初中数学动态几何问题

[导读] 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。

它主要以几何图形为载体，运动变化为主线摘要：本文结合笔者的教学实践对初中数学教学中的动态几何问题进行了探讨。

关键词：二次函数；动点；动线；动态作者简介：郭兴淑，任教于云南腾冲一中。

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。

它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，函数为背景，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题。

这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.本类问题主要有动点、动线、动面三个方面的问题。

其中动点问题有单动点和双动点两种类型，无论是动点、动线、单动点还是双动点，我们都要注意到如何在动中求静，在静中求解，找到相应的关系式，把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。

下面就以二次函数为背景的动态问题和单纯几何图形变化的动态问题采撷几例加以分类浅析，供读者参考。

动态问题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就运动而言，可以分为三类：动点、动线、动形；就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等。

它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。

一般的，解题设计要因题定法。

无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则；简单化原则、和谐化原则等。

动态问题一直是近几年数学中考的一个热点，随着编者的不断刨新，动态问题又有升温，比如双动问题就是中考中的最新风景区，他可以培养同学们在运动变化中发展空间想象能力．这类问题只要我们掌握“动中有静，静观其变，动静结合”的基本解题策略，我们就能以不变碰多变．以下列举近几年数学中考的两类双动问题供读者参考交流．随着新课程改革的进行，全国各地的中考试卷异彩纷呈，尤其是解答题中的动态问题，集数与代数、空间与图形两大内容于一体，题型新颖，阅读量大，考查面广．为体现中考试卷选拔性的功能，动态问题常常以区分度较高的压轴题呈现．下面笔者就2010年河北卷中考数学试题第25题的命题特点进行分析．中考数学中时常出现一类以动态问题为背景探求定值的问题，随着图形的运动，需要探求的几个对象的位置和大小都发生了变化，但它们的某些关系却不变．此类问题探索性强，涉及的知识面广，解题方法灵活，因此，对学生的要求比较高，往往让部分学生束手无策．事实上，解决这类问题的基本思想是“动中取静”，即在复杂的运动变化中寻找不变的因素要求猜测和寻求某些不变量时，往往把动态问题转化为静态问题，从几个特殊位置着手，动中窥静，以静制动，从中探求本质、规律和方法，从而明确图形之间的内在联系，以便解决问题．抛物线的定义刻画了定点、定直线与动点距离三者之间的相互关系，利用这些等量关系，我们可以将动态问题置于静态环境中处理，“以静制动”，这样可起到巧妙解题的作用．今年来数学中考题不断创新求精，动态问题明显升温：以静制动，静观其变，已逐步转化为动中有静，动静结合，力求培养同学们在运动变化中发展空间想象能力。

笔者翻阅了2003年的部分中考试卷，有点动，线动，有平动，滚动，先介绍如下，供读者参考。

动态问题，在近年来的中考中屡见不鲜，这类问题，难度较大，它以图形上点的运动，或线段的运动，或部分图形的运动为主线，将代数知识和图形性质有机地融合起来，解答策略是：化整为零和化动为静，即考虑运动的对象在某一范围内的基一时刻时，图形所具有的特征，把它们当作已知条件，然后去处理相关的问题．这类问题的解答常常离不开相似三角形的知识．几何动态问题是近年来中考试卷中出现较多的题型，它集点的运动、线段的运动、图形的变化于一身，集几何、代数知识于一体，综合性强，难度大，能较好地考查学生掌握基础知识的状况，以及分析问题和解决问题的能力．本文从2009年各地中考试卷中挑选了一些几何动态问题加以分类剖析，以飨读者．《比翼双飞俩动点》在近几年中考试题中出现了许多动态问题．本文以中考试题为素材、以动点问题为重点进行透视，意在培养和提高同学们挑战动态问题的能力．现以2009年河北一中考题为例．动态问题不仅能体现“世界是运动变化的，又是相对静止的，并且在一定条件下可以相互转化”的哲学观点，而且常常与探究性问题、分类讨论问题结合在一起，要求学生利用运动、变化、发展的观点来分析问题．此类问题能全面地考查观察、推理、综合运用知识等能力，近年来备受各地中考命题者的青睐，成为中考试题中的一大亮点．动态问题一直是近几年数学中考的一个热点，随着教学改革的不断创新，动态问题更加精彩纷呈，如双动点问题就是中考中的一道最新风景线，这类问题可以培养学生的空间想象能力．解决这类问题的基本策略是：动中取静，静观其变，动静结合．以下以2009年中考中两类比较典型的双动点问题为例进行分析，供读者参考．运动是事物的本质属性。

数学中的动态问题包括图形的，平移（动点、动线、动图）、翻折与旋转（或滚动），这类问题在“动”中求“静”，“静”中探“动”，主要是考查学生观察、想象、分析与综合的能力和操作变换的技能。

因此，动态问题依旧是中考题中的热点。

本文就图形平移问题的解法加以简单介绍。

所谓以几何图形为载体的动态问题，就是点（一点或两点）在几何图形中的某条（一条或两条）线段上匀速运动，通过点的运动，引发出与动点有关的数学问题．这类问题涉及方程、函数和几何图形的面积等知识，覆盖的知识面广，综合性强，是培养学生综合运用数学知识、提高解题能力的不可少的题目．动态问题一般特点是几何问题的代数解法，解这类问题的关键是明确点运动的方向、速度和路程，中考数学题中的动态问题包括图形的平移（动点、动线、动图）、翻折与旋转（或滚动）．这类试题要求解题者在“动”中求“静”，“静”中探“动”，可以有效地考察我们的观察、想象、分析与综合的能力．本文就图形平移问题的解法为同学们略加解说，期望能对大家有所帮助．任何事物都处于动、静两种状态，动与静相互依存、相互转化，“化动为静”是解答动态探索综合题的好方法．运动变化的问题是近来中考的新趋向，从动点、动线到动形，从移动、折叠到旋转，从运动变化（动）中寻求图形间（静）的位置关系，抓住运动变化中的“不变量”、“不变图形”等为“向导”，大胆猜想、勇于探索，对各种动态揣测逐一探究考证、建立起关系式．熟练地驾驭这一类问题的规律，才能降服这一类动态问题的拦路虎．一、以二次函数为背景的动态问题1.单动点与二次函数例l，(2009年深圳)已知：Rt△ABC的斜边长为5。

斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB)，直角顶点C落在y 轴正半轴上(如图1)．(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．(2)如图2，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0，n>0，连接DP交BC于点E．①当△BDE为等腰三角形时,接写出此时点E的坐标.②又连结CD、CP(如图3)，△CDP是否有最大面积?若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．分析:通过三点确定了抛物线的解析式；在分析△BDE是等腰三角形时，要抓住等腰三角形的特征，分三种情况来讨论，即BD=BE DB=DE，EB=ED时；结合等腰三角形的三线合一来解题．由于是求△CDP的最大面积，所以要与二次函数的最值问题联系在一起，故要以△CDP的面积为因变量来建立二次函数．在此题中用到三角形相似对应线段成比例求出AO,BO的长这是一种在求解线段长度问题中比较常用的方法，再用二次函数交点式方程求出二次函数的解析式，二次函数的表达式有三种要根据题意适当选择方程，此外第二个题又考察了分类思想，最终最值问题又转化为了二次函数的最值问题来求解。

2.双动点与二次函数例2，(2009年河南)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，O)、C(8，0)、D(8，8)。

抛物线过A、C两点。

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PEAB交AC于点E。

①过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEG是等腰二角形?请直接写出相应的t值。

解(1)点A的坐标为(4,8)．将A(4，8)、C(8，0)评析:由矩形的性质可知A点的坐标，进一步求得二次函数的解析式，为以下各问埋下伏笔；随着点P和点Q的运动，EF与抛物线的交点G始终在点E的上方，故EG的长等于G的纵坐标与E的纵坐标之差且它们的横坐标相同，所以可以建立二次函数来求最值。

对于等腰三角形，根据P、Q两点的运动分三种情况讨论即可。

二、单纯的几何图形变化的动点问题1.单动点的图形变化例:在平行四边形ABCD中∠A＝120°，E是BC上不与B点重合的点，AB＝4，AD＝3，过E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，设，△DEF的面积为，求与之间的函数关系式。

分析：要求面积只需取某条线段为底，再找一条高，它们要么是常量要么是关于自变量的代数式，因此，以EF为底DG为高，求解。

（1）设运动时间为x，用含x的代数式表示AE和ED；（2）如Q点在BD上移动；（3）Q运动时能否与E、D够成直角三角形，如能求出的值。

分析：（1）中求线段之间的关系常用的方法为比例线段和勾股定理，此处可用比例线段；（2）中求三角形的面积同样只需找底与高即可（底与高，可能为常量，也可能为含的代数式）DQ为底，PC为高；（3）这是明显的动中求静的问题，可假设能够成直角三角形，把各线段的长求出来，再用勾股定理求解，如有合题意的解，则说明能够成直角三角形。

注意：到由于此题为双动点问题，当点Q到C停止时，由于AB＝BC，则点P到A 也就停止了，因此只有一种情况，在此题中，求线段我们再次用到了比例线段求线段的长，分别表示出底和高之后，面积也就迎刃而解了。

通过以上例子,我们可以看到动态问题对学生的综合能力要求较高, 解题方法灵活多变，其中所含的数学思想和方法丰富，有数型结合思想，方程思想，函数思想，分类讨论思想，数学建模等思想方法。

考查学生利用动静结合、图形变换的规律分析、解决问题的能力，有效地考查了考生观察、猜想、归纳、验证、推理等思维能力, 要求学生要会将问题各个时刻的图形分类画图，由“动”变“静”；还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系。

同时考查了学生的数学功底和探究心理。

动态问题在初中阶段还有动面的问题主要考察平移，旋转，和轴对称，在此不做分析。