确定二次函数的表达式(经典)精品PPT课件
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北师大版九年级数学下册2.3确定二次函数的表达式PPT优秀课件
北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的表达式 PPT优
【变式二】(变换问法)过点A(1，0)，B(3，0)，C(-1，2)三点的抛物线的顶点坐标是 ( )
D
【变式二】(变换问法)过点A(1，0)，B(3，0)，C(-
感谢观看，欢迎指导！
善良、淳朴、真诚。三婶买了老宅并把钥匙交给了我们，体现了她的
y=x2+2x(答案不唯一)
y=-2(x+2)2+1
2.写出经过点(0，0)，(-2，0)的一个二次函数的表达y
知识点一 由顶点式求二次函数表达式(P43随堂练习T1拓展)【典例1】(2019·汕头潮阳区一模)若二次函数图象的顶点坐标是(2，1)，且经过点(1，-2)，求此二次函数的表达式.
知识点一 由顶点式求二次函数表达式(P43随堂练习T1拓展)
【母题变式】 【变式一】(变换条件)根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的表达式为 ( )
A
【母题变式】A 北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
-1
-
-2
-
…
x…-1012…y…-1- -2- …北师大版九年级
D
【题组训练】 D北师大版九年级数学下册2.3-确定二次函数的
★2.若二次函数的图象经过(0，3)，(-2，-5)，(1，4)三点，则它的表达式为 世纪金榜导学号( )A.y=x2+6x+3 B.y=-3x2-2x+3C.y=2x2+8x+3 D.y=-x2+2x+3
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如果能够从最初的相知到最后的相守， 度过这 也许平 淡的一 生，幸 福指数 应该较 其他的 可能性 比较高 。如果 是后来 者居上 ，对比 了几种 不同的 味道， 但是却 找到了 自己最 终想要 的那种 味道， 结局应 该是完 美的。 如果是 一直摇 摆不定 ，那么 最终的 结果就 是孤独 终老， 也许会 将就的 选择一 个自己 依然不 满意的 ，然而 这种人 却没有 什么值 得同情 的。 初恋一般都是美好的，多发生在学生时 代，同 朋友开 玩笑讲 ：出了 校园单 身的多 ，那么 校园其 实就是 一个最 大的婚 姻介绍 所，南 来的北 往的， 高的矮 的胖的 瘦的， 应有尽 有。而 你可以 随心所 欲考虑 选择哪 个，而 不用去 考虑TA的身后 ，也许 在毕业 之后就 各奔东 西了， 所以很 多人就 享受当 下。 然而社会的现实让很多人的想法都变得 很现实 ，目的 性也很 强，也 许你会 很怀念 当初的 时光， 任时光 匆匆流 去，我 很在乎 你，但 是我们 要珍惜 眼前人 ，就让 我们在 心里怀 念着以 前的味 道吧。 本文作者文集 我要发表望中反思，而这种反思是 难能可 贵的， 这是作 为高级 动物人 的一种 高贵行 为。于 是，在 一次次 努力后 失望， 在失望 中落寞 ，在落 寞中思 考，我 们在思 考中提 升自己 ，希望 得到的 没有得 到，可 是我们 得到了 内在提 升，这 是才最 好的收 获。
历史课件：/kejian/lish i/
点（2，3）求抛物线的表达式？
注意：最后，表达式化成一般式
巩固练习
1.已知二次函数对称轴为x=2，且过（3，2）、 （-1,10）两点，求二次函数的表达式。
解：设y=a(x-2)2+k
2.已知二次函数最值为2，且过（3，1）、 （-1,2）两点，求二次函数的表达式。
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点（2，3）求抛物线的表达式？
注意：最后，表达式化成一般式
巩固练习
1.已知二次函数对称轴为x=2，且过（3，2）、 （-1,10）两点，求二次函数的表达式。
解：设y=a(x-2)2+k
2.已知二次函数最值为2，且过（3，1）、 （-1,2）两点，求二次函数的表达式。
确定二次函数的表达式 第1课时 由两点确定二次函数的表达式 课件
[技巧归纳] 当二次函数各项系数中有两个是未知的，知
道图象上两点的坐标，可设函数的表达式为 y ＝ mx2＋
bx ＋ c 或 y ＝ ax2＋ mx ＋ c 或 y ＝ ax2＋ bx ＋ m （ m 为已知
常数）；当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的
坐标时，通常设函数的表达式为 y ＝ a （ x － h ）2＋ k ；
∴ቊ
解得ቊ
+ − = ，
＝ − .
题型二 二次函数的实际应用
如图1是气势如虹、古典凝重的开封北门，也叫安
远门，有安定远方之寓意.其主门洞的截面如图2，上部
分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边 AB 为
16 m，边 BC 为6 m，最高处点 E 到地面 AB 的距离为8 m.
（3）请比较 m 和 n 的大小： m ＜ n .
；
3. 已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx －3（ a ≠0）经过点（－1，
0），（3，0），求 a ， b 的值.
解：∵抛物线 y ＝ ax2＋ bx －3（ a ≠0）经过点（－1，
0），（3，0），
− − = ，
= ，
；
（3）当 x
＜0或 x ＞2
时， y ＞0.
（第1题）
2. 已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）上部分点的横
坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表所示：
x
y
…
…
－1.5
n
0
1
1
3
2
1
…
…
4
m
2＋4 x ＋1
y
＝－2
《确定二次函数的表达式》PPT课件
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线的解析式是
2
9.已知抛物线经过三个点A（2，6），
B（－1，0），C（3，0），那么二次
函数的解析式是
，
它的顶点坐标是
9.已知二次函数的图象顶点坐标（2,1）
，且与x 轴相交两点的距离为2，则其
表达式为
.
10.抛物线的顶点为（－1，－8），它 与x轴的两个交点间的距离为4，此抛物 线的解析式是ຫໍສະໝຸດ PPT课件：/kejian/
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根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
1.当x=3时，y最小值=-1，且图象过（0，7） 2.图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直
线 x=1.5 3.当x=1时，y=0; x=0时,y=-2，x=2时y=3; 4.顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10） 5.对称轴为x=2,函数的最小值为3,且图象经
解：设y=a(x-h)2+2
小结
已知图象的顶点坐标、对称轴或最值通常选择顶点式
y
x o
例题精讲 例 2：已知点A（－1,6）、B（4,6）和C（3,2），
求经过这三点的二次函数表达式。
y
ox
一个二次函数， 当自变量x= 1时，函数值y= - 2 当自变量x= -1时，函数值y= -6， 当自变量x=0时，函数值y= - 3， 求这个二次函数的解析式？
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【优质】初三九年数学：《确定二次函数的表达式》ppt课件
x －2 －1 0 1 2 3 4 y 7 2 －1 －2 m 2 7
知识点二：已知顶点坐标或对称轴及另外一个条件求二次函数表达式
【典例导引】 【例2】 一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)， 则这个二次函数的表达式为( B ) A．y＝－2(x＋2)2＋4 B．y＝－2(x－2)2＋4 C．y＝2(x＋2)2－4 D．y＝2(x－2)2－4
【变式训练】
3. 一个二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则这个二次函 数的表达式为_____y_＝__x_2_－__2_x_－__3_______．
一、选择题 1. 顶点在点M(－2，1)上，且图象经过原点的二次函数表达式是( B ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝－14(x＋2)2＋1
10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝4时，有最小值－8，且其图象过点 (6，0)，求： (1)抛物线的表达式； (2)当x取什么值时，y随x的增大而增大？当x取什么值时，y随x的增大而减 小？ 解：(1)y＝2(x－4)2－8 (2)当x>4时，y随x的增大而增大；当x<4时，y随x的 增大而减小
11. (广元中考)若二次函数y＝ax2＋bx＋a2－2(a，b为常数)的图象如图所 示，则a的值为( C )
A．1 B. 2 C．－ 2 D．－2
12. (百色中考)经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线表达式是 _____y_＝__－__38_x_2_＋__34_x_＋__3____．
∴二次函数表达式是y＝x2－2x－3
(2)∵y＝x2
－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)
9. (泸县一模)已知二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点． (1)求这个函数的表达式； (2)求这个函数图象的顶点坐标．
知识点二：已知顶点坐标或对称轴及另外一个条件求二次函数表达式
【典例导引】 【例2】 一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)， 则这个二次函数的表达式为( B ) A．y＝－2(x＋2)2＋4 B．y＝－2(x－2)2＋4 C．y＝2(x＋2)2－4 D．y＝2(x－2)2－4
【变式训练】
3. 一个二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则这个二次函 数的表达式为_____y_＝__x_2_－__2_x_－__3_______．
一、选择题 1. 顶点在点M(－2，1)上，且图象经过原点的二次函数表达式是( B ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝－14(x＋2)2＋1
10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝4时，有最小值－8，且其图象过点 (6，0)，求： (1)抛物线的表达式； (2)当x取什么值时，y随x的增大而增大？当x取什么值时，y随x的增大而减 小？ 解：(1)y＝2(x－4)2－8 (2)当x>4时，y随x的增大而增大；当x<4时，y随x的 增大而减小
11. (广元中考)若二次函数y＝ax2＋bx＋a2－2(a，b为常数)的图象如图所 示，则a的值为( C )
A．1 B. 2 C．－ 2 D．－2
12. (百色中考)经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线表达式是 _____y_＝__－__38_x_2_＋__34_x_＋__3____．
∴二次函数表达式是y＝x2－2x－3
(2)∵y＝x2
－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4)
9. (泸县一模)已知二次函数的图象经过(0，0)，(－1，－1)，(1，9)三点． (1)求这个函数的表达式； (2)求这个函数图象的顶点坐标．
《确定二次函数的表达式》课件
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点 ∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k 解得：a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）
∴
又∵点（0，1）在图像上，
∴ a = -1
即：
∴
∴
∴
解：（交点式）∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0)∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4)∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1∴ 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3
解法2：（利用顶点式）∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为(3,4) 设二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4∵ 函数图象过点（4，- 3）∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3∴ a= -7∴ 二次函数的解析式为： y= -7(x-3)2+4
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5), B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。
2：已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。
其它解法：（一般式） 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c ∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0) ∴ a+b+c=4 ① a-b+c=0 ② 9a+3b+c=0 ③ 解得： a= -1 b=2 c=3 ∴ 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）
∴
又∵点（0，1）在图像上，
∴ a = -1
即：
∴
∴
∴
解：（交点式）∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0)∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4)∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1∴ 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3
解法2：（利用顶点式）∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为(3,4) 设二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4∵ 函数图象过点（4，- 3）∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3∴ a= -7∴ 二次函数的解析式为： y= -7(x-3)2+4
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5), B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。
2：已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。
其它解法：（一般式） 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c ∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0) ∴ a+b+c=4 ① a-b+c=0 ② 9a+3b+c=0 ③ 解得： a= -1 b=2 c=3 ∴ 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
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5.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度 为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如 图所示)，求抛物线的解析式．
解：由题意得x= 40/2 =20 ∴顶点坐标为（20，16） 设y=a(x-20)2+16 0=400a+16,a=- 1/25 ∴y =- 1/25(x-20)2+16
2.找（三点） 3.列（三元一次方程组） 4.解（消元） 5. 写（一般形式）
6.查（回代)
6.查（回代)
1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三
点求此函数的解析式．
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
例2:已知点A(-1,6),B(4,6)和C(3,2)，
求经过这三点的二次函数的表达式
例2:已知点A(-1,6),B(4,6)和C(3,2)，求经过这
三点的二次函数的表达式
解：设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
二次函数的图象经过点A(-1,6),B(4,6)和C(3,2)．
将这三点坐标分别代入y=ax2+bx+c得
y =- 1/25 x2 + 8/5 x
课堂小结
本节课学习了利用待定系数法，设顶点 式和一般式来求二次函数的表达式
例1:二次函数图象的顶点坐标是(-1,-6),并且图象 经过点(2,3),求这个函数的表达式
解：因为二次函数图象的顶点坐标是(-1,-6),
所以，可以设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-6.
北师大版九年级下册数学《确定二次函数的表达式》二次函数PPT教学课件
解析： 设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
由条件得
a-b+c=10， a+b+c=4， 4a+2b+c=7，
解方程组得
a=2, b=-3, c=5.
因此，所求二次函数的解析式是y=2x2-3x+5.
新知探究
点拨:“三式”巧定表达式
1.一般式 所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时, 可设表达式为y=ax2+bx+c(一般式). 2.顶点式 所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时,可设表达式 为y=a(x3.交点式 所给条件能够确定抛物线与x轴的两个交点坐标时,则 可设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(交点式).
D.y=2(x+2)2+1
5.若抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上,则b的值为_±__6_.
课堂小测
6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0）， ∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速 度向右平移.设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若 △OMN的面积为
分析：由于已知顶点坐标为
1,
9 2
,
y＝a(x－
再将(－2，0)代入求出a的值．
故可设顶点式
9, 2
新课讲解
解： 设二次函数的表达式为y＝a(x－
∵顶点坐标为
1,
9 2
,
∴y＝a(x－1)2－ 9 .
2
把(－2，0)代入得：0＝a·(－2－1)2－
9,
解得a＝
1 .
2
∴该二次函数的表达式为y＝
确定二次函数的表达式lPPT课件.ppt
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m．
试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式?
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且 与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
设它的函数表达式为: y=ax²(a≠0)
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
归纳：
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
解得：a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5
小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时 优先选用顶点式。
例４．已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和 (3,0)三点，求二次函数的表达式。
解：（交点式） ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 ∴ 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3)
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 ∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：
试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式?
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且 与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
设它的函数表达式为: y=ax²(a≠0)
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
归纳：
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
解得：a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5
小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时 优先选用顶点式。
例４．已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和 (3,0)三点，求二次函数的表达式。
解：（交点式） ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 ∴ 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3)
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 ∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：
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y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0)
一、教学目标：
1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函
数表达式的思想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，
交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达 式时减少未知数的个数，简化运算过程。
【能力挑战】
已知平面直角坐标系两点A（1，2）B（0，3）点C在X轴
上，其横坐标满足方程
(x 1)2 4 2 2
①求点C的坐标 ②若一个二次函数的图像经过A，B，C三点， 求这个二次函数表达式。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The
= -x2+2x+3 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标，选用交点式比较简便
其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴ a+b+c=4
①
a-b+c=0
②
9a+3b+c=0 ③
解得： a= -1
b=2
c=3
∴ 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
二、重点和难点：
根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式， 既是重点又是难点。
例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点 求此函数的解析式。
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c
∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
More You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。
解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3
AB 6CB AB 3,OC 0.9 2
B(3,0.9)代入y ax2中,0.9 a 32
a 0.1因此这段抛物线对应的二次
图 26.2.6函数表示式为y 0.1x2 来自3 x 3)谈谈你的收获
〔议一议〕
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数 表达式采用的一般方法是什么?（待定系数法）
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
归纳：
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
y= -7(x-3)2+4
例3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),
B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，
求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m．
试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式?
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且 与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
设它的函数表达式为: y=ax²(a≠0)
解得：a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5
小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时 优先选用顶点式。
例４．已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和 (3,0)三点，求二次函数的表达式。
解：（交点式） ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 ∴ 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3)
-b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：
a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
解法2：（利用顶点式） ∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为
(3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点（4，- 3） ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3 ∴ a= -7 ∴ 二次函数的解析式为：
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 ∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：
y= -(x-1)2+4
〔做一做〕
二次函数 确定二次函数的表达式
复习提问：
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为 (x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形 式?
一、教学目标：
1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函
数表达式的思想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，
交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达 式时减少未知数的个数，简化运算过程。
【能力挑战】
已知平面直角坐标系两点A（1，2）B（0，3）点C在X轴
上，其横坐标满足方程
(x 1)2 4 2 2
①求点C的坐标 ②若一个二次函数的图像经过A，B，C三点， 求这个二次函数表达式。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The
= -x2+2x+3 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标，选用交点式比较简便
其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴ a+b+c=4
①
a-b+c=0
②
9a+3b+c=0 ③
解得： a= -1
b=2
c=3
∴ 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
二、重点和难点：
根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式， 既是重点又是难点。
例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点 求此函数的解析式。
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c
∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
More You Know, The More Powerful You Will Be
结束语
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。
解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3
AB 6CB AB 3,OC 0.9 2
B(3,0.9)代入y ax2中,0.9 a 32
a 0.1因此这段抛物线对应的二次
图 26.2.6函数表示式为y 0.1x2 来自3 x 3)谈谈你的收获
〔议一议〕
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数 表达式采用的一般方法是什么?（待定系数法）
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
归纳：
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
y= -7(x-3)2+4
例3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),
B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，
求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m．
试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式?
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且 与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
设它的函数表达式为: y=ax²(a≠0)
解得：a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5
小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时 优先选用顶点式。
例４．已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和 (3,0)三点，求二次函数的表达式。
解：（交点式） ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 ∴ 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3)
-b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：
a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
解法2：（利用顶点式） ∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为
(3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点（4，- 3） ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3 ∴ a= -7 ∴ 二次函数的解析式为：
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 ∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：
y= -(x-1)2+4
〔做一做〕
二次函数 确定二次函数的表达式
复习提问：
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为 (x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形 式?