初中数学 几何变换之平移

平移的性质：

1．经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等．

2．平移前后，所对应的图形全等．

1．平行四边形与平移变换

由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理．平移沿平行四边形的某条边进行．

2．平行六边形和平移变换

因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定．这种平移方式经常用来对分散图形进行集中．

如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．

A C

D B

P

A C

D B

P

Q

如图所示，将PAB △平移至QDC △的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形

ABCD 的两条邻边．

模块一 平行多边形和平移的构造

如图2-1，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠． 请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．

F G

H

E

142

3 B A D C 5

8

6

7

P

图2-1 图2-2

【分析】 此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1∠和2∠，

位置为时，可得出3∠和4∠相等（本质为四点共圆），图（2）中，5∠与

6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行

四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．

分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．

∵BK AP ∥，PK AB ∥，∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥，∴PK CD ∥，PK CD =

∴四边形PKCD 为平行四边形，∴PD CK =，∵AD BC = ∴ADP BCK △≌△，∴8BCK ∠=∠

在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠，∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠

8

76

5B D

C

A K

P

K

8

76

5P

D

C

B

A （6∠不动移5∠） （5∠不动移6∠）

K

A B

C

D

P 56

78

K

8

7

6

5P D C B

A （5∠，6∠均移动） （5∠，6∠均移动）

【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐．

如图，以ABC △的边AB 、AC 、BC 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE 、正方形ACGF 、正方形BCMN ．以EF 、DN 、GM 为边能否构成三角形？为什么？

D

E F

G

N

M

B

C

A

D

E F

G

N

M

B

C

P

A

过点E 作PE DN ∥，过点N 作PN DE ∥，PE 与PN 交于点P ，连结PM 、PF ．

∵PE DN ∥，DE PN ∥，∴DE PN =，PE DN =

∵AB DE ∥，PN DE ∥，∴AB PN ∥，∵BC MN ∥，

∴ABC PNM ∠=∠，∵AB DE PN ==，BC NM =，∴ABC PNM △≌△ ∴AC PM FG ==，ACB PMN ∠=∠，∴AC FG PM ∥∥， ∴四边形FGMP 是平行四边形， ∴MG PF =

∴PEF △就是以EF 、DN 、GM 的长为边的三角形．

【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展PEF △的面积为ABC △的3倍.

如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？

21

33D F E

C B A

C 1

E 1

2133A 1

D

F E

C B A

（方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是120︒， 易知CD AF ∥，AB ED ∥，BC FE ∥．

把BC 、DE 、F A 分别平移至1AC 、1CE 、1EA ， 可得等边111AC E △，

其边长11111C E CE CC DE BA =-=-=． 在此基础上可求得EF 、AF 的长， 进而求得六边形的周长：

11111312EF AA AC C A BC ==-=-=-=， 11111134AF A E A E E E CD ==+=+=+=，

故六边形的周长是13322415+++++=． （方法2）：如图所示，将六边形补全为等边PQR △． 易得PQR △的边长为1337++=， 则7322EF =--=，7124FA =--=， 故六边形的周长是13322415+++++=．

在六边形ABCDEF 中，AB DE ∥，BC EF ∥，CD AF ∥，对边之差BC EF -= 0ED AB AF CD -=->．求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等．

F

E D

C

B

A

P

F

E R

Q

D C

B

A

平移线段DE 到CR ，平移线段BC 到AQ ，平移线段F A 到EP ，如图所示，得到PQR △．

易知PQ AQ AP BC EF =-=-， RQ RC QC ED AB =-=-，

PR PE RE AF CD =-=-．

由于BC EF ED AB AF CD -=-=-，

∴PQ RQ PR ==，即PQR △是等边三角形， 60PQR QRP RPQ ∠=∠=∠=︒．

故6060120DEF DER REF QRP RPQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒． 180********CDE CRE QRP ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．

同理，120DCB CBA BAF AFE ∠=∠=∠=∠=︒， ∴六边形ABCDEF 的各内角均相等．

如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？

2133R

Q

P

D F E

C B A