《数学分析》第一章集合与函数
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第一章集合与函数
一、本章知识脉络框图
二、本章重点及难点
数学是分析处理问题的系统方法论学科。对事物分析,量化是第一步;数是表示量的符号.随着科学的发展,数的内涵与表示得到不断地发展;同时随着数的内涵与表示的发展,分析解决问题的方法也得到了质的发展.数从自然数----整数----有理数---实数—复数的发展过程,也反映了社会的进步与解决问题能力的提升.因此,对数以及一些数组成的集合进行
研究是数学的基础.
本章在中学的基础上主要讨论了实数的性质、数集的性质,实数对组成的二维空间R 2
的一些集合的性质;同时还通过两个集合之间的映射关系引进函数的定义,并且讨论与函数相关的其他一些定义.
本章的难点主要有以下两个方面:
● 函数的概念、隐函数、一些简单函数的反函数存在性的判定与函数反函数的求法. ● 实数集上的确界存在定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理的证明与应
用;熟练运用这些定理证明闭区间上连续函数的性质.
三、本章的基本知识要点
(一)实数及其性质
1.实数集R 具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
2.实数集R 具有阿基米德性,即对任何R b a ∈、,若b>a>0,则存在正整数n ,使得na>b .
(二)实数集R 的性质
1.a,b 是实数,实数集合上的),(}|{b a b x a x ∆<<、),[}|{b a b x a x ∆<≤、
],(}|{b a b x a x ∆≤<、],[}|{b a b x a x ∆≤≤称为有限区间;而),(}|{a a x x -∞∆<、],(}|{a a x x -∞∆≤、),(}|{+∞∆>a a x x 、),[}|{+∞∆≥a a x x 、}|{+∞<<-∞x x
),(+∞-∞∆称为无限区间,有限区间与无限区间统称为区间.
2. a
是实数、
0>δ,);(}|||{δδa U a x x ∆<-称为a 的δ邻域,
);(}||0|{δδa U a x x o ∆<-<称为a 的空心δ邻域;)(),[a U a a +∆+δ称为a 的δ右邻域,
)(],(a U a a -∆-δ称为a 的左δ邻域;)(),(0a U a a +∆+δ称为a 的右空心邻域,
)(),(0a U a a -∆-δ称为a 的左空心邻域.
3. M 是正数,)(}|||{∞∆>U M x x ,称为∞邻域,)(}|{+∞∆>U M x x 称为∞+邻域,
)(}|{-∞∆-
4. 设S 是R 中的一个数集,若数η满足:(1)对一切,S x ∈有η≤x ,即η是上界;(2)
对任何ηα<,存在S x ∈0,使得α>0x ,即η又是S 的最小上界;则称数η为S 的上确界,记作 S sup =η.
5. 设S 是R 中的一个数集,若数ξ满足:(1)对一切,S x ∈有ξ≥x ,即ξ是下界;(2)对任何ξβ>,存在S x ∈0,使得β<0x ,即ξ又是S 的最大下界;则称数ξ为S 的下确界,记作 S inf =ξ.
6. 确界原理:设S 为非空数集,若S 有上界,则S 必有上确界;若S 有下界,则S 必有下确界.
7.区间套定理:若{[a n ,b n ]}是一个区间套,则在存在惟一的实数
,3,2,1,,,3,2,1],,[=≤≤=∈n b a n b a n n n n ξξ即.
8.区间套定理的推论:若),2,1](,[ =∈n b a n n ξ是区间套]},{[n n b a 所确定的,则对任给的,0>ε存在N>0,使得n>N 时有 );(],[εξU b a n n ⊂.
9. (维尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理): 实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点. 10. (海涅-波雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设H 为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖,则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[a,b] .
(三)二维平面R 2的性质
1.全平面上的点所组成的点集2
},|),{(R x x y x ∆+∞<<-∞+∞<<-∞;坐标平面上的满足条件P 的点的集合E={(x,y)|(x,y)满足条件P},称为平面点集.
2.平面上的点),(00y x A ,平面点集})()(|),{(2
2020δ<-+-y y x x y x 称为点A 的δ邻域,记为)(A U ;平面点集})()(0|),{(2
2020δ<-+- 记为:)(0 A U . 3.对于平面点集E ,若存在点A 的某邻域U(A)E A U ⊂)(,则称点A 是E 的内点;若点A 的任何空心邻域)(0 A U 内都含有E 中的点,则称A 是E 的聚点;若E 的每一个点都是内点,则称E 为开集;若E 的所有聚点都属于E ,则称E 是闭集;若E 中的任意两点都可以用一条完全含于E 的有限折线相连接,则称E 具有连通性;连通的开集叫开域;开域连同其边界叫闭域. 4.(闭域套定理)设{D n }是R 2中的闭域列,它满足:(1) ,2,1,1=⊃+n D D n n ,(2)d n =d(D n ) 0lim ,=∞ →n n d ,则存在惟一的点 ,2,1,0=∈n D P n . 5.(聚点定理) 设2R E ⊂为有界无限点集,则E 在R 2中至少有一个聚点. 6.(有限覆盖定理) 设2R D ⊂为一有界闭域,}{α∆为一开域族,它覆盖了D (即 α α∆⊂D ),则在}{α∆中必存在有限个开域,,,,21n ∆∆∆ 它们同样覆盖D (即 n i i D 1 =∆⊂). (四)集合间的关系:映射、函数 数学是为解决实际问题提供一些系统方法的学科,它通过量化的数来表示事物,通过数 的变化来反映事物的变化.在不同时间、不同的地点所表示物体的量的不同,实质就是建立了表示物体的量与时间、地点之间的一个映射,当一个映射满足一定的条件时,就是函数.因此,函数是数学最重要的一个概念,同时对函数性质的研究是数学分析处理问题的基础. 1.给定两个实数集D 和M ,若有对应法则f ,使对D 内每一个数x ,都有唯一的一个数y ∈M 与之对应,则称f 是定在数集D 上的函数,记作:M D f →:,通常记为)(x f y =. 注:只要讲清了对应法则,而且满足对于第一个集合上的每一个元素,在第二个集合都有惟一的元素和它对应,则这个法则就建立了从第一个集合到第二个集合的函数. 例如: ⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<-=>=010,00,1sgn x x x x 是一个函数,称为符号函数 2.设有两个函数 E x x g u D u u f y ∈=∈=),(;),(,令E D x g x E ⋂∈=})(|{* ,若 φ≠*E ,则对每一个* E x ∈,可通过函数g 对应D 内唯一的一个值u ,而u 又通过函数f 对应唯一的一个值y .这就确定了一个定义在* E 上的函数,称为函数f 与g 的复合函数.记作:))((x g f y =. 注:两个函数能否复合的充分必要条件就是φ≠* E 3.以形式D x x f y ∈=),(表示函数的,称为显函数;而以方程的形式表示0),(=y x f 表示一个函数的,称为隐函数.例如]1,1[,022 3 -∈=-x x y 就是一个隐函数. 4.设函数D x x f y ∈=),(;满足:对于值域)(D f 中的每一个值y ,D 中有且只有一个值x 使得y x f =)(.则按此对应法则得到一个定义在)(D f 上的函数,称这个函数为f 的反