殊的平行四边形。
最后，我们可以通过四边形的对边是否相等和对角线是否平分对角来判定它是否为平行四边形。
如果一个四边形的对边相等且对角线平分对角，那么它就是一个平行四边形。
这个方法常用于菱形的判定，因为菱形具有这样的特点。
在实际问题中，我们可以根据需要选择合适的方法来判定一个四边形是否为平行四边形。
有时候，我们需要结合多种方法来进行判定，以确保结果的准确性。
总之，判定一个四边形是否为平行四边形，需要我们熟练掌握几种方法，并在实际问题中灵活运用。
希望本文介绍的方法能够对大家有所帮助。
由对角线的关系判定平行四边形
知2－讲
导引：两条线段的数量关系有相等或倍分，位置关系 有平行或相交，而相交的特殊情况有垂直、互 相平分，如图，连接AF，CE，分析本题可证 四边形AECF是平行四边形，则AC与EF互相 平分．
解：AC与EF互相平分．
知2－讲
方法一：连接AF，CE，如图.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，CF∥AE，
知1－讲
证明： 连接BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC (平行 四边形的对角线互相平分). 又∵AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. ∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分
的 四边形是平行四边形）.
知1－练
1 如图，延长△ABC的中线AD至点E，使DE=AD, 那么四边形ABEC是平行四边形吗？为什么？
知1－练
2 如图，在 ABCD中，两条对角线AC和BD相 交于点O, E、F、G、H分别是AO、BO、CO、 DO的中点，以图中标明字母的点为顶点，尽可 能多地画出平行四边形.
知1－练
3 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点 O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的 是( ) A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD C．AD＝BC，AB∥CD D．AB＝CD，AD＝BC
要点精析：
知2－讲
(1)判定平行四边形的五种方法各有妙用，应仔细观
察题图所给Байду номын сангаас件，看它与哪种方法接近，灵活选
择适合题目的判定方法；
(2)这五种方法与平行四边形的性质相呼应，每一种
方法都对应着一条性质，要注意它们的区别与联
系．
①由平行四边形这一条件得到边、角、对角线关
平行四边形的判定
平行四边形的判定主要从三个方面看：
（1）从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（2）从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（3）从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
解决平行四边形有关题目时，要充分挖掘平行四边形本身的性质
（1）解决平行四边形的题目，首先要挖掘平行四边形本身的性质。
（2）证明两条线段相等常常转化成证明两线段所在的三角形全等。
（3）求平行四边形的面积关键是找这一条边上的高，周长主要是求一组邻边的和，常用方程或方程组的方法解决．
（4）根据已知条件有边考虑边，有角考虑角，灵活选择平行四边形性质和判定方法是解决问题的关键
（5）证明四边形为平行四边形，一般转化为三角形全等的问题.
（6）有时要把几何问题用方程思想来求解。
（7）利用对角线的性质可求平行四边形的边、对角线以及进行平行四边形的证明.对于平行四边形的题目只要有对角线，一般先考虑对角线的判定方法．
（8）对于平行四边形的问题有角的关系时，一般考虑对角或邻角的性质和判定方法．
☆熟记点：平行四边形的五种判定方法．
☆注意点：凡是能用平行四边形知识证明的问题，不要再用三角形全等证明．
☆技巧点：在四边形中证明线段，角相等或线线平行，一般先判定四边形是不是平行四边形，若是，则可直接用平行四边形的性质去解决问题，若不是，则利用添辅助线构造出平行四边形的方法解决问题．。
平行四边形知识点总结
平行四边形知识点总结平行四边形是几何中的一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特点。
在学习几何学的过程中，了解平行四边形的各种知识点是非常重要的。
本文将对平行四边形的定义、性质、判定条件、相关定理等知识点进行总结，希望对读者们有所帮助。
一、定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
换句话说，如果一个四边形的两对对边分别平行，则这个四边形就是平行四边形。
在平行四边形中，相邻的两条边互相平行，而对角线长相等。
此外，平行四边形是菱形和矩形的特殊情况。
二、性质1. 对边平行性：平行四边形的两对对边分别平行。
2. 对角相等性：平行四边形的对角相等，即相对的两个角相等。
3. 交叉角相等性：平行四边形的交叉角相等，即相对的两个对边之间的角相等。
4. 相邻角补角性：平行四边形的相邻角互为补角。
5. 对角和：平行四边形的对角之和为180度。
6. 对角线长相等：平行四边形的对角线长相等。
7. 重心：平行四边形的对角线交点是平行四边形的重心。
8. 对角线相交：平行四边形的对角线彼此相交于中点。
以上是平行四边形的一些基本性质，在解题过程中，可以根据这些性质来判断和推理。
三、平行四边形的判定条件1. 两对对边分别平行根据平行四边形定义可知，平行四边形的判定条件就是具有两对对边分别平行。
2. 对角线长相等对于一个四边形，如果其对角线长相等，则可以判定为平行四边形。
3. 对角相等如果一个四边形的对角相等，则可以判定为平行四边形。
以上是平行四边形的判定条件，可以根据这些条件来判断一个四边形是否为平行四边形。
四、相关定理在学习平行四边形的过程中，还有一些相关定理也是非常重要的。
以下是一些常见的相关定理：1. 单位法则：平行四边形的对边平行，可以利用单位法则进行求解。
2. 等边平行四边形：如果一个四边形的四条边长度相等，则这个四边形是等边平行四边形。
3. 等腰平行四边形：如果一个四边形的两对对边分别平行且具有相等的对边，则这个四边形是等腰平行四边形。
专题 平行四边形性质与判定五种考法
专题09平行四边形性质与判定常见的五种考法【考法一平行四边形判定填条件】例题：（2022·黑龙江·克东县第三中学一模）如图，点E、F在ABCD的对角线AC上，连接BE、DE、DF、BF，请添加一个条件使四边形BEDF是平行四边形，那么需要添加的条件是______．（只填一个即可）【变式训练】1．（2022·全国·八年级课前预习）ABCD中，已知AB＝CD＝4，BC＝6，则当AD＝________时，四边形ABCD 是平行四边形．2．（2022·人大附中北京经济技术开发区学校八年级期中）在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是_____．（只要填写一种情况）3．（2021·全国·八年级课时练习）点A、B、C、D在同一平面内，从（1）AB//CD，（2）AB=CD，（3）BC//AD，（4）BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有_______种4．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是．5．（2021·全国·八年级课时练习）如图，点E、F是ABCD的对角线BD上的点，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是（只需要填一个正确的即可）．【考点二平行四边形性质与判定综合考】例题：（2022·浙江绍兴·八年级期中）如图，等边ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC到点F，使12CF BC=，连接DE，CD，EF．(1)求证：四边形DCFE是平行四边形．(2)若6AB=，求四边形DCFE的周长．【变式训练】1．（2022·河南新乡·八年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E是CD 的中点，若AB＝6，OE＝5．(1)求BC的长；(2)求平行四边形ABCD的面积2．（2022·山东烟台·一模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)连结BD交AC于点O，若BD=12，AE=EF-CF，求EG的长．3．（2022·新疆昌吉·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC、AB的中点，连接CE、DE，过D点作DF∥CE交BC的延长线于F点．(1)证明：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13cm，AC＝5cm，求四边形DECF的周长．4．（2022·山东济南·八年级期末）点E 是▱ABCD 的边CD 上的一点，连接EA 并延长，使EA ＝AM ，连接EB 并延长，使EB ＝BN ，连接MN ，F 为MN 的中点，连接CF ，DM ．(1)求证：四边形DMFC 是平行四边形；(2)连接EF ，交AB 于点O ，若OF ＝2，求EF 的长．5．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期末）已知：△ABC ，AD 为BC 边上的中线，点M 为AD 上一动点（不与点A 重合），过点M 作ME ∥AB ，过点C 作CE ∥AD ，连接AE ．(1)如图1，当点M 与点D 重合时，求证：①△ABM ≌△EMC ；②四边形ABME 是平行四边形(2)如图2，当点M 不与点D 重合时，试判断四边形ABME 还是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(3)如图3，延长BM 交AC 于点N ，若点M 为AD 的中点，求MN AE的值．【考点三平行四边形动点问题】例题：（2022·湖北宜昌·八年级期末）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE AB于点E，连接PQ交AB于点D．（1）若设AP=x，则PC=，QC=；(用含x的式子表示)（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；（3）在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．【变式训练】1．（2021·浙江·衢州市菁才中学八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F．若动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿BC向终点C运动；与此同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向终点B运动；当有其中一点到达终点时，另一点也将停止运动．当点P运动_________秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．2．（2022·安徽·宣州市雁翅乡初级中学二模）如图1，在梯形ABCD 中，90A B ∠=∠=，AD BC ∥，12,21,AB AD ==，16BC =，一动点P 从点A 出发，在线段AD 上以每秒2个单位长度的速度向点D 运动，动点Q 同时从点B 出发在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当点P 运动到点D 时，点Q 随之停止运动，设运动时间为t （秒），(1)当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形；(2)当t 为何值时，PQC △是以PQ 为腰的等腰三角形3．（2021·福建·三明一中九年级开学考试）如图，点B 是∠MAN 的边AM 上的定点，点C 是边AN 上的动点，将△ABC 绕点逆时针旋转得到△，且点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，连结CE ．当BC =AC 时，（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形；（2）若AB ＝15，AD ＝18，求AC 的长．4．（2021·四川·达州市通川区第八中学八年级阶段练习）已知在▱ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动．（1）如图1，在运动过程中，若CP平分∠BCD，且满足CD＝CP，求∠B的度数．（2）在（1）的条件下，若AB＝4cm，求△PCD的面积．（3）如图2，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD＝6cm，求当运动时间为多少秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．5．（2021·山东青岛·八年级期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点（与A，C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），连接PQ交AB 于D．（1）设AP的长为x，则PC＝，QC＝；（2）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（3）过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，过点P作PE⊥AB交AB延长线于点E，则EP，QF有怎样的关系？说明理由；（4）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长【考点四平行四边形动点最值问题】例题：（2022·广东·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AD ＝8，AB ＝4，点H 、G 分别是边DC 、BC 上的动点，其中点H 不与点C 重合．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ，则EF 的最大值与最小值的差为_____________．【变式训练】1．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD 纸片中，∠BAD =45°，AB =10．将纸片折叠，使得点A 的对应点A ＇落在BC 边上，折痕EF 交AB 、AD 、AA ＇分别于点E 、F 、G ．继续折叠纸片，使得点C 的对应点C ＇落在A ＇F 上．连接GC ＇，则GC ＇的最小值为（）A ．52B ．2C ．54D 2．（2021·贵州·仁怀市教育研究室二模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在AC 边上，以AB 为对角线的平行四边形ADBN 中，M 是对角线的交点，DN 的最小值是__________．3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝4，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的ADCE中，则DE的最小值是______．【考点五平行四边形中无刻度作图】例题：（2021·湖北恩施·九年级阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，画出∠DAE（2）在图2中，画出∠AEC的平分线．【变式训练】1．（2021·全国·八年级专题练习）在图1，图2中，点E是ABCD边AD上的中点，请仅用无刻度直尺按要求画图，（保留作图痕迹）（1）在图1中，以BC为边作三角形，使其面积等于ABCD的面积；（2）在图2中，以BE，ED为邻边作四边形，使其面积等于ABCD面积的一半．2．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC，点E是AC的中点，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）(1)在图1中，画出△ACD的边AD上的中线CM；(2)在图2中，若AC=AD，画出△ACD的边CD上的高AN．3．（2021·江西赣州·八年级期末）在平行四边形ABCD中，点E在AD上，仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，在BC上找一点F，使AE＝CF．（2）如图2，若AB＝AE，作∠D的平分线DG．4．（2020·江西南昌·八年级期中）如图1，2，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图．（1）在图1中，在四边形外部画一个与三角形ABE全等的三角形．（2）在图2中，在四边形内部画一个与三角形ABE全等的三角形．5．（2020·江西南昌·八年级期中）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AC BC，AE是△ABC的中线，请使用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（1）在图1中，过点E画出CD的平行线EF；（2）在图2中，画出△ABC的高CH．6．（2021·江西·九年级）请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，点P是▱ABCD边AD上的中点，过点P画一条线段PM，使PM＝12 AB；（2）在图2中，点A、D分别是▱BCEF边FB和EC上的中点，且点P是边EC上的动点，画出△PAB的一条中位线．11。
平行四边形判定经典题型
平行四边形判定经典题型摘要：一、平行四边形的定义和性质二、平行四边形的判定方法1.两组对边分别平行2.两组对边分别相等3.一组对边平行且相等4.两组对角分别相等5.对角线互相平分三、经典题型解析1.题目一2.题目二3.题目三4.题目四5.题目五正文：平行四边形是初中数学中一个重要的基本图形，它具有许多独特的性质，其中最重要的性质之一就是可以通过一些特定的条件来判定一个四边形是否为平行四边形。
这些判定方法包括两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等以及对角线互相平分。
首先，如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
这是最直接的判定方法。
其次，如果两组对边分别相等，那么这个四边形也是平行四边形。
这种情况下，四边形的一组对边可能相等，也可能不等。
再者，如果一组对边平行且相等，那么这个四边形也是平行四边形。
这种情况下，另一组对边可能平行，也可能相等。
此外，如果两组对角分别相等，那么这个四边形也是平行四边形。
最后，如果对角线互相平分，那么这个四边形也是平行四边形。
在实际做题过程中，我们需要根据题目给出的条件，灵活运用这些判定方法。
下面，我们通过五个经典题型来具体解析这些判定方法的应用。
题目一：如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是什么？解析：根据上述判定方法，这个四边形是平行四边形。
题目二：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是什么？解析：根据上述判定方法，这个四边形是平行四边形。
题目三：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是什么？解析：根据上述判定方法，这个四边形是平行四边形。
题目四：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是什么？解析：根据上述判定方法，这个四边形是平行四边形。
题目五：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是什么？解析：根据上述判定方法，这个四边形是平行四边形。
数平行四边形的方法和技巧
数平行四边形的方法和技巧如何求解平行四边形的方法和技巧平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的，而且对边长度相等。
在解决平行四边形问题时，我们可以运用一些方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将一步一步回答如何求解平行四边形的方法和技巧。
第一步：了解平行四边形的基本属性在求解平行四边形时，首先需要了解它的基本属性。
平行四边形的对边是平行的，而且对边长度相等，这意味着我们可以利用这些属性来解决问题。
第二步：利用平行四边形的性质推导出其他结论平行四边形具有一些重要的性质，可以帮助我们推导出其他结论，从而解决问题。
以下是一些常用的性质：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的。
这意味着我们可以利用对边平行的性质来推导出其他结论。
2. 对边等长性质：平行四边形的对边长度相等。
这意味着我们可以利用对边等长的性质来推导出其他结论。
3. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。
这意味着我们可以利用内角和的性质来推导出其他结论。
通过运用这些性质，我们可以推导出一些重要的结论，如同位角相等、内错角相等等。
这些结论可以帮助我们更好地理解和解决平行四边形的问题。
第三步：利用平行四边形的特殊性质解决问题在解决平行四边形问题时，我们还可以利用其特殊性质，采用一些特定方法和技巧。
1. 平行线截取等腰三角形：当我们需要求解平行四边形的边长或角度时，可以利用平行线截取等腰三角形的方法。
我们可以通过画一条辅助线，构造一个等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质来求解平行四边形问题。
2. 平行线截取相似三角形：当我们需要求解平行四边形的边长比或者面积比时，可以利用平行线截取相似三角形的方法。
我们可以通过画一条辅助线，构造一个相似三角形，从而利用相似三角形的性质来求解平行四边形问题。
3. 使用向量法：当给定平行四边形的顶点坐标时，我们可以使用向量法来求解平行四边形的边长、面积等问题。
我们可以将平行四边形的向量表示进行计算，从而得到所求解的结果。
平行四边形的判定
F
连接CD、AF、CF
∵AE=EC
∴DE=EF
B
C
∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD FC 又D为AB中点， ∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
D
B
证法三：过点 C 作 AB 的平行 A 线交DE的延长线于F ∵CF∥AB， E F ∴∠A=∠ECF 又AE=EC，∠AED=∠CEF C ∴△ADE≌△CFE ∴ AD=FC 又DB=AD， ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
1 E 2
C
B
∴DF∥BC，DF＝BC 即DE∥BC 1 又∵ DE 1 DF DE BC 还有另外的证法吗？ 2 2
∴△ADE ≌ △CFE F ∴AD=FC 、∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又AD=DB ∴BD∥ CF且 BD =CF ∴四边形BCFD是平行四边形
证明：如图，延长DE至F, 使EF=DE， A
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边 的一半。 A
用符号语言表示 ∵DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC， 位置关系 1 DE= BC. 数量关系 2
D
E
B
C
三角形的中位线定理:三角形的中位线 平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三角形的中位线定理的主要用途：
A
(1)证明平行 (2)证明一条线段是另一条线
设置情境
小明的爸爸在钉制一个框架时采用了下面的方法：
将两根同样长的木条AB,CD平行放置，再用两根木 条AD，BC加固，得到的这个四边形ABCD是平行四 边形吗？
A B
平行四边形的判定(2)
从边 考虑
从角考虑 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 从对角线考虑 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
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1. 如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边 形．求证：四边形ABCD是平行四边形． A E B C
（一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形）
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变式题
如图，在 ABCD中，E，F分别是 AB，CD上的点，且AE=CF ． 求证：四边形 EBFD是平行四边形． F D
C
A
E
B
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判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？ 具体有哪些方法？
B
证明：连接BD ∵ AB∥CD ∴∠ABD ＝ ∠CDB D 又AB ＝CD ，BD ＝ DB ∴△ABD ≌△CDB ∴AD ＝ CB ∴四边形ABCD是平行四边形
C
根据刚才的证明你能概括出判定一个四边形是平 行四边形的第五种方法吗
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判定方法（5）
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
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例4
在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点． 求证：四边形 EBFD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AB∥CD(即：EB∥FD) D
∴EB=FD A ∴ EB // FD且EB=FD ∴四边形EBFD是平行四边形。
F
C B
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平行四边形解题方法与技巧
♦解读平行四边形1.正确理解平行四边形的概念有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.用数学语言表示为:在四边形ABCD中,若AB〃DC,AD#BC,则四边形ABCD是平行四边形.记作口ABCED.平行四边形的定义也是判定一个四边形是不是平行四边形的一种方法.2.掌握平行四边形的性质平行四边形的性质可以从以下三个方面去理解：(1)从边着眼:平行四边形的两组对边分别平行且相等；(2)从角着眼:平行四边形的两组对角分别相等,邻角互补；(3)从对角线着眼:平行四边形的对角线互相平分.事实上，平行四边形的对角线除了互相平分外，它还是将四边形转化为三角形的“桥梁”，在处理许多与平行四边形有关的问题时,常用“对角线”互相平分这一性质解决.如：OABCD的周长为26,对角线AC和BD相交于点0,若AAOB的周长比AAOD的周长多1,这样我们就可以利用平行四边形的对边相等和对角线互相平分得到AB+AD=13,,AB-AD=1,从而求得AB=7,AD=6.3.掌握平行四边形的判定方法判定一个四边形是平行四边形的方法主要有：(1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等；(3)一组对边平行且相等；(4)两组对角分别相等；(5)两条对角线互相平分.♦平行四边形性质的活用平行四边形除了具有一般四边形的性质外，还具有以下特性：(1)对边平行且相等；⑵对角相等,邻角互补；(3)对角线互相平分；⑷是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心；(5)平行四边形被对角线分成的4个三角形的面积相等.例1:已知：如图，在DABCD中，E、F分别是AB、CD的中点.求证：(1)AAFD^ACEB；(2)四边形AECF 是平行四边形.例2:如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且NDAF二NBCE.(1)求证：△DAFSBCE；(2)若NABC=60°,NECB=20°,NABC的平分线BN交AF与M,交AD于N,求NAMN的度数.♦判定平行四边形的五种基本方法判定平行四边形的五种方法1 .两组对边分别平行例：如图1,已知4ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE,连结DE 并延长至点F,使 EF=AE,连结AF 、BE 和CF⑴请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；⑵判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
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创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别 例1 如图1,在平行四边形ABCD 中,E 、F 在对角线AC 上,且AE =CF ,试说明四边形DEBF 是平行四边形. 分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD . 解：连接BD 交AC 于点O .因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AO =CO ,BO =DO . 又AE =CF ,所以AO -AE =CO -CF ,即EO =FO .所以四边形DEBF 是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF =BC =1,AB =FC =1, 所以四边形ABCF 是平行四边形.同样可知四边形FCDE 、四边形ACDF 都是平行四四边形.因为AE =DB =2,AB =DE =1,所以四边形ABDE 也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别 例3 如图3，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ,DF =BE ,DF ∥BE ，试说明四边形ABCD 是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边图1 图2 A B C D EF形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF ≌△CBE ，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DF ∥BE ，所以∠AFD =∠CEB .因为AE =CF ,所以AE +EF =CF +EF ，即AF =CE .又DF =BE ,所以△ADF ≌△CBE ，所以AD =BC ，∠DAF =∠BCE ，所以AD ∥BC .所以四边形ABCD 是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF 是平行四边形.理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，所以AF ∥EC .又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE ∥CF .所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、 两组对边分别平行 如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD =CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF =AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：（1）选证△BDE ≌△FEC证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC ，∠ACD =60°∵CD =CE ，∴BD =AE ，△EDC 是等边三角形∴DE =EC ，∠CDE =∠DEC =60°A FB DC E 图1A C D E F 图4 1 3 2∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EF A=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等例2已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。
分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。
解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。
求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°∴∠DBF=∠ABC又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF∴AC=DF=AE 同理△ABC≌△EFC∴AB=EF=AD∴四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。
四、对角线互相平分例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC 于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。
图4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，∴∠AEO=∠CGO，∵∠AOE=∠COG，OA=OC∴△AOE≌△COG，∴OE=OG同理△BOF≌△DOH∴OF=OH∴四边形EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。
五、两组对角相等例5 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗？理由。
(1)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：。
分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C（2）四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB所以四边形ABC1D1是平行四边形点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，始终有AB∥C1D1，故ABC1D1是平行四边形。
= =判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1：证明两组对边分别相等例1 如图1所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，并且AF ＝CE .求证：四边形ACEF 是平行四边形.证明：∵DE 是BC 的垂直平分线，∴DF ⊥BC ，DB = DC .∴∠FDB = ∠ACB = 90°.∴DF ∥AC .∴CE = AE =21AB . ∴∠1 = ∠2 . 又∵EF ∥AC ，AF = CE = AE ，创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*∴∠2 =∠1 =∠3 =∠F .∴△ACE ≌△EF A .∴AC = EF .∴四边形ACEF 是平行四边形.思路2：证明两组对边分别平行例 2 已知：如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，D 在BC 上，延长ED 到F ，使ED = DF = EB . 连结FC . 求证：四边形AEFC 是平行四边形. 证明：∵AB ＝AC ，∴∠B =∠ACB .∵ED = EB ，∴∠B =∠EDB . ∴∠ACB =∠EDB . ∴EF ∥AC .∵E 是AB 的中点，∴BD = CD .∵∠EDB =∠FDC ，ED = DF ，∴△EDB ≌△FDC . ∴∠DEB =∠F .∴AB ∥CF .∴四边形AEFC 是平行四边形.思路3：证明一组对边平行且相等例3 如图3，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，AE = CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点.求证：四边形ENFM 是平行四边形.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD = BC ，∠A =∠C .又∵AE = CF ，∴△ADE ≌△CBF . ∴∠1 =∠2，DE = BF . ∵M 、N 分别是DE 、BF 的中点， ∴EM = FN . ∵DC ∥AB ，∴∠3 =∠2. ∴∠1 =∠3. ∴EM ∥FN . ∴四边形ENFM 是平行四边形.二、考虑“对角”关系思路：证明两组对角分别相等 例4 如图4，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点.求证：（1）△ABE ≌△CDF ；（2）四边形BFDE 是平行四边形.证明：（1）在正方形ABCD 中，AB = CD ，AD = BC ，∠A =∠C =90°，∵AE =21AD ，CF =21BC ， ∴AE = CF . ∴△ABE ≌△CDF .（2）由（1）△ABE ≌△CDF 知，∠1 =∠2，∠3 =∠4.∴∠BED =∠DFB .∵在正方形ABCD 中，∠ABC =∠ADC ，∴∠EBF =∠EDF .∴四边形BFDE 是平行四边形.三、考虑“对角线”的关系思路：证明两条对角线相互平分例5 如图5，在平行四边形ABCD 中， P 1、P 2是对角线BD 的三等分点.求证：四边形AP 1CP 2是平行四边形.证明：连结AC 交BD 于O .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC ，OB = OD . ∵BP 1 = DP 2 ，∴OP 1 = OP 2 .∴四边形AP 1CP 2是平行四边形. 平行四边形的识别浅析 平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。