《数学分析》第一章集合与函数
华东师大第五版数学分析第一章第一节
令 = − , 则为正数且 = + , 但这与假设 < + 相矛盾. 从而
必有 ≤ .
1.2 绝对值与不等式
,
≥ 0,
定义: = ቊ
−, < 0.
实数绝对值的性质：
➢ 正定性: = − ≥ 0; 当且仅当 = 0时有 = 0.
其中0 , 0 为非负整数, , ( = 1,2, ⋯ )为整数, 0 ≤ ≤ 9, 0 ≤
≤ 9, 若有
= ,
= 0,1,2, ⋯
则称与相等，记为 = ；若0 > 0 或存在非负整数，使得
= ( = 0,1,2, ⋯ ) 而+1 > +1 ，
• 实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何, ∈ R, 若 > >
0, 则存在正整数, 使得 > .
• 实数集具有稠密性, 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实
数, 且既有有理数，也有无理数.
• 实数集与数轴上的点有着一一对应关系.
例2 设, ∈ R. 证明：若对任何正数, 有 < + , 则 ≤ .
似分别规定为
= −0 . 1 2 ⋯ − 10− 与ҧ = −0 . 1 2 ⋯ .
注：
0 ≤ 1 ≤ 2 ≤ ⋯
ҧ0 ≥ ҧ1 ≥ ҧ2 ≥ ⋯
实数的不足近似与过剩近似是用有限小数研究无限小数的重要
工具.
命题
设 = 0 . 1 2 ⋯ 与 = 0 . 1 2 ⋯为两个实数，则 >
的等价条件是：存在非负整数，使得
数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1-10章
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时)一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
《数学分析》第一章 实数集与函数
❖实数的性质
1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是 封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0) 仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下 述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
由二项展开式
(1+ h)n 1+ nh + n(n 1) h2 + n(n 1)(n 2) h3 + + hn ,
2!
3!
有 (1+ h)n >上式右端任何一项.
今日作业 P4,3, 4, 6, 7
§1.2 数集·确界原理
一、区间与邻域 二、上确界、下确界
一、区间与邻域
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
❖实数的性质
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c. 4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
绝对值定义：
a, a0 | a | a , a < 0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
-a
a
0
绝对值的一些主要性质 1. | a | | a | 0 当且仅当 a 0 时 | a | 0 2 . -|a| a |a| 3. |a|< h -h < a < h ; | a | h h a h , h > 0 4. a b a b a + b 5. | ab || a | | b | 6. a | a | , b 0
数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)
“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系
解释下面记号： A B(B A) ， A B （定义是 A B, B A ）
3、映射
设V 和V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对 V ，在V 中 有唯一的元素 与之对应，则称 T 是V 到V 的一个映射。记为
na b 。
（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，
也有无理数。
2、绝对值
实数 a 的绝对值定义为
a
a, a 0 a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 o a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0
2
4
n i 1
xi2
n i 1
yi2
0
如果 xi kyi (i 1, 2,, n) ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 0 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 x 有交点），即
n
存在 t R 使 (xit yi )2 0 ，于是 yi txi kxi 。 i 1
sin(x) x 得 sin x x 。
综上，我们又得到不等式
sin x x , x R
其中等号仅当 x 0 时成立．
4、区间与邻域[一些记号]
a,b {x | a x b} ，a,b ， (a,b] ，[a,b)
(a, ) ，[a, ) ， (, a) ， (, a] ， (, ) R
4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？
数学分析知识点最全汇总
数学分析知识点最全汇总本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数(,q p q p ⎧≠⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q 0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.{}|R x x =为实数--全体实数的集合．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：例： 2.001 2.0009999→；利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数01.n x a a a =，01.n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-；；,0,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：01.n x a a a =为非负实数，称有理数01.n n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =.对于负实数01.nx a a a =-，其n 位不足近似011.10n n n x a a a =--；n 位过剩近似01.n n x a a a =-.注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012x x x ≤≤≤； 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有012x x x ≥≥≥． 命题：记01.n x a a a =，01.n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应用例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证明：由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．289302P P -）．1）封闭性（实数集R 对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：,a b R ∀∈，关系,,a b a b a b <>=，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：a b c R ∀∈，，，,a b b c a c >>>若，则．4）阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6）一一对应关系：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系． 例2．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩． 2、几何意义从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．||x a -表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．3、性质1）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；2）||||a a a -≤≤；3）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）； 5）||||||ab a b =⋅；6）||||a ab b =（0b ≠）． 三、几个重要不等式1、,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤2、均值不等式:对,,,,21+∈∀R n a a a 记 ,1 )(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121nn i i n n i a a a a a G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∏= (几何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=n i i n i i n i a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤即： 1212111n n n a a a nn a a a +++≤≤+++等号当且仅当n a a a === 21时成立.3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过),1->∀x 有不等式(1)1, .n x nx n +≥+∈N当1->x 且0≠x ,N ∈n 且2≥n 时,有严格不等式.1)1(nx x n +>+ 证：由01>+x 且>+++++=-++⇒≠+111)1(1)1( ,01 n n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+>.1)1( nx x n +>+⇒4、利用二项展开式得到的不等式:对,0>∀h 由二项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+ 有 >+n h )1( 上式右端任何一项.［练习］P4．5［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式. [作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2)|1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥（））（2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域1、 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.⎧⎨⎩有限区间区间无限区间，其中 {}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ⎧∈<<=⎪⎪⎪∈≤≤=⎪⎨⎪⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩无限区间2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即 {}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.其中a δ称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.（2）点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+.（3）a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（4）点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-二 、有界集与无界集1、 定义1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是无界数集,集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==) 1 , 0 ( ,1 x xy y E 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +无上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取[]0[]1n M M M =+（符号表示不超过的最大整数），则0n N +∈，且0n M >. 综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯一的吗对下界呢(答：不唯一 ，有无穷多个).三 、确界与确界原理1、定义定义2（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最小的一个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题1sup M E = 充要条件1）,x E x M ∀∈≤；2）00,,o x S x M εε∀>∃∈>-使得.证明：必要性，用反证法.设2）不成立，则00,,o x E x M εε∃>∀∈≤-使得均有，与M 是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设M 不是E 的上确界，即0M ∃是上界，但0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ∃∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是E 的上界矛盾.定义3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最大的一个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.命题2 inf S ξ=的充要条件：1）,x E x ξ∀∈≥；2）ε∀＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+上确界与下确界统称为确界.例3（1）,) 1(1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=n S n 则sup S = 1 ；inf S = 0 . （2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 . 注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η⇒A x ∈∀有η≤xsup A η'=⇒对ηη'<，0x A ∃∈使0x η<，矛盾.例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ，1inf 12n Z n n +∈⎛⎫= ⎪+⎝⎭ {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b与闭区间[],a b有相同的上确界b与下确界a例4设S 和A 是非空数集，且有.A S ⊃则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥.例5设A 和B 是非空数集.若对A x ∈∀和,B y ∈∀都有,y x ≤则有.inf sup B A ≤证明：,B y ∈∀y 是A 的上界,.sup y A ≤⇒A sup ⇒是B 的下界,.inf sup B A ≤⇒例6A 和B 为非空数集,.B A S =试证明:{}. inf , inf m in inf B A S = 证明：,S x ∈∀有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf m in .infB A x B x ≥⇒≥即{} inf , inf m in B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf m in inf B A S ≥⇒又S A S ,⇒⊃的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ⇒是A 的下界,;inf inf A S ≤⇒同理有.inf inf B S ≤于是有{} inf , inf m in inf B A S ≤.综上,有{} inf , inf m in inf B A S =.1. 数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设S 非空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明 ,E R E ⊂非空，E x ∈∃，我们可以找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而1p +是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p 和1+p ，我们可以找到一个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第二位小数1q ，, 如此下去，最后得到 210.q q q p ，它是一个实数，即为E 的上确界. 证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得1）S x ∈∀，有n x >；2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n 10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得1）S ∈∀，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ． 再对开区间111(.,.]10n n n n +10等分，同理存在2n ，使得1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何 ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.-> ；2）存在S x k ∈，k k n n n n x 21.≤．因此得到 k n n n n 21.=η．以下证明S inf =η．（ⅰ）对任意S x ∈，η>x ；（ⅱ）对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§3函数概念授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义１．定义１设,D M R∀∈，⊂，如果存在对应法则f，使对x D存在唯一的一个数y M∈与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作:f D M→→ .|x y数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为()f x.全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f D.()即{}==∈.()|(),f D y y f x x D２．几点说明（1）函数定义的记号中“:f D M →”表示按法则f 建立D 到M 的函数关系，|x y →表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()x f x →.习惯上称x 自变量，y 为因变量.（2） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈ ().x x R ψ=∈（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.（5）函数定义中，x D ∀∈，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二 、函数的表示方法1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.2 可用“特殊方法”来表示的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.例如 1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数） （借助于sgnx 可表示()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）.2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例 １）[]y x =（取整函数）比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 [][]1x x x ≤<+, 即[]01x x ≤-<.与此有关一个的函数[]{}y x x x =-（非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.２）狄利克雷（Dirichlet ）函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数, 这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman ）函数 1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N qq q R x x +⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩当为既约分数),当和内的无理数.三 函数的四则运算给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =，并设D φ≠，定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠，可在D 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()f x L x x Dg x =∈. 注：１）若12D D D φ==，则f 与g 不能进行四则运算.２）为叙述方便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g+-. 四、复合运算１．引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为m 的物体自由下落，速度为v ，则功率E 为2221122E mv E mg t v gt ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把()v t 代入f ，即得221(())2f v t mg t =.这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.2．定义（复合函数） 设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，{}()E x f x D E =∈，若E φ≠，则对每一个x E ∈，通过g 对应D 内唯一一个值u ，而u 又通过f 对应唯一一个值y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以x 为自变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈或()(),y f g x x E =∈.简记为f g .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量.3. 例子例 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f = 并求定义域.例 ⑴._______________)( ,1)1(2=++=-x f x x x f⑵ .1122xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则)( )(=x fA. ,2xB. ,12+xC. ,22-xD. .22+x例 讨论函数()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R ==∈能否进行复合，求复合函数.4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行在哪个数集上进行复合函数的最终定义域是什么例如：2sin ,1y u u v x ===-，复合成：[1,1]y x =∈-.２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化. ①2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-②2arcsin , 1.y y u u v x =→===+③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===五、反函数１.引言在函数()y f x =中把x 叫做自变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是自变量，但对t 来讲，u 是因变量.习惯上说函数()y f x =中x 是自变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.２.反函数概念定义设→X f :R 是一函数，如果∀1x ，X x ∈2, 由)()(2121x f x f x x ≠⇒≠(或由2121)()(x x x f x f =⇒=)，则称f 在X 上是 1-1 的.若Y X f →:，)(X f Y =，称f 为满的.若 Y X f →:是满的 1-1 的，则称f 为1-1对应.→X f :R 是1-1 的意味着)(x f y =对固定y 至多有一个解x ，Y X f →:是1-1 的意味着对Y y ∈，)(x f y =有且仅有一个解x .定义 设Y X f →:是1-1对应.Y y ∈∀, 由)(x f y =唯一确定一个X x ∈, 由这种对应法则所确定的函数称为)(x f y =的反函数，记为)(1y f x -=.反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域Y X f →:X Y f →-:1显然有X X I f f →=-:1 (恒等变换）Y Y I f f →=-:1 (恒等变换)Y X f f →=--:)(11.从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 )(1x f y -=, 这样它的图形与 )(x f y =的图形是关于对角线x y =对称的.严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数. 但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子⎩⎨⎧≤≤-<≤=21,310,)(x x x x x f它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1. 确定 Y X f →:的定义域X 和值域Y ，考虑 1-1对应条件.固定 Y y ∈，解方程 y x f =)( 得出 )(1y f x -=.2. 按习惯，自变量x 、因变量y 互换，得)(1x f y -=. 例 求 2)(x x e e x sh y --== ：R → R 的反函数. 解 固定y ，为解 2x x e e y --=，令 z e x =，方程变为 122-=z zy0122=--zy z12+±=y y z ( 舍去12+-y y )得)1ln(2++=y y x ，即)()1ln(12x sh x x y -=++=，称为反双曲正弦. 定理 给定函数)(x f y =，其定义域和值域分别记为X 和Y ， 若在Y 上存在函数)(y g ，使得 x x f g =))((, 则有)()(1y f y g -=. 分析：要证两层结论：一是)(x f y =的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证1()()g y f y -=. 证 要证)(x f y =的反函数存在，只要证)(x f 是X 到Y 的 1-1 对应.∀1x ，X x ∈2，若)()(21x f x f =， 则由定理条件，我们有对应.再证1()()g y f y -=.∀Y y ∈，∃X x ∈，使得)(x f y =.由反函数定义 )(1y f x -=，再由定理条件()(())g y g f x x ==.1()()g y f y -⇒=例 :f R R →，若))((x f f 存在唯一（|∃）不动点，则)(x f 也|∃不动点.证 存在性，设)]([* * x f f x =，)]([)(* * x f f f x f =，即)(* x f 是f f 的不动点，由唯一性* * )(x x f =，即存在)(x f 的不动点* x .唯一性： 设)(x f x =，))(()(x f f x f x ==，说明 x 是f f 的不动点，由唯一性，x =*x .从映射的观点看函数. 设函数(),y f x x D =∈.满足：对于值域()f D 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得()f x y =，则按此对应法则得到一个定义在()f D 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作 1:(),(|)f f D D y x -→→或1(),()x f y y f D -=∈.３、注释a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f 有反函数，意味着f 是Ｄ与()f D 之间的一个一一映射，称1f -为映射f 的逆映射，它把()f D D →；b) 函数f 与1f -互为反函数，并有:1(()),,f f x x x D -≡∈1(()),().f f x y y f D -≡∈c) 在反函数的表示1(),()x f y y f D -=∈中，是以y 为自变量，x 为因变量.若按习惯做法用x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数f 的反函数1f -可以改写为1(),().y f x x f D -=∈应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.六 、初等函数1.基本初等函数（６类）常量函数 y C =（Ｃ为常数）；幂函数 ()y x R αα=∈；指数函数(0,1)x y a a a =>≠；对数函数 log (0,1)a y x a a =>≠；三角函数 sin ,cos ,,c y x y x y tgx y tgx ====；反三角函数 arcsin ,arccos ,,y x y x y arctgx y arcctgx ====.注：幂函数()y x R αα=∈和指数函数(0,1)x y a a a =>≠都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.定义２．给定实数0,1a a >≠，设x 为无理数，我们规定：{}{}sup |,1|,01r x r xr a r a a a r a <⎧>⎪=⎨<<⎪⎩r<x为有理数当时,inf 为有理数当时. 这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义xa 的缺陷．[问题]：这样的定义有意义否更明确一点相应的“确界是否存在呢”２．初等函数定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数如：22112sin cos ,sin(),l g ,||.a e y x x y y o x y x x x -=+==+= 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.例２．求下列函数的定义域.（１） y = （２） ln |sin |.y x =3.初等函数的几个特例: 设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则（1） )( x f 是初等函数, 因为 ().)( )( 2x f x f =（2）{})( , )(m ax )(x g x f x =Φ 和 {})( , )(m in )(x g x f x =φ都是初等函数,因为 {})( , )(m ax )(x g x f x =Φ[])()()()(21x g x f x g x f -++=, {})( , )(m in )(x g x f x =φ [])()()()(21x g x f x g x f --+= . （3）幂指函数 ()()0)( )()(>x f x f x g 是初等函数,因为()(). )()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g ==［作业］ 15P ： 3；4:（２）、（３）； 5:（２）； 7:（３）；11§4具有某些特性的函数授课章节：第一章实数集与函数——§4具有某些特性的函数教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学程序：引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数1、有上界函数、有下界函数的定义定义1设f为定义在D上的函数，若存在数()M L，使得对每一个x D∈有()(())≤≥，则称f为D上的有上（下）界函数，f x M f x L()M L称为f在D上的一个上（下）界.注：（1）f在D上有上（下）界，意味着值域()f D是一个有上（下）界的数集；（2）又若()M L为f在D上的一个上（下）界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是f在D上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：sin=，1是其一个上y x界，下界为－1，则易见任何小于－1的数都可作为其下界；任何大于1的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：f在D上有界⇔()f D是一个有界集⇔f在D上既有上界又有下界⇔f在D上的有上界函数，也为D上的有下界函数.2、有界函数定义定义2设f为定义在D上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个∈有|()|x D≤，则称f为D上的有界函数.f x M注：（1）几何意义：f 为D 上的有界函数，则f 的图象完全落在y M =和y M =-之间；（2）f 在D 上有界⇔f 在D 上既有上界又有下界；例子：sin ,cos y x y x ==；（3）关于函数f 在D 上无上界、无下界或无界的定义. 3、 例题例 1 证明:f X R →有界的充要条件为：∃M ,m ，使得对X x ∈∀,M x f m ≤≤)(.证明 如果:f X R →有界，按定义∃M >0，X x ∈∀有()f x M ≤，即()M f x M -≤≤,取M m -=,M M =即可.反之如果∃M ,m 使得,()x X m f x M ∀∈≤≤，令{}0max 1,M M m =+，则0()f x M ≤，即∃00M >，使得对x X ∀∈有0()f x M ≤，即:f X R →有界.例2．证明1()f x x=为(0,1]上的无上界函数. 例3．设,f g 为D 上的有界函数.证明：（1）{}inf ()inf ()inf ()()x D x D x D f x g x f x g x ∈∈∈+≤+； （2）{}sup ()()sup ()sup ()x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈+≤+.例4验证函数 325)(2+=x xx f 在R 内有界. 解法一 由,62322)3()2(32222x x x x =⋅≥+=+当0≠x 时,有.3625625325325 )( 22≤=≤+=+=x x x x x x x f 30 )0( ≤=f ,∴ 对 ,R ∈∀x 总有 ,3 )( ≤x f 即)(x f 在R 内有界. 解法二 令 ,3252⇒+=x x y 关于x 的二次方程 03522=+-y x yx 有实数根.22245 y -=∆∴.2 ,42425,02≤⇒≤≤⇒≥y y 解法三 令 ⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2 ,23ππt tgt x 对应). , (∞+∞-∈x 于是 ==+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=t t t t tg tgt tgt tgt x x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)(.6252sin 625 )( ,2sin 625 ≤=⇒=t x f t二、单调函数定义3设f 为定义在D 上的函数，1212,,,x x D x x ∀∈< （1）若12()()f x f x ≤，则称f 为D 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为D 上的严格增函数.（2）若12()()f x f x ≥，则称f 为D 上的减函数；若12()()f x f x >，则称f 为D 上的严格减函数.例5．证明：3y x =在(,)-∞+∞上是严格增函数.证明：设21x x <，))((222121213231x x x x x x x x ++-=- 如021<x x ，则3231120x x x x <⇒>> 如120x x >，则22331122120,x x x x x x ++>⇒<故03231<-x x 即得证. 例6．讨论函数[]y x =在R 上的单调性.12,x x R ∀∈，当12x x <时，有[][]12x x ≤，但此函数在R 上的不是严格增函数.注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，f 可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x 轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x 轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理1．设(),y f x x D =∈为严格增（减）函数，则f 必有反函数1f -，且1f -在其定义域()f D 上也是严格增（减）函数.证明：设f 在D 上严格增函数.对(),,()y f D x D f x y ∀∈∈=有使.下面证明这样的x 只有一个.事实上，对于D 内任一1,x x ≠由于f 在D 上严格增函数，当1x x <时1()f x y <，当1x x >时1()f x y >，总之1()f x y ≠.即(),,()y f D x D f x y ∀∈∈=都只存在唯一的一使得，从而例7 讨论函数2y x =在(,)-∞+∞上反函数的存在性；如果2y x =在(,)-∞+∞上不存在反函数，在(,)-∞+∞的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明：x y a =当1a >时在Ｒ上严格增，当01a <<时在R 上严格递减.三、奇函数和偶函数定义4. 设D 为对称于原点的数集，f 为定义在D 上的函数.若对每一个x D ∈有（1）()()f x f x -=-，则称f 为D 上的奇函数；（2）()()f x f x -=，则称f 为D 上的偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y 轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此(),[0,1]f x x x =∈没有必要讨论奇偶性.（3）从奇偶性角度对函数分类：⎧⎪⎪⎨⎪⎪≡⎩奇函数:y=sinx 偶函数:y=sgnx非奇非偶函数:y=sinx+cosx 既奇又偶函数:y 0； （4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数 1、定义设f 为定义在数集D 上的函数，若存在0σ>，使得对一切x D ∈有()()f x f x σ±=，则称f 为周期函数，σ称为f 的一个周期. 2、几点说明：（1）若σ是f 的周期，则()n n N σ+∈也是f 的周期，所以周期若存在，则不唯一.如sin ,2,4,y x σππ==.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f 的“基本周期”，简称“周期”.如sin y x =，周期为2π；（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1）1y x =+，不是周期函数；2）y C =（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.第二章数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是1，然后为1111,,,,,234n如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零.我们就说，这个变量的极限为0.。
集合与函数PPT课件
其表达式为
o
(,0) t
2
2E t,
U(t)
2E (t
0,
),
t [0, ] 2
t ( ,] 2
t (,)
例2
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
逻辑命题
如果命题A成立，可推出命题B正确， 则称A为B的充分条件，或称B为A的必 要条件，记为 A B.
若 A B且 B A，则称A(B)是B(A)
的充分必要条件，或称A与B等价，记作
A B。
与某命题A相反的命题，称为A的否定，记
作 A 。 假定对于一切的 x M（表示x属于M）有某
性质 (x) 成立，简记为 x M : (x) 。
故 D f :[3,1]
五、函数的特性
1．函数的有界性:
如何给出无界 的定义？
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
2．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
• 若lR,使得xA,都有x≥l,则称l为A的一个 下界.
《数学分析》第一章 实数集与函数 1
( ∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x obxFra bibliotek区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
数集{ x x a < δ }称为点a的δ邻域 ,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
a a≥0 a = a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
a ≤ x ≤ a;
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
U δ (a ) = { x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
x
a aδ a+δ 0 点a的去心的 δ邻域 , 记作 U δ (a ).
U δ (a ) = { x 0 < x a < δ }.
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量 注意 常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的 常量与变量的表示方法: 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量 等表示常量 用字母x, 等表示 等表示变 用字母 y, t等表示变量.
数学分析教案(华东师大版)第一章实数集与函数
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算32sin、实数定义等问题引入.2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记,但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
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第一章集合与函数一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点数学是分析处理问题的系统方法论学科。
对事物分析，量化是第一步；数是表示量的符号.随着科学的发展，数的内涵与表示得到不断地发展；同时随着数的内涵与表示的发展，分析解决问题的方法也得到了质的发展.数从自然数----整数----有理数---实数—复数的发展过程，也反映了社会的进步与解决问题能力的提升.因此，对数以及一些数组成的集合进行研究是数学的基础.本章在中学的基础上主要讨论了实数的性质、数集的性质，实数对组成的二维空间R 2的一些集合的性质；同时还通过两个集合之间的映射关系引进函数的定义，并且讨论与函数相关的其他一些定义.本章的难点主要有以下两个方面：● 函数的概念、隐函数、一些简单函数的反函数存在性的判定与函数反函数的求法. ● 实数集上的确界存在定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理的证明与应用；熟练运用这些定理证明闭区间上连续函数的性质.三、本章的基本知识要点（一）实数及其性质1.实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数.2.实数集R 具有阿基米德性，即对任何R b a ∈、,若b>a>0，则存在正整数n ，使得na>b .（二）实数集R 的性质1.a,b 是实数，实数集合上的),(}|{b a b x a x ∆<<、),[}|{b a b x a x ∆<≤、],(}|{b a b x a x ∆≤<、],[}|{b a b x a x ∆≤≤称为有限区间；而),(}|{a a x x -∞∆<、],(}|{a a x x -∞∆≤、),(}|{+∞∆>a a x x 、),[}|{+∞∆≥a a x x 、}|{+∞<<-∞x x),(+∞-∞∆称为无限区间，有限区间与无限区间统称为区间.2. a是实数、0>δ，);(}|||{δδa U a x x ∆<-称为a 的δ邻域,);(}||0|{δδa U a x x o ∆<-<称为a 的空心δ邻域；)(),[a U a a +∆+δ称为a 的δ右邻域，)(],(a U a a -∆-δ称为a 的左δ邻域；)(),(0a U a a +∆+δ称为a 的右空心邻域，)(),(0a U a a -∆-δ称为a 的左空心邻域.3. M 是正数,)(}|||{∞∆>U M x x ，称为∞邻域，)(}|{+∞∆>U M x x 称为∞+邻域，)(}|{-∞∆-<U M x x 称为∞-邻域.4. 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1)对一切,S x ∈有η≤x ,即η是上界；（2）对任何ηα<，存在S x ∈0，使得α>0x ，即η又是S 的最小上界；则称数η为S 的上确界，记作 S sup =η.5. 设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：(1)对一切,S x ∈有ξ≥x ,即ξ是下界；（2）对任何ξβ>，存在S x ∈0，使得β<0x ，即ξ又是S 的最大下界；则称数ξ为S 的下确界，记作 S inf =ξ.6. 确界原理：设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.7.区间套定理：若{[a n ,b n ]}是一个区间套，则在存在惟一的实数,3,2,1,,,3,2,1],,[=≤≤=∈n b a n b a n n n n ξξ即.8.区间套定理的推论：若),2,1](,[ =∈n b a n n ξ是区间套]},{[n n b a 所确定的，则对任给的,0>ε存在N>0,使得n>N 时有 );(],[εξU b a n n ⊂.9. (维尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理): 实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点. 10. (海涅-波雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设H 为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[a,b] .（三）二维平面R 2的性质1.全平面上的点所组成的点集2},|),{(R x x y x ∆+∞<<-∞+∞<<-∞；坐标平面上的满足条件P 的点的集合E={(x,y)|(x,y)满足条件P}，称为平面点集.2.平面上的点),(00y x A ，平面点集})()(|),{(22020δ<-+-y y x x y x 称为点A 的δ邻域，记为)(A U ；平面点集})()(0|),{(22020δ<-+-<y y x x y x 称为点A 的空心邻域。
记为：)(0A U .3.对于平面点集E ，若存在点A 的某邻域U(A)E A U ⊂)(,则称点A 是E 的内点；若点A 的任何空心邻域)(0A U 内都含有E 中的点，则称A 是E 的聚点；若E 的每一个点都是内点，则称E 为开集；若E 的所有聚点都属于E ，则称E 是闭集；若E 中的任意两点都可以用一条完全含于E 的有限折线相连接，则称E 具有连通性；连通的开集叫开域；开域连同其边界叫闭域.4.(闭域套定理)设{D n }是R 2中的闭域列，它满足：（1） ,2,1,1=⊃+n D D n n ，（2）d n =d(D n )0lim ,=∞→n n d ,则存在惟一的点 ,2,1,0=∈n D P n .5.(聚点定理) 设2R E ⊂为有界无限点集，则E 在R 2中至少有一个聚点.6.(有限覆盖定理) 设2R D ⊂为一有界闭域，}{α∆为一开域族，它覆盖了D （即αα∆⊂D ），则在}{α∆中必存在有限个开域,,,,21n ∆∆∆ 它们同样覆盖D （即ni i D 1=∆⊂）.（四）集合间的关系：映射、函数数学是为解决实际问题提供一些系统方法的学科，它通过量化的数来表示事物，通过数的变化来反映事物的变化．在不同时间、不同的地点所表示物体的量的不同，实质就是建立了表示物体的量与时间、地点之间的一个映射，当一个映射满足一定的条件时，就是函数．因此，函数是数学最重要的一个概念，同时对函数性质的研究是数学分析处理问题的基础． 1.给定两个实数集D 和M ，若有对应法则f ，使对D 内每一个数x ，都有唯一的一个数y ∈M 与之对应，则称f 是定在数集D 上的函数，记作：M D f →:，通常记为)(x f y =． 注：只要讲清了对应法则，而且满足对于第一个集合上的每一个元素，在第二个集合都有惟一的元素和它对应，则这个法则就建立了从第一个集合到第二个集合的函数.例如： ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=010,00,1sgn x x x x 是一个函数，称为符号函数2.设有两个函数 E x x g u D u u f y ∈=∈=),(;),(，令E D x g x E ⋂∈=})(|{*，若φ≠*E ，则对每一个*E x ∈，可通过函数g 对应D 内唯一的一个值u ，而u 又通过函数f对应唯一的一个值y ．这就确定了一个定义在*E 上的函数，称为函数f 与g 的复合函数．记作：))((x g f y =.注:两个函数能否复合的充分必要条件就是φ≠*E3.以形式D x x f y ∈=),(表示函数的，称为显函数；而以方程的形式表示0),(=y x f 表示一个函数的，称为隐函数.例如]1,1[,0223-∈=-x x y 就是一个隐函数.4.设函数D x x f y ∈=),(；满足：对于值域)(D f 中的每一个值y ，D 中有且只有一个值x 使得y x f =)(.则按此对应法则得到一个定义在)(D f 上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作 )(),(1D f y y fx ∈=-.通常改记作 )(),(1D f x x fy ∈=-.注:函数D x x f y ∈=),(存在反函数的充分必要条件是:f 是D 与)(D f 之间的一一映射.5.常量函数c y =、幂函数αx y =、指数函数xa y =、对数函数x y a log =、三角函数x y x y x y x y cot ,tan ,cos ,sin ====、反三角函数,arccos ,arcsin x y x y ==x arc y x y cot ,arctan ==统称为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数,统称为初等函数.并不是每个函数都是初等函数，例如：xx y =就不是初等函数.6.设f 为定义在D 上的函数.(1)若存在正数M ，使得对每一个D x ∈有 M x f ≤|)(|，则称f 为D 上的有界函数；（2）若对任意2121,,x x D x x <∈，若是都有)()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数；若是都有)()(21x f x f ≥，则称f 为D 上的减函数；（3）若D 为对称于原点的数集，且对D x ∈，都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-，则称f 为D 上的奇（偶）函数；（4）若存在0>σ，使得对一切D x ∈都有)()(x f x f =±σ,则称f 为周期函数.7.设平面点集2R D ⊂,若按照某对应法则f ,D 中每一点P(x,y)都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数.记作:D y x y x f z ∈=),(),,(.四、基本例题解题点击【例1】设x,y 为实数，x<y..证明:存在有理数r 满足x<r<y ；存在无理数α满足y x <<α. 【提示及点评】● 这是实数的稠密性；● 利用不足近似与过剩近似就可以证明.【证明】由于x<y ,故存在非负整数n ，使得n n y x <（其中n n y x ,分别为x 的n 位过剩近似值与y 的n 位不足近似值）。
令 )(21n n y x r +=，则r 为有理数，且 y y r x x n n ≤<<≤ 即 y r x <<设η是任意一无理数，由x<y ，则ηη-<-y x ，根据上面可知，存在有理数r ，使得 ηη-<<-y r x ，从而 y r x <+<η，令ηα+=r ，则y x <<α，且 α是无理数 ■【知识扩展提示】实数的稠密性是实数的重要性质，在证明有关稠密性方面的时候，经常利用不足近似与过剩近似值来证明，在证明过程两边同时加一个数或减一个数也是常常利用的技巧.【例2】设S 是非空数集，定义}|{S x x S∈-=-。