波动学

x ) j u + x )+j u 2 y 2 t
平面波波动方程：
y 1 y 2 = u 2 t 2 x
2 2
可以证明对于无吸收的各向同性的均 匀介质，在三维空间传播的一切波动过程 都满足下列方程：
ξ
1 ξ ξ ξ ξ 2 + 2 + 2 = 2 2 x u t y z
12
.
y =0 由图可知， π j y = 在t = 0时刻 2 v = t < 0 u = 600 = 50 ( s 1 ) = 24m A =5m n = 12
1 ( ω=2 πn = 100 π rad.s )
= 24m
u 600 1 n = = 12 = 50 (s ) 1 ( ω=2 πn = 100 π rad.s )
C t2
i2--折射角
折射波传播方向
四、 波的叠加
1. 波传播的独立性
媒质中同时有几列波时 , 每列波都将保持自己原有的特性( 传播方向、振动方向、频率等), 不受其它波的影响 。
2. 波的叠加原理 在几列波相遇而互相交叠的区 域中，某点的振动是各列波 单独传播 时在该点引 起的振动的合成。
（简述）
I (W / m2) I上=1
1. 正常人听声范围 20 < n < 20000 Hz. I下 < I < I 上
o
·
· I =10
下
-12
20 1000
20000
2. 声强级 以1000 Hz 时的I下作为基准声强 I0,
I L 10 log 10 I0
n (Hz)
一 .描述波的物理量
波线 : 波的传播方向称为波线 . 波长：在同一条波线上，周相差为 2 的两质点间的距离 周期：传播一个波长距离所用的时间。 频率：在单位时间内通过某一观察点的完整波数目。

频率和周期只决定于波源，和媒质无关。 波速：波在一个周期内所传播的距离。 联系 F 二 、物体的弹性形变 横波波速 G F u = φ G切变弹性模量 ρ S = Gφ
2 2 2 2
质点的位移
六、波阵面
波线
波阵面(波面)：由振动相位相同的点所组 成的面。
波前：最前面的波面
波线(波射线)：波的传播方向
平面波：波阵面为一平面 球面波：波阵面为一球面
平面波的波面与波线
波线 波面 在各向同性媒质中波线和波面垂直 波面
波线
例1.一平面简谐波，向 x 轴负方向传播， 波速为u=120m/s,波长为60m,以原点处质 点在y =A/2处并向y轴正方向运动作为计时 零点，试写出波动方程。 解： u=120 =60 在 t = 0 时刻 v > 0 j= π 3 y =A/2 波动方程为：
3. 简谐波: 波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元均作简谐振动 。
· · · · · · · · ·t = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·t = T/4 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · t = T/2 · · · · · · · · · ·t = 3T/4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·t = T · · · · · · · · · · ·· ·
I =wu = 6.37×10-6×340 = 21.65×10-4 N/m2
§4 惠更斯原理与波的反射和折射
一. 惠更斯原理 1. 原理 : • 媒质中波传到的各点,都可看作开始发射 子波的子波源 (点波源)。
• 在以后的任一时刻 , 这些子波面的包络 面就是实际的波在该时刻的波前 。 2. 应用 : t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
单位:分贝(db)
[例] 一平面简谐声波的频率为500Hz， 在空气中以速度u =340m/s传播, 到达人耳 时，振幅A =l0-4 cm，试求人耳接收到声波 的平均能量密度和声强 ( 空气的密度ρ =1.29 kg/m3)。 1ρ 2 2 解： w = 2 Aω 1 = 2 ×1.29×(10-6)2×(103π )2 = 6.37×10-6 J/m3
另外几种形式：
角波数在数值上等于2π长度上的完整波数目
ω t kx + j ) y = A cos ( 2 π k= 角波数 k
π 2 y = A cos (x u t )+ j

四、波动方程的物理意义 x ( 常数 ) y = A cos ω ( t u 1 ) + j 1. x = x 1 y 表示 x1 处质点的振动方程 o 2. t = t 1 (常数) t
2
图略
§3 波的能量 波的强度 dm 一、能量密度 取体积元dV， dV 体元内质量为 dm =ρ dV x y = A cosω ( t u ) y x ( v= Aω sinω t u ) = t 2 2 x 1 ρ dV A2 2 1 ( ω sinω t u ) d E k = 2 dm v = 2 1 x 2 2 2 可以证明： dE p dV A sin ( t ) dE k = dE
4
o
p
u
t=0 { (o点) { π 5 φ 得： 0 = 3 2π × 3 2π d = 4 (m) 2π φ p φ 0 λ = φ φ = π π ( ) p 0 = 2 3 λ d
y0 = 2 = A t = 0 2 (p点) v0 ＞ 0
5 3
x(m ) y0 = 0 得： φ p =π v0 ＜ 0 2
π (x + u t )+ j y = A cos 2
π 2 ( x +120 t ) = A cos
60
π
3
例2. 有一列向 x 轴正方向传播的平面简 谐波，它在t = 0时刻的波形如图所示，其波 速为u =600m/s。试写出波动方程。
y(m)
5
u
o
12
.
x (m)
解： o
y(m)
u 5 x (m)
ρ密度（单位体积质量）
s
F
周期、频率、波长、波速之间的关系 u = n



n 个
u= T

1 n= T
u = n
纵波波速
流体（气体、液体） 容变弹性模量 B Δ P---体应变 固体
u=
ρ
B
P V P
ΔV
u= Y
ρ
Y
杨氏弹性模量
Δ P = B ΔV V
总结： 波的传播速度决定于媒质的特性 ,即 决定于这种波在媒质中传播的机构 ,与媒质中质 点的振动速度大小无关 .
y
o
j y = A cos ω ( t 1 x ) + u 表示在 t 1 时刻的波形
x
质点的振动速度：
五、波动方程的一般形式 x ω y = A cos ( t u ) + j
(了解)
质点的振动加速度：
2
y ω sinω (t v= A = t
x +j u) (1)
(2)
y 2 a = 2 = Aω cos ω ( t t 2 2 y = A ω cos ω ( t 2 x u2 2 1 由式(1)、(2)得： y 2 = 2 x u
例 3平面余弦波沿 x轴正向传播 ,u=10m/s,已知 x=10m处 质点的振动图 ,试写出波动方程 ,画出 t=0时刻的波形图. 2 y 看图 (m) 解：T=4s T 2 0.01 2 x 10, t 0, (10,0) 2 x o 4 t(s) y( x , t ) A cos[ ( t ) j ] u x 将 x 10, t 0 代入上式 y( x, t ) 0.01 cos[ (t ) ]米 2 10 (10,0) j j
p
2 u 振动动能 +形变势能=波的能量
• 物理意义
(1) 固定x Ek、E p均随 t 周期性变化 E k= E p (2) 固定t
u
wp wk
(1/4) 2A2
x = x0
o
T t
t = t0
Ek、E p随x周期分布
wk
wp
=0w k E p最大
毛骏健
(1/4) 2A2
最大 Ek E p为 0
π j A =5m =2
原点处质点的振动方程为：
波动方程为：
π y 0 = 5 cos 100 πt+ 2
x ) π + 600 2
y = 5 cos 100 π (t
例3. 有一列向 x 轴正方向传播的平面简 谐波，它在t = 0时刻的波形如图所示，试求 其波长。 y(m) A 2 u
o12.PFra bibliotek2 2
w d t 0
1
T
2
2
2
2
二、波的强度
能流P :单位时间通 S 过某一面积的波能。 P=Swu u 平均能流P : 能流在一个周期内的平均值。 P = S wu 波的强度 I（能流密度）:通过垂直于波的传 播方向的单位面积的平均能流。
2 2 1 I = w u = ρ Aω u 2
u
三、声强级
0
4
8
12
16
20
结论： (1) 质元并未“随波逐流” 质质元的传播
波的传播不是媒
(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振 动