高中数学课件：第三章 3.2 一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不等式的解法
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2 (1)当a＝2，即 a＝1 时，原不等式解集为{x|x≠2，x∈R}； 2 2 (2)当a>2，即 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x>a或 x<2}； 2 2 (3)当a<2， a<0 或 a>1 时， 即 原不等式的解集为{x|x<a或 x>2}．
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综上所述，当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x<2}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠2}； 2 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x>a或 x<2}； 2 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a或 x>2}．
由二次函数y＝x2－x－6的图象可知x2－x－6>0的解集为 {x|x>3或x<－2}； 返回
1 (2)方程 25x －10x＋1＝0 的两根为 x1＝x2＝5；
2
由二次函数 y＝25x2－10x＋1 的图象可知 25x2－10x＋1≤0 1 的解集为{x|x＝5}． (3)原不等式可转化为 x2－x＋4>0，由方程 x2－x＋4＝0 的 判别式 Δ<0 知方程 x2－x＋4＝0 无实数根，由二次函数 y＝x2 －x＋4 的图象知－x2＋x<4 的解集为 R.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．当a<0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α， β且α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？ 提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式 的解集为{x|α<x<β}．
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3．一元二次不等式与二次函数有什么关系？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是
x>－3， x<－3， 解得 或 1 1 x<－2 x>－2，
1 ∴－3<x<－2. 1 ∴原不等式的解集为{x|－3<x<－2}．
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法二：原不等式可化为 2－x－x＋3 －2x－1 >0，化简得 >0， x＋3 x＋3 2x＋1 即 <0.∴(2x＋1)(x＋3)<0. x＋3 1 解得－3<x<－2. 1 ∴原不等式的解集为{x|－3<x<－2}．
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(3)x2<2x－2⇔x2－2x＋2<0.
∵Δ＝(－2)2－4×2＝－4<0，∴方程x2－2x＋2＝0无解． ∴不等式x2<2x－2的解集是∅.
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[研一题] [例 2] 解下列不等式．
2x－1 2－x (1) ≥0；(2) >0. 3x＋1 x＋3
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[自主解答]
(1)原不等式可化为
1 1 2x－13x＋1≥0， x≤－3或x≥2， 解得 3x＋1≠0， x≠－1， 3 1 1 ∴x<－3或 x≥2. 1 1 ∴原不等式的解集为{x|x<－3或 x≥2}．
[研一题]
[例3] 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 原不等式可变形为(x－a)(x－a2)>0，则
[自主解答]
方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2， (1)当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2， 此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}； 返回
(2)当0<a<1时，有a>a2，
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不
等式，称为一元二次不等式．
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2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
Δ＝b2－
4ac y＝ax2＋ bx＋c (a>0)
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
的图象
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Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
Δ>0 x1，x2
Δ＝0
Δ<0
b 没有实数根 x0＝－2a
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[通一类]
1．解下列不等式： (1)x2＋2x－15>0； (2)x2>2x－1； (3)x2<2x－2.
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解：(1)x2＋2x－15>0⇔(x＋5)(x－3)>0⇔x<－5或x>3， ∴不等式的解集是{x|x<－5或x>3}． (2)x2>2x－1⇔x2－2x＋1>0⇔(x－1)2>0⇔x≠1， ∴不等式的解集是{x∈R|x≠1}．
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③若a<－1，则a<x<－1，此时不等式的解集为{x|a<x<－1}．
综上可知：若a>－1，原不等式的解集为 {x|－1<x<a}； 若a＝－1，则原不等式的解集为∅； 若a<－1，原不等式的解集为{a<x<－1}.
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解关于 x 的不等式(x－2)(ax－2)>0. [错解] {x|x<2}； 当 a≠0 时，方程(x－2)(ax－2)＝0 的两根为 x1＝2， 2 x2＝a. 当 a＝0 时，原不等式化为 x－2<0，其解集为
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(2)原不等式可转化为(2－x)(x＋3)>0，
即(x－2)(x＋3)<0.
解得－3<x<2，
∴原不等式的解集为{x|－3<x<2}．
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2－x 若将(2)变为 >1 则应如何解呢？ x＋3
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x＋3>0， 解：法一：原不等式可化为 2－x>x＋3
或
x＋3<0， 2－x<x＋3，
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Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
{x|x>x2
或x<x1}
{x|x1<
b {x|x≠－2a}
∅
R ∅
x<x2}
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[小问题·大思维] 1．若ax2＋bx＋c≥0，a≠0恒成立(或解集为R)，则a、b、c 满足的条件是什么？ 提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，条件为b2 －4ac≤0，且a>0.
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3 . 2
课前预习·巧设计
第 三 章 不 等 式
一 元 二 次 不 等 式 及 其 解 法
第一 课时 一元 二次 不等 式的 解法
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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[读教材·填要点]
1．一元二次不等式
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[错因]
2 当 a<0 或 a>1 时，只注意到了a<2，而忽略了
当 a<0 时，原不等式二次项系数为负数，此时不等式的解 2 集为{x|a<x<2}
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[正解]
以上同错解．
2 (3)当a<2，即 a<0 或 a>1 时， ①当 a<0 时，原不等式的二次项系数为负数，因此原不等 2 式的解集为{x|a<x<2}； ②当 a>1 时，原不等式的二次项系数为正数，因此原不等 2 式的解集为{x|x<a或 x>2}．
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[悟一法]
解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨
论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零
和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式 Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．简记为“ 一a、二Δ、三两根大小”．
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[通一类] 3．解关于x的不等式x(x－a＋1)<a. 解：原不等式即为x2－(a－1)x－a<0， 即(x－a)(x＋1)<0. ①若a>－1，则－1<x<a，此时不等式的解集为{x|－1<x<a}； ②若a＝－1，则不等式为(x＋1)2<0，无解；
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(4)原不等式可转化为 2x2－x－1>0，由方程 2x2－x－1 1 ＝0 的解为 x1＝－2；x2＝1，由二次函数 y＝2x2－x－1 的图 1 象知原不等式的解集为{x|x<－2或 x>1}．
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[悟一法]
解一元二次不等式的三步曲：
(1)先求对应方程的根(特别：对于二次项系数为负数时 可先化成正数再求解)；(2)画出函数的草图(只需表明图象 与x轴的交点及图象开口方向)；(3)根据函数图象写出不等 式的解集．
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[通一类] x＋1 2．解不等式 ≤2. x－2 x＋1 x＋1 解：∵ ≤2，∴ －2≤0. x－2 x－2
x－5x－2≥0， －x＋5 x－5 即 ≤0.∴ ≥0.∴ x－2≠0. x－2 x－2
∴x<2 或 x≥5. 即原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}.
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二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横
坐标x的集合，ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是二次函 数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x 的集合．
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[研一题] [例1] 解不等式：
(1)x2－x－6>0；(2)25x2－10x＋1≤0；(3)－x2＋x<4；(4) －2x2＋x＋1<0 [自主解答] (1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3；
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不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt
最大/最小值问题
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
一元二次不等式可以用于解决概率统计问题，如计算一个随机变量的期望值和方差。
概率统计问题
03
组合数学
组合数学中经常出现与一元二次不等式相关的问题，如利用不等式进行计数、排序等。
在数学竞赛中的应用
01
代数竞赛
一元二次不等式是代数竞赛中常见的考点之一，常常与方程、函数等知识结合考查。
02
2023
《不等式一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法ppt》
CATALOGUE
目录
不等式的基本概念一元二次不等式的概念一元二次不等式的解法典型例题解析解题技巧与注意事项一元二次不等式的应用
不等式的基本概念
01
不等式的定义
用不等号连接两Байду номын сангаас代数式，表示它们之间的关系。
不等式的性质
不等式具有传递性、加法单调性、乘法单调性等性质。
详细描述
带有绝对值的不等式
总结词
与一元二次方程相关的不等式通常形式为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0，其中 a、b、c 是常数，且 a 不等于 0。解这类不等式的方法是先求解一元二次方程，再根据方程的根求解不等式。
详细描述
对于与一元二次方程相关的不等式，首先需要求解一元二次方程。根据一元二次方程的求根公式 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)，求出两个根 x1 和 x2。然后，根据不等式的形式和根的大小关系，判断不等式的解集。例如，不等式 x^2 - 2x - 3 > 0 的解集为 (-inf, -1) U (3, inf)。
定义与性质
只含有一个未知数的不等式。
一元二次不等式及其解法课件人教新课标
反思与感悟
解析答案
∴α1，1β为方程 x2＋bcx＋ac＝0 的两根.
又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜α1， ∴不等式 x2＋bcx＋ac＞0 的解集为x|x＜1β或x＞α1，
即不等式 cx2＋bx＋a＜0 的解集为x|x＜1β或x＞α1. 方法二 由题意知a＜0， ∴由 cx2＋bx＋a＜0，得acx2＋bax＋1＞0.
当－1＜a＜0 时，x＋1a(x－1)＞0，
∴x＞－1a或 x＜1；
反思与感悟
解析答案
当 a＜－1 时，－1a＜1， ∴x＞1 或 x＜－1a. 综上，
当a＝0时，原不等式的解集是{x|x＜1}； 当 a＞0 时，原不等式的解集是x|－1a＜x＜1； 当a＝－1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；
当－1＜a＜0 时，原不等式的解集是x|x＜1或x＞－a1.
当 a＜－1 时，原不等式的解集是x|x＜－a1或x＞1.
反思与感悟
跟踪训练2 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.
解 原不等式可化为 (x－a)(x－a2)＞0 讨论a与a2的大小 (1)当a2＞a即a＞1或a＜0时， x＞a2或x＜a. (2)当a2＝a即a＝0或a＝1时， x≠a.
解析答案
(3)当a2＜a即0＜a＜1时， x＞a或x＜a2. 综上，当a＜0或a＞1时，解集为{x|x＞a2或x＜a}， 当a＝0或1时，解集为{x|x≠a}， 当0＜a＜1时，解集为{x|x＞a或x＜a2}.
“三个二次”关系的应用 例2已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β， 求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
{x|x＜x1或x＞x2}
xx≠－2ba
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
《一元二次不等式及其解法》示范公开课教学PPT课件pptx
定义：含有一个未知数且未知数最高次数为2次的不等式叫做一元二次不等式。
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
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题量适当，避免过多或过少
添加标题
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题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
高中数学第三章不等式第2节一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修54
若(x－m)(x－n)<0，则可得 m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． (2)含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要 对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”， 讨论需从以下三个方面进行考虑：
①关于不等式类型的讨论：二次项系 数 a>0，a<0，a＝0.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式 的解集为xx＝94.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2
－40＝－4<0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又 二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝ 2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等 式的解集为 R.
解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方 程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋
bx＋c
(a>0)
的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
或 x<x1} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
x<x2}
x1，x2
①关于不等式类型的讨论：二次项系 数 a>0，a<0，a＝0.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式 的解集为xx＝94.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2
－40＝－4<0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又 二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝ 2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等 式的解集为 R.
解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方 程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋
bx＋c
(a>0)
的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
或 x<x1} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
x<x2}
x1，x2
2018春高中数学必修五课件：3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法3 精品
2.解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R).
【解题探究】1.典例1中关于x的不等式x2+ax-6a2<0对 应的方程的根分别是多少？能否比较大小？ 提示：对应方程的根分别是-3a和2a，由于a<0， 故-3a>2a. 2.典例2中解此不等式应注意什么？ 提示：在因式分解之后需对方程的两根(含有参数a)进 行大小比较，所以要进行讨论.
(2)从方程的角度看
设一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)
的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，
则有
x1 x1x 2
x2
c， a
b a
，
即不等式的解集的端点值是相应方程
的根.
【题型探究】
类型一 解一元二次不等式
(3)当Δ<0时，此时方程ax2+bx+c=0无实数根，则不等 式①的解集为R，不等式②的解集为∅.
2.从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)从函数的角度看(以a>0的二次函数为例) 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集，即二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)满足y>0时的自变量x组成的集合，亦 即二次函数y=ax2+bx+c>0(a>0)的图象在x轴上方时点 的横坐标x的集合，一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的 根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
当0<a<1时，a2<a，x<a2或x>a； 当a=1时，a2=a，x≠1； 当a>1时，a<a2，x<a或x>a2. 综上所述，当0<a<1时，原不等式的解集为 {x|x<a2或x>a}； 当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}； 当a>1时，原不等式的解集为{x|x>a2或x<a}.
人教高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法课件
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
1一.二元二次次函不数等，式一的元解法二次方程，一元二次不等式的关系
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠
}
△<0 y
x O 没有实根
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
Φ
2.解一元二次不等式
1 x1 2 , x2 2.
所以,原不等式的解集是
-1
2
2
x
|
x
1 2
,或x
2.
注:开口向上,大于0
解集是大于大根,小 于小根(两边飞)
8
若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
解：不等式
的解集为： :x
1 x 2 注:开口向上,小于0
2
解集是大于小根且 小于大根(两边夹)
-1
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 有两相等实根
一元二次不等式及其解法-完整版课件
第三章 3．2 一元二次不等式及其解法
第2课时 含参数一元二次不等式的解法
1 课前自主预 习
2 课堂典例探 究
3 课时作 业
课前自主预习
• 一辆汽车总重量为ω，时速为v(km/h)，设它从刹车到停车行走的距离
L与ω、v之间的关系式为L＝kv2ω(k是常数)．这辆汽车空车以50km/h行
驶时，从刹车到停车行进了10m，求该车载有等于自身重量的货物行 驶时，若要求司机在15m距离内停车，并且允许司机从得到刹车指令 到实施刹车的时间为1s，汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到 1km/h)
• [辨析] 错解忽视了k＝0时，kx2－6kx＋(k＋8)≥0也成立，考虑问题
不全面导致错误．
[正解] 0≤k≤1 由题意 kx2－6kx＋(k＋8)≥0 恒成立．当 k＝0 时满足，当 k≠0 时△k＞＝036k2－4kk＋8≤0 ， ∴0＜k≤1，综上得 0≤k≤1.
一元二 含 二参 次数 不的 等一 式元—根 正据 确情 进况 行分类讨论 次不等式分式不等式的解法—转化成整式
由图知，①式的解为 x≤13，或 x≥2，或 x＝1.
由②式知 x≠13，且 x≠2， ∴原不等式的解为{x|x<13，或 x>2，或 x＝1}．
[方法总结] 穿根法求高次不等式的解集： (1)求解过程概括为： 化正 ⇒ 求根 ⇒ 标根 ⇒ 穿根 ⇒ 写集 (注意端点值能否取到)． (2)“化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值． (3)奇次(奇次根)穿透，偶次(偶次根)返回．
不等式32x－－x1≥1 的B．{x|x≤34或 x＞2}
C．{x|34≤x＜2}
• [答案] C
D．{x|x＜2}
[解析] 不等式32x－－x1≥1，化为：42x－－x3≥0， ∴34≤x＜2.
第2课时 含参数一元二次不等式的解法
1 课前自主预 习
2 课堂典例探 究
3 课时作 业
课前自主预习
• 一辆汽车总重量为ω，时速为v(km/h)，设它从刹车到停车行走的距离
L与ω、v之间的关系式为L＝kv2ω(k是常数)．这辆汽车空车以50km/h行
驶时，从刹车到停车行进了10m，求该车载有等于自身重量的货物行 驶时，若要求司机在15m距离内停车，并且允许司机从得到刹车指令 到实施刹车的时间为1s，汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到 1km/h)
• [辨析] 错解忽视了k＝0时，kx2－6kx＋(k＋8)≥0也成立，考虑问题
不全面导致错误．
[正解] 0≤k≤1 由题意 kx2－6kx＋(k＋8)≥0 恒成立．当 k＝0 时满足，当 k≠0 时△k＞＝036k2－4kk＋8≤0 ， ∴0＜k≤1，综上得 0≤k≤1.
一元二 含 二参 次数 不的 等一 式元—根 正据 确情 进况 行分类讨论 次不等式分式不等式的解法—转化成整式
由图知，①式的解为 x≤13，或 x≥2，或 x＝1.
由②式知 x≠13，且 x≠2， ∴原不等式的解为{x|x<13，或 x>2，或 x＝1}．
[方法总结] 穿根法求高次不等式的解集： (1)求解过程概括为： 化正 ⇒ 求根 ⇒ 标根 ⇒ 穿根 ⇒ 写集 (注意端点值能否取到)． (2)“化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值． (3)奇次(奇次根)穿透，偶次(偶次根)返回．
不等式32x－－x1≥1 的B．{x|x≤34或 x＞2}
C．{x|34≤x＜2}
• [答案] C
D．{x|x＜2}
[解析] 不等式32x－－x1≥1，化为：42x－－x3≥0， ∴34≤x＜2.
人教A版高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法课件
(a > 0)的图象
0
y
x1 O x2 x
0
y
O x1 =x2 x
0
y
Ox
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等
(a > 0)的根
实根 x1 < x2
有两个相等 实根 x1 = x2
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
所以，当一次上网时间在5小时
y
以内（含恰好5小时）时，选择公 司A的费用小于或等于选择公司B
O 5x
的费用；超过5小时，选择公司B的
费用少.
不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)
的解集是什么？
完成下表：
Δ= b2 - 4ac
y = ax2 + bx + c
x
x
<
-2或x
>
1 3
.
【规律总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
（1）化成不等式的标准情势: ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象；
5.解下列不等式： (1)(1 - x)(1 + x)> 0;(2)1 - x - 4x2 > 0; 23
0
y
x1 O x2 x
0
y
O x1 =x2 x
0
y
Ox
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等
(a > 0)的根
实根 x1 < x2
有两个相等 实根 x1 = x2
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
所以，当一次上网时间在5小时
y
以内（含恰好5小时）时，选择公 司A的费用小于或等于选择公司B
O 5x
的费用；超过5小时，选择公司B的
费用少.
不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)
的解集是什么？
完成下表：
Δ= b2 - 4ac
y = ax2 + bx + c
x
x
<
-2或x
>
1 3
.
【规律总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
（1）化成不等式的标准情势: ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象；
5.解下列不等式： (1)(1 - x)(1 + x)> 0;(2)1 - x - 4x2 > 0; 23
3.2一元二次不等式及其解法 教学课件 PPT
[答案] 含有一个未知数 x 未知数 x 的最高次数为 2
第三章 不等式
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
新课引入
受国际上各国宽松的货币政策与我国各地楼市调控政策的共 同作用，各地一线城市的房价增速下降，但仍是涨多跌少．某城 市 2010 年底楼盘均价是 19 650 元/m2，到了 2011 年 2 月末，楼盘 均价高于 20 580 元/m2，那么如何计算这两个月内平均提价的百分 数？能列出不等式求解吗？
温故知新
1. 初 中 我 们 学 过 的 一 元 一 次 不 等 式 为 ____________ 或 ____________．
[答案] ax＋b>0(a≠0) ax＋b<0(a≠0)
第三章 不等式
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2．不等式 2x2－x＋1>0 和 x2＋2x－3<0 的两个共同点是 ________和________．
第三章 不等式
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①△＞0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根 x1、 x2，设 x1＜x2，则不等式(1)的解集为{x|x＜x1 或 x＞x2}，不等式(2) 的解集为{x|x1＜x＜x2}；
②△＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的根，即 x1＝x2 ＝－2ba，此时不等式(1)的解集为{x∈R|x≠－2ba}，不等式(2)的解 集为∅；
第三章 不等式
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第三章 不等式
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新课引入
受国际上各国宽松的货币政策与我国各地楼市调控政策的共 同作用，各地一线城市的房价增速下降，但仍是涨多跌少．某城 市 2010 年底楼盘均价是 19 650 元/m2，到了 2011 年 2 月末，楼盘 均价高于 20 580 元/m2，那么如何计算这两个月内平均提价的百分 数？能列出不等式求解吗？
温故知新
1. 初 中 我 们 学 过 的 一 元 一 次 不 等 式 为 ____________ 或 ____________．
[答案] ax＋b>0(a≠0) ax＋b<0(a≠0)
第三章 不等式
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2．不等式 2x2－x＋1>0 和 x2＋2x－3<0 的两个共同点是 ________和________．
第三章 不等式
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①△＞0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根 x1、 x2，设 x1＜x2，则不等式(1)的解集为{x|x＜x1 或 x＞x2}，不等式(2) 的解集为{x|x1＜x＜x2}；
②△＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的根，即 x1＝x2 ＝－2ba，此时不等式(1)的解集为{x∈R|x≠－2ba}，不等式(2)的解 集为∅；
第三章 不等式
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第三章 不等式
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