第5章 波动学基础
第5章波动学基础
量纲!
Y
T为绳索或弦线中张力;
为质量线密度
ul
* 细长的棒状媒质中纵波波速为
Y 为媒质的杨氏弹性模量; 为质量密度
G * 各向同性均匀固体媒质横波波速 u t G为媒质的切变弹性模量; 为质量密度
在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。
震中
26
*
5.3 平面波的动力学方程 p172—177(不要求)
质量为 m 的媒质其动能为：
2
x y A cos[ (t )] u x y A sin[ (t )] u
1 x y 1 2 2 2 Wk m VA sin [ (t )] 2 2 u t 以棒内传播纵波为例讨论弹性势能：
2 2 2x y A cos( t ) T 2
0
u
X
21
0 0.2m 0.4m
2 2x y A cos( t ) T 2
0.4 10 cos(100t 5x 2) (m)
2
因为：
y ( x, t ) x v y A sin[ (t ) ] t u 2
10
惠更斯原理 1. 惠更斯原理
• 媒质中波传到的各点,都可看作开始发射子波的 子波源 (点波源)。 • 在以后的任一时刻, 这些子波面的包络面就是 实际的波在该时刻的波前 。 2. 应用 :
t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
11
t 时刻波面
· · · · ·
t+t时刻波面
波传播方向
y x 1 y A 2 cos[ (t ) 0 ] 2 2 2 x u u u t 2 2 动平 y 1 y 力面 2 学波 2 2 x u t 方动
大学物理练习册习题及答案6--波动学基础
⼤学物理练习册习题及答案6--波动学基础习题及参考答案第五章波动学基础参考答案思考题5-1把⼀根⼗分长的绳⼦拉成⽔平，⽤⼿握其⼀端，维持拉⼒恒定，使绳端在垂直于绳⼦的⽅向上作简谐振动，则（A ）振动频率越⾼，波长越长；（B ）振动频率越低，波长越长；（C ）振动频率越⾼，波速越⼤；（D ）振动频率越低，波速越⼤。
5-2在下⾯⼏种说法中，正确的说法是（A ）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的；（B ）波源振动的速度与波速相同；（C ）在波传播⽅向上的任⼆质点振动位相总是⽐波源的位相滞后；（D ）在波传播⽅向上的任⼀质点的振动位相总是⽐波源的位相超前 5-3⼀平⾯简谐波沿ox 正⽅向传播，波动⽅程为010cos 2242t x y ππ??=-+ ?. (SI)该波在t =0.5s 时刻的波形图是（）5-4图⽰为⼀沿x 轴正向传播的平⾯简谐波在t =0时刻的波形，若振动以余弦函数表⽰，且此题各点振动初相取-π到π之间的值，则（）（A ）1点的初位相为φ1=0(m)(A )(m)(m)(B )(C )(D )思考题5-3图思考题5-4图（B ）0点的初位相为φ0=-π/2 （C ）2点的初位相为φ2=0 （D ）3点的初位相为φ3=05-5⼀平⾯简谐波沿x 轴负⽅向传播。
已知x=b 处质点的振动⽅程为[]0cos y A t ωφ=+，波速为u ，则振动⽅程为（）(A)()0cos y A t b x ωφ??=+++??(B)(){}0cos y A t b x ωφ??=-++??(C)(){}0cos y A t x b ωφ??=+-+?? (D)(){}0cos y A t b x u ωφ??=+-+?? 5-6⼀平⾯简谐波，波速u =5m?s -1，t =3s 时刻的波形曲线如图所⽰，则0x =处的振动⽅程为（）（A ）211210cos 22y t ππ-??=?- (SI) （B ）()2210cos y t ππ-=?+ (SI) （C ）211210cos 22y t ππ-??=?+ (SI) （D ）23210cos 2y t ππ-?=-(SI) 5-7⼀平⾯简谐波沿x 轴正⽅向传播，t =0的波形曲线如图所⽰，则P 处质点的振动在t =0时刻的旋转⽮量图是（）5-8当⼀平⾯简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论⼀哪个是正确的？（A ）媒质质元的振动动能增⼤时，其弹性势能减少，总机械能守恒；（B ）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期变化，但两者的位相不相同；（C ）媒质质元的振动动能和弹性势能的位相在任⼀时刻都相同，但两者的数值不相等；（D ）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最⼤。
波动学基础
这些波行进的最前方的点组成的曲面
惠更斯原理的应用
t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
t 时刻波面 t+t 时刻波面
t + t
波传播方向
·
ut
平面波
球面波
二 波的干涉
1、波的叠加原理
在几列波相遇处，任意质元的振动等于各列波 单独传播时在该处引起振动合成。
任意位置的 振动方程
2 y Acos(t 0 x1)
一横波，其波动方程为
y 0.2cos[ (200t 5x) / 2] (SI制)
•求振幅、波长、频率、周期、波速； •分别画出t=0, t=0.0025s, t=0.005s时刻的波形
解：(1)比较法
y
Acos(t 0
2
x)
上式与标准形式的波函数相比
横波—振动方向与传播方向垂直
横波和纵波 纵波：振动方向与传播方向相同
任一波,例如，水波、地表波，都能分解为 横波与纵波来进行研究。
横波和纵波的不同点
不同点1，外形上 横波表现为凸起的波峰和凹下的波谷
纵波外形特征是具有稀疏和稠密的区域
不同点2，传播媒质上 横波只能在固体中传播，纵波可以在固体， 液体，气体中传播。
X处的振动方程：
y
Acos(t 0
2
x)
小结
O点的振动方程：
y
u
y A cos(t 0 ) p
p
xo x
x
波动方程（任意X处的振动方程）：
y
Acos(t 0
2
x)
向X轴正方向传播为-，向X轴负方向传播为+
波动学基础作业
第5章 波动学基础思考题5.1 振动和波动有什么联系和区别？平面简谐波方程和简谐振动方程有什么联系和区别？振动曲线和波形图又有什么联系和区别？答: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =．(2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t ，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．当谐波方程)(cos uxt A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．(3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．5.2 平面简谐波方程])(cos[),(0ϕω+-=x t A t x y 中u x 项的意义是什么？如果改写为]cos[),(0ϕω+-=kx t A t x y ，kx 又是什么意思？如果t 和x 都增加，但相应的])([0ϕω+-u x t 的值不变，由此能从波方程说明什么？答: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；uxω则表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为)cos(0φωω+-=uxt A y t则t t ∆+时刻的波动方程为])()(cos[0φωω+∆+-∆+=∆+ux x t t A y t t其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ∆后传播到t u x ∆+处．所以在)(uxt ωω-中，当t ，x均增加时，)(uxt ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ∆，波形即向前传播了t u x ∆=∆的距离，说明)cos(0φωω+-=uxt A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．5.3 在波方程中，坐标原点是否一定要选在波源处？0=t 时刻是否一定是波源开始振动的时刻？波方程写成)(cos ),(u x t A t x y -=ω时，波源一定在坐标原点吗？在什么前提下波方程才能写成这种形式？答: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，0=t 的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成)(cos uxt A y -=ω时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程．5.4 机械波的波长、频率、周期和波速，（1）在同一种介质中哪些量是不变的？（2）当波从一种介质进入另一种介质后，哪些量是不变的？答: （1）机械波在同一种介质中传播时，其波长、频率、周期和波速都是不变的？（2）当波从一种介质进入另一种介质后，只有频率和周期是不变的？5.5 波在弹性介质中传播时，介质元的能量具有怎样的特点，为什么与弹簧振子不同？ 答: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV 内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为),(t x f y =，则相对形变量(即应变量)为x y ∂∂/.波动势能则是与x y ∂∂/的平方成正比．由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处0/=∂∂x y )，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化．5.6 在驻波的两个波节之间，各质点的振幅、频率、相位的关系怎样？在两相邻半波（波节两侧）中又如何？驻波的能量又有什么特点？答: 由驻波方程为vt x A y απλπcos 2cos2=可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的（各质点的振幅是随位置按余弦规律x A λπ2cos2变化的），而在这同一半波长上，各质点的相则是相同的；而在两相邻半波（波节两侧）的质点振动位相则相反．驻波没有能量传播，能量仅在波节与波腹之间传递。
波动学基础练习及答案
（C）周期为 1 秒； （D）波沿 x 正方向传播。 3
（C ）
根据公式ω =6 π ，T = 2π / ω =1/3 秒。其它均不正确， λ = 100 / 3, u = 100 （忽略单位），传
播方向为-x。
3．下列叙述中不正确的是
（A）在波的传播方向上，相位差为 2π 的两个质元间的距离称波长；
t (s)
-A
d
O
Px
计算题 1 图
5
解：（1）
yP
=
A cos( 1 2
πt
+
π)
；
（2）
y
=
Acos[2π( t 4
+
x
− λ
d
)
+
π] ；（3）
y0
=
Acos(
1 2
πt) 。
解：（1）由振动曲线可知，P 处质点振动方程为
yP
=
Acos[( 2π t) 4
+
π] =
A cos( 1 2
πt
+
（D ） 由传播方向可知，时间项为正的 x/u；
设表达式为 y = A cos[ω(t + x / u) + φ] ，依图可知，x=0 处在 t=T/4 时相位为 − π ，代入后相 2
位公式得： φ =- π ，等价于 π 。
5．在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比是 I1 I 2 = 4 ，则两列波的振幅之比是
2
2
O
（C） π 与 − π ； （D） − π 与 π 。
22
22
u
大学物理教程(第四版)上册(一)2024
大学物理教程(第四版)上册（一）引言概述:本文主要介绍了《大学物理教程(第四版)上册》的内容。
该教材是大学物理入门教材的经典之作，旨在为学生提供理论基础和实践应用方面的知识。
通过对物理学的学习，学生将能够深入了解物质、能量和力的性质，并将这些知识应用到解决实际问题中。
本文将按照教材的章节顺序，以五个大点来介绍教程的内容和教学要点。
正文:一、力学基础1. 运动学a. 位移、速度和加速度的概念b. 直线运动与曲线运动的区别c. 根据速度图和位移图分析运动状态2. 牛顿力学a. 牛顿三定律的表述与应用b. 重力和摩擦力的研究c. 常见力的合成和分解问题3. 力的做功和能量a. 力对物体做功的定义与计算b. 动能与势能的概念与转化c. 机械能守恒定律的适用范围与实例4. 线性动量与碰撞a. 线性动量的定义与计算b. 弹性碰撞与非弹性碰撞的区别与应用c. 动量守恒定律与碰撞分析5. 刚体力学a. 刚体的基本概念与特性b. 平面运动、平衡状态与运动学分析c. 转动力学与动力学分析二、热学基础1. 温度、热量与热量传递a. 温度的定义与测量方法b. 热量的传递方式：传导、对流和辐射c. 热平衡与热力学循环的应用2. 热力学第一定律a. 内能与热量传递的关系b. 等容、等压、等温过程的特点与计算c. 热力学循环与效率的计算3. 理想气体状态方程a. 状态方程的定义与推导b. 理想气体的性质及其物态变化c. 维尔纳定律的应用与理解4. 热力学第二定律a. 热力学不可逆性的概念与表述b. 熵的概念与计算c. 卡诺循环与热力学效率的极限5. 热力学性质的应用a. 热传导的应用与热绝缘材料的设计b. 热力学循环在能源转换中的应用c. 热力学性质的实验测量与数据处理三、波动光学基础1. 机械波动a. 波的基本概念与性质b. 声波与弹性波的特点与应用c. 波的叠加与干涉的原理与应用2. 光的波动性质a. 光的波动学说与希尔伯特原理b. 光的干涉、衍射与偏振c. 光的干涉与衍射现象在实际应用中的意义3. 光的几何光学a. 光的传播路径与光线追迹法b. 透镜与光学仪器的成像原理与应用c. 光的反射与折射定律的应用4. 光的颜色与色散a. 光的频率与波长与颜色的关系b. 化学荧光与光的颜色效应c. 光的色散与光谱的应用5. 光的波动光学实验a. 光的干涉与衍射实验设计与操作b. 光的波长测量与频率测量c. 光的光谱分析与光度法测量四、电磁学基础1. 静电场与电势a. 电荷、电场与库仑定律的关系b. 高斯定理与电场强度的计算c. 电势能与等势面的特点与应用2. 电流与电阻a. 电流的定义与电荷守恒定律b. 欧姆定律与电阻的概念与计算c. 电源、电动势与电功率的应用3. 磁场与电磁感应a. 磁力与磁场的关系与定向b. 电磁感应的法拉第定律与楞次定律c. 电磁感应与发电机、电动机的应用4. 电磁波的特性与传播a. 电磁波的产生与性质b. 光速的定义与电磁波的传播c. 声光电效应与电磁波与物质的相互作用5. 电磁学实验与应用a. 静电场与电势测量实验b. 电路电流与电压测量实验c. 磁场与电磁感应实验五、现代物理基础1. 光的粒子性与能量子化a. 光子概念与光子能量计算b. 斯托克斯定律与波函数的性质c. 光谱线与能级跃迁的解释2. 相对论与狭义相对论a. 狭义相对论基本假设与论证b. 时空观念的变化与洛仑兹变换c. 质量、能量与动量的相对论性表述3. 原子基本结构与核物理a. 经典模型与量子模型的比较b. 电子的波粒二象性与波函数c. 原子核的结构与强相互作用4. 系统的熵与热力学统计a. 系统宏观状态与熵的概念与计算b. 统计力学与微观粒子的行为c. 量子力学与统计力学的关系与应用5. 现代物理实践与应用a. 材料科学与能源技术的应用b. 物理实验技术与仪器设计c. 当代物理研究与前沿领域的概述总结:《大学物理教程(第四版)上册》涵盖了力学基础、热学基础、波动光学基础、电磁学基础和现代物理基础五个大点的知识内容。
波动力学基础知识与实践应用
波动力学基础知识与实践应用波动力学是一种描述粒子运动的理论，它试图揭示微观世界中粒子的行为和宏观的物理规律之间的联系。
波动力学的基本概念包括波函数、薛定谔方程和量子态等。
它广泛应用于物理、化学、材料科学、电子学、计算机科学和生物学等领域。
波函数是波动力学的核心概念，它是描述微观粒子的数学函数。
波函数的平方模长可以表示粒子在某个位置出现的可能性大小。
波函数描述了一个粒子的所有性质和运动状态，包括位置、速度、动量、能量和自旋等。
波函数的形式通常是复数形式，它可以反映出粒子的相位信息。
薛定谔方程是波动力学的基本方程之一，它描述了波函数随时间的演化规律。
薛定谔方程可以用于计算波函数在各种条件下的变化，从而推算出粒子的运动和相互作用。
薛定谔方程的求解是波动力学理论应用的核心问题之一，它通常采用数值计算方法或近似求解方法。
量子态是波动力学中的一个重要概念，它描述了粒子在特定条件下的状态和行为。
量子态分为可观测态和纯态两种情况。
可观测态是指粒子经过测量后所处的状态，而纯态描述了粒子受到外界干扰前的状态。
量子态具有非常奇特的性质，例如叠加态、量子纠缠、量子隧道效应等。
波动力学的应用具有极其广泛的范围，从微观粒子到宏观世界，从基础研究到技术应用都有其身影。
在物理学领域，波动力学解释了量子力学中的量子隧道效应、双缝实验、汤川劈裂等基本现象。
在化学领域，波动力学可以用于计算分子的电子结构和化学反应机理。
在材料科学领域，波动力学可以帮助研究新材料的电子性质和光学性质。
在电子学领域，波动力学可以解释半导体器件的工作原理和量子点的光电特性。
在计算机科学领域，波动力学可以用于量子计算、量子通信和量子密码学。
在生物学领域，波动力学可以帮助研究生物分子的结构和功能，以及生物大分子的相互作用。
总之，波动力学是现代物理学和化学研究中不可或缺的理论基础，它的实践应用涉及各个领域和方面。
尽管波动力学理论具有一定的复杂性和难度，但它为人类认识自然界提供了独特的视角和工具，因此值得我们深入研究和应用。
大学物理_波动学基础
a T a Y
T：绳的张力
杆的纵向微振动波
杆的横向微振动波 声音在空气中传播 真空中的电磁波
Y：杨氏弹性模量
a G
G：切变弹性摸量 B：体变模量
a
B
a
0 0 ０真空介电常数，０真空磁导率
1
《大学物理》课件
介质的几种典型模量
(1).杨氏模量 若在截面为S，长为l的细棒两端加上大小相等、方向相反 的轴向拉力F，使棒伸长l，实验证明：在弹性限度内，正应 力F/S与线性应变l/l成正比，即
y Acos( t
l
u
)
《大学物理》课件
例题2-4 波沿x轴正向传播，A=10cm, =7rad/s; 当t=1s时, ya=0, a<0, yb=5cm,b>0 。设>10cm, 求该波 的波动方程。 y x ) o ] (t 解 y Acos[ u u
o
3.波长 — 一个周期内波动传播的距离。
u
T
4.平面简谐波—波面为平面，媒质中各质点 都作同频率的简谐振动形成的波动。本章主要讨 论这种波。
《大学物理》课件
1 1 例题2-1 已知： y 0.5cos ( t x )(SI), 2 2 求：(1)波的传播方向，A、T、、u，原点 的初相； (2) x=2m处质点的振动方程，及t=1s时质点 的速度和加速度。 (3)x1=1m和x2=2m两点的相差。
· ·· · · · · t · · · ·· · ·
u t 平面波
球面波
惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布； 不能解释后退波问题等。
《大学物理》课件
§5.2 平面简谐行波的波动方程 !
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dx
称微元伸长量与原长之比为相对伸长量
x x+dx B u A C u+du B C x
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) ux dx x
A
x
波动学基础·动力学方程
x x+dx B u A C u+du B C x
由牛顿第二定律，微元满足的动力学方程为
v( xc , t ) 12π sin(4πt 13π ) 5 v( x D , t ) 12π sin(4πt 9π ) 5
例5.1.2：平面波沿 x 轴正向传播，振幅为A，频率为ν，波速为 v ， 设 t=t′时波形如图
1.0
0.5
求：(1) x=0 处质点的振动方程
0.0
(2) 该波的波动方程 解：已知 A
I v
I v
1 2 2 I A v 2
课后作业：练习p180-182，例5.4.1-例5.4.3 5.4 声波、超声波和次声波 (自学章节)
波动学基础·波的干涉、驻波 5.5 波的干涉、驻波
5.5.1 惠更斯原理、波的反射与折射
(1) 惠更斯原理 • 任一时刻波前上各点都可作为子波的波源，向前发出子波； • 后一时刻各子波的包迹，就是该时刻新波的波前；
波动学基础·机械波能量 (3) 机械波的能量
1 1 x u 1 2 2 2 2 E k mv V V A sin t 2 2 t 2 v
2
1 1 x 2 2 2 2 E p ( 弹性模量（应变） ) V＝ V A sin ( t ) 2 2 v
x
-0.5
-1.0
2π
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t+
u(0, t ) A cos( t ) u(0,0) 0
cos(2π t ) 0 2π t π , 3π 2 2
平面波沿 x 轴正向传播
波动学基础·机械波概述
v dx 2π A sin(2π t ) 0 π 2π t dt 2 k 2 π v
u(0, t ) A cos[2π ( t t ) π ] 2
u( x , t ) A cos[2π ( t t ) x π ] v 2
(6) 描述机械波的几何参量 波线：波向外传播的方向构成的曲线 波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同 波矢：表示波线任意点方向，且具有一定模值的矢量 k 2 π k0 波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面 波前：某时刻介质中刚开始振动的点构成的曲面
u( x , t ) A cos( t x ) A cos ( t x ) v v
验证
2 u( x , t ) 2 x) A cos ( t v t 2
2 2 u( x , t ) x) A cos ( t v x 2 v2
平均能量密度
1 1 dt 2 A2 T 0 2T波动学基础·机械波能量
平均动能、势能能量密度 讨论： 机械波的能量传输特性 A 关于能量守恒
k p
1 2
• 机械波能量、能量密度是时间的函数，不是守恒量；
• 机械波在一个周期内的平均动能、势能和总能量守恒；
• 机械波能够向外传输； B 关于能量传输特性 • 机械波能量密度传输速度仍为 v，但频率是机械波频率的 2 倍； • 介质微元的动能、势能和能量密度同步传输；
YS u( x dx , t ) u( x , t ) u YS ( S dx ) 2 x x t
2 2 2u 2 u a 0 t 2 x 2
A
化简得 其中
a Y
课堂讨论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (解释方案)
波动学基础·动力学方程 5.2.2 波动动力学方程求解 在无界空间中，动力学方程的解为
波动学基础·机械波能量 (5) 简谐波的能流密度 (波的强度)
能流： 单位时间通过介质中与传播速度垂直的某一面积的能量 p v s
平均能流：单位时间通过介质中与传播速度垂直的单位面积的能量 p ( v ) s 能流密度 (坡印亭矢量) 平均能流密度矢量 对平面简谐波
力学 · 波动学基础
授课教师 杨宏春
力学·内容结构 力学的内容结构体系
波动学基础·机械波概述 5.1 机械波概述
(1) 相关概念
机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波 形成条件：存在波源；存在传播波的弹性介质 纵波：振动方向与波的传播方向相同的波 横波：振动方向与波的传播方向互相垂直的波
传输条件：纵波可在固、液、气等媒质中传播，横波只在固态媒质中传播
x E E k E p V 2 A2 sin2 t v
(4) 机械波的能量密度
dE x 1 x 2 A2 sin2 t 2 A2 1 cos 2 t dV v 2 v
波动学基础·机械波概述 A 波线与波面、波前一定垂直。 B 波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程 课堂讨论：波前的相位等于波源的初相位 证明：设振源的简谐振动为 时刻 t 振源的相位为
x A cos( t 0 )
( t ) t 0
设机械波传到波前所需时间为 t，波前的相位比振源相位落后 t 于是，t 时刻波前的相位为
v x
振 动 方 向
o
x
u(0, t ) A cos(t )
t 时刻 x 处的质元振动相位
(t x )
v
t 时刻 x 处的质元振动频率应当等于振源的频率
x u( x , t ) A cos t A cos t x v v
波动学基础·机械波概述 (5) 描述机械波的解析参量 波长 ()：沿波传播直线上两个相邻同相点 (相位差为2) 之间的距离
~)：波长的倒数称为波数或单位长度所包含的完整波的数目 波数 (
频率()：单位时间内给定的完整波的个数
周期(T)：传递一个完整波所需的时间或频率的倒数 波速(v)：单位时间波向外传播完整波数对应的距离
(t ) (t ) t ( t 0 ) t 0
波动学基础·动力学方程 5.2 波动动力学方程 5.2.1 典型波动的动力学方程 (1) 轻质、柔弦的横波方程 由牛顿定律
2 y T2 sin 2 T1 sin 1 ds 2 t
T2 cos 2 T1 cos 1 0
微振动时
cos 1 cos 2 1
sin 1 y x x sin 2 y x x dx
y 1 T1 x
2 2 y 2 y 2 a 2 0 t x
2
T2
a T
x+dx
x
波动学基础·动力学方程 如果弦在振动过程中还受到力密度 (F/) 为 f(x,t) 的横向外力，则
A i B
D i
C
(2) 波的反射与折射 课堂讨论：用惠更斯原理证明波的反射与折射定律
波动学基础·波的干涉、驻波 5.5.2 波的叠加原理、波的干涉 (1) 波的叠加原理 • 各列波相遇后它们各自原有的特点独立继续传播； • 在各列波相遇的区域里，质点的振动为各列波在该点引起振动的叠加
2 2 y 2 y a f ( x, t ) t 2 x 2
(2) 杆中纵波方程
设杆的质量密度为 ，杨氏模量为Y，横截面积为S，t 时刻dx微元两端 点偏离平衡位置的距离分别为 u(x,t) 和 u(x+dx,t)，那么，微元伸长量为
u( x dx , t ) u( x , t ) u( x , t ) dx ux x
C 8m B 5m A 9m D
(3) 以B为坐标原点，C、D两点的振动方程及振动速度表达式 解： (1) 由 y 3 cos 4πt 依简谐波标准方程 波函数为 A=3，=4，=0， k 4π v 20
u( x , t ) A cost kx
u( x , t ) 3 cos(4πt 4π x ) 3 cos(4πt πx ) 20 5
a Y
a G a B
声音在空气中传播
B：体变模量
波动学基础·机械波能量 5.3 机械波的能量、能量密度和能流密度
x
(1) 机械波的动能 设简谐波
x+dx
x
u( x , t ) A cos(t
v
x)
2
u(x,t)
u(x+dx ,t)
微元动能
1 1 x u 1 E k mv 2 V V 2 A2 sin2 t 2 2 t 2 v
波动学基础·机械波概述 (2) 机械波产生的物理机制
波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远向外传递振动的结果
结论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (3) 机械波模型 • 振源与观察者保持相对静止 • 弹性介质无阻尼或能量吸收——波在传递过程中振幅不变
波动学基础·机械波概述
y
(4) 机械波的运动学方程 目标：给出距振源任意距离 x 处质点的振动方程 推导：设 t 时刻 x=0 处的质元振动方程为
2π T 2π v T
2π k k0
波矢
u( x , t ) A cost kx