2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析文科—海南卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试海南数学文科（新课标卷Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2,0,2A =-｛｝ ，{}2|20B x x x =--=，则A B =I （ ）A.∅B.{2}C.0｛｝D.2-｛｝ 2.131i i+=-（ ）A.12i +B.12i -+C.12i -D.12i --3.函数()f x 在0x x = 处导数存在，若0:()0p f x '= ，0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ）A.p 是q 的充分必要条件B.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4.设向量,a b r r 满足||a b +=r r ，||a b -=r ra b ⋅=r r （ ）A.1B.2C.3D.55.等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A.(1)n n +B.(1)n n -C.(1)2n n + D.(1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727 B ． 59 C ． 1027D ． 13 7.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 终点，则三棱锥11A B DC -的体积为（A ）3 （B ）32 （C ）1 （D ）3 8．执行右图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．设x y ,满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1是否10．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB =（A ）30（B ）6 （C ）12 （D ）73 11．若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞12．设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）2222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，第Ⅱ卷二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分。

13．甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14．函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为_________．15．已知偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=_______. 16．数列{}n a 满足111n na a +=-，22a =，则1a =_________. 三、解答题（本大题共8小题） 17.（12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2. (I) 求C 和BD ；(II)求四边形ABCD 的面积.18.（12分） 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，D A BC P A ⊥平面，E 为PD 中点.(I)证明:PB 平面AEC ;(II)设AP =1，3AD =，三棱锥P-ABD 的体积3V =，求A 到平面PBC 的距离.19. （本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民。

根据这甲部门乙部门3 5 94 4 0 4 4 89 75 1 2 2 4 56 67 7 789 9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 06 0 1 1 2 3 4 6 8 8 9 8 87 7 7 6 6 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 07 0 0 1 1 3 4 4 9 6 6 5 5 2 0 0 8 1 2 3 3 4 5 6 3 2 2 2 09 0 1 1 4 5 6100 0 0（I ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；（II ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率； （III ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。

20. （12分）设12,F F 分别是椭圆22221(0):x y C a a b b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点是N .(I)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率; (II)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1|MN |5||F N =，求a ，b .21. （12分）已知函数32()32f x x x ax =-++.曲线y =f(x)在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为-2. (I) a ;(II)证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O e 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O e 相交于点B ，C ，PC =2PA ，D 为PC 中点，AD 的延长线交O e 于点E ，证明： (I) BE =EC(II) 22DE B AD P ⋅=23. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.(I)求C 的参数方程(II)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线2:3l y x =+垂直，根据(I)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||||()10af x x x a a =++->. (I)证明：()2;f x ≥(II)若(3)5f <，求a 的取值范围.参考答案一、选择题 1．B.解析：把-2，0，2代人202x x --=验证，只有2满足不等式，故选B. 考点：考查集合的知识，简单题. 2．B. 解析：13(13)(1)121(124)2(1)i i i i i i i i+++===-++-+--Q 故选B.考点：考查复数的基本知识，简单题. 3．C.解析：极值点必为导函数的根，而导函数的根不一定是极值点，即,q p p q ⇒⇒/ 从而p 是q 的必要但不充分的条件故选C.考点：考查充要条件与极值的基础知识，简单题. 4．A ． 解析：||10,6|4=41=+=-=∴+⋅+⋅+∴⋅∴⋅=-=2222a b a b a 2a b b a 2a b b a b a b Q故选A ．考点：考查平面向量的数量积，中等题. 5．A ．解析：∵数列{}n a 是等差数列，公差等于2 ∴2141812,6,14a a a a a a =+=+=+∵248,,a a a 成等比数列∴22428111()6)214()(a a a a a a ⋅⇒=++=+解得122(221)n a a n n ==+-⇒⋅= ∴(1)(222)=n n nS n n ⋅=++ 故选A ．考点：考查等差数列的通项公式与求和公式，中等题. 6．C.解析：毛胚的体积23654V ππ⋅⋅==制成品的体积 221322434V πππ⋅⋅+⋅⋅==∴切削掉的体积与毛胚体积之比为：134********V V ππ-=-= ，故选C. 考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题. 7．C.解析： ∵正三棱柱的底面边长为2，D 为BC 中点∴22213AD +=∵1112,3BC CC ==∴111111123322B DC B C S C C ⋅=⋅⋅⋅== ∴11111133133AB C B DC V S AD ⋅⋅=⋅⋅== .故选C. 考点：考查空间点，线，面关系和棱锥体积公式，中等题. 8．D. 解析：第1次循环M=2,S=5,k=1 第2次循环，M=2,S=7,k=2第3次循环k=3>2,故输出S=7，故选D. 考点：考查算法的基本知识，简单题. 9．A ．解析：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题. 10．C.解析：∵23y x =∴抛物线C 的焦点的坐标为：()3,04F 所以直线AB 的方程为：330an )t (4y x ︒-=故233)343x y y x ⎧==-⎪⎨⎪⎩从而2122161689012x x x x -+=+=⇒ ∴弦长12||=3122x x AB ++= 故选C.考点：考查抛物线的几何性质，弦长计算以及分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为中等题. 11．D.解析：()ln f x kx x =-Q1()(0)f x k x x ∴'=->()f x Q 在区间(1,)+∞上递增()f x ∴在区间(1,)+∞上恒大于等于0，11()0((1,))x k k x x f x∴'=-≥⇒≥∀∈+∞ 1k ∴≥故选D.考点：考查导数与函数单调性的关系.中等题.12．A ．解析：设N 点的坐标为,s (cos )in θθ（1）当00,1x ≠± 时∵0(,1)M x 点的坐标为∴OM ,MN 的斜率分别为：001s n c s ,i o 1OM MN k x k x θθ-==- ∵45OMN ∠=︒ ∴1tan 45()1MN OM MN OM MN OM MN OMk k k k k k k k -︒=±⇒=-++± 即000011sin 1()11sin cos cos ()x x x x θθθθ--±-=--+⋅* 取正号时，化简（*）式得：2000(1)sin 11()cos x x x θθ+-=++取负号化简（*）式得：2000(1)sin 1(1)cos x x x θθ++=+- 2220000(1)(1))1x x x θϕ++-+=+ 222400000(1)(1)11||1x x x x x +-≥+⇒≤⇒≤+故0||<1x 且00x ≠（2）当00x =时，取(1,0)N ,此时满足题设.（3）当01x =±时，取(0,1)N ，此时也满足题设.综上所述，011x -≤≤ ，故选A ．从上面解法可以看到选择N 的几个特殊位置观察，即可以猜出答案，这样就可以简化解法. 考点：考查应用斜率与倾斜角的概念，直线方程，园的方程,分析问题的能力.困难题.二、填空题13．1.3 解析：1.3333P =⋅=考点：考查古典概型的概念.简单题.14．1解析：因为cos sin 2sin c ()sin s o co s x x f x x ϕϕϕ-=+si s n in cos s n c (o i )s x x x ϕϕϕ==--所以最大值为1.考点：考查和差角公式，简单题.15．3解析：因()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= ，因()f x 关于2x =，所以(1)(2)(332)1f f f ⋅-=== .考点：考查偶函数的概念，轴对称的概念.简单题.16．12 解析：∵111n na a +=- ，22a = ∴12111112112a a a a =⇒-==⇒-考点：考查递推数列的概念，简单题.三、解答题17．解析：（I ）1,3,2,180AB BC CD DA A C ====+=︒Q2222cos BD BC CD B C C CD ∴⋅=+-222cos(180-)2AD AB BD AB AD C +-=⋅︒22222332cos 112co 222s C C ∴+⋅⋅=⋅⋅-++1cos 602C C ∴=⇒=︒22222332cos 607BD BD ∴+⋅⋅︒=⇒-==(II)由（I ） 得，四边形ABCD 的面积S =11sin sin 22AB AD A BC DC C ⋅+⋅⋅ 1112sin(18060)23sin 6022⋅⋅︒-︒+⋅⋅︒==考点：考查余弦定理的应用，中等题.18．解析：(I)连接EF ,因为四边形ABCD 是矩形，故F 为AC 中点，又因为E 为PD 中点，故EF 是△PBD 的中位线，从而||EF PB ,故||.PB AEC 面(II)设AB=a ，因1AD PA ==则1111()(132324P ABD V AB AD PA a -⋅⋅⋅=⋅⋅==所以32a = 过A 作AG 垂直PB 于G.因为,,ABCD BC ABCD PA A C P B ⊥⊂⇒⊥面面又因为AB BC ⊥所以BC PAB ⊥面 ,又BC PBC ⊂面故 PAB A PBC G PBC ⊥⇒⊥面面面所以AG 为点A 到面PBC 的距离. 因22223131()2PB PA AB ++=== 所以1132213PA AB PB AG PA AB AG PB ⋅⋅=⋅⇒== 故点A 到面PBC 的距离为31313考点：考查空间点线面的位置关系与空间距离.中等题.19．解析：(I)甲部门的得分共50个，50个数字从小到大排列起来位于中间位置的数为第25，第26个数，它们分别是：75，75，故甲部门得分的中位数是75.乙部门的得分也是50个数，它们从小到大排列起来的第25，26个数字分别是：66，68，故乙部门的中为数为6668627+=. (II)市民对甲，乙两部门的评分各有n =50个，对甲部门评分高于90分的分数有m =5个，对乙部门的评分高于90分的s =8个，故对甲部门评分高于90分的概率为5500.1m n ==，对乙部门的评分高于90的概率为8500.16n s ==. （III ）观察茎叶图的形状，甲的分数在茎6，7处形成单峰，出现在这里面的数据频率为3450，其中位数为75，乙的分数在茎5，6，7处形成单峰，出现在这个单峰里面的数据频率为2950，中位数为67.因为3450>2950,75>67,这说明市民对甲部门的评价基本在75分附近，对乙部门的评价基本在67分左右.整体看市民对甲部门的评价更好.考点：考查使用茎叶图及样本的数字特征估计总体的能力，中等题.20．解析：（I ）∵2MF x ⊥轴（不妨设M 在x 轴的上方）∴M 的坐标满足方程组222221(,)x b M c a a y b x c ⎧⎪⇒⎨⎪⎩=+= ∵MN 的斜率为34∴2234322b a ac cb =⇒= ∵222222()3a c a a c c b =-⇒-= 又∵222(1)32320c e e e e e a⇒+-⇒-=== ∴椭圆离心率为12e = . (II)∵MN 在y 轴上的截距为2，O 为12,F F 的中点∴M 的坐标为(c ,4)(不妨设M 在x 轴的上方)由（I ）得24b a= (*) ∵1||5||MN NF =∴11||4||MF NF =作1NF x ⊥轴于T ,由于△1NTF ∽ △12MF F ,故有24,4M N N y c y c x =--=- ∴321,14N M N y y c x =-=-=- ，即,3()12c N -- 把N 点的坐标代人椭圆方程得：2221419c a b+=∴2222222)111(9(9544**)4a b b a b a b +=⇒-=- 把（*）与（**）联立得：772a b ==⎧⎪⎨⎪⎩ 考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，难题.21．解析：（I ）32232))36((f x x f x ax x a x x =⇒'=-++-+Q∵切点为(0,2),切线过点（-2，0）∴切线的斜率为22100---= ∴(0)1a f '==(II)由（I ）知，1a =，故32()32f x x x x =-++记32()()(2)3(1)4g x f x kx x x k x =--=-+-+ ，∴2()36(1)x g x x k -+-'=∴3612(1)2412k k ∆=+-=+（1）当210k ∆≥≤-<即时 由16(3)3+30k g x x =-'=⇒，26+33k x =+ 21k -≤<Q∴1201,12x x ≤≤<<∴1()0x x g x '≥⇔< 或2x x >12()0x x g x x '≤⇔<<∴()g x 在区间12(),,,()x x -+∞∞ 上递增，在区间12(,)x x 上递减∴()g x 的极小值为322222()3(1)4g x x x k x =-+-+∵222222261()31230g x k k x x x x -+--⇒==-'= ∴22222222()(2)(1)4g x x x x x k x =--+-+ 222222221(1)42(1)34(123)x k x x k x k x x -=+-+=-+-≤-<⋅- 记222(1)4(12)()2((1)33)k x x x h x h k x x -+≤=---<⇒'=-- 由2210(1)23k k -≤<⇒<--≤，由41222x x ≤⇒-<-≤-< ∴2(1)0()0342k x x h -≤⇒'-<-≤- ∴()h x 在区间[1,2)递减2()(2)(1)03h x h k ⇒≥=--> ∴2212()g()()(00)g x h x x x g ⇒≥>>= （∵12(,)x x 是减区间）又∵(1)10g k -=-<∴当21k -≤<时，方程()0g x =只有一根.(2) 当20k ∆<<-即时，有26(0))3(1g x k x x -+-=>'，从而()g x 在R 上递增∵(1)10g k -=-<，(0)40g =>∴当2k <-时，方程()0g x =只有一根.综上所述，方程()0g x =在R 上只有一根，即曲线()f x 直线2y kx =-只有唯一交点. 考点：考查利用导数综合研究函数性质的能力，难度压轴题.22．解析：(I)连接OA ,OD 交BC 于F ,设PAD α∠=，因PA 是O e 的切线，则90-EAO OEA α∠=∠=︒∵2,2PC PA PC PD ==∴P A D P PD A ⇒=V 是等腰三角形∴ PDA EDF α∠=∠=∵(90)90EDF OEA αα∠+∠=+︒-=︒∴OE BC ⊥故OE 平分弧BC ,从而BE = EC.(II)∵2,2PC PC PA D PB P ⋅==∴22PA PB PD ⋅=由（I ）知PD PA =∴222PA PA PB PB PA ⋅⇒==∴()()DE BD DC BD PA PD PB PA A PA D PA PB ⋅=⋅=⋅=-⋅=-⋅ 2()PA PB PC PA PB PC PA PA PB PB ⋅=⋅-⋅=⋅-=-()PC PD PB DC PB PA PB ⋅-=⋅=⋅=把2PA PB =代人上式，得222PA PB B P PB P B ⋅=⋅=∴22DE B AD P ⋅=考点：考查与园有关的角的知识和圆幂定理的应用.难度中等.23．解析：（I ）∵极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈∴22cos ρρθ= ∴对应的普通方程为：220()02x y x y =≥+- ，即22(01)1()x y y -+=≥∴对应的参数方程为[0,]sin 1cos ,x y ϕϕπϕ⎧∈=+⎨=⎩(II)设半圆的圆心为A ，则A (1,0),又由（I ）知，可以设D 点坐标为(1cos n ),si ϕϕ+ ∴直线DA 的斜率tan k ϕ=∵切线与直线32y x =+垂直 ∴tan 3=3([0,])πϕϕϕπ⇒=∈Q ∴3,sin 231cos ϕϕ==+ 即D 点坐标为3(32 考点：本题考查园的极坐标方程参数方程以及参数方程的简单应用，难度中等题.24．解析：（I ）∵()||||()10af x x x a a =++-> ∴1111,2x ,(12),a a a a x f x a a a x a x x a a ⎧⎪⎪⎪+-≤≤⎨-+-<-=⎪⎪-+>⎪⎩∴()f x 在递增(,)a +∞，在递减(-1)a ∞，-，在[]1,aa -上为常数 ∴()f x 的最小值为()(111)2f a f a a a a a ≥⋅-=+== ∴()2f x ≥（II ）（1）当3a ≥时，1(3)5f a a+<= ∴252215122510a a a ⇒<<-+<∴523a ≤<+ （2）当03a <<时，2(3)61510f a a a a <⇒-+-->=∴a < 或a >3a <<综上所述15(22a ++∈ 考点：考查带有绝对值的不等式的应用能力，考查函数与不等式的关系，中等题.。