四川成都实验外国语学校2015届高三10月月考文科数学试题

成都实验外国语学校2015届高三10月月考文科数学试题（总分150分，时间120分钟）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =（ ）A. [2,)+∞B. [4,)+∞C. [0,)+∞D.[0,4]2. 若(12)1ai i bi +=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则||a bi +=( ) A ．BCD3.“1m =”是“直线y mx m =+与直线2y mx =+平行”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4. △ABC 中，若()()0CA CB AC CB +⋅+=，则△ABC 为（ ）A 正三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 无法确定5．下列命题中是假命题．．．的是（ ）A ．,lg()lg lg a b R a b a b +∀∈+≠+，;B.,R ∃ϕ∈函数()sin(2)f x x =+ϕ是偶函数； C ．,,R ∃αβ∈使得cos()cos cos α+β=α+β；D ． 243,()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅使是幂函数，且在(0,)+∞上递减； 6．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三侧视图正视图视图如右上图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．7BCD 7．已知f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧-∈+∈+)0,1[,1]1,0[,12x x x x ，则下列四图中所作函数的图像错误的是( )8.如右图所示，输出的n 为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 139．已知椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B 、C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是（ ）A 10]b a ,)(x f y =),()),(,()),(,(y x M b f bB a f a A 是)(x f y =图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x .o 为坐标原点已知向量)1(λλ-+=k ≤对任意[]1,0∈λ恒成立，则称函数)(x f 在[]b a ,上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在[]1,3上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．[)+∞,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,121C ．43轹÷ê-+ ÷÷êøë D ． 43轹÷ê+ ÷÷êøë第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.）11．为了解高2012级学生的身体发育情况，抽查了该年级100名年龄为17．5岁—18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如右图：根据右图可得这100名学生中体重在［56．5，64．5］的学生人数是_____ ▲____12.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a,b,c ，若△ABC 的面积为22()S a b c =--，则sin 1cos AA-= ▲ .13． 若21()(01)1f x x x x=+<<-，则()f x 的最小值为_____ ▲_______ 14. 二次函数22y x ax b =++的一个零点大于0且小于1，另一零点大于1且小于2，则12--a b 的取值范围是_____ ▲____ 15．已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为M ))(,(00x f x ，记函数)(x f 的导函数为)(/x f ， )(/x f 的导函数为)(//x f ，则有0)(0//=x f 。

若函数()323f x x x =-，则可求得：1220122012f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4022...2012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭40232012f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭▲ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）。

16.（本小题满分12分）已知向量,2)4x m =u r ，2(cos ,cos )44x x n =r ．函数()f x m n =⋅u r r ．(I)若1()2f x =，求cos()3x π+的值；(II)在ABC V 中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围．▲17.（本小题满分12分） 已知函数()1xf x x =+，数列{}n a 满足111,()n n a a f a +==。

（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设1n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n s ，求证：112n s ≤<▲18. （本小题满分12分）已知关于x 的二次函数2()41f x ax bx =-+.(I)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；(II)设点(a ，b)是区域8000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的一点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率．▲19.（本小题满分12分）（如图1）在平面四边形ACPE 中，D 为AC 中点，2AD DC PD ===，1AE =，且,A E A C P D A C⊥⊥，现沿PD 折起使090ADC ∠=，得到立体图形（如图2），又B 为平面ADC 内一点，并且ABCD 为正方形，设F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点. （1）求三棱锥P GHF -的体积；（2）在线段PC 上是否存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成角为060？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.▲20．（本小题满分13分）动点M(x ，y)与定点F(1，0)的距离和它到直线l ：x=4的距离之比是常数12，O 为坐标原点．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程，并说明轨迹E 是什么图形？ （Ⅱ）已知圆C 的圆心在原点，是否存在圆C 的切线m ，使得m 与圆C 相切于点P ，与轨迹E 交于A 、B 两点，且使等式2AP PB OP ⋅=成立？若存在，求出m 的方程；若不存在，请说明理由．▲21．（本小题满分14分）已知函数f (x)=xlnx(x ∈(0，+∞))．（Ⅰ）求f (x)的单调区间；（Ⅱ）若函数g(x)=2f (x)-blnx+x 在[1+x ∈∞，）上存在零点，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）任取两个不等的正数x 1、x 2，且x 1<x 2，若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，求证：x 0>x 1．▲成都实外高2012级10月月考文科数学参考答案一、请将选择题答案填在下表中(10X5=50)。

二、填空题（共计25分，5分／小题）11、40 12、 41，1）13、3 14、（415、-8046三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）解：{}1111121111(),111111,111111211(1)1,111,(1)11111111 (11)22311s n n n n n n n nn n n n n n n n n n a a a f a a a a a a a a a n n a a n b a a n n n n s n n n +++++==∴==++-==⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭=+-⨯=∴=∴===-++∴=-+-++-=-<++17(1分）解（）即又首项为数列是以为首项，为公差的等差数列。

（）由（）得又易知为递增1111,122112n n s s b s ∴≥===⨯∴≤<数列，18（本小题满分12分）(2)由(1)，知当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，(8分)依条件可知事件的全部结果所构成的区域为80,,0,,0a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，构成所求事件的区域为三角形部分．由802a b a b +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标为168,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，19（本小题满分12分）解：（1）因为,F G 分别为,PB BE 的中点，所以//FG PE .又FG ⊄平面PED ，PE ⊆平面PED ，所以//FG 平面PED ，同理：//FH 平面PED .∴平面//HFG 平面PDAE 且111,222HF AD GF PE ====， HF 与GF的夹角等于AD 与PE 的夹角（设为θ）易求sin 5θ=. ∵平面//HFG 平面PDAE ，∴P 到平面GHF 的距离即H 到平面PDAE 的距离，过H 作PD 的垂线，垂足为M ，则1HM =为P 到平面GHF 的距离.111113212P GFH V -=⨯⨯=（2）因为EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以,PD AD PD CD ⊥⊥.又因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥.如图，建立空间直角坐标系，因为22AD PD EA ===，所以(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(2,0,1)D P A C B E ，20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得，12=，化简得：22143x y +=，即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆．（Ⅱ）设A(x 1，x 2)，B(x 2，y 2)．∵ OA OB ⋅=(OP PA +)۰(OP PB +)=2OP +OP PB ⋅+PA OP ⋅+PA PB ⋅， 由题知OP ⊥AB ，故OP PB ⋅=0，PA OP ⋅=0． ∴ OA OB ⋅=2OP +PA PB ⋅=2OP -AP PB ⋅=0． 假设满足条件的直线m 存在，①当直线m 的斜率不存在时，则m 的方程为x=代入椭圆22143x y +=，得y=∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0，这与OA OB ⋅=0矛盾，故此时m 不存在．②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y=kx+b ，∴=b 2=2k 2+2． 联立22143x y +=与y=kx+b 得，(3+4k 2)x 2+8kbx+4b 2-12=0， ∴ x 1+x 2=2348kb k -+，x 1x 2=2241234k b -+， y 1y 2=(kx 1+b)(kx 2+b)=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2=22231234b k k+-， ∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=2241234k b -++22231234b k k +-=0． ∴ 7b 2-12k 2-12=0，又∵ b 2=2k 2+2，∴ 2k 2+2=0，该方程无解，即此时直线m 也不存在． 综上所述，不存在直线m 满足条件21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=+，由ln 10x +>，即1x e >时()0f x '>，所以()f x 在区间1()e +∞，上单调递增，由ln 10x +<，即10x e <<时()0f x '<，所以()f x 在区间1(0)e ，上单调递减，∴ 函数()f x 的单调递增区间为1()e +∞，，单调递减区间为1(0)e， （Ⅱ）∵ 函数g(x)=2f (x)-blnx+x 在[1+x ∈∞，）上存在零点，∴ 方程2ln ln 0x x b x x -+=在[1+x ∈∞，）上有实数解．易知x=1不是方程的实数解，∴ 方程2ln ln 0x x b x x -+=在(1)x ∈+∞，上有实数解， 即方程2ln x b x x =+在(1)x ∈+∞，上有实数解． 设()2ln x x x xφ=+(1)x >， 2222ln 12(ln )ln 1(2ln 1)(ln 1)()2(ln )(ln )(ln )x x x x x x x x x φ-+--+'=+==，∵ 1x >，∴ ln 0x >，ln 10x +>， 当2ln 10x ->，即x >()0x φ'>； 当2ln 10x -<，即1x <<()0x φ'<， ∴ ()x φ在(1上单调递减，在)+∞上单调递增， ∴min [()]x φφ== ∴ 实数b的取值范围为)+∞． （Ⅲ）∵ 存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立，∴ 2211021ln ln ln 1x xx x x x x -+=-成立． 要证明：x 0>x 1 成立， 只需证明 01ln 1ln 1x x +>+ 成立， 只需证明 2211121ln ln ln 1x x x xx x x ->+- 成立， 只需证明 2212(l n l n )x x x x x ->- 成立， 只需证明 2112ln 1x x x x >-成立． 设21x t x =，∵ x 1<x 2 ，∴ 1t >，∴ 即证明：1ln 1t t >- 当1t >时成立． 令 1()ln 1(1)h t t t t =+->，∵ 22111()0t h t t t t -'=-=>，∴ ()h t 在(1)+∞，上单调递增， ∴ ()(1)0h t h >=，即 1ln 1t t >-成立，∴ 不等式 x 0>x 1成立．。