2018届福建省泉州市高三质量检测理科数学试题及答案

泉州市2018届高中毕业班质量检测数学（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设全集为R，函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域为M，则∁R M为（） A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）2．已知角α的终边经过点P（m，4），且cosα=﹣，则m等于（）A．﹣ B．﹣3 C． D． 33．已知=（1，2），=（3，n），若∥，则n等于（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A． +π B． 3（ +π） C．3（ +）D． +5．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（）A．B．C．D．6．运行如图所示的程序框图所表达的算法，若输出的结果为0.75，则判断框内应填入的内容是（）A．i≥4？ B． i＜4？ C．i≥3？ D．i＜3？7．下列说法正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＞0”的否定是“∀x∈R，x2+x﹣1＜0”B．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题C．“x=﹣1”是“x2﹣2x﹣3=0”的必要不充分条件D．“0＜a＜1”是“函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在R上为减函数”的充要条件8．若不等式组所表示的平面区域被直线y﹣1=k（x﹣5）分为面积相等的两部分，则k的值是（）A．B．C．2D．49．双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两圆一定（）A．相交 B．相切C．相离 D．以上情况都有可能10．若函数y=f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f（x）是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是（）①y=2x+1；②y=log2x；③y=2x+1；④y=sin（x+）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分11．（4分）（2018•泉州模拟）复数z=（其中i为虚数单位）的共轭复数等于_________ ．12．（4分）（2018•泉州模拟）已知（3﹣）n的展开式中第三项为常数项，则展开式中个项系数的和为_________ ．13．（4分）（2018•泉州模拟）已知在等差数列{a n}中，a1=10，其公差d ＜0，且a1，2a2+2，5a3成等比数列，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a15|=_________ ．14．（4分）（2018•泉州模拟）如图，矩形ABCD的面积为3，以矩形的中心O为顶点作两条抛物线，分别过点A、B和点C、D，若在矩形ABCD中随机撒入300颗豆子，则落在阴影部分内的豆子大约是_________ ．15．（4分）（2018•泉州模拟）如图，已知点G是△ABC的重心（即三角形各边中线的交点），过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，若=x，=y，则+=3，由平面图形类比到空间图形，设任一经过三棱锥P﹣ABC 的重心G（即各个面的重心与该面所对顶点连线的交点）的平面分别与三条侧棱交于A 1、B1、C1，且=x，=y，=z，则有++=_________ ．三、解答题：共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）（2018•泉州模拟）已知某射击队员每次射击击中目标靶的环数都在6环以上（含6环），据统计数据绘制得到的频率分布条形图如图所示，其中a，b，c依次构成公差为0.1的等差数列，若视频率为概率，且该队员每次射击相互独立，试解答下列问题：（Ⅰ）求a，b，c的值，并求该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列和数学期望Eξ；（Ⅱ）若该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k的概率为P（X=k），试探究：当k为何值时，P（X=k）取得最大值？17．（13分）（2018•泉州模拟）已知m=（1，﹣），n=（sin2x，cos2x），定义函数f（x）=m•n．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，f（）=0．（i）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；（ii）记g（λ）=|+|，若||=||=3，试求g（λ）的最小值．18．（13分）（2018•泉州模拟）椭圆G的中心为原点O，A（4，0）为椭圆G的一个长轴端点，F为椭圆的左焦点，直线l经过点E（2，0），与椭圆G 交于B、C两点，当直线l垂直x轴时，|BC|=6．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若AC∥BF，求直线l的方程．19．（13分）（2018•泉州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为正方形，PA=PD，PA⊥AB，点E、F分别是棱AD、BC的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥PD；（Ⅱ）若AB=AP，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）若△PAD的面积为1，在四棱锥P﹣ABCD内部，放入一个半径为R的球O，且球心O在截面PEF中，试探究R的最大值，并说明理由．20．（14分）（2018•泉州模拟）已知函数f（x）=ln|x+1|﹣ax2．（Ⅰ）若a=且函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若a=0，求证f（x）≤|x+1|﹣1；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象在原点O处的切线为l，试探究：是否存在实数a，使得函数y=f（x）的图象上存在点在直线l的上方？若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由．本题有三小题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）（2018•泉州模拟）已知是矩阵A=的一个特征向量．（Ⅰ）求m的值和向量相应的特征值；（Ⅱ）若矩阵B=，求矩阵B﹣1A．【选修4-4：坐标系与参数方】22．（7分）（2018•泉州模拟）直线l1：θ=（ρ∈R）与直线l2：（t为参数）的交点为A，曲线C：（其中α为参数）．（Ⅰ）求直线l1与直线l2的交点A的极坐标；（Ⅱ）求曲线C过点A的切线l的极坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】23．（2018•泉州模拟）已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z ∈R，求x2+y2+z2的最小值．泉州市2014届普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9. B 10．C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11、i -； 12、16； 13、65； 14、200； 15、4.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，得0.6a b c ++=，即0.10.20.6a a a ++++=，解得0.1a =，…2分所以0.2,0.3b c ==.………………3分故该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列为:ξ6 7 8 9 10 P0.10.20．30.360.04…………5分60.170.280.390.36100.048.04E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………6分（Ⅱ）记事件A ：“该队员进行一次射击，击中9环”，事件B ：“该队员进行一次射击，击中10环”，则事件“该队员进行一次射击，击中9环以上（包括9环）”为A B +.………7分因为A 与B 互斥，且()0.36,()0.04P A P B ==，所以()()()0.4P A B P A P B +=+=. …………8分所以，该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k 的概率1010()0.40.6(0,1,2,,10)kk k P X k C k -==⨯⨯= . ………………10分当1k ≥,*k ∈N 时，101011101100.40.6()2(11)(1)0.40.63kk k k k k C P X k k P X k C k----+⨯⨯=-===-⨯⨯. 令()1(1)P X k P X k =>=-，解得225k <. ………………12分 所以当14k ≤≤时，(1)()P X k P X k =-<=；当510k ≤≤时，(1)()P X k P X k =->=.综上，可知当4k =时，()P X k =取得最大值.………………13分17．本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等．满分13分．解：（Ⅰ）()sin 23cos 22sin(2)3f x x x x π=⋅=-=-m n ， ………………2分由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z .……3分 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………………4分（Ⅱ）由()02A f =，得2sin()03A π-=， 因为0A π<<，所以3A π=.…………5分（ⅰ）由正弦定理，知cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=，……6分 故2sin()sin A B C +=，………………7分又因为A B C π+=-，所以2sin()sin C C π-=即2sin sin C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又由于0C π<<，所以2C π=，………………8分所以()6B AC ππ=-+=.………………9分（ⅱ）AB AC λ+()22222cos AB ACAB AB AC A AC λλλ=+=+⋅+ ，…10分又3AB AC == ，3A π=，所以AB AC λ+ ()22222131(1)3324AB λλλλλ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ，12分故当12λ=-时，()g AB AC λλ=+ 的值取得最小值332.………………13分另解：记AB AC AP λ+=，则P 是过B 且与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，…………12分所以()g λ的最小值即点A 到直线l 的距离332.…………13分 18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）因为(4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点，所以可设椭圆G 的方程为222116x y b +=，………………1分因为当直线l 垂直x 轴时，6BC =，所以椭圆G 过点(2,3)，……2分所以249116b+=，解得212b =. ………………3分 故所求椭圆的方程为2211612x y +=.………………4分 （Ⅱ）方法1：设直线l 的方程为2x my =+，联立方程组2223448x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得22(34)12360m y my ++-=，……5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，则1221234,mm y y +=-+……① 1223634y m y ⋅=-+.……② …………6分 又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ,………………7分 故2112(4)(2)0x y x y --+=,即2112(2)(4)0my y my y --+=,即122y y =-.………③ …………9分由①②③得22212183434m m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，所以245m =.…………11分 当245m =时，0∆>，所以255m =±，…………12分所以直线l 的方程为2525x y =±+,即525100x y --=或525100x y +-=.…………13分方法2：①当直线l 的斜率不存在时，AC 与BF 不平行；………………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),3448.y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，…………6分设1122(,),(,)B x y C x y ，则12221634x k x k =++，…………①2221164834x k k x -=+⋅…………② …………7分 又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ， ………………8分 故2112(4)(2)0x y x y --+=，即2112(4)(2)(2)(2)0k x x k x x ---+-=， 即1226x x +=…………③ …………9分由①③得2122228183481834k x k k x k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，代入②得2222228188181648343434k k k k k k-+-=+++………………11分 化简，得254k =，当254k =时，0∆>，故52k =±，…………12分所以直线l 的方程为525100x y --=或525100x y +-=.……13分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分. 解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，又PA AB ⊥ ，PA AD A = ，∴AB ⊥平面PAD ，…………2分又 PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥………………3分（Ⅱ） 点E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点,连结PE ，EF ，则,PE AD EF AB ⊥ ， 又由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又,AD PE ⊂平面PAD ，∴,EF AD EF PE ⊥⊥，………………4分 如图，以点E 为坐标原点，分别以,,AD EF EP 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.由题设可知： PA PD AB AD ===，故不妨设2AB =， 则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,3)A D B C F P --(1,2,3)PB =- ，(1,2,3)PC =--，………………5分AB ⊥平面PAD ， ∴平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB =，…………6分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，,PB PC ⊥⊥n n，∴00PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即230230x y z x y z ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得0230x y z =⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令2z =，得3y =，∴平面PBC 的一个法向量为(0,3,2)=n .………………7分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为θ,则0230321cos cos ,.7277AB AB AB θ⋅++=<>====⋅n n n∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为21.7……………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）已证得PE EF ⊥，则截面PEF ∆为直角三角形.xyzFE (O )DCBA P111,22PEF PAD S EF EP AD EP S ∆∆=⋅=⋅== 2.EF EP ∴⋅=………………9分设PEF ∆的内切圆半径为,r 则1()12PEF S PE EF FP r ∆=++⋅=2222r PE EF PF PE EF PE EF∴==+++++ 2222222PE EF PE EF ≤=⋅+⋅+121,21==-+………………10分∴当且仅当EF EP =时，PEF ∆有最大内切圆，其半径2 1.r =-此时2EF EP ==， 2.PF =………………11分115522222PAB PCD S S PA AB ∆∆==⋅=⋅=，1122222PBC S BC PF ∆=⋅=⋅⋅=， 1PAD S ∆=，2(2) 2.ABCD S AD EF =⋅==设PEF ∆的内切圆圆心O 到侧面PAB 、侧面PCD 的距离为d ，则1111()3333P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCDABCD V r S S S d S d S EP S -∆∆∆∆∆=⋅+++⋅+⋅=⋅， 即()2PAD PBC ABCD PAB ABCD r S S S d S EP S ∆∆∆∆⋅+++⋅=⋅， 所以()(21)122522d -+++=， 解得121.5d r =>-=………………12分 ∴在四棱锥P ABCD -的内部放入球心O 在截面PEF 中的球，其最大半径R 是21,-该最大半径的球只能与四棱锥P ABCD -的三个面相切. ………13分20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）当23a =且1x >-时，22()ln(1)3f x x x =+-，214443(23)(21)'()133(1)3(1)x x x x f x x x x x --++-=-==-+++，…………2分令'()0f x >，因为1x >-，所以(23)(21)0x x +-<，解得112x -<<， 所以函数()f x 的递增区间为1(1,)2-.…………4分（Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x =+，不等式()11f x x ≤+-即ln 1110x x +-++≤， …………5分令1t x =+，则0t >，此时不等式ln 1110x x +-++≤等价于不等式ln 10(0)t t t -+≤>. 令()ln 1t t t ϕ=-+，则11'()1t t t tϕ-=-=. …………7分 令'()0t ϕ=，得1t =.(),'()t t ϕϕ随t 的变化情况如下表t(0,1)1(1,)+∞'()t ϕ+0 -()t ϕ递增极大值0递减由表可知，当0t >时，()(1)0t ϕϕ≤=即ln 10t t -+≤.所以()11f x x ≤+-成立. …………9分（Ⅲ）当1x >-时，2()ln(1)f x x ax =+-，1'()21f x ax x =-+，所以直线l 的斜率'(0)1k f ==，又(0)0f =，所以直线l 的方程为y x =.令2()ln 1g x x ax x =+--，则命题“函数()y f x =的图象上存在点在直线l 的上方”可等价转化为命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞ ，使得()0g x >.”……10分当1x >-时，2()ln(1)g x x ax x =+--,1'()211g x ax x =--+， 当1x <-时，2()ln(1)g x x ax x =----,1'()211g x ax x =--+， 所以，对(,1)(1,)x ∈-∞--+∞ ，都有212(1)2(21)2'()11ax x ax a xa g x x x -++--+==++. ……11分令'()0g x =，解得0x =或212a x a+=-.①当0a >时，2112a a+-<-，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表： x1(,1)2a -∞-- 112a -- 1(1,1)2a--- (1,0)- 0(0,)+∞'()g x+ 0 － + 0 － ()g x递增 极大值递减递增极大值递减又因为111(1)ln ,(0)0224g a g a a a--=+-=， 所以，为使命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞ ，使得()0g x >.”成立，只需111(1)ln 0224g a a a a --=+->. 令12t a =，则111(1)ln 222g t t a t--=+-， 令11()ln (0)22h t t t t t =-+>， 因为2111'()022h t t t =++>，所以()h t 在(0,)+∞上为增函数，又注意到(1)0h =， 所以当且仅当112t a =>，即102a <<时，()0h t >， 故关于a 的不等式11ln024a a a +->的解集为102a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；…………13分 ②当0a ≤时，因为存在1x e =--使得2(1)2(1)0g e e a e --=+-+>恒成立，所以，总存在点(1,e --21(1))a e -+在直线l 的上方. 综合①②，可知a 的取值范围为12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. …………14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换解：(Ⅰ)由题意，可知存在实数(0)λλ≠，使得10200k k m λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………1分即0k kmk λ=⎧⎨=⎩， ………2分又因为0k ≠，所以10m λ=⎧⎨=⎩， ………3分所以0m =，特征向量0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭相应的特征值为1. …………4分(Ⅱ)因为1=-B ，所以11223--⎛⎫=⎪-⎝⎭B ， …………6分故1121014230226---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A . …………7分 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)将12,l l 的方程化为普通方程，得1:l y x =，2l ：220x y -+=，2分联立方程组220y xx y =⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以A 的坐标为(2,2)，………3分 故点A 的极坐标(22,)4π. …………4分（Ⅱ）将曲线C 的方程化为普通方程得228x y +=，…………5分所以曲线C 是圆心为(0,0)O ，半径为22的圆，且A (2,2)在曲线C 上.因为1OA k =，所以曲线C 过点A 的切线l 的斜率1l k =-， 所以l 的方程为40x y +-=，……6分故l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=. …………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）由已知得()2max326t t m m +--≤-………………1分因为323(2)5t t t t +--≤+--=（当且仅当2t ≥时取等号）………3分 所以265m m -≥，解得15m ≤≤，所以实数m 的取值范围是1 5.m ≤≤………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知5λ=，所以3455x y z ++=.由柯西不等式， 可得()()()222222234534525x y zx y z ++++≥++=, …5分所以22212x y z ++≥， 当且仅当345x y z ==即321,,1052x y z ===时等号成立. ………6分 故222x y z ++的最小值为1.2………………7分。